cours 7

Chapitre 6
Techniques de Fermeture (1)
• Le problème de fermeture
• Règles de paramétrage
• Fermetures locales
– d ’ordre zéro
– d ’ordre 1/2
– d ’ordre 1
• Exemples
Équations de Reynolds
ui
0
xi
ui
0
xi
ui
u
1 p1 1

uj i  
 i3 g  2ijk  j uk 
t
x j
b xi b
x j


 ui





u
u

j i


 x j




  
 ui

 ui
 
t
xi xi  xi

Tb
g

 d
z
c pd
p  b Rd T
 p0 
  T  
 p 
  b  1
Rd
c pd
pb
 b g
z
7 équations et 16 inconnues ...
p  pb  p1
b  cst  0
b  cst  0
  cst
   cst
Le problème de fermeture dans la CLA
Le nombre d ’inconnues est plus élevé
que le nombre d ’équations...
Équation
pronostique
ui
uj ui
uk uj uk
Nombre
Nombre
d ’équations d ’inconnues
moment
1
2
3
ui

t

 uj ui
t


uj ui
x j


 uiuj uk
t



 uiuj uk 




x
k





 uiuj uk um 




x
m




3
6
6
10
10
15
Ordre de fermeture
Triangle des inconnues
u
Zéro
v
w
uu
uv
Un
vv
uw
vw
ww
uuu
uuv
Deux
uvv
vvv
uuw
uvw
vvw
uww
vww
www
Fermetures d ’ « ordre » et demi
Certaines hypothèses de fermeture utilisent un sous-ensemble
d’équations d’ordre donné, « ordre # », pour fermer le système.
Par exemple: COBEL utilise comme équations pronostiques
toutes les équations de premier ordre + l’équation
de pronostique de l’énergie cinétique turbulente, qui
est une équation de deuxième ordre. On dit alors
que le schéma numérique de COBEL utilise une
fermeture un et demi.
C ’est quoi l ’ordre d ’une équation ???
Modélisation de la CLA
Modèles CLA
Fermeture
non local
Équations
Équations
(moyennes
d ’ensemble)
(moyennes de
volume) (LES)
Modèles intégraux
ou d’ordre zéro
Fermeture de premier ordre
Fermeture de deuxième ordre
Règles de paramétrage
Pourquoi on paramètre ???
Les nouveaux termes doivent être paramétrés en
fonction des termes connus et de paramètres empiriques...
C ’est quoi une quantité connue ???
Exemple :
uk uj uk
Termes connus:
ui
u j uk

autres ??
C ’est quoi un paramètre ???

 
 
  uiuj
 uiuk
 uj uk
uk uj uk  e 2 


x j
xk
 xi

1
 


Règles de paramétrage
Le terme paramétré doit obéir à certaines règles:
1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique;
2) avoir les mêmes propriétés tensorielles;
3) avoir les mêmes propriétés de symétrie;
4) être invariant par rapport à une transformation
galiléenne;
5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles
le terme physique est soumis.
Règles de paramétrage
Corrélation triple uiuj uk  f (uiuk , ui , ,...) :
Le plus simple:
uiuj uk 
uiuj uk 
(uiuk )
x j
 (uj uk )
xi
uiuj uk  f (uiuk )
La même dimension tensoriel
 (uiuk ) (uiuj )


x j
xk

 
les mêmes propriétés de symétrie
 
  uiuj
 uiuk
 uj uk
2
uk uj uk  e 



x

x
xk

i
j

1
 


les mêmes dimensions
que le terme physique
  m
Donaldson, 1973 : fermeture de deuxième ordre
Modèles intégraux : ordre zéro
Il n ’y a pas d ’équation pronostique.
Les quantités moyennes sont paramétrées
en fonction de la position et du temps.
Moyennes d’ensemble:
Théorie de la similitude
Modèles locaux : ordre demi
Utilisent un sous-ensemble des équations d ’ordre 1
Moyennes d’ensemble
Méthode globale ou des couches (bulk method)
Pour chaque couche:
1) on impose un profil pour les quantités moyennes
  z 
2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur
toute la couche
 


w 
t
z


3) on trouve les valeurs finales
  z, t     t     z 
Modèles globaux ou de couche
Couche de mélange
Modèles globaux ou de couche
Couche de mélange
1) on impose un profil pour les quantités moyennes
  z   0
2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur
toute la couche
 
t


w 
z


3) on trouve les valeurs finales
  z, t     t     z 
Paramétrage des termes inconnus
w'u '
w'v '
w 
w    K

z
w ' '
K  m 2 s 1   0
Théorie K ou des transports gradients
« Small eddy closure » ???
Noms pour K
•
•
•
•
Viscosité turbulente
coefficient de diffusion turbulente
coefficient d ’échange turbulent
coefficient d ’échange gradient
Km = coefficient d ’échange turbulent pour
la quantité de mouvement
KH = coefficient d ’échange turbulent pour la chaleur
KE = coefficient d ’échange turbulent pour l ’humidité
K H  K E  1,35K m
Analogie avec la viscosité moléculaire
Pour un fluide newtonien:
 moléculaire
m
u
u



z

z

   viscosité cinématique

Pour un écoulement turbulent :
 Reynolds
 Rey
u
u
  Km

 Km
z

z
 Km  coefficient d'Austausch
Analogie avec la viscosité moléculaire
La viscosité cinématique

