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Dérivabilité (suite)

Dérivabilité (suite)
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Dérivabilité (suite)
Différentiabilité

Dérivabilité (suite)
On considère
f :R2→R: ( x , y )7→ f ( x , y ),et
F :R2→R3: ( x , y )→( x , y , f ( x , y ))
alors Γ
f
=Im F :

Dérivabilité (suite)
Définition
Un point aest intérieur à un ensemble A s’il existe >0 tel que
B (a,)⊂ A .
S
i f : A ⊂R
n
→R
m
, et a ∈int A , alors pour chaque −→ v ∈R
n
on a une
dérivée directionnelle ∂
f
∂−→ v
(a).
Lorsque −→ v est dans la direction d’un des axes, on parle de dérivée
partielle .

Dérivabilité (suite)
Exemple
Soit f :R2→R: ( x , y )7→ xy
2, alors
∂ f
∂ x
( x , y ) = y
2∂
f
∂ y
( x , y ) = 2 xy .
∂ f
∂(1,1)(
x , y ) = lim
h →0
f (( x , y ) + h (1,1)) − f ( x , y )
h
=
lim
h →0
( x + h )( y + h )2− xy
2
h
=lim
h →0
( x + h )( y
2+2
yh + h
2)−
xy
2
h
=
lim
h →0
x ( y
2+2
yh + h
2) +
h ( y
2+2
yh + h
2)−
xy
2
h
=
lim
h →0
2 xyh + xh
2+
h ( y
2+2
yh + h
2)
h
=
lim
h →02
xy + xh + y
2+2
yh + h
2=2
xy + y
2