Applications de la diagonalisabilité d`un endomorphisme

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Enoncés
Applications de la diagonalisabilité d’un endomorphisme
Exercice 1 [ 00809 ] [Correction]
Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n admettant
exactement n valeurs propres distinctes.
(a) Montrer qu’il existe a ∈ E tel que la famille a, f (a), . . . , f n−1 (a) soit une base de E.
(b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base ?
Exercice 2 [ 00808 ] [Correction]
Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E de dimension n.
On note C f l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f .
(a) Montrer que C f est un sous-espace vectoriel de L(E).
1
Exercice 4 [ 00806 ] [Correction]
Soit v un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie diagonalisable.
(a) Montrer qu’il existe un endomorphisme u de E vérifiant u2 = v.
(b) Montrer qu’on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v.
Exercice 5 [ 03252 ] [Correction]
Soit f un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension n possédant
exactement n valeurs propres.
(a) Déterminer la dimension des sous-espaces propres de f .
(b) Soit g un endomorphisme de E vérifiant g2 = f . Montrer que g et f commutent.
En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi vecteurs propres de g.
(c) Combien y a-t-il d’endomorphismes g de E solutions de l’équation
(b) Montrer qu’un endomorphisme g appartient à C f si, et seulement si, chaque
sous-espace propre de f est stable par g.
g2 = f
(c) En déduire que
dim C f =
X
α2λ
λ∈S p( f )
où αλ est l’ordre de multiplicité de la valeur propre λ.
(d) On suppose que les valeurs propres de f sont simples. Montrer que (Id, f, . . . , f n−1 )
est une base de C f .
Exercice 3 [ 02539 ] [Correction]
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2.
(a) Donner un exemple d’endomorphisme f de E dont l’image et le noyau ne sont pas
supplémentaires.
(b) On suppose, dans cette question seulement, que f est une endomorphisme de E
diagonalisable.
Justifier que l’image et le noyau de f sont supplémentaires.
Exercice 6 [ 03454 ] [Correction]
Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n ∈ N∗ .
On suppose que f possède exactement n valeurs propres distinctes. Montrer que seuls les
polynômes en f commutent avec f (indice : on pourra introduire un polynôme
interpolateur convenable).
Exercice 7 [ 02502 ] [Correction]
Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E), v ∈ L(E) diagonalisables
vérifiant
u3 = v3
Montrer que u = v.
(c) Soit f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un entier nature non nul k tel
que
Im( f k ) ⊕ ker( f k ) = E
L’endomorphisme f k est-il nécessairement diagonalisable ?
(d) Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l’espace est de dimension infinie ?
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Corrections
Corrections
2
et



 X
X
λg(xλ )
g(xλ ) =
f (g(x)) = f 
Exercice 1 : [énoncé]
λ∈Sp( f )
λ∈Sp( f )
(a) Notons λ1 , . . . , λn les n valeurs propres distinctes de f et x1 , . . . , xn des vecteurs
propres associés. La famille (x1 , . . . , xn ) est base de E.
Posons a = x1 + · · · + xn . Pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
f k (a) = λk1 x1 + · · · + λkn xn
Supposons α0 a + α1 f (a) + · · · + αn−1 f n−1 (a) = 0E . En exprimant cette relation en
fonction des vecteurs de la famille libre (x1 , . . . , xn ), on parvient à
P(λ1 ) = . . . = P(λn ) = 0 avec
P = α0 + α1 X + · · · + αn−1 X n−1
Le polynôme P admet plus de racines que son degré donc P = 0 puis
α0 = . . . = αn−1 = 0.
Ainsi la famille (a, f (a), . . . , f n−1 (a)) est libre et finalement base de E.
En fait, n’importe quel vecteur dont les coordonnées sont toutes non nulles dans la
base de vecteur propre est solution.
(b) La matrice de f dans la base considérée est de la forme


0 α0 
0

.. 
1 . . .
. 


.. 
..

.
0
. 


