Devoir non surveillé de mathématiques no 5

Première S2
Pour le vendredi 13 janvier
Devoir non surveillé de mathématiques no 5
Exercice 1 :
Soit (un ) une suite définie pour tout entier naturel n.
1. L’algorithme ci-dessous permet de calculer le terme de rang N de la suite (un ).
Compléter le tableau suivant sachant que N = 5 :
i
1
2
3 ...
Début
Variables :
i et N sont des entiers
u est un réel
Entrée :
Saisir la valeur de N
Initialisation :
u prend la valeur 2
Traitement :
Pour i = 1 jusqu’à N Faire
u prend la valeur u + 3i − 8
Fin Pour
Sortie :
Afficher la valeur de u
Fin
2
u
En déduire la valeur de u5 .
2. Donner la valeur de u0 et exprimer un+1 en fonction de un . Retrouver la valeur de u5 .
3. Etudier la monotonie de la suite (un ).
Exercice 2 :
D
×
×
×C
×
B
1
u
u2
u3
×
×
×
O
×
A
1
Spirale de Pythagore
×
×
On appelle un , la longueur de l’hypoténuse du n-ème triangle rectangle dans la spirale de pythagore.
1. Calculer u1 , u2 et u3 . Justifier les calculs.
2. Conjecturer une formule explicite pour la suite (un ).
\ et COD.
\
3. Calculer une mesure en degré, à 10−2 près, des angles \
AOB, BOC
http://mathematiques.ac.free.fr
4. Le but de cette question est de déterminer le nombre de triangles rectangles nécessaires pour que la spirale
fasse au moins un tour complet.
a) Compléter l’algorithme ci-dessous.
Début
Variables :
N est un entier naturel
α est un réel positif (en degré)
Initialisation :
N prend la valeur 1
α prend la valeur 45˚
Traitement :
Tant que . . . . . . . . . . . . Faire
N prend la valeur N + 1
α prend la valeur α + . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fin Tant que
Sortie :
Afficher la valeur de N
Fin
b) En utilisant la calculatrice, déterminer le nombre minimal de triangles rectangles nécessaires pour que la
spirale de Pythagore fasse au moins un tour complet. (Il est possible de programmer sur calculatrice).
http://mathematiques.ac.free.fr