Applications de la diagonalisabilité d`un endomorphisme

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Applications de la diagonalisabilité d’un endomorphisme
Exercice 1 [ 00809 ] [Correction]
Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension nadmettant
exactement nvaleurs propres distinctes.
(a) Montrer qu’il existe a∈Etel que la famille a,f(a),..., fn−1(a)soit une base de E.
(b) Quelle est la forme de la matrice de fdans cette base ?
Exercice 2 [ 00808 ] [Correction]
Soit fun endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel Ede dimension n.
On note Cfl’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f.
(a) Montrer que Cfest un sous-espace vectoriel de L(E).
(b) Montrer qu’un endomorphisme gappartient à Cfsi, et seulement si, chaque
sous-espace propre de fest stable par g.
(c) En déduire que
dim Cf=X
λ∈S p(f)
α2
λ
où αλest l’ordre de multiplicité de la valeur propre λ.
(d) On suppose que les valeurs propres de fsont simples. Montrer que (Id,f,..., fn−1)
est une base de Cf.
Exercice 3 [ 02539 ] [Correction]
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie n≥2.
(a) Donner un exemple d’endomorphisme fde Edont l’image et le noyau ne sont pas
supplémentaires.
(b) On suppose, dans cette question seulement, que fest une endomorphisme de E
diagonalisable.
Justifier que l’image et le noyau de fsont supplémentaires.
(c) Soit fun endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un entier nature non nul ktel
que
Im( fk)⊕ker( fk)=E
L’endomorphisme fkest-il nécessairement diagonalisable ?
(d) Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l’espace est de dimension infinie ?
Exercice 4 [ 00806 ] [Correction]
Soit vun endomorphisme d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie diagonalisable.
(a) Montrer qu’il existe un endomorphisme ude Evérifiant u2=v.
(b) Montrer qu’on peut choisir usolution qui soit un polynôme en v.
Exercice 5 [ 03252 ] [Correction]
Soit fun endomorphisme d’un R-espace vectoriel Ede dimension npossédant
exactement nvaleurs propres.
(a) Déterminer la dimension des sous-espaces propres de f.
(b) Soit gun endomorphisme de Evérifiant g2=f. Montrer que get fcommutent.
En déduire que les vecteurs propres de fsont aussi vecteurs propres de g.
(c) Combien y a-t-il d’endomorphismes gde Esolutions de l’équation
g2=f
Exercice 6 [ 03454 ] [Correction]
Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension n∈N∗.
On suppose que fpossède exactement nvaleurs propres distinctes. Montrer que seuls les
polynômes en fcommutent avec f(indice : on pourra introduire un polynôme
interpolateur convenable).
Exercice 7 [ 02502 ] [Correction]
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E), v∈ L(E) diagonalisables
vérifiant
u3=v3
Montrer que u=v.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Notons λ1, . . . , λnles nvaleurs propres distinctes de fet x1,...,xndes vecteurs
propres associés. La famille (x1,...,xn) est base de E.
Posons a=x1+··· +xn. Pour tout k∈{0,1,...,n−1},
fk(a)=λk
1x1+··· +λk
nxn
Supposons α0a+α1f(a)+··· +αn−1fn−1(a)=0E. En exprimant cette relation en
fonction des vecteurs de la famille libre (x1,...,xn), on parvient à
P(λ1)=. . . =P(λn)=0 avec
P=α0+α1X+··· +αn−1Xn−1
Le polynôme Padmet plus de racines que son degré donc P=0 puis
α0=. . . =αn−1=0.
Ainsi la famille (a,f(a),..., fn−1(a)) est libre et finalement base de E.
En fait, n’importe quel vecteur dont les coordonnées sont toutes non nulles dans la
base de vecteur propre est solution.
(b) La matrice de fdans la base considérée est de la forme
0 0 α0
1....
.
.
...0.
.
.