0
1 αn−1
donc f et g commutent.
Q
(c) Considérons ϕ : C f → λ∈Sp( f ) L(Eλ ( f )) l’endomorphisme défini par ϕ(g) est le
produit des restrictions aux Eλ ( f ) de g. Cette application est bien définie en vertu des
stabilités évoquées en b). Cette application est clairement bijective car, par
diagonalisabilité de f , E = ⊕ Eλ ( f ) et qu’on sait une application g est alors
λ∈Sp( f )
entièrement déterminée par ses restrictions aux Eλ ( f ). Par isomorphisme
P
dim C f = λ∈S p( f ) α2λ .
(d) Ici dim C f = n et les Id, f, . . . , f n−1 sont clairement éléments de C f .
Supposons λ0 Id +λ1 f + · · · + λn−1 f n−1 = 0. Posons P = λ0 + λ1 X + · · · + λn−1 X n−1 .
Ce polynôme est annulateur de f donc les valeurs propres de f en sont racines. Ce
polynôme possède au moins n racines, or il est de degré strictement inférieur à n,
donc il est nul et ainsi λ0 = . . . = λn−1 = 0.
Finalement (Id, f, . . . , f n−1 ) est une famille libre formé de n = dim C f éléments de
C f , c’en est donc une base.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Un endomorphisme non nul vérifiant f 2 = 0 avec f , 0 convient. C’est le cas d’un
endomorphisme représenté par la matrice
0
0
avec
f n (a) = α0 a + α1 f (a) + · · · + αn−1 f n−1 (a)
Exercice 2 : [énoncé]
(a) ok
(b) Supposons g ∈ C f . Pour tout λ ∈ Sp( f ) et tout x ∈ Eλ ( f ),
f (g(x)) = g( f (x)) = g(λx) = λg(x) donc g(x) ∈ Eλ ( f ). Ainsi les sous-espaces propres
sont stables par g.
Inversement, supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g. Pour tout
P
x ∈ E, on peut écrire x = λ∈Sp( f ) xλ et on a


 X

X

g( f (x)) = g 
λxλ  =
λg(xλ )
λ∈Sp( f )
λ∈Sp( f )
!
1
0
(b) Soit (e1 , . . . , en ) une base de vecteurs propres de f . La matrice de f dans cette base
est de la forme


(0)
 λ1


..


.


(0)
λn
et alors les espaces
ker f = Vect {ei | λi = 0} et Im f = Vect {ei | λi , 0}
sont évidemment supplémentaires (puisque associés à des regroupements de vecteurs
d’une base).
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Corrections
(c) On vérifie ker f k ⊂ ker f k+1 . La suite des dimensions des noyaux des f k est
croissante et majorée par n. Elle est donc stationnaire et il existe k ∈ N tel que
∀` ≥ k, dim ker f `+1 = dim ker f `
3
(b) Par les polynômes interpolateurs de Lagrange, on peut introduire un polynôme
P ∈ C[X] vérifiant
√
∀λ ∈ Sp u, P(λ) = λ
On observe alors

P(λ1 )

P(D) = 

(0)
Par inclusion et égalité des dimensions
∀` ≥ k, ker f
`+1
= ker f
`
En particulier ker f 2k = ker f k . On peut alors établir Im f k ∩ ker f k = {0E } et par la
formule du rang on obtient la supplémentarité
Im( f k ) ⊕ ker( f k ) = E
L’endomorphisme f k n’est pas nécessairement diagonalisable. Pour s’en convaincre
il suffit de choisir pour f un automorphisme non diagonalisable.
(d) Le résultat n’est plus vrai en dimension infinie comme le montre l’étude de
l’endomorphisme de dérivation dans l’espace des polynômes.
Exercice 4 : [énoncé]
Pour λ = |λ| eiα ∈ C avec α ∈ [0 ; 2π[, on pose
√
λ=
p
.
et donc P(v) se confond avec l’endomorphisme u précédemment introduit.
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Puisque f possède n valeurs propres en dimension n, il est diagonalisable et ses
valeurs propres sont simples. Les sous-espaces propres de f sont donc de dimension
1.
(b) g ◦ f = g3 = f ◦ g.
Puisque f et g commutent, les sous-espaces propres de f sont stables par g.
Si x est vecteur propre de f associé à la valeur propre λ alors g(x) appartient au
même sous-espace propre et puisque celui-ci est une droite et que x est non nul, g(x)
est colinéaire à x. Ainsi x est vecteur propre de g.
(c) Notons λ1 , . . . , λn les valeurs propres de f et considérons une base de vecteurs
propres de f dans laquelle la matrice de f est
D = diag(λ1 , . . . , λn )
|λ| eiα/2
ce qui définit une notion de racine carrée sur les nombres complexes et nous permettra de
nous exprimer avec plus d’aisance. . .
(a) Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de vecteur propre de v. La matrice de v dans cette base
est de la forme


