Courant de déplacement et courant de conduction

PSI - 2011/2012
1
TD B2 - Correction
3 - Courant de déplacement et courant de conduction
Dans un conducteur ohmique, les courants de conduction et les courants de déplacement ont pour
densités volumiques respectives :
−
→
−
→
=γE
−
→
→
− = ε ∂ E
0
d
∂t
courants de conduction
courants de déplacement
−
→ →
−
−
→
Avec E = E 0 cos(ωt), où E 0 est constant, on trouve
→
→
− = γ −
E 0 cos(ωt)
−
→
−
→
d = −ε0 ω E 0 sin(ωt)
On en déduit les amplitudes respectives des diérentes densités volumiques de courant :
−
→
γ || E 0 ||
−
→
ω ε0 || E 0 ||
amplitude des courants de conduction
amplitude des courants de déplacement
d'où
α=
Avec ε0 =
γ
ω ε0
1
F.m−1 et ω = 2π.106 rad.s−1 , on a
36π.109
α = 1, 1.1012 À 1 pour le cuivre
α = 1, 8 ' 1 pour le sol argileux
α
= 1, 8.10−2 ¿ 1 pour le verre
Les courants de déplacement sont négligeables dans un bon conducteur comme le cuivre mais
prédominants dans un matériau très isolant comme le verre. Pour des matériaux non-isolants
mais assez peu conducteur (sol argileux), les courants de conduction et de déplacement sont du
même ordre de grandeur.
2
TD B2 - Correction
4 - Bilan énergétique de la charge d'un condensateur
3. La densité volumique d'énergie électrique vaut
ue =
1
1
ε0 E 2 = ε0 E02 cos2 (ωt)
2
2
L'énergie électrique stockée dans le volume V entre les armatures vaut
ZZZ
Ee =
V
ue d3 V =
πa2 e
ε0 E02 cos2 (ωt)
2
On en déduit l'énergie électrique moyenne stockée entre les armatures
hEe i =
πa2 e
Q20 e
ε0 E02 =
4
4πa2 ε0
4. La densité volumique d'énergie magnétique vaut
um =
1
1 E02 2 2
B2 =
r ω sin2 (ωt)
2µ0
2µ0 4c4
L'énergie magnétique stockée dans le volume V entre les armatures vaut
ZZZ
Em =
ω2
E2
um d V =
4 0
8µ
c
0
V
3
soit
Em =
Z
a
r=0
Z
2π
Z
θ=0
e
z=0
r2 sin2 (ωt) r dr dθ dz
πa4 eω 2 2
E sin2 (ωt)
16µ0 c4 0
On en déduit l'énergie magnétique moyenne stockée entre les armatures
hEm i =
πa4 e ω 2 2
Q20 eω 2
E
=
32µ0 c4 0
32πε0 c2
5. Déterminons le rapport de l'énergie magnétique sur l'énergie électrique
α=
hEm i a2 ω 2
=
hEe i
8 c2
Or,
aω π τ
=
8c
4 T
avec

a

τ =
c

T = ω
2π
temps de propagation à l'échelle des armatures
période des signaux
Dans l'A.R.Q.S., τ ¿ T , soit aω/c ¿ 1. On en déduit
hEm i
¿ 1 dans l'A.R.Q.S.
hEe i
L'énergie magnétique est négligeable devant l'énergie électrique dans l'A.R.Q.S. .
PSI - 2011/2012
3
6. Le vecteur de Poynting est donné par
"
−
→ −
→
E∧B
→
−
Π =
=
µ0
Ainsi
−
→
Π =
→∧
E0 cos(ωt) −
u
z
#
E0
−
→
rω sin(ωt) uθ
2c2
µ0
rω
Q20 rω
−
→
→
2
E
cos(ωt)
sin(ωt)
u
=
cos(ωt) sin(ωt) −
ur
r
2µ0 c2 0
2πa2
La puissance rayonnée à l'extérieur du condensateur vaut
Z
−−→
−
→
Π (r = a, t) · d2 S
Pray =
Slat
2π
Z
Z
e
=
θ=0
=
d'où
Pray =
z=0
aω
→
−
E 2 cos(ωt) sin(ωt) −
ur · (adθ dz →
ur )
2µ0 c2 0
π a2 e ω 2
E0 cos(ωt) sin(ωt)
µ0 c2
π a2 e ω 2
Q20 ω e
cos(ωt) sin(ωt)
E
cos(ωt)
sin(ωt)
=
0
µ0 c2
πa2 ε0
7. La variation d'énergie électromagnétique par unité de temps vaut :
dEem
Q2 ω e
= −Pray = − 02
cos(ωt) sin(ωt)
dt
πa ε0
car il n'y a pas de courant entre les armatures. En intégrant entre t = 0 et t, on obtient
Eem (t) − Eem (0) =
¤
Q20 e £ 2
cos (ωt) − 1
2
2πa ε0
Ainsi, si initialement, l'énergie est sous forme électrique
Eem (0) =
alors
Eem (t) =
Q20 e
2πa2 ε0
Q20 e
cos2 (ωt)
2πa2 ε0
et l'énergie reste sous forme électrique : la contribution magnétique est négligeable.
Remarque : Ce résultat peut paraître surprenant car nous n'avons pas supposé l'A.R.Q.S.
valable. Toutefois, on remarque que le champ électrique sous la forme utilisé ne vérie pas
l'équation de Maxwell-Faraday dans les armatures
−
→
∂B
→
−
→
−→ −
rot( E ) = 0 6= −
∂t
−
→
∂B −
→
sauf si
≈ 0 , c'est-à-dire si l'A.R.Q.S. est vériée. Négliger les eets de bords revient donc
∂t
ici à supposer l'A.R.Q.S. valable .
4
5 - Solénoïde en régime lentement variable
TD B2 - Correction
PSI - 2011/2012
5
6
TD B2 - Correction
PSI - 2011/2012
6 - Plaque de cuivre plongée dans un champ magnétique
7