et - fonctions d`onde dans les etats lies d`un puits de potentiel

ET - FONCTIONS D’ONDE DANS LES ETATS
LIES D’UN PUITS DE POTENTIEL
Dans ce qui suit on adopte les notations suivantes :
~ désigne une constante universelle (h = 2π~ = 6, 62.10−34 Joules par seconde est la constante de
Planck).
m est un nombre strictement positif (masse d’une particule)
E est un nombre strictement négatif (énergie de la particule)
a est un nombre strictement positif (2a est la largeur du puits)
U est un réel tel que U + E soit strictement positif (U est la profondeur du puits).
On désigne par V le fonction définie par

si x < −a région I
 0
V (x) =
−U si |x| < a région II

0
si x > a
région III
Le problème revient à chercher des fonctions Ψ définies sur R, possédant les propriétés suivantes :
1) Ψ est deux fois continument dérivable dans R \ {−a, a} et vérifie pour tout x dans cet ensemble
l’équation différentielle suivante (dite équation de Schrödinger)
(1)
−
~2 ′′
Ψ (x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x) ;
2m
2) Ψ est continument dérivable dans R ;
+∞
Z
Ψ2 (x) dx = 1.
3)
−∞
Pour une telle fonction Ψ (fonction d’onde) la probabilité pour que la particule se trouve dans un
intervalle [ a, b ] est alors
Zb
Pa,b = Ψ2 (x) dx .
a
Ce problème n’est pas toujours possible. La première partie permet de le résoudre en imposant des
conditions sur E. La deuxième partie permet de voir que le nombre des valeurs de E possibles est fini
(quantification de l’énergie).
Partie I
On résout l’équation (1) dans les régions I et III. Elle devient
~2 ′′
Ψ (x) + EΨ(x) = 0 .
2m
ET 2
C’est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique
~2 2
X +E
2m
qui admet pour racines réelles
β=
√
−2m E
~
et
−β.
Dans la région I, on a donc
Ψ(x) = A1 eβx + B1 e−βx ,
et dans la région III
Ψ(x) = A3 eβx + B3 e−βx ,
où A1 , A3 , B1 , B3 sont des constantes.
Dans la région II, l’équation devient
~2 ′′
Ψ (x) + (U + E)Ψ(x) = 0 .
2m
C’est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique
~2 2
X + (U + E)
2m
qui admet pour racines imaginaires ±iα où
α=
p
2m (U + E)
,
~
et donc, dans la région II, on a
Ψ(x) = A2 cos αx + B2 sin αx
où A2 , B2 sont des constantes.
On remarquera que α et β ne sont pas nuls. De plus
α2 + β 2 =
2mU
.
~2
Si B1 est non nulle, on obtient, quand x tend vers −∞,
Ψ(x) ∼ B1 e−βx ,
et l’intégrale de la condition 3) diverge.
De même, si A3 est non nulle, on obtient quand x tend vers +∞,
Ψ(x) ∼ A3 eβx ,
ET 3
et l’intégrale de la condition 3) diverge.
Si l’on veut que l’intégrale de la condition 3) converge, on doit donc avoir
B1 = A3 = 0 .
En résumé, on obtient,
A1 eβx
Ψ(x) =
A cos αx + B2 sin αx
 2
B3 e−βx


