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Dérivabilité (suite)
Dérivabilité (suite)
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Dérivabilité (suite)
Différentiabilité
Dérivabilité (suite)
On considère
f : R2 → R : (x , y ) 7→ f (x , y ), et
F : R2 → R3 : (x , y ) → (x , y , f (x , y ))
alors Γf = Im F :
Dérivabilité (suite)
Définition
Un point a est intérieur à un ensemble A s’il existe > 0 tel que
B (a, ) ⊂ A .
S
−
i f : A ⊂ Rn → Rm , et a ∈ int A , alors pour chaque →
v ∈ Rn on a une
∂f
dérivée directionnelle →
(a).
∂−
v
→
−
Lorsque v est dans la direction d’un des axes, on parle de dérivée
partielle.
Dérivabilité (suite)
Exemple
Soit f : R2 → R : (x , y ) 7→ xy 2 , alors
∂f
(x , y ) = y 2
∂x
∂f
(x , y ) = 2xy .
∂y
∂f
f ((x , y ) + h (1, 1)) − f (x , y )
(x , y ) = lim
=
∂(1, 1)
h
h →0
(x + h )(y + h )2 − xy 2
(x + h )(y 2 + 2yh + h 2 ) − xy 2
lim
= lim
=
h
h
h →0
h →0
x (y 2 + 2yh + h 2 ) + h (y 2 + 2yh + h 2 ) − xy 2
lim
=
h
h →0
2xyh + xh 2 + h (y 2 + 2yh + h 2 )
lim
=
h
h →0
lim 2xy + xh + y 2 + 2yh + h 2 = 2xy + y 2
h →0
Dérivabilité (suite)
Exemple
Soit f : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x + yx , x 2 − y ), alors
∂f
∂f
(x , y ) = (1 + y , 2x )
(x , y ) = (x , −1).
∂x
∂y
On écrira aussi :
∂f1
(x , y ) = 1 + y
∂x
∂f2
(x , y ) = 2x
∂x
∂f1
(x , y ) = x
∂y
∂f2
(x , y ) = −1.
∂y
Dérivabilité (suite)
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Dérivabilité (suite)
Matrice jacobienne
Matrice jacobienne
Dérivabilité (suite)
Matrice jacobienne
Définition
La matrice jacobienne de f : A ⊂ Rn → Rm au point a est la matrice
formée par les dérivées partielles :

 ∂f
 ∂x1 . . . ∂∂xf1 
 1
n

 .
 .
..

.
 ..

