«Existe-t-il une spirale d`Ekman de fond?»

Université de la Méditerranée
Centre d'Océanologie de Marseille
L3 Science de la Mer et de l‘Environnement
Année 2009-2010
«Existe-t-il une spirale d'Ekman de fond?»
Méthode d’analyse des « Mean Squared Error » d’une spirale
d’Ekman observée à partir des données de Portofino.
UE21- Projet Modélisation
Par Romain BRICOUT
Tuteur : Doglioli A. M.
Sommaire :
Résumé/ Abstract…………………………………………………….……………………….............1
Introduction……………………………………………………………...........................................2
1. Concept de la spirale d’Ekman de fond……………………………………………………3
1.1. Courants avec frottement……………………………………………………………………3
1.2. Equations de mouvement……………………………………………………………………3
1.2.1. Equations d’Ekman de fond………………………………………………………….4
1.2.2. Approximations des équations………………………………………………………..7
2. Matériel et méthodes………………………………………………………………………….7
2.1. Une méthode innovante : l'observation par le S.E.P.T.R …………………………………...7
2.2. Analyse des données………………………………………………………………………...8
3. Résultats et discussion………………………………………………………………………10
3.1. Données enregistrées par le S.E.P.T.R……………………………………………………..10
3.2. Traitement des profils d’intensité………………………………………………………….10
3.2.1. Représentation théorique de la spirale d’Ekman de fond…....….………………….10
3.2.2. Représentation des données mesurées………………………………………………11
3.3. Analyses et interprétations…………………………………………………………………13
Conclusion……………………………………………………………………………..………...15
Bibliographie…………………………………………………………………………….………….16
Résumé
Dans la réserve marine de Portofino, en Italie, fut expérimenté un système S.E.P.T.R (new system
for marine coastal monitoring in real time configuration) dévoilant des tourbillons dans la zone du
promontoire côtier. Ces tourbillons possédaient une circulation Sud Ouest, supposant un sens
anticyclonique. Ce phénomène physique correspondrait à l’existence d’une spirale d’Ekman de
fond. Avec les données récoltées et les équations théoriques de la spirale d’Ekman de fond, les
valeurs mesurées du tourbillon peuvent être modélisées et interprété par la méthodes des « Mean
Squared Error ». A partir de là, les valeurs mesurées pendant la campagne de Portofino seront
comparées aux valeurs théoriques de la spirale d’Ekman, afin d’améliorer et de procéder à une
estimation la plus précise des paramètres réelles. Ces résultats montreront que l’approche théorique
de cette spirale d’Ekman de fond reste proche des valeurs mesurées in situ.
Abstract
In the marine reserve of Portofino, Italy, was an experienced system SEPTR (new system for
marine coastal monitoring in real time configuration) revealing the vortices in the coastal
promontory area. These eddies had a circulation South West, assuming a sense of high pressure.
This physical phenomena corresponds to the existence of an bottom Ekman spiral. With the
collected data and theoretical equations of the bottom Ekman spiral, the measured values of the
eddies can be modeled and estimated by Mean Squared Error. From there, the values measured
during the campaign of Portofino will be compared with theoretical values of the Ekman spiral in
order to improve and make an estimate the more precisely possible of the real parameters. These
results show that the theoretical approach of the bottom Ekman spiral is close to values measured in
situ.
1
Introduction
Lors de l’expédition du Fram (1893-1896) pour tenter de rejoindre le Pôle Nord, le norvégien
Fridtjof Nansen observa que son navire pris dans le pack arctique dérivait systématiquement à
droite de la direction du vent (Ekman, 1905). Nansen fit part de ces résultats au suédois Vagn
Walfrid Ekman qui, en 1902, démontra que cette dérive était liée à l’équilibre entre la tension du
vent en surface et la force de Coriolis. Ces forces agissent sur le transport de toute la masse d’eau
qui est alors mise en mouvement.
