Cours,_geometrie_plane,_1S,_2014

Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé
1
GEOMETRIE PLANE
I. COLINEARITE DE DEUX VECTEURS
A. DEFINITION
Deux vecteurs   sont colinéaires, si et seulement si, il existe un réel k tel
que :    .
B. PROPRIETE
Soit  un repère du plan et 
deux vecteurs du plan. Les
vecteurs   sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont
proportionnelles
Donc, xy’ – x’y=0
Démonstration :
Soit   deux vecteurs colinéaires. Donc    d’où x’=kx et y’=ky.
Par suite, 
   Donc,   par suite, xy’=x’y d’où xy’ – x’y=0
Application : ex n 1-3-4 p203+ex 21-22-24-26 p214+ex 31-
33-36 p215 +38-40 p216
Algorithme : ex 29-30 p215
II. EXPRESSION D’UN VECTEUR EN FONCTION DE DEUX VECTEURS
NON COLINEAIRES
A. THEOREME
1)   sont deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur  , il existe
un couple unique de nombres (a ; b) tel que 
Lire la démonstration dans le livre p202
2) L’égalité  se traduit par : le point M a pour coordonnées
(a ; b) dans le repère d’origine O et de base ( .
Application : ex 41-43 p216 + ex 45-47-51 p217
Informatique : ex 55-56 p218

Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé
2
III. EQUATION CARTESIENNE D’UNE DROITE
A. VECTEUR DIRECTEUR D’UNE DROITE
1) Définition :
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur  non nul dont la
direction est celle de (d).
2) Propriété :
Tout vecteur k  avec k un réel non nul, est un vecteur directeur de la
droite (d). Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs.
3) Conséquences :
i) La donnée d’un point A et d’un vecteur  non nul définit une
droite (d) unique.
ii) Si A et B sont 2 points distincts de (d), alors  est un vecteur
directeur de (d).
B. EQUATION CARTESIENNE D’UNE DROITE
Dans un repère :
1) Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax+by+c = 0 avec
a≠0 et b≠0. Le vecteur de coordonnées 
 est un vecteur directeur
de (d).
Démonstration :
Soit A(xA ;yA ) un point appartenant à (d) et M(x ; y) un point quelconque
sur (d) et 
 un vecteur directeur de (d).
M (d) donc  sont colinéaires d’où
2) Propriété :

Cours : Géométrie plane- 1ère S- N.Tohmé
3
Deux droites(d) et (d’) d’équation cartésiennes respectives ax+by+c=0 et
a’x+b’y+c=0 sont parallèles si et seulement si ab’-a’b=0.
Application : ex n 5-6 p :205 + ex 61-66-68-70-73
p219 + ex 76-80-81-84 p 220 + ex 88-90-91 p221
Algorithme : ex 86 p221
C. EQUATION REDUITE D’UNE DROITE
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation réduite de la
forme y = mx+p. Ainsi, m est le coefficient directeur et p et l’ordonnée à
l’origine.
Remarque : L’équation réduite d’une droite est unique. Le vecteur de
coordonnées 
 est le vecteur directeur de (d).
Démonstration :
Remarque :
Soit (d) une droite d’équation ax +by + c = 0.
Si b=0, alors (d) est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation réduite est
. Le vecteur directeur de cette droite est (0 ; 1).
Application : ex 8-10 p207
Problèmes :93-97-98 p222 + ex 100-101 p223 + 106-108
p224
Devoir maison : 104 p223 + 111 p225
Informatique :105 p 224