Exercice 1 : généralités Un circuit série est formé par un résistor de

Exercice 1 : généralités
Un circuit série est formé par un résistor de résistance Ro = 100Ω, un condensateur de
capacité C, et une bobine d’inductance L et de résistance r, est alimenté par un générateur qui
délivre une tension de valeur instantanée, u (t) = Um.sin (ω.t + φu).
On représente ci-après dans chaque figure deux courbes d’évolution de deux différentes
tensions avec un balayage horizontal de 1ms.div-1 ; le problème qui peut être rencontré par un
élève est de faire associer chaque courbe à la tension correspondante.
Traiter chaque figure indépendamment des autres.
Partie A
Pour chaque figure
1- Faire associer chaque courbe à la tension
correspondante ?
2- Déterminer les expressions des tensions
instantanées représentées sur la figure. (une seule
fois pour u(t))
3- Déterminer la nature du circuit.
Partie B
1- Déduire les expressions de l’intensité instantanée i(t) et celle de la charge instantanée q(t).
(une seule fois).
2- Trouver les valeurs de C la capacité du condensateur L inductance de la bobine et sa
résistance r
Exercice 2
On réalise le circuit suivant, on représente les tensions u Ro (t) et u(t), aux bornes de
générateur. Pour une fréquence N1, on obtient l’oscillogramme
suivant. Avec u(t) = 5. 2 sin (ωt)
1- Utiliser cet oscillogramme, pour Déterminer :
a- la valeur de la fréquence N1.
b- Le déphasage φu - φi.
c- Déduire la nature du
circuit inductif, capacitif ou
résistif.
d- Comparer alors la
fréquence N1 à la fréquence
propre No de l’oscillateur.
2- On représente ci-après deux propositions de la construction de Fresnel dont l’une
correspond à la fréquence
N1.
Compléter
la
seule
construction de Fresnel
correspond à l’état de
circuit.
…= 10V
3On
utilisant
la
construction de Fresnel, en
sachant que l’inductance de
la bobine est L = 0,05 H,
déterminé :
a- l’expression
l’intensité i(t).
de
b- La valeur de la résistance
Ro de résistor et celle de r
de la bobine.
…= 10V
…= 5 2V
…= 4V
…= 1V
…= 4V
c- La valeur de la capacité
C du condensateur.
…= 5 2V
…= 1V
Exercice 3
Un circuit série est formé par un résistor de résistance Ro variable, un condensateur de
capacité C = 2,5µF, et une bobine d’inductance L et de résistance r. Est alimenté par un
générateur qui délivre une tension de valeur instantanée u (t) = Um.sin (ω t ).
Partie A
On fixe la fréquence de générateur à une
valeur N1, et on visualise à l’aide d’un
oscilloscope les deux tensions u (t) et uRo(t)
sur le même système d’axes.
1- Montrer que le circuit est à la résonance
d’intensité.
2- a- Déterminer la fréquence propre d’oscillateur.
b- Déduire la valeur de l’inductance L de la bobine.
3- On donne la valeur maximale de la tension au bornes de condensateur U cm = 31,85V.
a- Déterminer Im l’intensité maximale fournie par le générateur.
b- Déduire les valeurs de Ro et de r.
c- Soit Q =


U cm
Um
à la résonance
Que représente cette grandeur Q ?
Calculer sa valeur et conclure.
Partie B :
On change la fréquence de générateur à une valeur N2 = 122 Hz.
1234567-
Que sera la nature de circuit ?
Déterminer l’expression de l’intensité instantanée i(t).
Ecrire l’équation différentielle régissant l’évolution de l’intensité du courant i(t).
Faire la construction de Fresnel associée à cette fréquence.
Vérifier que
Déterminer la puissance moyenne échangée par ce circuit.
Déduire la quantité de chaleur dissipée par le circuit pendant 5mn.
Partie C :
1- Représenter sur un même système d’axes l’allure de la valeur maximale Im de l’intensité
i(t) en fonction de la fréquence N.
 Pour Ro = 100Ω,
 Pour Ro = 500 Ω
2- Représenter sur un même système d’axes l’allure de la valeur maximale U cm de la tension
uc(t) en fonction de la fréquence N.
 Pour Ro = 100Ω,
 Pour Ro = 500 Ω
Exercice 4
On considère le circuit suivant formé par un résistor de résistance Ro, d’une bobine
d’inductance L, et de résistance r, et d’un condensateur de capacité C, alimenté par un
générateur qui délivre une tension de valeur instantané u (t) = 10.sin (ω.t + φ u).
