Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé DIVERS EXERCICES TOUS ISSUS DE SUJETS DE BAC ES RECENTS CORRECTION SUCCINCTE VEUILLEZ EXCUSER LES EVENTUELLES ERREURS DE FRAPPE Tous ces exercices sont conformes au programme, j’ai essayé de vous indiquer l’origine de chacun 1 Probabilités 1.1 Bac ES Métropole 2013 Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B. La production journalière de l’usine A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces. On prélève au hasard un composant de la production d’une journée. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024. On note : • D l’évènement : « le composant présente un défaut de soudure » • A l’évènement : « le composant est produit par l’unité A » • B l’évènement :« le composant est produit par l’unité B » On note p(D) la probabilité de l’évènement D et pA (D) la probabilité de l’évènement D sachant que l’évènement A est réalisé. Partie A : généralités 1. a) D’après les données de l’énoncé, on a pA (D) = 0,014 et pB (D) = 0,024. 9 6 = 0,4 et p(B) = = 0,6. b) Calculer p(A) = 15 15 2. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : )= PA(D 0 ,0 1 4 D A )= P(A P(B )= 0 ,4 PA (D )=0 )= PB(D 0 ,6 ,9 8 6 D 0 ,0 2 4 D B PB (D )=0 ,9 7 6 D 3. a) Calculer p(A ∩ D) = PA (D) × P(A) = 0,014 × 0,4 = 0,0056 et p(B ∩ D) = PB (D) × P(B) = 0,024 × 0,6 = 0,0144. b) En déduire p(D). D’après la formule des probabilités totales, P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) = 0,02 4. On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité A ? P(A ∩ D) 0,0056 = = 0,28 On cherche PD (A) = P(D) 0,02 Partie B : contrôle de qualité On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne m = 200,5 et d’écart-type σ = 3,5. On prélève un composant dans la production. Les résultats sont arrondis à 0,000 1 près ; ils ont été obtenus à l’aide de la calculatrice Page 1 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 1. Calculer la probabilité p1 de l’évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ». On cherche p1 = P(X > 211) = 1 − P(R 6 211) = 1 − P(R 6 200,5) − P(200,5 6 R 6 211) ≈ 0,0013 2. Calculer la probabilité p2 de l’évènement :« La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé ». On cherche p2 = P(195 6 R 6 205) ≈ 0,8427 3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un de l’autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84. Ici on reconnait la loi binomiale : On a trois épreuves à deux issues possibles, le composant est accepté ou non, la probabilité de succès (composant accepté) est constante et vaut 0,84, les épreuves sont indépendantes, la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit donc la loi binomiale B(3; 0,84) Déterminer la probabilité p qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés. 3 p = P(X = 2) = × 0,842 × 0,16 ≈ 0,3387 2 1.2 Bac ES Centres Etrangers 2013 Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis. 1. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120]. a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. 40 60 − 20 = = 0,4 On cherche P(20 6 D 6 60) = 120 − 20 100 b) Calculer l’espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat. 20 + 120 On sait que E(D) = = 70 ce qui permet de dire que le jeu pourra commencer en moyenne au bout de 70 2 secondes soit une minute et dix secondes. 2. L’équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J (en minute) d’une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N (120, 400). a) Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire J. Rappel : l’espérance est la moyenne (le premier nombre de la notation) et l’écart type est√la racine carrée du deuxième nombre donné dans la notation N (m, σ 2 ) J suit N (120, 400) donc E(J) = 120 et σ = 400 = 20 b) Montrer l’équivalence : 90 < J < 180 ⇔ −1,5 < J − 120 <3 20 Je préfère la notation avec ssi il suffit d’écrire 90 < J < 180 ssi 90 − 120 < J − 120 < 180 − 120 30 J − 120 60 < < 20 20 20 < 3 et c’est fini ! ssi −1,5 < J−120 20 J − 120 c) On définit la variable aléatoire X par X = . 20 Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X. Ceci est un résultat de cours, lorsque l’on enlève à la variable aléatoire qui suit N (m, σ 2 )la moyenne et que l’on divise par l’écart type , la variable aléatoire X obtenue suit la loi normale centrée réduite soit N (0, 1) ssi − − 30 < J − 120 < 60 ssi − d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. Ici le plus simple est d’utiliser la calculette sans tenir compte de la question précédente, la machine donne P(90 < J < 120) ≈ 0,4332 1.3 bac ES Polynésie juin 2013 On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète. A . Étude de la zone 1 Page 2 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé y 0,0128 On note X la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm. Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d’écart type σ = 30. La courbe de la densité de probabilité associée à X est représentée ci-contre. 