0 1 αn−1
avec
fn(a)=α0a+α1f(a)+··· +αn−1fn−1(a)
Exercice 2 : [énoncé]
(a) ok
(b) Supposons g∈ Cf. Pour tout λ∈Sp( f) et tout x∈Eλ(f),
f(g(x)) =g(f(x)) =g(λx)=λg(x) donc g(x)∈Eλ(f). Ainsi les sous-espaces propres
sont stables par g.
Inversement, supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g. Pour tout
x∈E, on peut écrire x=Pλ∈Sp( f)xλet on a
g(f(x)) =g
X
λ∈Sp( f)
λxλ =X
λ∈Sp( f)
λg(xλ)
et
f(g(x)) =f
X
λ∈Sp( f)
g(xλ) =X
λ∈Sp( f)
λg(xλ)
donc fet gcommutent.
(c) Considérons ϕ:Cf→Qλ∈Sp( f)L(Eλ(f)) l’endomorphisme défini par ϕ(g) est le
produit des restrictions aux Eλ(f) de g. Cette application est bien définie en vertu des
stabilités évoquées en b). Cette application est clairement bijective car, par
diagonalisabilité de f,E=⊕
λ∈Sp( f)Eλ(f) et qu’on sait une application gest alors
entièrement déterminée par ses restrictions aux Eλ(f). Par isomorphisme
dim Cf=Pλ∈S p(f)α2
λ.
(d) Ici dim Cf=net les Id,f,..., fn−1sont clairement éléments de Cf.
Supposons λ0Id +λ1f+··· +λn−1fn−1=0. Posons P=λ0+λ1X+··· +λn−1Xn−1.
Ce polynôme est annulateur de fdonc les valeurs propres de fen sont racines. Ce
polynôme possède au moins nracines, or il est de degré strictement inférieur à n,
donc il est nul et ainsi λ0=. . . =λn−1=0.
Finalement (Id,f,..., fn−1) est une famille libre formé de n=dim Cféléments de
Cf, c’en est donc une base.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Un endomorphisme non nul vérifiant f2=0 avec f,0 convient. C’est le cas d’un
endomorphisme représenté par la matrice
0 1
0 0!
(b) Soit (e1,...,en) une base de vecteurs propres de f. La matrice de fdans cette base
est de la forme
λ1(0)
...
(0) λn
et alors les espaces
ker f=Vect {ei|λi=0}et Im f=Vect {ei|λi,0}
sont évidemment supplémentaires (puisque associés à des regroupements de vecteurs
d’une base).
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(c) On vérifie ker fk⊂ker fk+1. La suite des dimensions des noyaux des fkest
croissante et majorée par n. Elle est donc stationnaire et il existe k∈Ntel que
∀`≥k,dim ker f`+1=dim ker f`
Par inclusion et égalité des dimensions
∀`≥k,ker f`+1=ker f`
En particulier ker f2k=ker fk. On peut alors établir Im fk∩ker fk={0E}et par la
formule du rang on obtient la supplémentarité
Im( fk)⊕ker( fk)=E
L’endomorphisme fkn’est pas nécessairement diagonalisable. Pour s’en convaincre
il suffit de choisir pour fun automorphisme non diagonalisable.
(d) Le résultat n’est plus vrai en dimension infinie comme le montre l’étude de
l’endomorphisme de dérivation dans l’espace des polynômes.
Exercice 4 : [énoncé]
Pour λ=|λ|eiα∈Cavec α∈[0 ; 2π[, on pose
√λ=p|λ|eiα/2
ce qui définit une notion de racine carrée sur les nombres complexes et nous permettra de
nous exprimer avec plus d’aisance. . .
(a) Soit B=(e1,...,en) une base de vecteur propre de v. La matrice de vdans cette base
est de la forme
D=
λ1(0)
...
(0) λn
Considérons l’endomorphisme ude Edéfini par
MatBu=
√λ1(0)
...
(0) √λn
= ∆
On vérifie aisément que u2=v.