La viscosité cinématique d ’un fluide est déterminée par la
composition chimique du fluide et par son état
thermodynamique. Elle est une caractéristique du fluide
La viscosité turbulente K m
La viscosité turbulente varie quand la turbulence varie.
La viscosité turbulente est fonction de la stabilité
statique, du cisaillement du vent et d ’autres
caractéristiques de l ’écoulement.
Elle dépend du type d ’écoulement
Ordre de grandeur de K et 
La viscosité cinématique de l ’air
  1.5 105  m2 s 1 
La viscosité turbulente
K m  0.1, 2000  m2 s 1  
Intervalle habituelle :
K m  
K m  1,10  m2 s 1  
Théorie de la longueur de mélange
Prandtl, 1925
Conditions d’applicabilité:
1) neutralité statique;

0
z
2) le profil vertical des autres quantités moyennes
doit être une fonction linéaire de z

 cst
z
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage du flux d ’humidité
q
q  
z
z
u
u  
z
z
Stull, fig. 6.1
u

 0  w  cu
u

z
z
  w  c
u
z

 0  w  cu

z
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage du flux d ’humidité
q
q  
z
z
u
w  c
z
z
 
E  R( Stull )  wq  c z 
 
z 2
2
u q
z z
Est la variance des déplacements turbulents de la
parcelle.
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage du flux d ’humidité
 
z 2
Est la variance des déplacements turbulents de la
parcelle.
Signification physique ???
 
2

l c z
Longueur de mélange turbulent
u q
q
E  R( Stull )  wq  l
 KE
z z
z
2
u
KE  l
z
2
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage du flux d ’humidité
u
KE  l
z
2
Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec
le cisaillement (intensité de la turbulence)
Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec la longueur
de mélange, c ’est-à-dire, l ’efficacité de la turbulence à
mélanger les parcelles d ’air des divers niveaux.
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage de la longueur de mélange
dans la couche de surface neutre
La présence de la surface limite la taille des tourbillons:
la longueur de mélange est considérée proportionnelle à
la distance à la surface :
l2  k 2 z2
u
KE  k z
z
2 2
Théorie de la longueur de mélange
Paramétrage de la longueur de mélange
dans la couche stable nocturne
Delage, 1974
1 1
1

 

1
l kz 0.0004Gf
kLL
G  Intensité de la vitesse géostrophique
(gradient de pression)
  constante = 5
L L  Longueur locale de Obukhov = 
(mesure de stabilité)

 v wu


3
kg w v
2

Théorie de la longueur de mélange
Limitations
u
w  c
z
z

    z0  
z
Cette hypothèse est valide seulement
dans le cas ou la couche est statiquement
neutre
 z  z0 
z0
Profils linéaires.
Approximation de Taylor
d ’ordre 1 ...
Fermeture locale en cas de petits tourbillons
(Small eddy theory)



 0, w  0
x y
Homogénéité horizontale
u
1 p1
  u


 f v  
 w' u '
t
0 x
z  z

v
1 p1
  v


 f u    w' v'
t
0 y
z  z



w
1 p1 1



g
 w' w'  0
t
0 z 0
z

   
  
 w' '
t z  z


0
t
Stationnarité
1 p
0 x
1 p
  u

0
 f v  
 w' u '
0 x
z  z

fvg 
1 p
  v

0
 f u    w' v'
0 y
z  z

1 p
fug  
0 y

  
0   
 w' '
z  z



0  f v  vg 
  u



w
'
u
'


z  z


  v

 
 w' v'
z  z

0   f u  ug

Couche de surface
0
z  25 m
  v



w
'
v
'


z  z

+ orientation de l ’axe de x
selon la direction du mouvement
  u

0  
 w' u '
z  z

La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de
viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche
de surface homogène et stationnaire
Couche de surface
0
z  25 m
  u



w
'
u
'


z  z

Dans l ’atmosphère, en dehors de la couche visqueuse
 
  u 

w'u '
   
z  z 
z
Dans la couche de surface le flux de quantité de mouvement
ne dépend pas de z.