 ∂f
∂f m 
 m
∂x1
∂xn
où f (x) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )).
Lorsque m = 1, la jacobienne ne comporte qu’une seule ligne, et on
peut donc l’assimiler à un vecteur qui est appelé le gradient de f au
point a :
!
∂f
∂f
∇f (a) =
(a), . . . ,
(a) ∈ Rn .
∂x1
∂xn
Dérivabilité (suite)
Matrice jacobienne
Exemple
Si f (x , y ) = x 2 y 3 , les dérivées partielles sont
∂f
∂f
(a , b ) = 2ab 3
(a , b ) = 3a 2 b 2 .
∂x
∂y
La matrice jacobienne, ou gradient, est donnée par (2ab 3 , 3a 2 b 2 ) au
point (a , b ).
Plus généralement, la dérivée directionnelle dans la direction (u , v ) au
point (a , b ) est
∂f
f ((a , b ) + t (u , v )) − f (a , b )
(a , b ) = lim
∂(u , v )
t
t →0
2
(a + tu ) (b + tv )3
= lim
t
t →0
3
2 2
= 2ab u + 3a b v
Différentiabilité
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Dérivabilité (suite)
Différentiabilité
Différentiabilité
Remarque
La différentiabilité est une autre notion de « dérivabilité »
Définition
Soit f : A ⊂ Rn → Rm une application et a un point intérieur au
domaine A de f . On dit que f est différentiable en a s’il existe une
application linéaire T : Rn → Rm vérifiant
f (x) − f (a) − T (x − a)
lim
= 0.
x→a
kx − ak
Quand elle existe, cette application est unique et est appelée la
différentielle de f au point a . Elle est notée dfa .
Différentiabilité
Règles de calcul
Résultat
Si f et g sont deux applications différentiables au point a à valeurs
dans Rm , alors
I d(f + g ) = dfa + dga
a
I d(f − g ) = dfa − dga
a
Si f est différentiable en a à valeurs dans Rm et g est différentiable en
a à valeurs dans R, alors
I d(fg ) = f (a) dga + g (a) dfa
a
I
d(f / g )a =
f (a) dga −g (a) dfa
(g (a))2
Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a), alors
d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa
Remarque
Retenons avant tout que la somme, le produit, la composée de
fonctions différentiables est encore différentiable.
Différentiabilité
Résultat
Si f : Rn → Rm est différentiable en a, alors elle admet des dérivées
directionnelles dans toutes les directions et de plus
∂f
−
dfa (→
v )= →
(a)
∂−
v
−
pour tout vecteur →
v ∈ Rn .
Différentiabilité
Reprenons l’exemple
Les dérivées directionnelles de f sont représentées par la
composante verticale des vecteurs tangents au graphe.
Les dérivées directionnelles de F sont représentées par les flèches
tangentes à l’image de F .
Différentiabilité
Remarque
La notion de différentiabilité implique l’existence des dérivées
directionnelles, mais la réciproque n’est pas vraie.
La notion de différentiabilité est plus forte que simplement demander
que toutes les dérivées directionnelles (et a fortiori les dérivées
partielles) existent.
Précisément, on peut créer des exemples de fonctions dont toutes les
dérivées directionnelles en un point donné existent mais qui n’est pas
différentiable en ce point.
Remarque
Cependant, si la fonction n’a qu’une seule variable réelle, alors
« différentiable » et « dérivable » sont la même chose.
Précisément, si f : A ⊂ R → Rm est dérivable en a ∈ A , alors
−
−
dfa : R → Rm : →
v 7→ f 0 (a )→
v
est sa différentielle.
Différentiabilité
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Différentiabilité
Règles de dérivation
Règles de dérivation
Différentiabilité
Règles de dérivation
Résultat
Soit f : A ⊂ Rn → R et g : I ⊂ R → Rn deux applications avec g (I ) ⊂ A ,
de sorte à pouvoir les composer.
Supposons encore que g est différentiable (c’est-à-dire dérivable) en
un point t ∈ I , et que f est différentiable en le point g (t ) ∈ A . Dans ce
cas, f ◦ g : I → R est dérivable en t, et :
n
X
∂f
0
(f (g (t ))) =
(g (t ))gi0 (t )
∂xi
i =1
ce qu’on peut ré-écrire
(f (g (t )))0 = ∇f (g (t )), g 0 (t ) .
Différentiabilité
Règles de dérivation
Preuve donnée à titre indicatif
Démonstration.
(f (g (t )))0 u = d(f ◦ g )t (u )
= dfg (t ) ( dgt (u ))
= dfg (t ) (g 0 (t )u )

 n

X
→
−
0

= dfg (t ) 
gi (t ) ei u 
cf remarque pour les fonctions d’une variable
règle de calcul pour les composées
cf remarque pour les fonctions d’une variable
ré-écriture du vecteur g’(t)
i =1
=u
n
X
−
gi0 (t ) dfg (t ) ( →
ei ) linéarité de la différentielle
i =1
=u
n
X
i =1
gi0 (t )
∂f
(g (t ))
∂xi
cf lien entre différentielle et
dérivée partielle
Différentiabilité
Règles de dérivation
Exemple
Prenons une application f : A ⊂ R3 → R qui donne la température en
chaque point d’une pièce de maison (représentée par l’ensemble A ).
Partant du milieu de la pièce, nommé a ∈ A , dans quelle direction
faut-il aller pour avoir le plus chaud ?
f
En d’autres termes, dans quelle direction la quantité ∂→
est-elle la
∂−
v
→
−
plus grande ? (supposons v de norme 1).
Différentiabilité
Règles de dérivation