Dans le cadre d'une coopération entre l’université de Gênes et l'aire marine protégée de
Portofino, une campagne océanographique a été menée en Italie à Cala dell'Oro en 2003, puis à
Porto Pidocchio en 2005. Cette étude a permit de recueillir de multiples données sur la structure
chimique, physique et biologique du promontoire côtier. L’originalité de cette campagne fut dans
l’expérimentation d’un système expérimental, le S.E.P.T.R (« new system for marine coastal
monitoring in real time configuration »), permettant de récolter de multitudes données par ADCP
(Acoustic Doppler Current Profiler) dressant ainsi les profils de la colonne d’eau côtière.
Après l’analyse des données des différentes sondes, une circulation d’eau Sud Ouest a été observée,
suggérant l'existence d'un tourbillon anticyclonique. Ce phénomène physique pourrait s’expliquer
par l’existence d’une spirale d’Ekman de fond engendrée par des conditions physiques particulières.
Ce tourbillon pourrait avoir un effet important sur l'écologie de cette zone côtière. Il permettrait, en
effet, le transport de matière organique et l’apport d’éléments nutritifs.
Grâce aux simplifications des équations de Navier-Stokes, nous pouvons obtenir les caractéristiques
théoriques de la spirale d’Ekman de fond. L'analyse des données de l’ADCP permettront de
comparer par la méthode des « Mean Squared Error », la théorie de la réalité. L'intermédiaire des
profils des écarts et des vitesses du courant géostrophique en fonction du temps permettront de
conclure sur l’existence d’une spirale d’Ekman de fond à Portofino.
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1. Concept de la circulation d’Ekman
1.1. Couche d’Ekman de fond
Si il existe un courant à l'intérieur de l'océan, il doit de même exister une « couche de frottement »
permettant de ramener la vitesse à zéro au contact du fond. Un argument qualitatif identique a celui
de Nansen permet de prédire que le courant est dévié vers la gauche dans la couche d'Ekman de
fond.
Au dessus de la couche d'Ekman de fond, le courant est en équilibre géostrophique avec la force de
Coriolis agissant à droite (hémisphère nord) et la force du gradient de pression agissant à gauche.
On suppose que l'écoulement est barotrope, donc que le gradient de pression ne dépend pas de la
profondeur. En s'approchant du fond, le frottement ralentit l'écoulement ; la force de Coriolis,
proportionnelle à la vitesse, diminue ; le gradient de pression n’est donc plus totalement équilibré.
L'écoulement est déviée vers la gauche jusqu'à ce que les forces de Coriolis et de frottement
puissent de nouveau équilibrer la force du gradient de pression (fig. 1).
Figure 1 : Diagramme du bilan des forces agissant sur la couche d’Ekman de fond (Daniault, 2005).
1.2. Les équations de mouvement
Les équations de Navier-Stokes sont une généralisation des équations d'Euler dans lesquelles les
forces de frottements sont prises en compte. Elles traduisent le fait que l'accélération de la particule
d'eau dépend de la résultante, par unité de volume, des forces en présence : la force de pression, la
force de Coriolis, la force liée à la gravité et la force de friction (viscosité).
Equation de Navier-Stokes :
3
Dans un repère terrestre local, cette équation peut s’écrire :
1.2.1. Equations d’Ekman de fond
Ekman, en 1902, formule la solution analytique de ce problème en partant des équations du
mouvement et en supposant plusieurs hypothèses : équations de mouvement linéarisées en état
stationnaire et avec frottement.
 Termes non linéaires :
A cause des termes non-linéaires, une faible perturbation peut induire une grande fluctuation. Ces
termes peuvent engendrer une instabilité quand ils sont « suffisamment grands ».
Les termes d'advection sont non-linéaires ( du/dt = 0,…).
