M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie - IMJ-PRG

M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie des ensembles
TD 1 Vendredi 18 septembre
Exercice 1. Soit Lun langage quelconque et Mune L-structure finie. Le but de cet exercice est de montrer
que toute L-structure élmentairement équivalente à Mest isomorphe à M. Pour cela soit M={a1, . . . , an}
l’ensemble de base de M, où les aisont deux à deux distincts, et soit
Φ = {φ=φ(x1, . . . , xn)formule de L;M |=φ(a1, . . . , an)}
.
(a) Montrer qu’il existe φ0, . . . , φk∈Φtels que pour toute formule ψ∈Φil existe 0≤i≤ktel
que M |=∀¯x(ψ↔φi)(on pourra considérer la fonction θψ:Mn→ {0,1}tel que pour tout
(x1, . . . , xn)∈Mn,θψ(x1, . . . , xn)=1ssi M |=ψ(x1, . . . , xn)).
(b) Soit N ≡ M. Montrer que |N|=n(|N|désigne le cardinal de l’ensemble de base Nde N). Montrer
qu’il existe b1, . . . , bn∈Ntels que pour tout φ∈Φ,N |=φ(b1, . . . , bn).
(c) Montrer que toute L-structure élémentairement équivalente à Mest isomorphe à M.
Exercice 2. Soit Lun langage et Mune L-structure. Si b∈Met A⊆Mon dit que best A-
définissable dans Ms’il existe une formule φ=φ(x1, . . . , xn, y)et a1, . . . , an∈Atel que bsoit l’unique
élément de Mtel que M |=φ(a1, . . . , an, b). La clôture définissable de Aest l’ensemble dclM(A) := {b∈
M;best A-définissable dans M }.
(a) Montrer que |dclM(A)| ≤ max{|A|,|L|}.
(b) Montrer que si b∈dclM(A)alors il existe A0⊆Afini tel que b∈dclM(A0).
(c) Montrer que dclM(A)contient la sous-structure engendrée par A, mais qu’il n’y a pas en général
égalité, et que dclM(dclM(A)) = dclM(A).
(d) Montrer que dclM(A)est une sous-structure de M.
(e) Soit a∈M. Montrer que si a∈dclM(A)alors aest fixé par tout automorphisme de Mqui fixe A
point par point.
(f) Quelle est la clôture définissable de {0}dans (Z,≤)? de Qdans (R,≤)?
(g) La réciproque de (e) ci dessus est-elle vraie ?
Exercice 3.
Soit Lun langage fixé. On considère une famille (Mn)n∈Nde L-structures finies. On suppose que pour
chaque n∈Nle cardinal de Mnest supérieur à net on note
T0={φénoncé de L;pour tout n∈NMn|=φ}.
(a) Montrer que T0a des modèles infinis et donner une axiomatisation Tdes modèles infinis de T0.
(b) Soit φun énoncé de L. Montrer que T`φsi et seulement s’il existe n∈Ntel que pour tout k > n,
Mk|=φ; que T∪ {φ}est consistante ssi {k∈N;Mk|=φ}n’est pas borné.
(c) On suppose que Mnest le groupe (Z/nZ,0,+,−). Montrer que Ta parmi ses modèles des groupes
abéliens sans torsion et qu’ils sont tous divisibles. En déduire que (Q,0,+,−)est modèle de T.
Exercice 4.
Dans cet exercice le langage L={≤, E}contient (en plus de l’égalité) deux relations binaires.
(a) Donner une axiomatisation T0des L-structures M= (M, ≤M, EM)telles que ≤Mest un ordre total
dense sans extrémités et EMest une relation d’équivalence ayant exactement deux classes. Vérifier
qu’elle n’est pas complète.

(b) Soit T1la théorie contenant T0et les axiomes suivants :
—∀x∀y∀z((E(x, z)∧x<y<z)→E(x, y))
—∀x∃y(E(x, y)∧x<y)
—∀x∃y(E(x, y)∧x>y)
Montrer que T1est ℵ0-catégorique et complète.
(c) Ecrire une théorie T2dont les modèles sont les L-structures M= (M, ≤M, EM)qui satisfont T0et
telles que chacune des classes modulo EMest dense dans M. Montrer que cette théorie est complète
et ℵ0-catégorique.(on pourra montrer que la famille des isomorphismes partiels entre sous-structures
finies de deux modèles de T1a la propriété de va et vient).
Exercice 5.
(a) Pour chaque entier naturel nsoit Ln={<, c0, . . . , cn}un langage contenant un symbole de relation
binaire <et n+ 1 symboles de constante. Soit Tnla théorie suivante dans Ln:
—<est un ordre total strict dense et sans extrémités
—c0<· · · < cn.
Donner une axiomatisation de Tn. Montrer que Tnest complète.
(b) Dans cette question le langage L={<, (cn)n∈N}contient une infinité de constantes et Test la théorie
suivante dans L:
—<est un ordre total strict dense et sans extrémités
— Pour tout n∈N,cn< cn+1.
Montrer que Test complète (on pourra considérer les restrictions des modèles de Tau langage Ln).
Montrer que Ta exactement trois modèles dénombrables à isomorphisme près (indication : distiguer
suivant que la suite (cM
n)n∈Nest majorée où non, admet une borne supérieure ou non...)
Exercice 6. Questions diverses
(a) Montrer que si m6=nalors les groupes (Zm,0,+) et (Zn,0,+) ne sont pas élémentairement équiva-
lents.
(b) Soit Lun langage dénombrable. Montrer que pour tout cardinal κinfini il existe a au plus 2κ
L-structures 2 à 2 non isomorphes de cardinal κ.
(c) Soient (A, <)et (B, <)deux ensembles infinis munis d’un ordre total strict. Montrer qu’il existe
(C, <)élémentairement équivalent à (B, <)tel que (A, <)se plonge dans (C, <).
(d) Soit Tune théorie et Φun ensemble de formules à une seule variable xdans un langage du premier
ordre L. On suppose que dans tout modèle Mde Tl’ensemble
Φ(M) := {a∈M;pour toute φ∈Φ,M |=φ(a)}
est fini. Montrer qu’il existe un formule θ=θ(x)et un entier Ntels que Φ`θet pour tout modèle
Mde T,{a∈M;M |=θ(a)} ≤ N(indication : on commencera par montrer que le cardinal des
Φ(M), où M |=Test borné).
(e) Soit Mune L-structure. Si b∈Met A⊆Mon dit que best algébrique sur Adans Ms’il
existe une formule φ=φ(x1, . . . , xn, y)et a1, . . . , an∈Atels que M |=φ(a1, . . . , an, b)et {c∈
M;M |=φ(a1, . . . , an, c)}soit fini. La clôture algébrique de Aest l’ensemble aclM(A) := {b∈
M;best algébrique sur Adans M }. Reprendre les questions (a) à (d) de l’exercice 2 en remplaçant
”définissable” par ”algébrique”. Que doit on changer dans (e) ?