Simulation colonnes de Taylor

Colonnes de Taylor-Proudman et couche d’Ekman
dans un fluide visqueux en rotation
Réouven Assouly
Arnault Raymond
Cours de physique numérique (M1)
2016-2017
Sommaire
1
Introduction
Colonnes de Taylor-Proudman
Couche d’Ekman
2
Problème 2D
Objectifs et approximations
Géométrie et perturbation
Calcul de la pression
Observation de la couche d’Ekman
Bilan du modèle 2D
3
Problème 3D
Différences avec le modèle 2D
Traitement du Laplacien
Complexité des calculs
Bidimensionalisation de l’écoulement
Limites du modèle et alternatives
4
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Introduction
Figure – 2 phénomènes caracéristiques des fluides en rotation
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Colonnes de Taylor-Proudman I
Dans le référentiel en rotation :
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0
∂t
∂u
−1
+ (u · ∇)u + Ω × (Ω × r) =
∇P + ν∇2 u − 2Ω × u − g
∂t
ρ
Après adimensionnement :
∂ ũ
−1
Ek 2
2
+ (ũ · ∇)ũ =
∇P 0 + ∇φ̃0 +
∇ ũ −
Ω̃ × ũ
∂t
ρ
Ro
Ro
Hypothèses :
Ek Ro 1
Fluide incompressible
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Colonnes de Taylor-Proudman II
On obtient alors :
1
2
− ∇P 0 =
Ω̃ × ũ − ∇φ̃0
ρ
Ro
∇ · ũ = 0
On prend le rotationnel de l’équation.
Théorème (Taylor-Proudman)
Un fluide incompressible non visqueux vérfie
∂ ũ
=0
∂z
dans la limite Ro 1.
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Couche d’Ekman I
Hypothèses
Ro ≈ Ek 1
Fluide incompressible
Quite à redéfinir la pression, on peut inclure le terme d’énergie
potentielle dans la pression.
1 ∂P 0
Ek ∂ 2 u˜x
+
ρ ∂x̃
Ro ∂z̃ 2
0
1 ∂P
Ek ∂ 2 u˜y
2u˜x = −
+
ρ ∂ỹ
Ro ∂z̃ 2
1 ∂P 0
0=−
ρ ∂z̃
−2u˜y = −
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Couche d’Ekman II
Conditions aux limites
∂ũx
= τx et
∂z̃
ũx (z) −−−−→ 0 et
z→−∞
∂ũy
= τy
∂z̃
ũy (z) −−−−→ 0
z→−∞
Solution
√
2 z/d
e [τx cos(z/d − π/4) − τy sin(z/d − π/4)]
2d
√
2 z/d
ũy =
e [τx sin(z/d − π/4) + τy cos(z/d − π/4)]
2d
ũx =
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Couche d’Ekman III
Théorème (Taille de la couche d’Ekman)
Pour un fluide visqueux en rotation très rapide soumis à une
excitation en surface, il se forme une couche d’Ekman d’épaisseur
r
Ek
d=
Ro
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Objectifs et approximations
Objectif : observer la couche d’Ekman et les colonnes de
Taylor-Proudman avec les déviations suivantes par rapport aux cas
idéaux :
Domaine 2D : pas de dépendance en y
Ek 6= 0
Le terme non-linéaire est négligé mais pas le terme de
variation temporelle (approximation des petites vitesses)
Équation :
∂ ũ
−1
Ek 2
2
=
∇P 0 +
∇ ũ −
Ω̃ × ũ
∂t
ρ
Ro
Ro
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Géométrie et perturbation
Vitesse 3C2D + conditions aux bords périodiques pour x et
non-glissement pour z. Pas de dépendance de la vitesse en y.
2 types de pertubations :
Forces volumiques
Simples à implémenter
Peuvent varier dans le temps
Conditions aux bords
Plus compliqué à implémenter
Plus proche de la réalité
Moins de problèmes liés à la périodicité en x.
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Calcul de la pression
Équation de la pression couplée à celle de la vitesse
Dans le cas d’un fluide incompressible, la pression est un
multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte ∇ · u = 0.
2 solutions :
Projection sur les champs à divergence nulle (projecteurs de
Leray). Méthode plus adpatée aux méthodes spectrales
Résolution en trois étapes :
1
2
3
Calcul d’un champ de vitesse u∗ en supposant P = 0. On a
∇ · u∗ 6= 0.
Calcul de la pression grâce à u∗ .
Étape de projection : on soustrait ∇P à u∗ pour obtenir un
champ de vitesse à divergence nulle.
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Couche d’Ekman 2D
Figure – Courbe : ũx (x̃ = 5, z). Paramètres : ũx (z̃ = 100) = 1,
Ek = Ro = 0.001
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Bilan du modèle 2D
Avantages :
Plus simple que le modèle 3D. Temps de calcul réduit
Discrétisation plus fine en conséquence
Plus simple à visualiser et à developper
Inconvénients :
Le phénomène attendu n’est pas observé (colonnes de
Taylor-Proudman)
Le modèle est trop éloigné de l’expérience en termes de
géométrie et d’hypothèses pour être sûr qu’il soit suffisant
pour observer des colonnes de Taylor-Proudman
Il faut donc aller plus loin et se rapprocher de l’expérience en
modélisant le problème en 3D.
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Différences avec le modèle 2D
Différences fondamentales :
Couplage des vitesses selon x, y et z dans le terme de force de
Coriolis.
Équation 2D, projetée sur z :
∂ũz
−1 ∂P 0
Ek 2
2 ∂uy
=
+
∇ ũz −
Ω̃
∂t
ρ ∂z
Ro
Ro ∂x
En 3D :
∂ũy
∂ũz
−1 ∂P 0
Ek 2
2
∂ũx
=
+
∇ ũz −
Ω̃(
−
)
∂t
ρ ∂z
Ro
Ro
∂x
∂y
Possibilité de contournement de l’obstacle (mécanisme
d’apparition des colonnes)
Implémentation, décomposition et inversion du Laplacien
Complexité des calculs et pas de discrétisation
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Traitement du Laplacien I
Cas d’une dimension :
On discrétise le Laplacien :