 Ecoulement stationnaire :
Une autre simplification des équations de la dynamique des fluides est de considérer toutes les
propriétés du fluide comme étant constantes dans le temps. Les équations de Navier-Stokes
deviennent alors :
On peut écrire les équations d’Ekman générales :
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La force de frottement horizontale, dont l'influence se répercute à l'intérieur de l'océan (selon la
direction Oz) par viscosité turbulente, peut s’écrire:
Avec
τ x et τy sont les composantes horizontales de la tension de frottement.
En supposant que le frottement résulte du seul cisaillement vertical de la vitesse, on a :
On a vu que les termes de frottement étaient négligeables à l'intérieur de l'océan. Mais si on veut
que l'océan "ressente" l'effet de la tension du vent, il doit exister une couche de surface dans
laquelle les termes de frottements doivent être pris en compte. Pour en estimer l'épaisseur, on écrit
que dans la couche d'Ekman, la friction équilibre la force de Coriolis :
Il y a, dans le systeme, deux forces génératrices : le frottement du vent et la force de pression. On
peut séparer les solutions (système linéaire) en
(Vitesse
Vitesse d'Ekman), tel que :
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Géostrophique
+
Posons : h = U + iV et hG = UG + i × VG , et effectuons l'opération (1) + i × (2). Il vient :
L'équation a une solution de la forme:
Avec
Plaçons nous au fond :
Prenons l'origine de l'axe des z dirigé vers le haut, au fond de l'océan: Si z  1, h  hG  K1 = 0.
Au fond, z = 0, et U = 0, V = 0, h = 0  K2 = - hG.
Avec
En décomposant la solution en une partie réelle et en une partie imaginaire :
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Finalement, après développement, la solution peut s'écrire:
Considérons l'écoulement géostrophique uniforme d'un fluide homogène sur fond plat ; on a
démontré que la solution dans la couche d'Ekman de fond s'écrit :
Avec pour conditions limites : U = V = 0 à z = 0 (au fond), et U = Ug ; V = Vg = 0 à l'intérieur de
l'océan pour z  ∞.
1.2.2. Approximation des équations
Les équations de la spirale d’Ekman de fond dépendent de quatre paramètres : Ug (courant
géostrophique), f (force de Coriolis), z (profondeur) , et Az (viscosité turbulente).
Les valeurs de Ug et z sont mesurées par l’ADCP du SEPTR, tandis que les valeurs de f et Az sont
approximées.
L’étude portant sur une très petite échelle (< 10 km), la force de Coriolis dans les équations
d’Ekman de fond sera approximée par le « plan f ». La latitude de Portofino étant de 44°, la force
de Coriolis est égale à : f = 2Ωsin(π/4) = 4π/86400 = 1,03.10-4 = 10-4 [rad.s-1].
Le coefficient de viscosité turbulente, Az, est déterminé par l’analyse des ordres de grandeurs des
équations de Navier-Stokes : Az = 10−2 [m2.s−2].
Ces valeurs seront retenues pour toutes les équations d’Ekman.
2. Matériel et méthodes
2.1. Une méthode innovante : l'observation par le S.E.P.T.R
Le S.E.P.T.R est une plate-forme sous-marine (fig. 3) armée d’un ADCP (Acoustic Doppler Current
Profiler), de plusieurs marégraphes, d’un réseau de capteurs de bruit ambiant, et d’un Messenger.
Le Messenger est un profileur de colonne d'eau, constitué d’un système de bouée qui abrite un
capteurs CTD effectuant automatiquement des profils verticales de température, et de concentration,
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avec un maximum de 360 profils (jusqu'à 12 par jour). Les résultats prélevés permettent d’acquérir
des profils de colonnes d’eaux avec un temps proche du réel.
Figure 3 : S.E.P.T.R, Shallow water Environmental Profiler in Trawl-safe Real-time (Ruggieri et
al., 2005).
2.2. Analyses des données
Un programme nommé « SEPTR ADCP data processing », à partir du logiciel Matlab, a été réalisé
grâce aux données récoltées par l’ADCP de Portofino en 2004 (annexe 1).
