Polycopié - Université de Toulon

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M11 - R´esum´e de cours et exercices d’analyses Premier cycle universitaire
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TABLES DES MATI` ERES
I. Logique.
II. Ensemble.
III. Relation, fonction, application.
IV. Composition, r´eciprocit´e.
V. Relation d’´equivalence.
VI. Relations d’ordre.
VII. Fonctions polynomiales.
VIII. Suites num´eriques et limites.
IX. Fonctions continues et limites.
X. Fonctions d´erivables et d´eveloppements limit´es.
XI. Calcul de primitives et int´egrale de Riemann.
———————————————————————————– R´edig´e par J-J. Alibert.
Certains exercices de ce manuel m’ont ´et´e communiqu´es par J. Gilewicz et A. Novotny.

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I. Logique.
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Assertion. Une assertion est un ´enonc´e dont on peut affirmer
sans ambigu¨ıt´e s’il est vrai ou s’il est faux.
Par exemple, ”1<2” est une assertion vraie et ”4<3” est une assertion fausse.
Proposition. Une proposition est un ´enonc´e contenant des
variables, qui est vrai pour certaines valeurs attribu´ees `a ces
variables, faux pour toutes les autres.
Par exemple, ”x<2” est une proposition, elle est vraie pour les nombres
strictement inf´erieurs `a 2, fausse pour tous les autres.
N´egation. La n´egation d’une proposition ”P”, not´ee ”non P”
est vrai lorsque Pest fausse, fausse lorsque Pest vrai.
Par exemple, la proposition ”x<2” est la n´egation de la proposition ”x≥2”.
Conjonction. La conjonction de deux propositions P,Q, not´ee
”Pet Q”, est vraie, si les deux propositions sont vraies, fausse
dans tous les autres cas.
Par exemple, la conjonction des propositions ”x≤2” et ”x≥2” est ”x=2”.
Incompatibilit´e. Deux propositions P,Qsont incompatibles si
la conjonction ”Pet Q” est toujours fausse.
Par exemple, les propositions ”x≤2” et ”x≥5” sont incompatibles.
Disjonction. La disjonction de deux propositions P,Q, not´ee
”Pou Q”, est vrai, si au moins une des deux propositions est
vrai, fausse dans tous les autres cas (le ”ou” est inclusif).
Par exemple, la disjonction ”x>2 ou x<2” est ”x6=2”.
Implication. L’implication de deux propositions P,Q, not´ee
”P=⇒Q”, est la proposition ”(non P) ou Q ”.
L’implication ”P=⇒Q” se lit ”Pimplique Q” ou ”Pentraine Q” ou ”Pest
une condition suffisante de Q” ou ”Qest une condition n´ecessaire de P”. Le
fait que ”P=⇒Q” soit vraie signifie que ; pour que Qsoit vraie il suffit que
Psoit vraie, ou encore, pour que Psoit fausse il suffit que Qsoit fausse.
Th´eor`eme. Pet Q´etant deux assertions; si ”P=⇒Q” est
vrai on dit que c’est un th´eor`eme (c’est-`a-dire une assertion
d´emontr´ee dont Pest l’hypoth`ese et Qla conclusion).
Equivalence. L’´equivalence de deux propositions P,Q, not´ee
”P⇐⇒ Q”, est la proposition ”(P=⇒Q) et (Q=⇒P) ”.
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II. Ensemble.
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Des ˆetres, aussi bien physique (´el`eve, chat, chaise ...), qu’objets
de notre pens´ee (nombre, fonction ...), seront repr´esent´es par
des lettres a,b,E,µ... et consid´er´es comme bien d´efinis si
nous disposons d’un crit`ere permettant d’affirmer que deux de
ces objets (repr´esent´es par aet b) sont, ou bien identiques, ou
bien distincts :
a=bou bien a6=b.
Ensemble, ´el´ement. Un ensemble Eest constitu´e d’´el´ements.
Il est bien d´efini si l’on poss`ede un crit`ere permettant d’affirmer
pour tout objet a, s’il appartient `a l’ensemble Eou non :
a∈Eou bien a /∈E.
On dit aussi ”aest ´el´ement de E” ou bien ”an’est pas ´el´ement de E” ou encore
”Econtient a” ou bien ”Ene contient pas a”. Si un ensemble Eest constitu´e
des ´el´ements a,b,c, on ´ecrira : E={a,b,c}. L’ordre dans lequel les ´elements sont
´ecrits n’importe pas, ainsi : {a,b,c}={c,a,b}. Un mˆeme ˆetre math´ematique ne
peut ˆetre `a la fois un ensemble et un ´el´ement de cet ensemble, c’est `a dire il est
interdit d’´ecrire a∈a.
Inclusion. Un ensemble Fest inclus dans un ensemble Esi
tout ´el´ement de Fappartient `a E, ce que l’on note : F⊂E.
On dit aussi Fest une partie de Eou encore Fest un sous-ensemble de E.
Egalit´e. Un ensemble Fest ´egal `a un ensemble Esi F⊂Eet
E⊂F, ce que l’on note : F=E.
Utilisation des quantificateurs. Les quantificateurs ∃et ∀
concernent les ´el´ements d’un ensemble d´etermin´e E.
”Il existe x´el´ement de E” s’´ecrit ”∃x∈E.”
”quel que soit un ´el´ement xde E” s’´ecrit ”∀x∈E” .
Soit Aune partie de E. L’´enonc´e ”Aest la partie vide ” (on note A=∅) et
sa n´egation ”Aest non vide” (on note A6=∅) correspondent respectivement `a
” quel que soit x´el´ement de E,xn’est pas un ´el´ement de A” et ”il existe au
moins un ´el´ement de Equi est ´el´ement de A” et s’´ecrivent respectivement :
∀x∈E x /∈Aet ∃x∈E x∈A.
L’´enonc´e ”Aest la partie pleine” (on note A=E) et sa n´egation ”An’est pas la
partie pleine” (on note A6=E) s’´ecrivent respectivement :
∀x∈E x∈Aet ∃x∈E x /∈A.
Les propositions ”x∈A” et ”x /∈A” sont souvent remplac´ees respectivement par
”xv´erifie la propri´et´e p” et ”xne v´erifie pas la propri´et´e p” o`u pest une propri´et´e
caract´eristique des ´el´ements de A, c’est `a dire un crit`ere permettant de d´ecider
pour tout ´el´ement xde Eentre les deux propositions x∈A,x /∈A.