A l’aide d’un oscilloscope bi-courbe on représente à chaque fois la tension u (t) sur la voix Y 1
Et l’une des tensions uRo, ub ou uc sur la voix Y2. On obtient les trois oscillogrammes
représentés sur Fig1, Fig2 et Fig3.
1. Exploiter les trois courbes pour :
a. Correspondre chacune des courbes à sa tension.
b. Montrer que le circuit est à la résonance.
c. Déterminer les expressions des tensions u (t), uRo, ub et uc en fonctions de temps.
2. Compléter la construction de Fresnel sur la page suivante.
3. On donne L = 15,8mH. Déterminer :
a. L’expression de l’intensité i (t).
b. Les impédances Z, de circuit, Zc, de condensateur, et Zb, de la bobine.
c. La valeur de la capacité C du condensateur.
d. La valeur de la résistance Ro du résistor et celle de r de la bobine.
4. a. Calculer le facteur de surtension.
b. Conclure.
5. Montrer que l’énergie électromagnétique du système se conserve à ces conditions.
+
phases
Axes des
Solution
Exercice 1 : généralités valable pour tout exercice
Pour associer chaque courbe à la tension correspondante on cherche des propriétés de
distinction entre ces tensions deux à deux en se basant sur les constructions de Fresnel.
On remarque que quelque soit l’état de circuit inductif,
capacitif ou résistif, on a des généralités qui ne varient pas
URm = Ro.Im < Um.
φc < φu donc uc(t) est toujours en retard de phase
par rapport à u(t).
φc = φi -
π
donc uc(t) est toujours en quadrature
2
retard de phase par rapport à i(t).
φb > φu donc ub(t) est toujours en avance de phase
par rapport à u(t).
φb > φi donc ub(t) est toujours en avance de phase
par rapport à i(t).
Pour un circuit résistif (résonance d’intensité) :

φu = φi
Pour un circuit capacitif
φu < φi

Pour un circuit inductif
φu > φi

Partie A
Pour la Fig1
1- Sur la Fig1, les tensions représentées sont u(t) et u R(t) et comme URm = Ro.Im < Um et
l’amplitude de Ca est plus importante que celle de Cb donc Ca représente u(t) et Cb
représente uR(t).
2- * On a u (t) = Um.sin (ω.t + φu).
Graphiquement Um = 10V
ω=
2.π
T
=
2.π
= 200.π rad.s-1
10 𝟏𝟎−𝟑
φu = ?
Pour trouver la valeur de la phase initiale φu on cherche s’il est possible la date à laquelle la
fonction passe par un extrémum (minimum ou maximum) pour la première fois.
Pour notre cas u(t) = Um pour la première fois à t =
T
4
; on remplace ω par
2.π
T
T
et t par 4 dans
l’expression de u(t) :
T
u( ) = Um.sin (
2.π T
4
T
.
4
T
+ φu) et u( ) = + Um
4
π
Donc sin ( . + φu) = +1 ce qui donne
2
π
( . + φu) =
2
π
2
et par suite
φu = 0
On regroupe u (t) = 10.sin (200.π.t).
u(t) en V et t en second
* uR(t) = URm.sin (ω.t + φi) ; avec ω
=
2.π
T
=
2.π
10 𝟏𝟎−𝟑
= 200.π rad.s-1 et URm = 5,2V et
φi = ?
Puisque on a trouvé φu donc on cherche la valeur du déphasage afin de trouve φi
Δφ = φi - φu = +ω.Δt Attention dans notre cas φi > φu pour cela Δφ > 0
Et Δt est représenté par = 1,4 div et chaque div représente 1ms donc Δt = 1,4.10-3s
Δφ = φi - φu = +200.π. 1,410-3s = 0,28.π rad et comme φu = 0 donc φi = 0,28.π rad
On regroupe uR (t) = 5,2.sin (200.π.t + 0,28.π). uR en Volt et t en second
3- Nature du circuit
φu - φc <
π
2
et comme φc = φi -
π
2
donc φu – (φi -
π
2
)<
π
2
simplifier par
π
2
on aura
φu < φi donc le circuit est capacitif.
Pour la Fig2
1- Sur la Fig2, les tensions représentées sont u(t) et uc(t) et comme uc est toujours en retard
de phase par rapport à u(t) et Cc est en retard de phase par rapport à Ca donc Ca représente
u(t) et Cc représente uc (t).