(0)
 λ1


..

D = 
.


(0)
λn
Considérons l’endomorphisme u de E défini par
√
 λ1

MatB u = 

(0)
On vérifie aisément que u2 = v.
..

(0) 

 = ∆

P(λn )
..
.

(0) 

 = ∆
√ 
λn
Un endomorphisme g de E vérifiant g2 = f a une matrice diagonale dans la base de
vecteurs propres de f précédente.
Résoudre l’équation g2 = f revient alors à résoudre l’équation ∆2 = D avec ∆ la
matrice diagonale
∆ = diag(α1 , . . . , αn )
L’équation ∆2 = D équivaut à
∀1 ≤ i ≤ n, α2i = λi
Si les λi ne sont pas tous positifs ou nuls, il n’y a pas de solutions.
Si les λi sont tous positifs ou nuls alors les solutions de l’équation g2 = f sont les
endomorphismes représentés dans la base de vecteurs propres de f par les matrices
p
p
diag(± λ1 , . . . , ± λn )
Si aucune des valeurs propres n’est nulle, il y a 2n solutions et si l’une d’elle est
nulle, il y a 2n−1 solutions.
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Corrections
4
Exercice 6 : [énoncé]
Il est bien connu que les polynômes en f commutent avec f .
Inversement, soit g un endomorphisme commutant avec f .
Notons λ1 , . . . , λn les valeurs propres deux à deux distinctes de f et e1 , . . . , en des vecteurs
propres associés. La famille (e1 , . . . , en ) est une base de E diagonalisant f et les
sous-espaces propres de f sont de dimension 1. Puisque f et g commutent, ses
sous-espaces propres de f sont stables par g et donc, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, il existe µk
tel que g(ek ) = µk ek . Considérons alors un polynôme interpolateur P vérifiant
∀k ∈ {1, . . . , n} , P(λk ) = µk
On a pour tout k ∈ {1, . . . , n},
P( f )(ek ) = P(λk )(ek ) = µk ek = g(ek )
Puisque les applications linéaires P( f ) et g sont égales sur une base, on peut conclure
P( f ) = g
Exercice 7 : [énoncé]
Soient λ ∈ Sp(u) et x ∈ Eλ (u) non nul. On a
v3 (x) = u3 (x) = λ3 x
Or v est diagonalisable donc, en notant µ1 , . . . , µ p les valeurs propres de v, on a la
décomposition en somme directe
p
E = ⊕ Eµ j (v)
j=1
On peut alors écrire x =
Pp
3
3
j=1 x j avec x j ∈ E µ j (u). L’égalité v (x) = λ x donne
p
X
j=1
µ3j x j =
p
X
λ3 x j
j=1
Les espaces Eµ j (v) étant en somme directe, on peut identifier les termes de ces sommes
µ3j x j = λ3 x j
Si x j , 0E , on obtient µ j = λ et donc µ j x j = λx j .
Si x j = 0E , l’identité µ j x j = λx j reste vraie.
On en déduit
v(x) = λx = u(x)
Ainsi les endomorphismes v et u coïncident sur Eλ (u). Or, l’endomorphisme u étant
diagonalisable, E est la somme des sous-espaces propres de u. Les endomorphismes v et u
coïncident donc sur E.
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