et donc
si x < −a
si |x| < a
si x > a
βA1 eβx
Ψ′ (x) =
−αA2 sin αx + αB2 cos αx

−βB3 e−βx


si x < −a
si |x| < a
si x > a
Puisque Φ doit être deux fois continument dérivable sur R, écrivons maintenant la continuité de Ψ et
de Ψ′ en a et −a. On obtient les quatre relations suivantes :
continuité de Ψ en a
B3 e−βa = A2 cos αa + B2 sin αa ;
continuité de Ψ en −a
continuité de Ψ′ en a
continuité de Ψ′ en −a
A1 e−βa = A2 cos αa − B2 sin αa ;
−βB3 e−βa = −αA2 sin αa + αB2 cos αa ;
βA1 e−βa = αA2 sin αa + αB2 cos αa .
On obtient ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues A1 , A2 , B2 , B3 . Si ce système
était un système de Cramer, alors on aurait nécessairement
A1 = A2 = B2 = B3 = 0 ,
et la fonction Ψ serait nulle ce qui contredirait la condition 3). Le système ne doit donc pas être un
système de Cramer, ce qui signifie que son déterminant ∆ doit être nul. Calculons
−βa
e
−
cos
αa
sin
αa
0
−βa
βe
−α sin αa −α cos αa
0 ∆=
.
α sin αa −α cos αa −βe−βa 0
0
cos αa
sin αa
−e−βa En ajoutant à la deuxième ligne −β fois la première, et à la troisième ligne −β fois la quatrième, on
obtient
−βa
e
− cos αa
sin αa
0 0
−α sin αa + β cos αa −α cos αa − β sin αa
0 ∆ = ,
α sin αa − β cos αa −α cos αa − β sin αa
0 0
0
cos αa
sin αa
−e−βa ET 4
ce qui donne
+ β cos αa −α cos αa − β sin αa
α sin αa − β cos αa −α cos αa − β sin αa ,
−2βa −α sin αa
∆ = −e
et finalement
∆ = −2e−2βa (α sin αa − β cos αa)(α cos αa + β sin αa) .
Le déterminant s’annule donc si l’on a une des deux égalités suivantes :
tan αa =
β
α
et
tan αa = −
α
.
β
Les deux valeurs β/α et −α/β sont différentes. On peut alors résoudre complètement le système en
fonction d’une des inconnues dans chacun des deux cas.
Condition A : tan αa =
β
α
Dans ce cas le système a pour matrice
 −βa

e
− cos αa
sin αa
0
 0
0
−α cos αa − β sin αa
0 

 ,
 0
0
−α cos αa − β sin αa
0 
0
cos αa
sin αa
−e−βa
et comme −α cos αa − β sin αa n’est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en
On obtient alors
 −βa

e
− cos αa
0
0
 0
0
−α cos αa − β sin αa
0 

 ,
 0
0
0
0 
0
cos αa
0
−e−βa
B2 = 0
puis
A1 = B3 = A2 eβa cos αa .
La solution Ψ est alors
 β(x+a)
cos αa
 e
cos αx
Ψ(x) = A2 ·
 β(−x+a)
e
cos αa
si x < −a
si |x| < a .
si x > a
On remarque que cette fonction est paire.
Il reste à déterminer la constante A2 en utilisant la condition 3. En raison de la parité, on a
ET 5
+∞
+∞
Z
Z
2
Ψ (x) dx = 2
Ψ2 (x) dx
−∞
0
=
=
=
=

+∞
Za
Z
1
+
cos
2αx
dx
2A22 e2βa cos2 αa
e−2βx dx +
2
a
0
2
sin 2αa
cos αa
A22
+a+
β
2α
1
tan αa
2
A2
+a+
β(1 + tan2 αa)
α(1 + tan2 αa)
α + β tan αa
A22
+a .
αβ(1 + tan2 αa)

En remplaçant tan αa par β/α, on obtient
+∞
Z
1
+a ,
Ψ2 (x) dx = A22
β
−∞
et comme cette intégrale vaut 1, on en déduit la valeur de A2
Condition B : tan αa = −
α
β
A2 = q
1
1
β
.
+a
Dans ce cas le système a pour matrice
 −βa

e
− cos αa
sin αa
0
 0
−α sin αa + β cos αa
0
0 

 ,
 0
α sin αa − β cos αa
0
0 
0
cos αa
sin αa −e−βa
et comme −α sin αa + β cos αa n’est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en

 −βa
e
0
sin αa
0
 0
−α sin αa + β cos αa
0
0 
 ,

 0
0
0
0 
0
0
sin αa −e−βa
On obtient alors
A2 = 0
puis
−A1 = B3 = B2 eβa sin αa ,
ET 6
d’où

 −eβ(x+a) sin αa
Ψ(x) = B2 ·
sin αx
 β(−x+a)
e
sin αa
si x < −a
si |x| < a .
si x > a
On remarque que cette fonction est impaire.
Il reste à déterminer la constante B2 en utilisant la condition 3. En raison de la parité, on a
+∞
+∞
Z
Z
Ψ2 (x) dx = 2
Ψ2 (x) dx
−∞
0
=
=
=
=