(b) Par les polynômes interpolateurs de Lagrange, on peut introduire un polynôme
P∈C[X] vérifiant
∀λ∈Sp u,P(λ)=√λ
On observe alors
P(D)=
P(λ1) (0)
...
(0) P(λn)
= ∆
et donc P(v) se confond avec l’endomorphisme uprécédemment introduit.
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Puisque fpossède nvaleurs propres en dimension n, il est diagonalisable et ses
valeurs propres sont simples. Les sous-espaces propres de fsont donc de dimension
1.
(b) g◦f=g3=f◦g.
Puisque fet gcommutent, les sous-espaces propres de fsont stables par g.
Si xest vecteur propre de fassocié à la valeur propre λalors g(x) appartient au
même sous-espace propre et puisque celui-ci est une droite et que xest non nul, g(x)
est colinéaire à x. Ainsi xest vecteur propre de g.
(c) Notons λ1, . . . , λnles valeurs propres de fet considérons une base de vecteurs
propres de fdans laquelle la matrice de fest
D=diag(λ1, . . . , λn)
Un endomorphisme gde Evérifiant g2=fa une matrice diagonale dans la base de
vecteurs propres de fprécédente.
Résoudre l’équation g2=frevient alors à résoudre l’équation ∆2=Davec ∆la
matrice diagonale
∆ = diag(α1, . . . , αn)
L’équation ∆2=Déquivaut à
∀1≤i≤n, α2
i=λi
Si les λine sont pas tous positifs ou nuls, il n’y a pas de solutions.
Si les λisont tous positifs ou nuls alors les solutions de l’équation g2=fsont les
endomorphismes représentés dans la base de vecteurs propres de fpar les matrices
diag(±pλ1,...,±pλn)
Si aucune des valeurs propres n’est nulle, il y a 2nsolutions et si l’une d’elle est
nulle, il y a 2n−1solutions.
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Exercice 6 : [énoncé]
Il est bien connu que les polynômes en fcommutent avec f.
Inversement, soit gun endomorphisme commutant avec f.
Notons λ1, . . . , λnles valeurs propres deux à deux distinctes de fet e1,...,endes vecteurs
propres associés. La famille (e1,...,en) est une base de Ediagonalisant fet les
sous-espaces propres de fsont de dimension 1. Puisque fet gcommutent, ses
sous-espaces propres de fsont stables par get donc, pour tout k∈{1,...,n}, il existe µk
tel que g(ek)=µkek. Considérons alors un polynôme interpolateur Pvérifiant
∀k∈{1,...,n},P(λk)=µk
On a pour tout k∈{1,...,n},
P(f)(ek)=P(λk)(ek)=µkek=g(ek)
Puisque les applications linéaires P(f) et gsont égales sur une base, on peut conclure
P(f)=g
Exercice 7 : [énoncé]
Soient λ∈Sp(u) et x∈Eλ(u) non nul. On a
v3(x)=u3(x)=λ3x
Or vest diagonalisable donc, en notant µ1, . . . , µples valeurs propres de v, on a la
décomposition en somme directe
E=p
⊕
j=1Eµj(v)
On peut alors écrire x=Pp
j=1xjavec xj∈Eµj(u). L’égalité v3(x)=λ3xdonne
p
X
j=1
µ3
jxj=
p
X
j=1
λ3xj
Les espaces Eµj(v) étant en somme directe, on peut identifier les termes de ces sommes
µ3
jxj=λ3xj
Si xj,0E, on obtient µj=λet donc µjxj=λxj.
Si xj=0E, l’identité µjxj=λxjreste vraie.
On en déduit
v(x)=λx=u(x)
Ainsi les endomorphismes vet ucoïncident sur Eλ(u). Or, l’endomorphisme uétant
diagonalisable, Eest la somme des sous-espaces propres de u. Les endomorphismes vet u
coïncident donc sur E.
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