2- * On a u (t) = 10.sin (200.π.t).
* uc(t) = Ucm.sin (ω.t + φc) ;
Avec ω = 200.π rad.s-1 et Ucm = 21V
φc = ?
Puisque on a trouvé φu donc on cherche
la valeur du déphasage afin de trouve φc
Δφ = φu - φc = +ω.Δt Attention φu > φc pour cela Δφ > 0
Et Δt est représenté par = 1,1 div et chaque div représente 1ms donc Δt = 1,1.10-3s
Δφ = φu - φc = +200.π. 1,110-3s = 0,22.π rad et comme φu = 0 donc φc = - 0,22.π rad
On regroupe uc (t) = 21.sin (200.π.t - 0,22.π). uc en Volt et t en second
3- Nature du circuit
Puisque φi > φu donc le circuit est capacitif.
Pour la Fig3
1- Sur la Fig3, les tensions représentées sont
u(t) et ub(t) et comme u est toujours en retard
de phase par rapport à ub(t) et Ca est en retard
de phase par rapport à Cd donc Ca représente
u(t) et Cd représente uc (t).
2- * On a u (t) = 10.sin (200.π.t).
* ub(t) = Ubm.sin (ω.t + φb) ;
Avec ω = 200.π rad.s-1 et
φb = ?
Ubm = 13V
Puisque on a trouvé φu donc on cherche la valeur du déphasage afin de trouve φb
Δφ = φb - φu = +ω.Δt Attention φb > φu pour cela Δφ > 0
Et Δt est représenté par = 3,7 div et chaque div représente 1ms donc Δt = 3,7.10-3s
Δφ = φb - φu = +200.π. 3,7.10-3s = 0,74.π rad et comme φu = 0 donc φb = 0,74.π rad
On regroupe ub (t) = 13.sin (200.π.t + 0,74.π). ub en Volt et t en second
3- Nature du circuit
Puisque φb
-
φu est obtus donc le circuit est capacitif (voir les constructions de Fresnel)
Partie B
1- * Expression de l’intensité instantanée
i(t) =
u R (t)
𝟓,𝟐.𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝟎𝟎.𝛑.𝐭 + 0,28.π)
=
Ro
100
= 0,052.sin (200.π.t + 0,28.π). i en A et t en s
* Expression de la charge instantanée
q(t) = i t . dt = (-)
=
cos (200.π.t + 0,28.π) on remplace la cosinus par une sinus par
2
0,052
ω
ω
π
l’ajout de
= (-)
0,0052
π
sin(200.π.t + 0,28.π + ) on enlève le signe (-) par l’ajout de (+ π) ou (-π ).
2
0,052
200.π
sin(200.π.t + 0,28.π +
π
2
– π) = q(t) = 82,8.10-6. sin(200.π.t - 0,22.π ) q en C
2- * Capacité du condensateur
C=
q
uc
=
Qm
U cm
=
82,8.10 −6
= 3,94.10-6F
21
C ≈ 4µF
* Résistance de la bobine
Cos (φi
=
-
φu) =
10.Cos (0,28.π)
0,052
Ro +r Im
Um
ce qui donne Ro + r =
Um .Cos (φb − φu) .
Im
– 100 ≈ 23 Ω
- Ro
r = 23Ω
* Inductance de la bobine
D’après la construction de Fresnel on peut déduire que Ubm =
donne =
1
Ubm 2
[
−
2
ω
Im
r2)] =
1
13 2
−
2 . [ 0,052
(200.𝜋)
(L. ω)2 + r 2 .Im ce qui
232] = 0,4H
L = 0,4H
Exercice 2
u(t) = 5. 2 sin (ωt)
1-a- la valeur de la fréquence N1
N1 =
1
T
=
1
N1 = 800Hz
1,25.10 −3
b- Le déphasage φu - φi.
on a φuRo = φi
φu - φi = - ω.Δt Attention φi > φu pour cela Δφ < 0 et Δt =
=-
2.π T
T
π
8
𝛑
φu - φi = - rad
. = - rad
8
T
4
𝟒
c- La nature du circuit
Puisque φu - φi < 0 donc le circuit est capacitif.
d- Comparaison de la fréquence N1 à la fréquence propre No de l’oscillateur.
Puisque le circuit est capacitif donc
1
C.L
1
Cω 1 .