Dans ce programme, les données sont, dans une première partie, classées en fonction du temps et de
la profondeur, puis elles sont définies selon les composantes (Nord et Est) des vitesses du courant
en [cm.s-1]. Dans un deuxième temps, les données de la magnitude du courant sont filtrées et les
valeurs absurdes retirées (valeur >1000 cm.s-1 ou <0 cm.s-1), puis rangées par ordre chronologique.
Dans une dernière partie, les données des composantes du courant sont reclassées sur une durée de
six heures.
Un second programme permet de représenter un ensemble de profils (fig. 4) prédéterminé, sur
lequel la magnitude, la direction et les composantes des vecteurs U et V sont caractérisées.
A partir du programme source « SEPTR ADCP data processing », une réalisation théorique d’une
spirale d’Ekman de fond est possible. Les données mesurées par l’ADCP du SEPTR fournissent les
valeurs de l’intensité mesurée du courant géostrophique, sur une durée de 6 heures pendant 11
jours, et ainsi donnent l’intensité théorique de U et V.
La représentation de ces intensités sur cette durée ne peut confirmer l’existence d’une spirale
d’Ekman de fond. L’idée serait alors de pouvoir comparer les valeurs des intensités mesurées et les
valeurs de l’intensité théorique de la spirale d’Ekman de fond.
Pour pouvoir analyser la relation d'une variable par rapport à une ou plusieurs autres, l’utilisation
des mathématiques, notamment par la méthode de régression des moindres carrés, est nécessaire. Le
but étant d’estimer le modèle de régression de la spirale d’Ekman de fond, mesurée par un
ajustement mathématique du modèle de la spirale d’Ekman théorique de fond, en fonction des
données récoltées. A partir des valeurs mesurées, on cherche à calculer le paramètre Ug qui pourra
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reproduire au mieux les variations de la spirale d’Ekman de fond étudiée, c'est-à-dire la valeur qui
s'ajuste "au mieux" aux nuages de points.
Dans les équations théoriques de la spirale d’Ekman de fond, il y a quatre paramètres qui
interviennent :
Il s’agit du courant géostrophiques Ug, de la force de Coriolis f, de la viscosité turbulente Az, et de la
profondeur z. Sur ces quatre paramètres, seulement Ug peut être estimé, puisque f, Az, et z sont
approximés afin de simplifier les équations.
Malheureusement, parmi les valeurs mesurées, une cinquième variable s’intègre, le temps.
Effectivement, on a, pour un temps donné, des valeurs mesurées sur une colonne d’eau de 35 m.
Le fait de retrouver ce dernier paramètre rend le modèle non-linéaire et donc d’une complexité trop
avancée pour pouvoir estimer un modèle de régression.
Cependant, afin d’avoir une bonne approximation du modèle estimé, on peut rendre minimale la
somme des carrés des écarts des valeurs mesurées, appelé aussi « Mean Squared Error », par rapport
à la courbe théorique. Pour cela, on va rechercher pour quelles valeurs de Ug, les équations
théoriques de la spirale d’Ekman de fond passent au plus près des points mesurés.
Figure 4 : Profils de la colonne d’eau pour l’ensemble 465.
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3. Résultats et discussion
3.1. Données enregistrées par le S.E.P.T.R
D’après Ruggieri, l’acquisition des données de la sonde CTD, en Juillet et Août 2004, met en
évidence l'évolution d’une anomalie thermique dans la couche superficielle côtière marine. De plus,
les profils obtenus à partir de la sonde ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) montrent un
événement particulier affectant la structure de l'écoulement près du promontoire. Cet évènement
serait poussé par des conditions météorologiques ou des phénomènes océanographiques tels que le
vent et les tempêtes, créant ainsi une spirale d’Ekman (Ruggieri et al., 2005).
3.2. Traitement des profils de magnitude
Rappel : Les valeurs de Ug et z sont mesurées par la sonde ADCP du SEPTR.