w 'u '  0
z


w ' u '  cst.
Couche de surface

z  25 m

Soit   w ' u ' s   0 La force de contrainte exercé à la surface
par les fluctuations turbulentes.
On défini une échelle de vitesse caractéristique de
la couche de surface par:

u* 
0

w ' u '  u*2
KM
u
 u*2
z
u
KM  k z
z
2 2
k 2 z 2
u u
 u*2
z z
Couche de surface
z  25 m
2 2  u 
k z    u*2
 z 
2
 u  u*
 
 z  k z
z0
u*  z 
u  ln  
k  z0 
Paramètre de rugosité : hauteur à laquelle
la vitesse moyenne s ’annule.
Couche de surface
u*  z 
M  ln  
k  z0 
z  25 m
Couche de surface: calcul du profil du vent
distance de déplacement
u*  z  d 
u  z   ln 

k  z0 
Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire

0  f  v  vg  
w ' u '
z

w ' u '  f  v  vg 
z

0   f  u  ug  
w ' v '
z

w ' v '   f  u  ug 
z




 
u 
K
 M
   f  v  vg 
z 
z 
 
v 
K
 M
  f  u  ug 
z 
z 




KM = ??? = constante
Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire
 
u 
 KM
   f  v  vg 
z 
z 
 
v 
 KM
  f  u  ug 
z 
z 
Couche barotrope : ???
Vg  cst
La solution de ce système d ’équations différentielles couplées
s ’obtient en faisant un changement de variable
V  (u  u g )  iv
L ’axe des x est orienté
dans la direction du vent géostrophique
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
et barotrope. Axe des x selon la direction du
vent géostrophique
 u 
KM  2   f  v   0
 z 
2
  2v 
K M  2   f  u  ug   0
 z 
V  (u  u g )  iv
Conditions frontières:
u ( z  0)  0
v ( z  0)  0
u ( z  )  u g
Solution, Holton, 1978
 e z

u  u g 1  e cos   e z  
 e z

v  u g e sin   e z  
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
barotrope :
1
2


u  
v 

u*2   K M

K
  M
 
z  
z  

z 0
2
2
  2 K M2  u g e  


2
 ug  K M f 
1
2
1
2
 f 
e  

2
K
 M
1
2
Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire
barotrope :
Selon cette solution les vents de
surface font un angle de /4 avec
le vent géostrophique
(dans l ’hémisphère nord, à gauche de celui-ci)
Les vents sont approximativement
géostrophiques quand
 ez  
La hauteur de la couche d ’Ekman
est:
1
 2KM  2

h  ze    

e
f


h
Hodographe : la spirale d ’Ekman
(couche homogène, stationnaire et barotrope) :
u  u g 1  e
 z
cos   e z  
 z

v  u g e sin   e z  
 6
 f 
e  

2
K
 M
1
2
La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan
En négligeant les gradients
de pression dans l ’océan
on a comme équations
de mouvement:
  2u 
K M ( océan )  2   f  v   0
 z 
  2v 
K M ( océan )  2   f  u   0
 z 
Choix d ’axe des x aligné avec les contraintes de surface u*(océan)
(océan )u*2( océan)  ( air )u*2( air )
Conditions
frontières
  2u 
K M (océan )  2   u*2( océan )
 z  z 0
 v 
  0
 z  z 0
u ( z  )  0
v ( z  )  0
La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan
 e z

u  u g 1  e cos   e z  
v  u g e
 e z
sin   e z  
Atmosphère


2
u*( océan )
  e ( océan ) z
 



u
e
sin   e ( océan ) z   
1


2 
4 

K
f


 M ( océan )



2
u*( océan )
  e ( océan ) z
 



v
e
cos   e ( océan ) z   
1


2 
4 

K
f


 M ( océan )

Océan
La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan
La spirale d ’Ekman : océan
Couplage entre la circulation atmosphérique
et la circulation océanique
Caractéristiques de K
On sait que:
K varie avec z
K est propriété de l ’écoulement
K doit être proportionnelle à
l ’échelle de vitesse et à la taille
des tourbillons les plus énergétiques
KM ~ ul
K se comporte, tout proche de la
surface comme:
uw
KM 
 ku* z
u z
K ait des valeurs plus petits au
sommet de la couche limite
Exemples de paramétrage de K
Contraintes:
K=0 quand il n ’y a pas de turbulence
K=0 au sol (z=0)
K augmente avec l ’intensité de
la turbulence (TKE)
K dépend de la stabilité statique
K dépend de la direction
(un vecteur)
K est non négatif (analogie moléculaire)
Couche de mélange convective
Grandes tourbillons
Dans l ’atmosphère réelle il y a des situations où les flux
sont contre le gradient
K doit être négatif ???
La théorie de longueur de mélange
de Prandtl ne s ’applique pas...
Des grands tourbillons ...
Couche de mélange convective
Grandes tourbillons
Deardoff, 1966
 



u w  Kh 
 c 
 z

K h  0,  c ~ 0.7 103 0Cm1
Exemples de paramétrisations de K
Couche de surface neutre
Exemples de paramétrage de K
Couche de surface stratifiée
K stable < K neutre < K instable
Exemples de paramétrage de K
Couche limite neutre
Couche limite convective
Exemples de paramétrage de K
Modélisation

 ui ui 2
uk 
2 1
K   0.25    

  ij 

 2 i j  x j x j 3 k xk 

Où  est la taille de grille
2 12



