Rappels et compléments d`électrostatique - Thierry Albertin

Cours d’électromagnétisme
Chapitre 1
Rappels et compléments d’électrostatique
Table des matières
1 Distributions de charges (page 3)
Permittivité du vide – distribution volumique de charges – distribution surfacique
de charges – distribution linéique de charges
1° Plasma d’ions et d’électrons (page 3)
2° Champ électrostatique pour (page 5)
2 Rappels sur le champ électrostatique (page 8)
Champ électrostatique – loi de C OULOMB – interaction électrostatique – additivité
des champs
3 Relations locales pour le champ électrostatique (page 9)
3.1 Première relation locale (page 9)
Théorème de G AUSS – théorème d’O STROGRADSKI – première relation
locale – nabla
3.2 Seconde relation locale (page 10)
Circulation – théorème de S TOKES – rotationnel – seconde relation
locale
3.3 Lignes et tubes de champ (page 11)
Lignes de champ
3° Equation des lignes de champ créé par un dipôle (page 11)

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4 Relations locales pour le potentiel (page 13)
4.1 Introduction du potentiel (page 13)
Potentiel
4.2 Surface équipotentielle (page 13)
Surface équipotentielle
4.3 Equations de P OISSON et de L APLACE (page 13)
Equation de P OISSON – équation de L APLACE – laplacien
4.4 Théorème de l’extremum (page 14)
Théorème de l’extremum
5 A propos de la continuité des champs (page 16)
Continuité du champ en distribution volumique – continuité du potentiel en
distribution volumique – continuité du potentiel à la traversée d’une couche simple
– discontinuité du potentiel à la traversée d’une couche double – discontinuité du
potentiel à la traversée d’une surface chargée
6 Quelques expressions intégrables (page 19)
Expression intégrale du champ électrostatique – expression intégrale du potentiel
électrostatique
7 Energie électrostatique (page 20)
7.1 Cas d’une charge dans un potentiel (page 20)
Energie potentielle d’une charge dans un potentiel
7.2 Energie électrostatique d’un dipôle (page 20)
Energie électrostatique d’un dipôle
7.3 Cas d’un système de charges ponctuelles (page 21)
Energie électrostatique d’un système de charges ponctuelles
4° Energie d’interaction électrostatique dans une boule (page 21)

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1 Distributions de charges
Contenu : permittivité du vide – distribution volumique de charges – distribution surfacique de
charges – distribution linéique de charges
D EFINITION 1. 1 Permittivité du vide
On s’intéresse à des charges ponctuelles dans le vide, de permittivité  .
D EFINITION 1. 2 Distribution volumique de charges
F IGURE 1 Distribution volumique de charges
Dans le cas d’une distribution volumique de charges (F IGURE 1), si l’on a un grand nombre de
charges par mètre cube, on peut définir une grandeur (moyenne) macroscopique telle que :
Soit un ensemble de charges d’espèces de type  de charge individuelle  . Il y a 
particules par mètre cube :
1° Exercice résolu
Soit un plasma composé d’ions de charge  ( ions par mètre cube supposés fixes dans 
et d’électrons de charge  ( électrons par mètre cube).
1° En l’absence de perturbation électrique, on a électroneutralité locale. Calculer  , le
nombre d’électrons par mètre cube.
2° En présence d’une perturbation électrique, les  se trouvent au voisinage d’un plan
, se déplacent de . Exprimer 

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Solution
1° Puisque  , on en déduit  .
2° 
Avant perturbation, dans le volume , on a 
 ou 
é.
Après perturbation, ce domaine a changé de taille.
 est le nouveau volume.
, d’où :
Si  dépend du temps :
D EFINITIONS 1. 3 Autres distributions macroscopiques
− Distribution surfacique :
F IGURE 2 Distribution surfacique de charges
Dans le cas d’une distribution surfacique de charges (F IGURE 2) :

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− Distribution linéique :
F IGURE 3 Distribution linéique de charges
Dans le cas d’une distribution linéique de charges (F IGURE 3) :
R EMARQUE 1. 4
Notons que ces dernières distributions correspondent à des distributions volumiques
particulières.
2° Exercice résolu
. Calculer le champ électrostatique en tout point.
F IGURE 4 Représentation de
Solution
Utilisation des plans de symétrie1 et d’antisymétrie2 :
1
Le champ 
 est contenu dans un plan de symétrie (noté 
) contenant .
2
Le champ 
 est perpendiculaire au plan d’antisymétrie (noté 
) contenant .