+∞
Za
Z
1 − cos 2αx 
dx
2B22 e2βa sin2 αa
e−2βx dx +
2
a
0
2
sin αa
sin 2αa
B22
+a−
β
2α
2
tan αa
tan αa
2
+a−
B2
β(1 + tan2 αa)
α(1 + tan2 αa)
α tan αa − β
2
B2 tan αa
+a .
αβ(1 + tan2 αa)

En remplaçant tan αa par −α/β, on obtient
+∞
Z
1
2
2
Ψ (x) dx = B2
+a ,
β
−∞
et comme cette intégrale vaut 1, on en déduit la valeur de B2
B2 = q
1
1
β
.
+a
La constante obtenue est la même dans les deux cas.
Partie II
Il s’agit maintenant de déterminer comment on peut obtenir une des égalités des conditions A et B
obtenues plus haut lorsque m et U sont donnés. Les conditions obtenues portent sur E.
ET 7
Posons X = αa et Y = βa.
On a donc
X 2 + Y 2 = a2 (α2 + β 2 ) =
et nous noterons
2mU a2
~2
~
λ= √
.
a 2mU
C’est un nombre strictement positif. Par ailleurs
β
Y
= .
X
α
Les conditions A et B se traduisent respectivement par
Y = X tan X
Notons
π
.
et Y = −X cotan X = X tan X −
2
π
θ=X− E
2
2X
π
.
ce nombre appartient à l’intervalle [ 0, π/2 [ , et il est tel que
tan θ = tan X
ou
avec de plus, puisque X et Y sont positifs,
λX = cos θ
π
tan θ = tan X −
2
et λY = sin θ .
La recherche des valeurs de E pour lesquelles le problème est possible revient à la résolution du système

1

 X2 + Y 2 = 2
λ
2X
π


Y = X tan X − E
2
π
ou encore, en posant
π
f (x) = cos x − E
2
2x
π
,
où E(t) désigne la partie entière de t, du système

 λX = f (X) 2X
π
 Y = X tan X − E
2
π
On remarque que
π
π π
2x
π π
2x
f x+
= cos x + − E
+1
= cos x + −
E
+1
= f (x) .
2
2
2
π
2
2
π
ET 8
La fonction f est donc de période π/2, et, sur l’intervalle [ 0, π/2 [ , on a
f (x) = cos x .
On peut alors déterminer le nombre N de points d’intersection de la courbe représentative de f avec
la droite d’équation y = λx suivant la valeur de λ.
1
π/2
π
3π/2
Le dernier morceau de la courbe coupé par la droite est obtenu dans l’intervalle [ kπ/2, (k + 1)π/2 [
lorsque
(k + 1)π
kπ
≤1<λ
,
λ
2
2
c’est-à-dire
k≤
2
< k + 1,
λπ
et finalement
k=E
2
λπ
.
On a alors un point d’intersection dans chaque intervalle [ nπ/2, (n + 1)π/2 [ pour n compris entre 0
et k, ce qui donne
2
.
N =1+E
λπ
On en déduit, en fonction des conditions initiales du problème, le nombre de valeurs de E possibles
!
√
2a 2mU
N =1+E
.
π~
Pour terminer, cherchons la probabilité PEX pour que la particule soit à l’extérieur du puits c’est-àdire , en raison de la parité de Ψ,
PEX =
Z
|x|≥a
+∞
Z
Ψ2 (x) dx
Ψ (x) dx = 2
2
a
ET 9
En reprenant le calcul d’intégrale effectué plus haut, on a, suivant que l’on se trouve dans les conditions
A ou B,

1 cos2 αa
1
1


=
(cas A)

 1 +α
β
1 + αβ 1 + tan2 αa
β
PEX =
tan2 αa
1
1 sin2 αa



=
 1 +α
2 αa (cas B)
β
1
+
αβ
1
+
tan
β
En tenant compte des relations A ou B, on obtient dans les deux cas
PEX =
α2
1
.
2
2
α + β 1 + αβ
Lorsque U tend vers l’infini,
– le nombre N tend vers l’infini : il y a de plus en plus de niveaux d’énergie possibles pour la particule ;
– le nombre α tend vers l’infini et la probabilité PEX tend vers 0 : la probabilité de présence à l’extérieur
d’un puits de profondeur infinie est donc nulle.