La force de Coriolis à Portofino (44° de latitude) est : f = 2Ωsin(π/4) = 4π/86400 = 1,03.10-4 = 10-4
[rad.s-1], et le coefficient de viscosité turbulente est : Az = 10−2 [m2.s−2].
3.2.1. Représentation théorique de la spirale d’Ekman de fond
A partir des équations théoriques de la spirale d’Ekman de fond, la représentation du profil des
composantes des vitesses (U et V) montre bien l’existence d’un courant diminuant d’intensité avec
la profondeur (fig. 5).
Figure 5 : Intensité de la Spirale d’Ekman de fond théorique. En jaune, les valeurs les plus fortes et
en bleu, les valeurs les plus faibles.
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Cette observation est confirmée par la représentation en trois dimension de la spirale d’Ekman de
fond théorique. De plus, cette figure montre bien une déviation du courant vers la gauche
(Hémisphère Nord), ce qui rejoint les arguments de Nansen sur la prédiction d’une spirale d’Ekman
de fond déviée vers la gauche dans la couche de fond (fig. 6).
Figure 6 : Représentation 3D de la spirale d’Ekman de fond théorique.
Les valeurs du courant géostrophique mesurées par le SEPTR à Portofino sont en corrélation avec
les caractéristiques d’une spirale d’Ekman de fond. Il faut maintenant les comparer aux valeurs
mesurées.
3.2.2. Représentation des données mesurées
Les données mesurées fournissent des représentations assez « vagues », qui ne peuvent être
interpréter, puisque les valeurs des intensités de U et V sont représentées sur une durée de temps
allant de 1 à 258 heures (fig. 7). Ce qui donne 258 possibilités de comparaison avec les valeurs
théoriques précédentes. Cependant, en moyenne, une diminution de l’intensité est observable.
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Figure 7 : Intensité de la Spirale d’Ekman de fond mesurée. En jaune, les valeurs les plus
fortes et en bleu, les valeurs les plus faibles.
L’observation en 3D montre en moyenne une déviation de l’intensité vers la gauche (fig. 8).
Figure 8 : Représentation 3D de la spirale d’Ekman de fond mesurée. En jaune, les valeurs les plus
fortes et en bleu, les valeurs les plus faibles.
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La représentation des intensités des valeurs mesurées sont en accord avec les observation faite par
la spirale d’Ekman théorique. Cependant, ces observations sont insuffisantes pour confirmer la
mesure d’une spirale d’Ekman de fond à Portofino. Il est donc nécessaire d’aller plus loin dans
notre analyse.
3.3. Analyses et interprétations
Pour analyser les paramètres biaisant les équations de la spiral d’Ekman théorique par rapport au
valeurs mesurées, on utilise la méthode des « Mean Squared Error » entre les valeurs mesurées et la
courbe théorique (fig. 9).
Après analyse de la figure 9, en s’aperçoit d’une bonne homogénéité des écarts mais avec des
valeurs extrêmes, observé par des pics. Les écarts dans l’intervalle de temps [220-258] sont trop
irrégulier donc fausse les valeurs de l’intensité de la spirale d’Ekman.
L’écart minimum obtenue est de 102,0858 [cm.s-1]2 pour la date de 212 heures. L’estimation du
modèle de la spirale d’Ekman de fond est alors donnée pour un paramètre du courant géostrophique,
Ug = 7,9840 cm.s-1 (fig. 10).
La valeur du minimum est bornée par deux valeurs d’écarts extrêmes qui risque de biaiser l’écart du
minimum.
Figure 9 : Représentation des « Mean Squared Error ».
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Figure 10 : Représentation du courant géostrophique Ug.
La représentation du modèle estimé de la spirale d’Ekman de fond montre des écarts importants
malgré une « Mean Squared Error » minimale, on a donc un biais par les valeurs extêmes. (fig. 11).
Figure 11 : Représentation du modèle estimé de la spirale d’Ekman de fond.