∆un =
un+1 +un−1 −2un
.
h2



En posant u = 


−2 1 0 0

1
1 −2 1 0
∆u = 2 
h  ... ... ... ...
1
... 0 0

u1
u2 

... 
 , on a
... 
un

... 1
... 0 
·u
... ... 
1 −2
On peut donc exprimer le Laplacien sous forme matricielle
Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Traitement du Laplacien II
Cas de plusieurs dimensions :

u1,1,1,...,1
 u2,1,1,...,1 




...




...


 un,1,1,...,1 


On écrit u = ui1 ,i2 ,...,in sous la forme u = 

 u1,2,1,...,1 
 u2,2,1,...,1 




...




...
un,n,n,...,n
Le Laplacien doit agir séparément sur les différentes coordonnées

Conclusion
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Traitement du Laplacien III
On utilise le produit de Kronecker
[A ⊗ B]qn+i,pn+j = aq,p bi,j
où 1 ≤ q ≤ m, 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n avec m la taille de
A, n la taille de B, i.e.


a1,1 B a1,2 B ... ... a1,n B
 a2,1 B a2,2 B ... ... a2,n B 

A⊗B =
 ...
...
... ...
... 
an,1 B an,2 B ... ... an,n B
La matrice Laplacien totale est alors
∆ = ∆1 ⊗IN2 ⊗...⊗INn +IN1 ⊗∆2 ⊗...⊗INn +IN1 ⊗IN2 ⊗...⊗∆n
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Complexité des calculs I
Dans le cas 2D, pour 100 points dans chaque direction : 10
000 points d’espace ⇒matrice Laplacien de taille 108
Dans le cas 3D : 1 000 000 points d’espace ⇒matrice
Laplacien de taille 1012
Heureusement, les coefficients sont presque tous nuls, on utilise les
matrices de type sparse de scipy
Problème : les matrices sparse ne sont pas enregistrables ...
⇒diminution du nombre de points. On passe à un espace
50x × 50y × 30z
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Complexité des calculs II
Utilisation d’un protocole ssh pour disposer de plus de puissance
de calcul
Inconvénients :
résultats non visualisables directement
obligation d’enregistrer les tableaux de vitesse dans un fichier
et de les réimporter sur les machines locales
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Bidimensionalisation de l’écoulement I
Observation à grand Ekman :
Figure – La vitesse suivant x au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.01 et
Ro = 0.001
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Bidimensionalisation de l’écoulement II
À faible Ekman :
Figure – La vitesse suivant x au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.002
et Ro = 0.0002
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Bidimensionalisation de l’écoulement III
Malheureusement, la vitesse selon y ne semble pas bidimensionelle :
Figure – La vitesse suivant y au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.002
et Ro = 0.0002
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Limites du modèle et alternatives I
Le modèle est discutable :
système éloigné des conditions expérimentales réelles
conditions fortes sur la vitesse à cause de la géométrie
périodique
On envisage un passage en géométrie particulière
Avantages :
proche des conditions expérimentales ⇒de grandes chances de
pouvoir observer les colonnes
exploite la symétrie de rotation du système (géométrie
cylindrique)
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Limites du modèle et alternatives II
Inconvénients :
force le choix d’une position d’axe de rotation
complexification des équations, apparition de dépendances en
coordonnées
choix de la discrétisation en géométrie cylindrique
conditions fortes imposées sur la vitesse (non-glissement aux
bords)
Passage éventuel en spectral pour exploiter la périodicité
Problème : asymétrie horizontale/verticale
Introduction
Problème 2D
Problème 3D
Conclusion
Conclusion
Problème théoriquement simple
Implémentation difficile :
complexité des calculs
choix d’un modèle pertinent
interaction entre différents phénomènes (couches d’Ekman 3D
+ colonnes)
Débuts de résultats, asymétrie de bidimensionalisation
Possibilité d’une amélioration/modification du modèle