Devoir non surveillé de mathématiques no 5

Premi`ere S2Pour le vendredi 13 janvier
Devoir non surveill´e de math´ematiques no5
Exercice 1 :
Soit (un)une suite d´efinie pour tout entier naturel n.
1. L’algorithme ci-dessous permet de calculer le terme de rang Nde la suite (un).
D´ebut
Variables :
iet Nsont des entiers
uest un r´eel
Entr´ee :
Saisir la valeur de N
Initialisation :
uprend la valeur 2
Traitement :
Pour i= 1 jusqu’`a NFaire
uprend la valeur u+ 3i−8
Fin Pour
Sortie :
Afficher la valeur de u
Fin
Compl´eter le tableau suivant sachant que N= 5 :
i1 2 3 ...
u2
En d´eduire la valeur de u5.
2. Donner la valeur de u0et exprimer un+1 en fonction de un. Retrouver la valeur de u5.
3. Etudier la monotonie de la suite (un).
Exercice 2 :
u1
u2
u3
× ×
×
×
×
×
×
×
×
×
1
O A
B
C
D
Spirale de Pythagore
On appelle un, la longueur de l’hypot´enuse du n-`eme triangle rectangle dans la spirale de pythagore.
1. Calculer u1, u2et u3. Justifier les calculs.
2. Conjecturer une formule explicite pour la suite (un).
3. Calculer une mesure en degr´e, `a 10−2pr`es, des angles
\
AOB,
\
BOC et
\
COD.
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4. Le but de cette question est de d´eterminer le nombre de triangles rectangles n´ecessaires pour que la spirale
fasse au moins un tour complet.
a) Compl´eter l’algorithme ci-dessous.
D´ebut
Variables :
Nest un entier naturel
αest un r´eel positif (en degr´e)
Initialisation :
Nprend la valeur 1
αprend la valeur 45˚
Traitement :
Tant que ............Faire
Nprend la valeur N+ 1
αprend la valeur α+..................
Fin Tant que
Sortie :
Afficher la valeur de N
Fin
b) En utilisant la calculatrice, d´eterminer le nombre minimal de triangles rectangles n´ecessaires pour que la
spirale de Pythagore fasse au moins un tour complet. (Il est possible de programmer sur calculatrice).
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