< 𝐿. ω1 par suite
< ω12 donc ω2o < 𝜔12 et puisque ω1 = 2.π.N1 et ωo
= 2.π.No
donc No < N1
2- On choisit la construction de Fresnel correspondante à un circuit
capacitif et on doit ajouter le vecteur correspondant à la tension aux
bornes du condensateur.
L.ω.Im= 10V
3- a- L’expression de l’intensité i(t).
i(t) = Im.sin(ω.t + φi)
ω=?
ω = 2.π.N1 = 1600.π rad.s-1
Im = ?
On a L.ω.Im= 10N donc Im =
10
L.ω
=
10
0,05.1600.π
= 0,04A
φi = ?
Et on a φu - φi = π
φi = rad
π
4
Ro.Im= 4V
𝜋
4
avec φu = 0 ce qui donne
r.Im= 1V
A
O
4
1
C.ω
Im
Um= 5 2V
B
soit i(t) = 0,04.sin(1600.π.t +
𝛑
𝟒
)
b- La valeur de la résistance Ro de résistor et celle de r de la bobine.
D’après la construction de Fresnel Ro.Im = 4V ce qui donne Ro =
4
Im
=
4
0,04
;
Ro = 100Ω
De même r.Im = 1V ce qui donne r =
1
Im
=
1
0,04
r = 25Ω
;
c- La valeur de la capacité C du condensateur.
L’angle AÔB est égal à 45° et le triangle OAB est rectangle en A donc il est isocèle, par suite
AB représente 5V ce qui donne
1
C.ω
1
1
Im = 15V ce qui donne C = 15.ω Im = 15.1600.π.0,04 =
C = 5,3.10-7F = 0,53µF
Exercice 3
Partie A
1- Le circuit est à la résonance d’intensité ?
Puisque u(t) et uRo(t) sont en phase donc φu - φi donc le circuit est à la résonance
d’intensité
2- a- La fréquence propre d’oscillateur.
Comme le circuit est à la résonance d’intensité donc T = To = 5.1,25.10-3 = 6,25.10-3s
Et No =
1
T0
=
1
= 160Hz
6,25.10 −3
No = 160Hz
b- La valeur de l’inductance L de la bobine.
On a To = 2.π. L. C ce qui donne L =
T 20
4.π 2 .C
=
(6,25.10 −3 )2
4.π 2 .2,5.10 −6
= 0,395H ;
L = 0,4H
3- a- L’intensité maximale fournie par le générateur.
On a Ucm =
1
Im avec ω = 2.π.N = 320.π rad.s-1
C.ω
ce qui donne Im = C.ω. Ucm = 2,5.10-6.320.π. 31,85=
Im = 0,08A
b- Les valeurs de Ro et de r.
Ro =
U Rom
Im
=
8
Ro = 100Ω
0,08
À la résonance Um = (Ro + r).Im ce qui donne r =
c- Soit Q =

Im
– Ro =
10
0,08
– 100 ; r = 25Ω
U cm
Um
Q?
Le rapport Q =

Um
U cm
Um
à la résonance est le facteur de surtension
La valeur de Q.
Q=
U cm
Um
=
31,85
10
Q = 3,18
Puisque Q > 1 donc le circuit est le siège de surtension : (Ucm > Um)
Partie B :
1- La nature de circuit
Puisque N2 < No ; ω2 < ωo donc ω22 < ω2o
le circuit est capacitif
2- L’expression de l’intensité instantanée i(t).
i(t) = Im.sin(ω.t + φi)
ω=?
ω22 <
1
par suite L.ω <
L.C
1
C.ω
donc
ω = 2.π.N2 = 244.π rad.s-1
Im = ?
Um
Im =
Z
Um
=
Ro +r
1
C .ω
2+
– L.ω
2
Attention : calculer chacune des impédances
seule afin de simplifier le calcule et ça se
servira pour la construction de Fresnel
Soient
1
C.ω
1
=
L.ω.Im = 12,6V
= 521,82Ω
2,5.10 −6 .244.π
et L.ω = 0,4.244.π = 306,62Ω
10
Im =
125
2+
10
125
2+
2
215,2
521,82 – 306,62
;
2
=
Im = 0,04A
φi = ?
Ro.Im = 4V
r.Im = 1V
Pour trouver φi on peut chercher tan (φi – φu).
