et - fonctions d`onde dans les etats lies d`un puits de potentiel

ET - FONCTIONS D’ONDE DANS LES ETATS
LIES D’UN PUITS DE POTENTIEL
Dans ce qui suit on adopte les notations suivantes :
~désigne une constante universelle (h= 2π~= 6,62.10−34 Joules par seconde est la constante de
Planck).
mest un nombre strictement positif (masse d’une particule)
Eest un nombre strictement négatif (énergie de la particule)
aest un nombre strictement positif (2aest la largeur du puits)
Uest un réel tel que U+Esoit strictement positif (Uest la profondeur du puits).
On désigne par Vle fonction définie par
V(x) = 
0si x < −arégion I
−Usi |x|< a région II
0si x > a région III
Le problème revient à chercher des fonctions Ψdéfinies sur R, possédant les propriétés suivantes :
1) Ψest deux fois continument dérivable dans R\ {−a, a}et vérifie pour tout xdans cet ensemble
l’équation différentielle suivante (dite équation de Schrödinger)
(1) −~2
2mΨ′′(x) + V(x)Ψ(x) = EΨ(x) ;
2) Ψest continument dérivable dans R;
3)
+∞
Z
−∞
Ψ2(x)dx = 1.
Pour une telle fonction Ψ(fonction d’onde) la probabilité pour que la particule se trouve dans un
intervalle [a, b ]est alors
Pa,b =
b
Z
a
Ψ2(x)dx .
Ce problème n’est pas toujours possible. La première partie permet de le résoudre en imposant des
conditions sur E. La deuxième partie permet de voir que le nombre des valeurs de Epossibles est fini
(quantification de l’énergie).
Partie I
On résout l’équation (1) dans les régions I et III. Elle devient
~2
2mΨ′′(x) + EΨ(x) = 0 .

ET 2
C’est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique
~2
2mX2+E
qui admet pour racines réelles
β=√−2mE
~et −β .
Dans la région I, on a donc
Ψ(x) = A1eβx +B1e−βx ,
et dans la région III
Ψ(x) = A3eβx +B3e−βx ,
où A1,A3,B1,B3sont des constantes.
Dans la région II, l’équation devient
~2
2mΨ′′(x) + (U+E)Ψ(x) = 0 .
C’est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique
~2
2mX2+ (U+E)
qui admet pour racines imaginaires ±iα où
α=p2m(U+E)
~,
et donc, dans la région II, on a
Ψ(x) = A2cos αx +B2sin αx
où A2,B2sont des constantes.
On remarquera que αet βne sont pas nuls. De plus
α2+β2=2mU
~2.
Si B1est non nulle, on obtient, quand xtend vers −∞,
Ψ(x)∼B1e−βx ,
et l’intégrale de la condition 3) diverge.
De même, si A3est non nulle, on obtient quand xtend vers +∞,
Ψ(x)∼A3eβx ,

ET 3
et l’intégrale de la condition 3) diverge.
Si l’on veut que l’intégrale de la condition 3) converge, on doit donc avoir
B1=A3= 0 .
En résumé, on obtient,
Ψ(x) = 
A1eβx si x < −a
A2cos αx +B2sin αx si |x|< a
B3e−βx si x > a
et donc
Ψ′(x) = 
βA1eβx si x < −a
−αA2sin αx +αB2cos αx si |x|< a
−βB3e−βx si x > a
Puisque Φdoit être deux fois continument dérivable sur R, écrivons maintenant la continuité de Ψet
de Ψ′en aet −a. On obtient les quatre relations suivantes :
continuité de Ψen a
B3e−βa =A2cos αa +B2sin αa ;
continuité de Ψen −a
A1e−βa =A2cos αa −B2sin αa ;
continuité de Ψ′en a
−βB3e−βa =−αA2sin αa +αB2cos αa ;
continuité de Ψ′en −a
βA1e−βa =αA2sin αa +αB2cos αa .
On obtient ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues A1,A2,B2,B3. Si ce système
était un système de Cramer, alors on aurait nécessairement
A1=A2=B2=B3= 0 ,
et la fonction Ψserait nulle ce qui contredirait la condition 3). Le système ne doit donc pas être un
système de Cramer, ce qui signifie que son déterminant ∆doit être nul. Calculons
∆ = 
e−βa −cos αa sin αa 0
βe−βa −αsin αa −αcos αa 0
0αsin αa −αcos αa −βe−βa
0 cos αa sin αa −e−βa
.
En ajoutant à la deuxième ligne −βfois la première, et à la troisième ligne −βfois la quatrième, on
obtient
∆ = 
e−βa −cos αa sin αa 0
0−αsin αa +βcos αa −αcos αa −βsin αa 0
0αsin αa −βcos αa −αcos αa −βsin αa 0
0 cos αa sin αa −e−βa
,

ET 4
ce qui donne
∆ = −e−2βa −αsin αa +βcos αa −αcos αa −βsin αa
αsin αa −βcos αa −αcos αa −βsin αa
,
et finalement
∆ = −2e−2βa(αsin αa −βcos αa)(αcos αa +βsin αa).
Le déterminant s’annule donc si l’on a une des deux égalités suivantes :
tan αa =β
αet tan αa =−α β.
Les deux valeurs β/α et −α/β sont différentes. On peut alors résoudre complètement le système en
fonction d’une des inconnues dans chacun des deux cas.
Condition A : tan αa =β
α
Dans ce cas le système a pour matrice
e−βa −cos αa sin αa 0
0 0 −αcos αa −βsin αa 0
0 0 −αcos αa −βsin αa 0
0 cos αa sin αa −e−βa
,
et comme −αcos αa −βsin αa n’est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en
e−βa −cos αa 0 0
0 0 −αcos αa −βsin αa 0
0 0 0 0
0 cos αa 0−e−βa
,
On obtient alors
B2= 0
puis
A1=B3=A2eβa cos αa .
La solution Ψest alors
Ψ(x) = A2·
eβ(x+a)cos αa si x < −a
cos αx si |x|< a
eβ(−x+a)cos αa si x > a
.
On remarque que cette fonction est paire.
Il reste à déterminer la constante A2en utilisant la condition 3. En raison de la parité, on a

ET 5
+∞
Z
−∞
Ψ2(x)dx = 2
+∞
Z
0
Ψ2(x)dx
= 2A2
2
e2βa cos2αa
+∞
Z
a
e−2βx dx +
a
Z
0
1 + cos 2αx
2dx
=A2
2cos2αa
β+a+sin 2αa 2α
=A2
21
β(1 + tan2αa)+a+tan αa α(1 + tan2αa)
=A2
2α+βtan αa
αβ(1 + tan2αa)+a.
En remplaçant tan αa par β/α, on obtient
+∞
Z
−∞
Ψ2(x)dx =A2
21
β+a,
et comme cette intégrale vaut 1, on en déduit la valeur de A2
A2=1
q1
β+a
.
Condition B : tan αa =−α
β
Dans ce cas le système a pour matrice
e−βa −cos αa sin αa 0
0−αsin αa +βcos αa 0 0
0αsin αa −βcos αa 0 0
0 cos αa sin αa −e−βa
,
et comme −αsin αa +βcos αa n’est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en
e−βa 0 sin αa 0
0−αsin αa +βcos αa 0 0
0 0 0 0
0 0 sin αa −e−βa
,
On obtient alors
A2= 0
puis
−A1=B3=B2eβa sin αa ,