Statistiques et Probabilités 2

Statistiques et Probabilités 2
Mohamed BOUTAHAR 1
4 octobre 2005
1Département de mathématiques case 901, Faculté des Sciences de Luminy. 163 Av.
de Luminy 13288 MARSEILLE Cedex 9, et GREQAM, 2 rue de la vieille charité 13002.
e-mail : b[email protected]

Table des matières
1 Distributions de probabilité discrètes 4
1 Inégalitésclassiques............................ 4
1.1 InégalitédeMarkov........................ 4
1.2 InégalitédeBienaymé-Tchebychev ............... 4
2 Indépendance . .............................. 5
2.1 Variablesindépendantes ..................... 5
2.2 Distributionsmarginales ..................... 5
3 Fonctiongénératrice ........................... 6
2 Distributions de probabilité continues 7
1 Densitédeprobabilité,moments..................... 7
2 Fonctioncaractéristique ......................... 8
3 Indépendance . .............................. 9
3.1 Distributionsmarginales ..................... 9
3.2 Variablesindépendantes ..................... 9
4 Fonctionderépartition.......................... 10
4.1 Casscalaire ............................ 10
4.2 Casd’uncouplealéatoire..................... 10
5 Distributionsusuelles........................... 11
5.1 Loiuniforme............................ 11
5.2 LoideGauss ........................... 11
5.3 Loiexponentielle ......................... 11
5.4 Loigamma ............................ 11
5.5 LoideCauchy........................... 12
6 Transformationdesvariablesaléatoires ................. 12
6.1 Casdiscret ............................ 12
6.2 Cascontinu............................ 12
7 Suite devariablesaléatoires ..................... 13
7.1 LoideKhi-deux ......................... 13
7.2 LoideStudent.......................... 13
7.3 LoideFisher ........................... 14
7.4 Loidelamoyenneetvarianceempirique ............ 14
1

TABLE DES MATIÈRES 2
3 Description d’une série statistique 15
1 Généralités, Définitions.......................... 15
2 Distributiondesfréquences........................ 16
2.1 Casdiscret ............................ 16
2.2 Cascontinu ............................ 16
2.3 Distributiondesfréquences.................... 17
2.4 Représentation graphique des distributions de fréquences . . . 18
3 Caractéristiquesdetendancecentrale.................. 18
3.1 Définition: ............................ 18
4 Caractéristiquesdedispersion ...................... 18
4.1 Ladispersionentermesd’intervalles .............. 19
4.2 Ladispersionentermesd’écarts................. 19
5 Moments.................................. 21
4 Liaisons entre variables statistiques 22
0.1 Ladistributionmarginale .................... 23
0.2 Ladistributionconditionnelle .................. 23
1 L’ajustement, régression simple . .................... 24
1.1 Coefficientdecorrélationlinéaire:................ 24
1.2 Ajustementparlaméthodedesmoindrescarrés ........ 24
1.3 Qualitéd’ajustement....................... 25
5 Estimation statistique et test d’hypothèses 29
1 Estimationponctuelledesparamètres.................. 29
1.1 Choixdesestimateurs ...................... 29
1.2 Constructiondesestimateurs .................. 30
2 Estimation par intervalle de confianceetTests............. 31
2.1 Intervalle de confiance pour la moyenne d’une population gaussi-
enne ................................ 31
2.2 Comparaison d’une moyenne théorique et d’une moyenne ob-
servée ............................... 31
2.3 Comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants. 32
2.4 Comparaisondesmoyennesdedeuxsériesappariés....... 33
2.5 Intervalle de confiance pour la variance d’une population gaussi-
enne ................................ 34
2.6 Comparaison d’une variance théorique et d’une variance ob-
servée ............................... 34
2.7 Comparaison des variances de deux échantillons indépendants 34
3 Analysedelavariance .......................... 35
3.1 Comparaisonsimultanéedeplusieursmoyennes ........ 35
3.2 Comparaisonsimultanéedeplusieursvariances......... 36

Licence L2-MAT45 : Statistiques et Probabilités 2—M.Boutahar 3
6EXERCICES 37
1 DistributionsdeProbabilitéDiscrètes ................. 37
2 DistributionsdeProbabilitéContinues ................. 38
3 Estimationettests ............................ 40

Chapitre 1
Distributions de probabilité
discrètes
1 Inégalités classiques
1.1 Inégalité de Markov
Theorem 1 Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans un espace dénombrable E
avec E⊂R,alors pour tout a>0,
P(|f(X)|≥a)≤E(|f(X)|)
a.(1.1)
Preuve :Ona
E(|f(X)|)= X
xk∈E
|f(xk)|pk
=X
xk∈A
|f(xk)|pk+X
xk∈A
|f(xk)|pk,
où A={xk∈E,|f(xk)|≥a},et Aest le complémentaire de Adans E.Donc
E(|f(X)|)≥X
xk∈A
|f(xk)|pk
≥X
xk∈A
apk,
de plus Pxk∈Apk=P(X∈A)=P(|f(X)|≥a).¤
1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Theorem 2 Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans E,alorspourtoutε>0
P(|X−EX|≥ε)≤σ2
X
ε2.(1.2)
4