On a tan (φi – φu) =
1
C .ω
– L.ω
Ro +r
=
φi =
π
3
521,82 – 306,62
125
= 1,7216 ce qui donne φi – φu = 60°
Et comme φu = 0 donc φi =
𝛑
𝟑
𝛑
i(t) = 0,04.sin(244.π.t + )
𝟑
i en A et t en s
Um = 10V
1
3- L’équation différentielle en
i(t).
C.ω
Im = 20,87V
D’après la loi des mailles
uRo(t) + ub(t) + uc(t) = u(t)
L.di
Ro.i + ri + L.
dt
1
+ . i. dt = u(t)
c
Axe des phases
4- La construction de Fresnel
La solution de cette équation différentielle est i(t) = 0,04.sin(244.π.t +
π
3
)
π
À Ro.i on associé le vecteur de FresnelV1 : [Ro.Im, φi] = [4V , + ]
3
π
À r.i on associé le vecteur de Fresnel V′1 : [r.Im, φi] = [1V , + ]
3
À L.
L.di
dt
1
À .
c
𝜋
5.π
2
6
on associé le vecteur de Fresnel V2 : [L.ω.Im, φi + ] = [12,26V , +
i. dt on associé le vecteur de Fresnel V3 : [
1
C.ω
𝜋
π
2
6
]
.Im, φi - ] = [20,87V , - ]
À u(t) on associé le vecteur de FresnelV4 : [Um, φu] = [10V , 0]
5- La puissance moyenne échangée par ce circuit.
1
1
π
2
2
3
Pmoy = .Um.Im.cos(φi – φu) = .10.0,04.cos( )
Pmoy = 0,1watt
6- La quantité de chaleur dissipée par le circuit pendant 5mn.
Wth = Pmoy.t = 0,1.5.60
Wth = 18J
Partie C :
 La valeur maximale Im
On a Im =
Um
Z
Um
=
Ro +r
2+
1
C .ω
– L.ω
2
Um
Im =
Ro +r
2+
1
C .2.π .N
– L.2.π.N
2
On remarque que pour N = 0, Im tend vers 0
et lorsque N tend vers l’infini, Im tend vers 0
et Im est maximale lorsque
1
C.2.π.N
– L. 2. π. N = 0 ce qui donne N 2 =
suite Im est maximale pour N = No =
à ces conditions Im =
1
2.π L.C.
=
Um
Ro +r
 Pour Ro = 100Ω, Im =
 Pour Ro = 500Ω, Im =
10
125
10
525
Im = 0,04A
Im = 0,019A
1
2.π 0,4.5,3.10 −7 .
1
4π 2 L.C.
= N02 par
No = 345,66Hz
 La valeur maximale Ucm Pour Ro = 100Ω,
On a i(t) = Im.sin(ω.t + φi) uc(t) = Ucm.sin(ω.t + φc)
i(t) =
dq
dt
=
dC .uc
dt
π
= C.ω. Ucm.sin(ω.t + φc + )
2
ce qui donne Im = C.ω. Ucm et par suite Ucm =
Im
C.ω
Um
=
C.ω.
Ro +r
1
C .2.π .N
2+
– L.2.π.N
2
Um
=
C.
Ro +r
2
2 (2.π.N)2 + 1 – L.(2.π.N)2
C.
On remarque que pour N = 0, Ucm = Um = 10V
Et lorsque N tend vers l’infini, Ucm tend vers 0
Et Ucm est maximale lorsque Ro + r
Donc lorsque
d
[ Ro + r
dN
Soit : 2. Ro + r
2
2
2
2. π. N
(2. π. N)2 +
1
C.
2
+
C.
– L. 2. π. N
2
2
est minimale
2
– L. (2. π. N)2 ] = 0
(2. π. )2 N +2.2.( – L. (2. π. )2 N).
Simplifier par 2.(2. π. )2 N On aura
1
Ro + r
2
1
C.
– 2. L.
– L. (2. π. N)2 = 0
1
C.
– L. (2. π. N)2 = 0
2
Ro + r
L
- 2. C. + 2. L2 . (2. π. N)2 ce qui donne la fréquence de la résonance de la tension
L
aux bornes du condensateur et par suite de la charge. Nr2
1
(2.π.)2 LC .
−
Ro +r
2
𝐍𝐫𝟐 = 𝐍𝐨𝟐 −
2.L 2 .(2.π.)2
345,662 −
 Pour Ro = 100Ω, Nr =
𝐑𝐨+𝐫
C.