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Op´erations bool´eennes. Soit Eun ensemble. On note P(E)
l’ensemble des parties de E. Soient Aet Bdeux ´el´ements de
P(E). Les quatre ´el´ements A∪B,A∩B,A\B,A4Bde P(E)
sont d´efinies de la fa¸con suivante: pour tout x∈E,
x∈A∪B⇐⇒ x∈Aou x∈B,
x∈A∩B⇐⇒ x∈Aet x∈B,
x∈A\B⇐⇒ x∈Aet x /∈B,
x∈A4B⇐⇒ x∈A\Bou x∈B\A.
R´eunion et intersection d’une famille de parties de E.
Soit E, I deux ensembles et {Ai}i∈Iune partie de P(E). Les
deux ´el´ements Si∈IAiet Ti∈IAide P(E) sont d´efinies de la
fa¸con suivante : pour tout x∈E,
x∈Si∈IAi⇐⇒ ∃i∈I x ∈Ai,
x∈Ti∈IAi⇐⇒ ∀i∈I x ∈Ai.
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Exercice 1. Pour chaque ´enonc´e, ´ecrire la n´egation, puis dire si l’´enonc´e
original est vrai ou faux (en justifiant la r´eponse `a l’aide d’une d´emonstration).
(1) ∀x∈IR x > 1,
(2) ∀n∈IN n2+n+ 1 ≤n3,
(3) ∀x∈IR ∃n∈IN n≥x,
(4) ∃n∈IN ∀p∈IN n > p =⇒n+p > 2p,
(5) ∀n∈IN∗∃p∈IN∗∀x∈IR |x−3|<1
p=⇒ |x2−9|<1 n,
(6) ∀n∈IN∗∃p∈IN∗∀(x, y)∈IR2|y−x|<1
p=⇒ |y2−x2|<1 n,
(7) ∃x∈IR ∀(n, p)∈IN∗×IN∗n > p ⇐⇒ 1
p>1 n,
(8) ∀(x, y)∈IR2(x, y)6= (0,0) ⇐⇒ x2+xy +y2>0,
(9) ∀(x, s, p)∈IR3∃y∈IR x2−sx +p= 0 ⇐⇒ x+y=set xy =p,
(10) ∃a∈IR ∀b∈IR b6= 1 =⇒a∈ {a},
(11) ∃n∈IN ∀p∈IN ∃q∈IN p=nq=⇒∃q0∈IN p= 6q0,
(12) ∃n∈IN ∀x∈IR x > 0 et x3> x2=⇒x > n,
(13) ∀(x, y)∈IR2x2+x2y+x+y= 0 ⇐⇒ x=−y,
(14) ∃x∈IR ∃n∈IN ∀y∈IR n= 3,
(15) 1 >2 =⇒23 = 5.

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Exercice 2. Expliciter les sous-ensembles suivants de la droite r´eelle.
[
x∈[0,1]
]x/2,2x[ et \
x∈[0,1]
]x/2,2x[
Exercice 3. Soit E,I,Jtrois ensembles et {Ai}i∈Iet {Bj}j∈Jdeux parties
de P(E). Montrer que
[
i∈I
Ai∩[
j∈J
Bj=[
(i,j)∈I×JAi∩Bj
Exercice 4. Soit E,Iet Jtrois ensembles non vides. Soit {Ai,j}(i,j)∈I×J
une partie de P(E). Montrer que
[
i∈I\
j∈J
Ai,j⊂\
j∈J[
i∈I
Ai,j ,
puis comparer (en terme d’inclusion)
[
p∈IN∗\
q∈IN∗0,p
q et \
q∈IN∗[
p∈IN∗0,p
q
Exercice 5. Soit Eun ensemble. Pour toute partie Ade E, on note CEA:=
E\A(le compl´ementaire de Adans E). Soit Fet Gdeux parties de E.
Montrer que
1) CECEF=Fet F⊂G⇐⇒ CEF⊃CEG
2) CE(F∪G) = CEF∩CEGet CE(F∩G) = CEF∪CEG
Soit Iun ensemble et {A}i∈Iune partie de P(E). Montrer que
3) CE[
i∈I
Ai=\
i∈I
CEAiet CE\
i∈I
Ai=[
i∈I
CEAi.
Exercice 6. Soit Eun ensemble et {An}n∈IN∗une partie de P(E). Montrer
que
[
n∈IN∗
An\\
n∈IN∗
An=[
n∈IN∗An4An+1
Exercice 7. Soit Eun ensemble et {An}n∈IN une famille de parties de E.
On d´efinit une famille {Bn}n∈IN de parties de Een posant:
B0=A0et Bn+1 =An+1\n
[
k=0
Aksi n∈IN.
Montrer que pour tout (p, q)∈IN2,p6=q=⇒Bp∩Bq=∅et Sn=p
n=0 Bn=
Sn=p
n=0 An.