Le recueil de problèmes.

Problèmes de Mathématiques
MPSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010

Ce recueil réunit une partie des problèmes posés aux élèves de PCSI 1 puis
MPSI 1, en temps libre ou en temps limité, depuis 2005. J’y puiserai les
devoirs que vous aurez à traiter cette année en temps libre (par groupes de
deux). C’est aussi un outil mis à votre disposition pour votre travail
personnel, en particulier lors de la préparation des devoirs surveillés.
Malgré les nombreuses correction déjà effectuées, il subsiste certainement
des erreurs d’énoncé ou d’orthographe... Je vous remercie par avance de me
les signaler au fur et à mesure de leur découverte.
J’ai fait apparaître en italique, dans la table des matière ainsi que dans
l’en-tête de chaque problème, les parties du cours qui y sont abordées.
J’ai aussi essayé, autant que possible, d’apprécier la difficulté de chaque
problème en lui affectant un nombre d’étoiles compris entre zéro (très
facile) et quatre (très difficile). Attention, dans un problème coté à trois
étoiles (difficile), s’il est très progressif, les premières questions peuvent
être, malgré tout, relativement faciles.
Bon courage !
Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 1

2Erwan Biland - Problèmes MPSI 1

Table des matières
Techniques de calculs, nombres complexes
1 Sommes de puissances de nentiers........................... 7
Récurrence, résolution de systèmes, polynômes
2 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Suites numériques, fonctions trigonométriques
3 Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Techniques de calcul
4 Calcul de cos π
17 ..................................... 10
Trigonométrie
5 Minimum d’une somme de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie
6 Cocyclicité dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Nombres complexes, géométrie plane
Fonctions usuelles
7 Autour d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Fonctions usuelles, suites numériques
8 Etuded’unefonction .................................. 15
Fonctions trigonométriques
9 Fonctions polynomiales de Tchebitchev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Fonctions usuelles, équations
10 Une transformation sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Fonctions usuelles
Ensembles, applications, structures
11 Etuded’uneapplication................................. 18
Ensembles et applications
12 Fonctions caractéristiques de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ensembles, applications
13 Borne supérieure dans Pf(N)............................. 20
Ensembles, relations d’ordre
14 Etude de deux groupes isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ensembles et fonctions
15 Produitsemi-direct ................................... 22
Groupes
16 L’équation diophantienne a2−2b2=±1........................ 23
Groupes
Table des matières 3

Equations différentielles, équations fonctionnelles
17 Une équation différentielle linéaire d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Equations différentielles
18 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Equations différentielles, courbes paramétrées
19 Une équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Fonctions de Rdans R, équations différentielles
20 Un problème de raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Equations différentielles
Géométrie élémentaire, coniques
21 Étude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe . . . . . . . . . . . . 28
Géométrie dans l’espace
22 Autour d’une hyperbole équilatère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Géométrie plane, coniques
23 Caractérisation des tangentes à une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Géométrie plane, coniques, résolution d’équations
24 Cercle principal d’une conique à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Coniques
Courbes paramétrées
25 Unecornedegazelle?.................................. 32
Courbes paramétrées
26 Des courbes définies par équation polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Courbes en polaires
27 Unproblèmedelieu................................... 34
Courbes paramétrées
28 Lastrophoïdedroite................................... 35
Courbes paramétrées
29 Transformation de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Courbes paramétrées, groupes
Ensembles de nombres, suites numériques
30 Limite supérieure, limite inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Nombres entiers, nombres réels
31 Moyenne arithmético-harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Suites numériques, nombres complexes, algèbre linéaire
32 Série harmonique et séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Suites numériques
33 Fractionscontinues ................................... 41
Suites numériques, nombres irrationnels
34 Une suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Suites numériques
35 SuitesdeCantor .................................... 43
Suites numériques
36 Des développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Développements limités
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