Ro +r
125
𝟓,𝟑.𝟏𝟎
.
125
1
𝟓,𝟑.𝟏𝟎−𝟕 .
525
C.
Ro +r
2
2
2 (2.π.N)2 + 1 – L.(2.π.N)2
C.
525 2 (2.π.312,44 )2 +
1
𝟓,𝟑.𝟏𝟎−𝟕 .
= 312,44Hz et
=
10
𝟓,𝟑.𝟏𝟎−𝟕 .
Ucm = 69,71V
2
2.0,4 2 .(2.π.)2
Um
Ucm =
= 343,87Hz et
=
– 0,4.(2.π.343,87)2
345,662 −
 Pour Ro = 500Ω, Nr =
=
2
2.0,4 2 .(2.π.)2
2
2 (2.π.N)2 + 1 – L.(2.π.N)2
C.
2 (2.π.343,87 )2 +
2.L 2 .(2.π.)2
𝟐
10
−𝟕
2
𝟐.𝐋𝟐 .(𝟐.𝛑.)𝟐
Um
Ucm =
=
2C − Ro +r
– 0,4.(2.π.312,44)2
On remarque que
lorsque Ro + r est
faible la résonance est
aigüe et la fréquence
de résonance de la
tension uc(t) et par
suite de la charge est
légèrement inférieure
à No et pour Ro + r
importante
la
résonance est floue et
la
fréquence
de
résonance
de
la
tension uc(t) et par
suite de la charge est notamment inférieure à No.
2
Ucm = 17,36V
Exercice 4
1. a. Correspondre chacune des courbes à sa tension.
Pour la fig1 :
La seule tension parmi les trois qui peut être en phase avec u(t) est u Ro(t) et comme
URom < Um et l’amplitude de la courbe Ca est plus importante que celle de Cb donc la courbe
Ca représente u(t) et Cb représente uRo(t).
Pour la fig2 :
La seule tension parmi les trois qui peut être en avance de phase par rapport à u(t) et dont son
amplitude peut être plus importante que celle de u(t) est u b(t) et comme Cc est en avance de
phase par rapport à Ca ayant une amplitude plus importante que celle de Ca donc la courbe
Ca représente u(t) et Cc représente ub(t).
Pour la fig3 :
Par élimination la courbe Ca représente u(t) et Cd représente u c(t).
b. Nature du circuit.
Puisque u(t) et uRo(t) sont en phase alors le circuit est à la résonance d’intensité.
c. Les expressions des tensions en fonctions de temps.

La tension u(t).
u (t) = 10.sin (ω.t + φu)
Le circuit est à la résonance donc N = No =
1
T0
=
1
1.10 −3
= 1000Hz
ωo = 2.π.No = 2000.π rad.s-1
φu = ?
Pour notre cas u(t) = Um pour la première fois à t =
T
4
; on remplace ω par
2.π
T
l’expression de u(t) :
T
u( ) = Um.sin (
4
2.π T
T
.
4
T
+ φu) et u( ) = + Um
4
π
π
π
2
2
2
Donc sin ( . + φu) = +1 ce qui donne ( . + φu) =
et par suite φu = 0rad
On regroupe u (t) = 10.sin (2000.π.t). u(t) en V et t en second
 La tension uR(t)
uR(t) = URm.sin (ω.t + φi) ; avec et URm = 5,V et
φi = ?
Puisque le circuit est à la résonance donc φu = φi = 0rad
T
et t par 4 dans
Donc
uR(t) = 5.sin (2000.π.t )
 ub(t) = Ubm.sin (ω.t + φb) ;
Avec ω = 2000.π rad.s-1 et
Ubm = 11V
φb = ?
Puisque on a trouvé φu donc on cherche la valeur du déphasage afin de trouve φb
Δφ = φb - φu = +ω.Δt Attention φb > φu pour cela Δφ > 0
Et Δt est représenté par = 0,7 div et chaque div représente 0,25ms donc Δt = 0,7.0,25.10-3s
Δt = 0,175.10-3s
Δφ = φb - φu = 2000.π. 1,75.10-3s = 0,35.π rad et comme φu = 0 donc φb = 0,74.π rad
On regroupe ub(t) = 13.sin (200.π.t + 0,35.π).

ub en Volt et t en second
uc(t) = Ucm.sin (ω.t + φc) ;
Avec ω = 2000.π rad.s-1 et Ucm = 21V
φc = ?
