TD T3

Bilans entropiques -­‐ Second principe de la thermodynamique Exercice 1 : Equilibres thermiques d’un solide 1) Contact thermique de deux solides On considère deux solides, modélisés par le modèle de la phase condensée idéale. Les deux solides sont indéformables, de capacités thermiques respectives 𝐶! et 𝐶! et de températures respectives 𝑇! et 𝑇! . Ces deux solides sont mis en contact thermique, c’est-­‐à-­‐dire qu’ils sont placés côte à côte dans une enceinte vide dont les parois sont athermanes. On supposera que 𝐶! et 𝐶! sont constants dans le domaine de température considéré. On suppose les transformations infiniment lentes et mécaniquement réversibles. a) Exprimer la température d’équilibre 𝑇! des deux solides. Que vaut 𝑇! si 𝐶! ≫ 𝐶! ? si 𝐶! = 𝐶! ? b) On s’intéresse au cas où 𝐶! = 𝐶! . Exprimer la variation d’entropie du système constitué des deux solides. La transformation est-­‐elle réversible ? 2) Contact thermique entre un solide et un thermostat On considère un solide, indéformable, de masse 𝑚 = 100 g et de capacité thermique massique 𝑐 = 460 J.K-­‐1.kg-­‐1, en équilibre à la température 𝑇! = 350 K. Ce solide est placé dans un thermostat de température 𝑇! = 280 K. a) Quelle est la température finale 𝑇! du solide lorsqu’il a atteint son nouvel état d’équilibre. b) Calculer la variation d’énergie interne du solide lorsqu’il a atteint son nouvel état d’équilibre. c) Calculer la variation ∆𝑆 de son entropie. d) Calculer l’entropie d’échange 𝑆! et l’entropie créée 𝑆! . Commenter. Exercice 2 : Compression irréversible d’un gaz parfait 𝑛 moles d’un gaz parfait sont contenues dans un cylindre vertical, comportant un piston mobile de section S constante et de masse négligeable. Les parois du cylindre et du piston sont diathermanes et le milieu extérieur est caractérisé par une température 𝑇! et une pression 𝑃! constantes. Initialement, le gaz est à l’équilibre et occupe un volume 𝑉! . On place sur le piston un poids de masse M et on attend qu’un nouvel état d’équilibre soit atteint. On note 𝑉! le volume occupé par le gaz dans cet état et on pose 𝑥 = 𝑉! /𝑉! . 1) Exprimer la variation d’entropie du gaz, l’entropie échangée par le gaz ainsi que l’entropie créée en fonction de 𝑛, 𝑅 et 𝑥. 2) Justifier l’irréversibilité de la compression. Exercice 3 : Chauffage par l’intermédiaire d’un thermostat On considère un kilogramme d’eau, initialement à la température 𝑇! = 20 °C. Ce système est mis en contact avec un thermostat de température 𝑇! = 80 °C. L’eau sera supposée incompressible, de capacité thermique massique 𝑐 = 4,18 J.K-­‐1.g-­‐1, supposée constante dans l’intervalle de température considéré. 1) On attend suffisamment longtemps pour que l’équilibre thermodynamique soit atteint. Exprimer puis calculer la variation d’entropie de l’eau. 2) Exprimer puis calculer l’entropie échangée par l’eau, puis l’entropie créée. On utilise maintenant un thermostat de température intermédiaire 𝑇! = 50 °C et on procède en deux étapes : chauffage de 𝑇! à 𝑇! puis chauffage de 𝑇! à 𝑇! . 3) Pour chacune des deux étapes, on attend suffisamment longtemps pour que l’équilibre thermodynamique soit atteint. Calculer la variation d’entropie de l’eau. 4) Calculer l’entropie échangée par l’eau, puis l’entropie créée. Comparer à la procédure précédente. 5) Comment faudrait-­‐il procéder pour espérer chauffer réversiblement l’eau de 𝑇! à 𝑇! ? Exercice 4 : Transformations couplées On considère un cylindre horizontal, séparé en deux compartiments (notés A et B, de volumes respectifs 𝑉! et 𝑉! , de températures respectives 𝑇! et 𝑇! et de pressions respectives 𝑃! et 𝑃! ) par un piston. On suppose que les parois du cylindre ainsi que le piston sont parfaitement calorifugés. Chaque compartiment contient la même quantité 𝑛 d’un gaz parfait de coefficient 𝛾 = 𝐶!" /𝐶!" . Données numériques : 𝛾 = 5/3, 𝑅 = 8,31 J.K-­‐1.mol-­‐1, 𝑉 = 𝑉! + 𝑉! = 5,00. 10!! m! avec 𝑉! = 4𝑉! à l’état initial. De plus, 𝑇! = 𝑇! = 𝑇! = 289 K et 𝑃! = 𝑃! = 24. 10! Pa. 1) Exprimer puis calculer la quantité 𝑛 de gaz contenu dans A et B. 2) Calculer la pression initiale 𝑃! . On débloque le piston et ce dernier se déplace sans frottements jusqu’à l’équilibre mécanique. 3)
4)
5)
6)
7)
Etablir la relation entre les variations d’énergie interne ∆𝑈! et ∆𝑈! du gaz dans A et B. A l’état final, l’écart de température ∆𝑇 = 𝑇!! − 𝑇!! = 130 K. Déterminer 𝑇!! et 𝑇!! . Calculer la pression 𝑃!! et le volume 𝑉!! du gaz dans le compartiment A. Calculer les variations d‘entropie ∆𝑆! et ∆𝑆! du gaz dans les compartiments A et B. La transformation est-­‐elle réversible ou irréversible ? Exercice 5 : Chauffage par une résistance électrique On considère un cylindre horizontal, séparé en deux compartiments (notés A et B, de volumes respectifs 𝑉! et 𝑉! , de températures respectives 𝑇! et 𝑇! et de pressions respectives 𝑃! et 𝑃! ) par un piston vertical, adiabatique et pouvant se déplacer sans frottement. Les parois du cylindre sont supposées rigides et parfaitement calorifugées. Chaque compartiment contient la même quantité d’un gaz parfait diatomique, initialement dans chaque compartiment à la pression 𝑃! = 1,00 bar, à la température 𝑇! = 300 K et occupant un volume 𝑉! = 1,000 L. Le gaz diatomique est caractérisé par un coefficient 𝛾 = 𝐶!" /𝐶!" = 7/5. Un générateur électrique fournit une énergie au gaz A par l’intermédiaire d’un conducteur ohmique, de résistance 𝑅! = 10 Ω et de capacité thermique négligeable. Ce conducteur est parcouru par un courant d’intensité 𝐼 = 1 A, pendant une durée 𝑡 au bout de laquelle le volume de gaz A atteint la valeur 𝑉!" = 1,100 L. La transformation subie par le gaz B dans le même temps est supposée réversible. L’état final de cette évolution est défini par les valeurs : 𝑉!" , 𝑉!" , 𝑃!" , 𝑃!" , 𝑇!" et 𝑇!" . 1) Calculer la pression finale dans chacun des compartiments. 2) Déterminer la température finale dans chacun des compartiments. 3) Calculer le travail reçu par le gaz du compartiment B. 4) Déterminer la durée 𝑡 . 5) Calculer les variations d‘entropie ∆𝑆! et ∆𝑆! des gaz dans les compartiments A et B au cours de cette transformation.