Couche limite atmosphérique

Couche limite atmosphérique
Micrométéorologie
Théorie de la longueur de mélange
Prandtl, 1925
Conditions d’applicabilité:
1) neutralité statique;

0
z
2) le profil vertical des autres quantités moyennes
doit être une fonction linéaire de z

 cst
z
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation du flux d ’humidité
q
q  
z
z
u
u  
z
z
Stull, fig. 6.1
u

 0  w  cu
u

z
z
  w  c
u
z

 0  w  cu 

z
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation du flux d ’humidité
q
q  
z
z
u
w  c
z
z
 
E  R( Stull )  wq  c z 
 
z 2
2
u q
z z
Est la variance des déplacements turbulents de la
parcelle.
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation du flux d ’humidité
 
z 2
Est la variance des déplacements turbulents de la
parcelle.
Signification physique ???
 
2

l c z
Longueur de mélange turbulent
u q
q
E  R( Stull )  wq  l
 KE
z z
z
2
u
KE  l
z
2
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation du flux d ’humidité
u
KE  l
z
2
Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec
le cisaillement (intensité de la turbulence)
Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec la longueur
de mélange, c ’est-à-dire, l ’efficacité de la turbulence à
mélanger les parcelles d ’air des divers niveaux.
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation de la longueur de mélange
dans la couche de surface neutre
La présence de la surface limite la taille des tourbillons:
la longueur de mélange est considérée proportionnelle à
la distance à la surface :
l2  k 2 z2
u
KE  k z
z
2 2
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrisation de la longueur de mélange
dans la couche de surface stable
Delage, 1974
1 1
1

 

1
l kz 0.0004Gf
kLL
G  Intensité dela vitesse géostrophique
  constante
L L  Longueur locale de Obukhov
(mesure de stabilité)
Théorie de la longueur de mélange
Limitations
u
w  c
z
z

    z0  
z
Cette hypothèse est valide seulement
dans le cas ou la couche est statiquement
neutre
 z  z0 
z0
Profils linéaires.
Approximation de Taylor
d ’ordre 1 ...
Fermeture locale en cas de petits turbillons
(Small eddy theory)
Couche de surface
z  25 m
+ orientation de l ’axe de x
selon la direction du mouvement


0  f v  vg 
  u



w
'
u
'


z  z

0
  v



w
'
v
'


z  z

La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de
viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche
de surface homogène et stationnaire
Couche de surface
0
z  25 m
  u



w
'
u
'


z  z

Dans l ’atmosphère, en dehors de la couche visqueuse
 
  u 

w'u '
   
z  z 
z
Dans la couche de surface le flux de quantité de mouvement
ne dépend pas de z.

w 'u '  0
z


w ' u '  cst.
Dans la couche de surface
Couche de surface

z  25 m

Soit   w ' u ' s   0 la force de contrainte exercé à la surface
par les fluctuations turbulentes.
On défini une échelle de vitesse caractéristique de
la couche de surface par:

u* 
0

w ' u '  u*2
KM
u
 u*2
z
u
KM  k z
z
2 2
k 2 z 2
u u
 u*2
z z
Couche de surface
z  25 m
 u 
k 2 z 2    u*2
 z 
2
 u  u*
 
 z  k z
z0
u*  z 
u  ln  
k  z0 
Paramètre de rugosité : hauteur à laquelle
la vitesse moyenne s ’annule.
Paramètre de rugosité
z0 Paramètre de rugosité :
hauteur à laquelle
la vitesse moyenne s’annule.
Type de surface
z0 (cm)
glace
sable
neige
herbe courte
herbe moyenne
herbe haute
0.001
0.01 - 0.1
0.1 - 0.6
0.6 - 1.0
1.0 - 4.0
4.0 - 10.0
Transparent pp 380, Stull
u*  z 
u  ln  
k  z0 
Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire