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Pour pouvoir réduire ce biais, une interprétation des résultats des valeurs de l’intensité du courant
géostrophique Ug par rapport à la « Mean Squared Error » est nécessaire (fig. 12). La courbe
blanche représente les valeurs de la sommes des écarts au carré selon le temps, et le spectre de
couleur représente les valeurs du courant géostrophique allant du rouge, pour un fort courant, au
bleu foncé, pour un courant faible.
D’après la figure 12, on observe en moyenne des « Mean squared Error » faibles pour des courants
géostrophique faibles inférieure à 80 [cm.s-1], donnant une bonne estimation de la spirale d’Ekman
de fond. Pour un intervalle de temps compris entre 120 et 140 h, et un courant géostrophique
inférieure à 20 [cm.s-1] les écarts sont minimums. On a donc pour cet intervalle une représentation
de la spirale d’Ekman de fond théorique correspondante au mieux aux valeurs mesurées.
On observe également que lorsque le courant géostrophique est fort, ici en rouge, la somme des
écarts au carré est très importante. Une fois que la valeur de temps de 220 h est dépassée, il y a des
discontinuités dans les écarts, sûrement du à un paramètres externe, biaisant le modèle.
Les différentes variations de l’écart correspondent sûrement à une anomalie extérieure à la spirale
d’Ekman, par exemple la viscosité des couches d’eau environnante qui d’après Ekman peuvent
accélérer ou diminuer l’intensité d’un courant.
Figure 9 : Tendance du courant géostrophique par rapport au Mean Squared Error.
Figure 12 : Tendance du courant géostrophique / Mean Squared Error.
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Conclusion
Après la campagne du SEPTR dans l’aire marine protégée de Portofino durant l’été 2004, les
données ont dévoilé un tourbillon sur le promontoire côtier. L’explication la plus pertinente serait
l’existence d’une spirale d’Ekman de fond. Suite aux analyses des données recueillis par la sonde
ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler), une représentation de cette spirale fut possible.
Après l’étude de la sommes des écarts au carré (Mean Squared Error), une valeur du paramètre du
courant géostrophique fut trouvé, Ug = 7,9840 cm.s-1. Cependant suite au analyse des écarts, au
s’aperçoit que la valeur minimal de l’écart est bornée par des extrêmes qui ont tendance a biaiser les
résultats des écarts.
L’observations entre les valeurs du paramètre du courant géostrophique et les écarts montre une
corrélation entre ces deux courbes. L’estimation possédant un biais le plus faible est calculé pour un
intervalle de temps de [120-140] et pour un courant géostrophique inférieure à 40 [cm.s-1].
On peut donc conclure que la tendance de la « Mean Squared Error » montre, en moyenne, une
bonne estimation de la spirale d’Ekman, notamment lorsque la valeur du courant géostrophique est
faible. Pour aller plus loin dans la démarche, on pourrait estimer les autres paramètres intervenants
dans l’équations théorique d’Ekman de fond, comprenant la viscosité turbulente du milieu et la
force de Coriolis.
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Bibliographie
Daniault N., 2005. Océanographie Physique (V2). Ecole Navale, UM/LPO - UFR Sciences,
Université de Bretagne Occidentale.
Ekman V. W., « On the influence of the earth’s rotation on ocean currents », dans Ark. Mat. Astr.
Fys., vol. 11, no 2, 1905.
Ruggieri N., De Strobel F., Grand V., Gualdesi L., Carta A., Fioravanti S., Cattaneo-Viett V.,
Castellano M., Dogliol A., Povero A., 2005. New system for marine coastal monitoring in real time
configuration (SEPTR): application in a marine protected area (Portofino, Italy) Dipartimento per
lo Studio del Territorio e delle sue Risorse, Università degli Studi di Genova -Corso
Europa,Genova (Italy), Engineering Technology Department, SACLANT Undersea Research
Centre, Viale San Bartolomeo, La Spezia, Italy.
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