M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie - IMJ-PRG

M2 Logique 2015-2016
TD 1
Théorie des modèles et théorie des ensembles
Vendredi 18 septembre
Exercice 1. Soit L un langage quelconque et M une L-structure finie. Le but de cet exercice est de montrer
que toute L-structure élmentairement équivalente à M est isomorphe à M. Pour cela soit M = {a1 , . . . , an }
l’ensemble de base de M, où les ai sont deux à deux distincts, et soit
Φ = {φ = φ(x1 , . . . , xn ) formule de L ; M |= φ(a1 , . . . , an )}
.
(a) Montrer qu’il existe φ0 , . . . , φk ∈ Φ tels que pour toute formule ψ ∈ Φ il existe 0 ≤ i ≤ k tel
que M |= ∀x̄ (ψ ↔ φi ) (on pourra considérer la fonction θψ : M n → {0, 1} tel que pour tout
(x1 , . . . , xn ) ∈ M n , θψ (x1 , . . . , xn ) = 1 ssi M |= ψ(x1 , . . . , xn )).
(b) Soit N ≡ M. Montrer que |N | = n (|N | désigne le cardinal de l’ensemble de base N de N ). Montrer
qu’il existe b1 , . . . , bn ∈ N tels que pour tout φ ∈ Φ, N |= φ(b1 , . . . , bn ).
(c) Montrer que toute L-structure élémentairement équivalente à M est isomorphe à M.
Exercice 2. Soit L un langage et M une L-structure. Si b ∈ M et A ⊆ M on dit que b est Adéfinissable dans M s’il existe une formule φ = φ(x1 , . . . , xn , y) et a1 , . . . , an ∈ A tel que b soit l’unique
élément de M tel que M |= φ(a1 , . . . , an , b). La clôture définissable de A est l’ensemble dclM (A) := {b ∈
M ; b est A-définissable dans M }.
(a) Montrer que |dclM (A)| ≤ max{|A|, |L|}.
(b) Montrer que si b ∈ dclM (A) alors il existe A0 ⊆ A fini tel que b ∈ dclM (A0 ) .
(c) Montrer que dclM (A) contient la sous-structure engendrée par A, mais qu’il n’y a pas en général
égalité, et que dclM (dclM (A)) = dclM (A).
(d) Montrer que dclM (A) est une sous-structure de M.
(e) Soit a ∈ M . Montrer que si a ∈ dclM (A) alors a est fixé par tout automorphisme de M qui fixe A
point par point.
(f) Quelle est la clôture définissable de {0} dans (Z, ≤) ? de Q dans (R, ≤) ?
(g) La réciproque de (e) ci dessus est-elle vraie ?
Exercice 3.
Soit L un langage fixé. On considère une famille (Mn )n∈N de L-structures finies. On suppose que pour
chaque n ∈ N le cardinal de Mn est supérieur à n et on note
T0 = {φ énoncé de L ; pour tout n ∈ N Mn |= φ}.
(a) Montrer que T0 a des modèles infinis et donner une axiomatisation T des modèles infinis de T0 .
(b) Soit φ un énoncé de L. Montrer que T ` φ si et seulement s’il existe n ∈ N tel que pour tout k > n,
Mk |= φ ; que T ∪ {φ} est consistante ssi {k ∈ N ; Mk |= φ} n’est pas borné.
(c) On suppose que Mn est le groupe (Z/nZ, 0, +, −). Montrer que T a parmi ses modèles des groupes
abéliens sans torsion et qu’ils sont tous divisibles. En déduire que (Q, 0, +, −) est modèle de T .
Exercice 4.
Dans cet exercice le langage L = {≤, E} contient (en plus de l’égalité) deux relations binaires.
(a) Donner une axiomatisation T0 des L-structures M = (M, ≤M , E M ) telles que ≤M est un ordre total
dense sans extrémités et E M est une relation d’équivalence ayant exactement deux classes. Vérifier
qu’elle n’est pas complète.
(b) Soit T1 la théorie contenant T0 et les axiomes suivants :
— ∀x∀y∀z((E(x, z) ∧ x < y < z) → E(x, y))
— ∀x∃y(E(x, y) ∧ x < y)
— ∀x∃y(E(x, y) ∧ x > y)
Montrer que T1 est ℵ0 -catégorique et complète.
(c) Ecrire une théorie T2 dont les modèles sont les L-structures M = (M, ≤M , E M ) qui satisfont T0 et
telles que chacune des classes modulo E M est dense dans M . Montrer que cette théorie est complète
et ℵ0 -catégorique.(on pourra montrer que la famille des isomorphismes partiels entre sous-structures
finies de deux modèles de T1 a la propriété de va et vient).
Exercice 5.
(a) Pour chaque entier naturel n soit Ln = {<, c0 , . . . , cn } un langage contenant un symbole de relation
binaire < et n + 1 symboles de constante. Soit Tn la théorie suivante dans Ln :
— < est un ordre total strict dense et sans extrémités
— c0 < · · · < cn .
Donner une axiomatisation de Tn . Montrer que Tn est complète.
(b) Dans cette question le langage L = {<, (cn )n∈N } contient une infinité de constantes et T est la théorie
suivante dans L :
— < est un ordre total strict dense et sans extrémités
— Pour tout n ∈ N, cn < cn+1 .
Montrer que T est complète (on pourra considérer les restrictions des modèles de T au langage Ln ).
Montrer que T a exactement trois modèles dénombrables à isomorphisme près (indication : distiguer
suivant que la suite (cM
n )n∈N est majorée où non, admet une borne supérieure ou non...)
Exercice 6. Questions diverses
(a) Montrer que si m 6= n alors les groupes (Zm , 0, +) et (Zn , 0, +) ne sont pas élémentairement équivalents.
(b) Soit L un langage dénombrable. Montrer que pour tout cardinal κ infini il existe a au plus 2κ
L-structures 2 à 2 non isomorphes de cardinal κ.
(c) Soient (A, <) et (B, <) deux ensembles infinis munis d’un ordre total strict. Montrer qu’il existe
(C, <) élémentairement équivalent à (B, <) tel que (A, <) se plonge dans (C, <).
(d) Soit T une théorie et Φ un ensemble de formules à une seule variable x dans un langage du premier
ordre L. On suppose que dans tout modèle M de T l’ensemble
Φ(M) := {a ∈ M ; pour toute φ ∈ Φ, M |= φ(a)}
est fini. Montrer qu’il existe un formule θ = θ(x) et un entier N tels que Φ ` θ et pour tout modèle
M de T , {a ∈ M ; M |= θ(a)} ≤ N (indication : on commencera par montrer que le cardinal des
Φ(M), où M |= T est borné).
(e) Soit M une L-structure. Si b ∈ M et A ⊆ M on dit que b est algébrique sur A dans M s’il
existe une formule φ = φ(x1 , . . . , xn , y) et a1 , . . . , an ∈ A tels que M |= φ(a1 , . . . , an , b) et {c ∈
M ; M |= φ(a1 , . . . , an , c)} soit fini. La clôture algébrique de A est l’ensemble aclM (A) := {b ∈
M ; b est algébrique sur A dans M }. Reprendre les questions (a) à (d) de l’exercice 2 en remplaçant
”définissable” par ”algébrique”. Que doit on changer dans (e) ?