[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Corrections 2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Notons λ1, . . . , λnles nvaleurs propres distinctes de fet x1,...,xndes vecteurs
propres associés. La famille (x1,...,xn) est base de E.
Posons a=x1+··· +xn. Pour tout k∈{0,1,...,n−1},
fk(a)=λk
1x1+··· +λk
nxn
Supposons α0a+α1f(a)+··· +αn−1fn−1(a)=0E. En exprimant cette relation en
fonction des vecteurs de la famille libre (x1,...,xn), on parvient à
P(λ1)=. . . =P(λn)=0 avec
P=α0+α1X+··· +αn−1Xn−1
Le polynôme Padmet plus de racines que son degré donc P=0 puis
α0=. . . =αn−1=0.
Ainsi la famille (a,f(a),..., fn−1(a)) est libre et finalement base de E.
En fait, n’importe quel vecteur dont les coordonnées sont toutes non nulles dans la
base de vecteur propre est solution.
(b) La matrice de fdans la base considérée est de la forme
0 0 α0
1....
.
.
...0.
.
.
0 1 αn−1
avec
fn(a)=α0a+α1f(a)+··· +αn−1fn−1(a)
Exercice 2 : [énoncé]
(a) ok
(b) Supposons g∈ Cf. Pour tout λ∈Sp( f) et tout x∈Eλ(f),
f(g(x)) =g(f(x)) =g(λx)=λg(x) donc g(x)∈Eλ(f). Ainsi les sous-espaces propres
sont stables par g.
Inversement, supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g. Pour tout
x∈E, on peut écrire x=Pλ∈Sp( f)xλet on a
g(f(x)) =g
X
λ∈Sp( f)
λxλ
=X
λ∈Sp( f)
λg(xλ)
et
f(g(x)) =f
X
λ∈Sp( f)
g(xλ)
=X
λ∈Sp( f)
λg(xλ)
donc fet gcommutent.
(c) Considérons ϕ:Cf→Qλ∈Sp( f)L(Eλ(f)) l’endomorphisme défini par ϕ(g) est le
produit des restrictions aux Eλ(f) de g. Cette application est bien définie en vertu des
stabilités évoquées en b). Cette application est clairement bijective car, par
diagonalisabilité de f,E=⊕
λ∈Sp( f)Eλ(f) et qu’on sait une application gest alors
entièrement déterminée par ses restrictions aux Eλ(f). Par isomorphisme
dim Cf=Pλ∈S p(f)α2
λ.
(d) Ici dim Cf=net les Id,f,..., fn−1sont clairement éléments de Cf.
Supposons λ0Id +λ1f+··· +λn−1fn−1=0. Posons P=λ0+λ1X+··· +λn−1Xn−1.
Ce polynôme est annulateur de fdonc les valeurs propres de fen sont racines. Ce
polynôme possède au moins nracines, or il est de degré strictement inférieur à n,
donc il est nul et ainsi λ0=. . . =λn−1=0.
Finalement (Id,f,..., fn−1) est une famille libre formé de n=dim Cféléments de
Cf, c’en est donc une base.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Un endomorphisme non nul vérifiant f2=0 avec f,0 convient. C’est le cas d’un
endomorphisme représenté par la matrice
0 1
0 0!
(b) Soit (e1,...,en) une base de vecteurs propres de f. La matrice de fdans cette base
est de la forme
λ1(0)
...
(0) λn
et alors les espaces
ker f=Vect {ei|λi=0}et Im f=Vect {ei|λi,0}
sont évidemment supplémentaires (puisque associés à des regroupements de vecteurs
d’une base).
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD