Cours,_geometrie_plane,_1S,_2014
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GEOMETRIE PLANE I. COLINEARITE DE DEUX VECTEURS A. DEFINITION Deux vecteurs 𝑢 ⃗ 𝑒𝑡 𝑣 sont colinéaires, si et seulement si, il existe un réel k tel que : 𝑣 = 𝑘𝑢 ⃗. B. PROPRIETE 𝑥 𝑥′ Soit (𝑂 ; 𝑖, ⃗⃗⃗𝑗) un repère du plan et 𝑢 ⃗ (𝑦) 𝑒𝑡 𝑣 ( ) deux vecteurs du plan. Les 𝑦′ vecteurs 𝑢 ⃗ 𝑒𝑡 𝑣 sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles Donc, xy’ – x’y=0 Démonstration : Soit 𝑢 ⃗ 𝑒𝑡 𝑣 deux vecteurs colinéaires. Donc 𝑣 = 𝑘𝑢 ⃗ d’où x’=kx et y’=ky. 𝑥 Par suite, 𝑥′ = 𝑘 𝑒𝑡 𝑦 𝑦′ 𝑥 𝑦 = 𝑘. Donc, 𝑥′ = 𝑦′ par suite, xy’=x’y d’où xy’ – x’y=0 Application : ex n 1-3-4 p203+ex 21-22-24-26 p214+ex 3133-36 p215 +38-40 p216 Algorithme : ex 29-30 p215 II. EXPRESSION D’UN VECTEUR EN FONCTION DE DEUX VECTEURS NON COLINEAIRES A. THEOREME 1) 𝑢 ⃗ 𝑒𝑡 𝑣 sont deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur 𝑤 ⃗⃗ , il existe un couple unique de nombres (a ; b) tel que 𝑤 ⃗⃗ = 𝑎𝑢 ⃗ + 𝑏𝑣 . Lire la démonstration dans le livre p202 2)L’égalité ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 𝑎𝑢 ⃗ + 𝑏𝑣 se traduit par : le point M a pour coordonnées (a ; b) dans le repère d’origine O et de base (𝑢 ⃗ ; 𝑣 ). Application : ex 41-43 p216 + ex 45-47-51 p217 Informatique : ex 55-56 p218 Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé 1 III. EQUATION CARTESIENNE D’UNE DROITE A. VECTEUR DIRECTEUR D’UNE DROITE 1) Définition : Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur 𝑢 ⃗ non nul dont la direction est celle de (d). 2) Propriété : Tout vecteur k𝑢 ⃗ , avec k un réel non nul, est un vecteur directeur de la droite (d). Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs. 3)Conséquences : i) La donnée d’un point A et d’un vecteur 𝑢 ⃗ non nul définit une droite (d) unique. ⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur ii) Si A et B sont 2 points distincts de (d), alors 𝐴𝐵 directeur de (d). B. EQUATION CARTESIENNE D’UNE DROITE Dans un repère : 1) Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax+by+c = 0 avec −𝑏 a≠0 et b≠0. Le vecteur de coordonnées ( ) est un vecteur directeur 𝑎 de (d). Démonstration : Soit A(xA ;yA ) un point appartenant à (d) et M(x ; y) un point quelconque 𝑝 sur (d) et 𝑢 ⃗ (𝑞 ) un vecteur directeur de (d). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢 M∈ (d) donc 𝐴𝑀 ⃗ sont colinéaires d’où (𝑥 − 𝑥𝐴 ) × 𝑞 − (𝑦 − 𝑦𝐴 ) × 𝑝 = 0 𝑞𝑥 − 𝑞𝑥𝐴 − 𝑝𝑦 + 𝑝𝑦𝐴 = 0 𝑞𝑥 − 𝑝𝑦 + (−𝑞𝑥𝐴 + 𝑝𝑦𝐴 ) = 0 2) Propriété : Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé 2 Deux droites(d) et (d’) d’équation cartésiennes respectives ax+by+c=0 et a’x+b’y+c=0 sont parallèles si et seulement si ab’-a’b=0. Application : ex n 5-6 p :205 + ex 61-66-68-70-73 p219 + ex 76-80-81-84 p 220 + ex 88-90-91 p221 Algorithme : ex 86 p221 C. EQUATION REDUITE D’UNE DROITE Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation réduite de la forme y = mx+p. Ainsi, m est le coefficient directeur et p et l’ordonnée à l’origine. Remarque : L’équation réduite d’une droite est unique. Le vecteur de 1 coordonnées ( ) est le vecteur directeur de (d). 𝑚 Démonstration : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 𝑎 𝑐 𝑦=− 𝑥− 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 ′ 𝑑 𝑜ù 𝑚 = − 𝑒𝑡 𝑝 = − 𝑏 𝑏 𝑎 −𝑏 𝑢 ⃗ ( )⇒𝑢 ⃗ ( ; −𝑚𝑏) 𝑎 𝑚 ⇒𝑢 ⃗ (𝑎 ; −𝑚2 𝑏) 𝑚2 𝑏 ⇒ 𝑢 ⃗ (1 ; − 𝑎 𝑎 1 ⇒ 𝑢 ⃗ (1 ; × 𝑚 × 𝑏 × ) 𝑏 𝑎 ⇒ 𝑢 ⃗ (1 ; 𝑚) Remarque : Soit (d) une droite d’équation ax +by + c = 0. Si b=0, alors (d) est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation réduite est 𝑐 𝑥 = − 𝑎. Le vecteur directeur de cette droite est (0 ; 1). Application : ex 8-10 p207 Problèmes :93-97-98 p222 + ex 100-101 p223 + 106-108 p224 Devoir maison : 104 p223 + 111 p225 Informatique :105 p 224 Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé 3