0  f  v  vg  
w ' u '
z

w ' u '  f  v  vg 
z

0   f  u  ug  
w ' v '
z

w ' v '  f  u  ug 
z







 
u 
K
 M
  f  v  vg 
z 
z 
 
v 
K
 M
  f  u  ug 
z 
z 



KM = ??? = constante
Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire
  u
KM 
z  z

  f  v  vg 

  v 
 K M    f  u  ug 
z  z 
Couche barotrope : ???
Vg  cst
La solution de ce système d ’équations différentielles couplées
s ’obtient en faisant un changement de variable
V  (u  u g )  iv
i  1
L ’axe des x est orienté
dans la direction du vent géostrophique
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
et barotrope. Axe des x selon la direction du
vent géostrophique
 u 
KM  2   f  v   0
 z 
2
  2v 
K M  2   f  u  ug   ug
 z 
V  (u  u g )  iv
Conditions frontières:
u ( z  0)  0
v ( z  0)  0
u ( z  )  u g
Solution, Holton, 1979
 e z

u  u g 1  e cos   e z  
 e z

v  u g e sin   e z  
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
barotrope :
 e z

u  u g 1  e cos   e z  
 e z

v  u g e sin   e z  
Les contraintes de surface ont
la même direction que le vent. ???
   
u   u w  vw 


2
*
2
2
1
2
1
2

u  
v  
  K M
   KM
 
z  
z  

z 0
2
2
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
barotrope :
u  u g 1  e
v  u g e
 e z
cos   e z  
sin   e z  
 e z
1
2



u

v

 

u*2   K M

K
  M
 

z

z
 
  z 0

2
  2 K

2
M
u  
g
 ug  K M f 
e
1
2
2
2


1
2
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
barotrope :
Selon cette solution les vents de
surface font un angle de /4 avec
le vent géostrophique
(dans l ’hémisphère nord, à gauche de celui-ci)
Les vents sont approximativement
géostrophiques quand
 ez  
La hauteur de la couche d ’Ekman
est alors:
 2K 

h  ze     M 
e
 f 
1
2
h
Odographe : la spirale d ’Ekman
(couche homogène, stationnaire et barotrope) :
 e z

u  u g 1  e cos   e z  
 e z

v  u g e sin   e z  
 f 
e  

2
K
 M
1
2
La spirale d ’Ekman : océan
En négligeant les gradients
de pression dans l ’océan
on a comme équations
de mouvement:
  2u 
K M ( océan )  2   f  v   0
 z 
  2v 
K M ( océan )  2   f  u   0
 z 
Choix d ’axe des x aligné avec les contraintes de surface u*(océan)
(océan )u*2( océan)  ( air )u*2( air )
Conditions
frontières
  2u 
K M (océan )  2   u*2( océan )
 z  z 0
 v 
  0
 z  z 0
u ( z  )  0
v ( z  )  0
La spirale d ’Ekman : océan
Couplage entre la circulation atmosphérique
et la circulation océanique
La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan
Atmosphère
u  u g 1  e  e z cos   e z  
v  u g e  e z sin   e z  
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Océan


2
u
 
*( océan )
 e e ( océan ) z sin  
u 
z

 e ( océan )

1


2 
4


  K M ( océan ) f  


2
u
  e ( océan ) z
 

*( océan )


v
e
cos   e ( océan ) z   
1



2 
4 

K
f


 M ( océan )

 e ( océan )


f


2
K
 M ( océan ) 
1
2
La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan
La spirale d ’Ekman : limitations du modèle.
Mesures de vent dans la couche d ’Ekman
Barocline ?
Neutre ?
K = constant ?
Homogène ?
Clarke, 1970
Caractéristiques de K
On sait que:
K varie avec z
K est propriété de l ’écoulement
K doit être proportionnelle à
l ’échelle de vitesse et à la taille
des tourbillons les plus énergétiques
KM ~ ul
K se comporte, tout proche de la
surface comme:
uw
KM 
 ku* z
u z
K ait des valeurs plus petits au
sommet de la couche limite
Caractéristiques de K
On sait que:
La flottabilité a une grande influence sur la valeur de K.
Sensibilité des tourbillons de tailles différentes
à la flottabilité :

 ( z  l )   ( z) 
l
z
l

z
 ( z)
Forces de flottabilité induites

 
l
z
 gl
 

z 
g
Caractéristiques de K
Forces de flottabilité induites :
Forces d ’inertie :
v2
l
g

 
 gl
destabilisantes
z 
stabilisantes
Le rapport entre ces deux forces =
 gl 2
z  v 2
Ainsi les tourbillons les plus grands ressentent le plus les
effets de la flottabilité
Couche de mélange convective
Grandes tourbillons
Dans l ’atmosphère réelle il y a des situations où les flux
sont contre le gradient
Kh doit être négatif ???
La théorie de longueur de mélange
de Prandtl ne s ’applique pas...
Des grands tourbillons ...
Couche de mélange convective
Grandes tourbillons
Deardoff, 1966
 



u w  Kh 
 c 
 z

K h  0,  c ~ 0.7 103 0Cm1