Puisque on a trouvé φu donc on cherche la valeur du déphasage afin de trouve φc
Δφ = φu - φc = +ω.Δt Attention φu > φc pour cela Δφ > 0
Et Δt est représenté par = 1 div et chaque div représente 0,25ms donc Δt = 0,25.10-3s
Δφ = φu - φc = +2000.π. 1 10-3s = 0,5.π rad et comme φu = 0 donc φc = - 0,5.π rad
π
On regroupe uc (t) = 21.sin (200.π.t - ).
uc en Volt et t en second
2
2. D’après la loi des mailles
L.di
uRo(t) + ub(t) + uc(t) = u(t) avec ub = ri + L.
dt
La construction de Fresnel
À uRo(t) on associé le vecteur de FresnelV1 : [URom, φi]
= [5V , 0]
Et on a à la résonance Um = URom + r.Im ce qui donne r.Im = 5V donc
À r.i on associé le vecteur de Fresnel V′1 : [r.Im, φi] = [5V , 0]
𝜋
π
2
2
À uc(t) on associé le vecteur de Fresnel V2 : [Ucm, φi - ] = [10 , - ]
Et comme le circuit est à la résonance donc Ucm =
À L.
L.di
1
C.ω o
.Im = L.ωo.Im donc
𝜋
π
2
2
on associé le vecteur de Fresnel V3 : [L.ωo.Im, φi + ] = [10 , + ]
dt
À u(t) on associé le vecteur de FresnelV4 : [Um, φu] = [10V , 0]
(Voir la construction de Fresnel sur la page suivante)
3. On donne L = 15,8mH. Déterminer :
a. L’expression de l’intensité i (t).
i(t) = Im.sin(2000.π.t + φi) avec φi = φu = 0 et
Im =
10
L.ω o
=
10
1
C.ω o
.Im = L.ωo.Im = 10V ce qui donne
= 0,1A
0,0158.2000.π
i(t) = 0,1.sin(2000.π.t) i en A et t en s
b. Les impédances
Um
Z, de circuit
Z=
Zc, de condensateur
Zc =
Zb, de la bobine
Zb =
=
Im
Ucm
10
=
Im
Ubm
=
Im
Z = 100Ω
0,1
10
Zc = 100Ω
0,1
11
Zb = 110Ω
0,1
c. La capacité C du condensateur.
Zc =
1
C.ω o
ce qui donne C =
1
Zc .ω o
=
1
100.2000.π
C = 1,5.10-6F
d. Les résistances
 Ro de résistor
 r de la bobine
r = Z – Ro
Ro =
U Rom
Im
=
5
0,1
Ro = 50Ω
à la résonance l’impédance du circuit est Z = Ro + r
r = 100 - 50
r = 50Ω
ce qui donne
a. Le facteur de surtension
Q=
U cm
Um
à la résonance Q =
10
10
Q=1
b. Conclusion
Puisque le facteur de surtension est égale à 1 donc à la résonance Ucm = Um et le circuit n’est
pas le siège de phénomène de la surtension.
5. Conservation de l’énergie électromagnétique.
L.di
On a l’équation différentielle en i(t) : Ro.i + ri + L.
en fonction de. (Ro+ r ).
Et on a E = EL + Ec =
dq
dt
d2 q
+ L.
d2 t
+
q
c
dt
1
+ . i. dt = u(t) qui s’écrit
c
= u(t)
1
11 2
.L.i 2 
q
2
2C
1
di 1 1
dq
d 2q q
d 2q q
dE
= .L.2.i. 
2.q.
 L.i 2  .i  i( L 2  ) = i(u(t) – (Ro + r)i) d’après
2
dt 2 C
dt
C
C
dt
dt
dt
l’équation différentielle ; or à la résonance u(t) = (Ro + r)i donc
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0 et par suite l’énergie électromagnétique se conserve à la résonance
On doit représenter la construction de Fresnel sur cet axe des phases ; le problème qu’on le
rencontre est sa position au début de la page donc on ne trouve pas l’espace suffisant pour
𝜋
représenter le vecteur V3 : [L.ωo.Im, φi + ].
2
𝜋
Pour débarrasser de ce problème on doit représenter le vecteur V2 : [Ucm, φi - ] avant V3
2
Um = 10V
Axe des phases
+
RoIm = 5V
r.Im = 5V
L.ωo.Im = 10V
Ucm = 10V