0,0064 50 100 150 200 250 300 x 1. Par lecture graphique, donner la valeur de m. On cherche l’abscisse du maximum de la courbe : on lit m = 150 2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2 , d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm. On utilise la calculette, on obtient P150 6 X 6 210) ≈ 0,48 3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm. On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2 , de pêcher un poisson adulte. On cherche PX > 120) = P(X < 180) = P(X < 150) + P(150 < X < 180) = 0,5 + 0,3413 ≈ 0,84 4. On considère un nombre k strictement plus grand que la valeur moyenne m. Est-il vrai que P(X < k) < 0,5 ? Justifier. On sait qu P(X < m) = 0,5 or K > m donc P(X < k) > 0,5 B . Étude de la zone 2 1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades. a) Calculer la fréquence f de poissons malades dans l’échantillon. 15 f= = 0,3 50 b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième. 1 1 Ic = f − √ ; f + 1 √ soit [0,158 ;0,442] Ici pensez à arrondir en dessous pour la borne inférieure et au dessus n n pour la borne supérieure. 2. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne m′ = 205 et d’écart type σ ′ = 40. En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type σ = 30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y . Justifier la réponse. La bonne courbe est la première, car elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 205 ce qui n’est pas le cas de la troisième, de plus la seconde courbe étant plus ressérée autour de la moyenne traduit un écart type plus petit que la courbe de référence, or l’écart type de Y est supérieur à l’écart type de X. y 0,0128 Courbe 1 0,0064 50 100 150 200 y 0,0192 250 300 x Courbe 2 0,0128 0,0064 50 100 150 200 Page 3 sur 27 250 300 x Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé y 0,0128 Courbe 3 0,0064 50 100 150 200 Page 4 sur 27 250 300 x Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 1.4 Bac ES Antilles Guyane 2013 Les parties A et B sont indépendantes. Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l’exercice. Partie A La direction d’une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d’embauche du personnel : 80 % de CDI (contrat à durée indéterminée) 20 % de CDD (contrat à durée déterminée). On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant : Site de production A Site de production B CDI 315 52 CDD 106 16 Effectif total 421 68 Pourcentage de CDI 74,822% 76,471% 1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. Voir tableau 2. Pour une proportion p = 0,8, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille n, pour # " n = 421ret pour n = 68 r p × (1 − p) p × (1 − p) . ; p + 1,96 On cherche : p − 1,96 n n Pour P = 0,8 et n = 421 I421 = [0,76179 ; 0,83821] Pour P = 0,8 et n = 68 I68 = [0,704926 ; 0,895074] 3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ? On applique le cours Soit f la fréquence du caractère étudié d’un échantillon de taille n. Soit l’hypothèse : "La proportion de ce caractère la population est p." # " dans r r p × (1 − p) p × (1 − p) ; p + 1,96 Soit I l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 : I = p − 1,96 n n Si f ∈ I , alors on accepte l’hypothèse faite sur la proportion p. Si f ∈ / I , alors on rejette l’hypothèse faite sur la proportion p avec un risque de 5% de se tromper. Donc pour l’échantillon de taille 421 on refuse l’hypothèse avec un risque 5% et pour l’échantillon de taille 68, on accepte l’hypothèse. Partie B Dans cette partie, on convient que l’on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique lorsquen > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5, où p désigne la proportion dans une population, et n désigne la taille d’un échantillon de cette population. La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d’un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques. 1. S’il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. n > 30 ; n × p = 3,5 6 5 donc on ne peut pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. 2. S’il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. n > 30 ; n × p = 8 > 5 et n × p × (1 − p) = 6,51 > 5donc on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. 3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s’avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? I100 = [0,199911; 0,120009], donc 0,09 ∈ I100 , il accepte donc l’hypothèse que moins de 7% de pièces soient défectueuses dans la production. Page 5 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 1.5 Bac Es Métropole dévoilé juin 2013 Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au millième. Les parties A et B sont indépendantes. On s’intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles. Partie A : Étude du processus de mise en bouteille La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines M1 et M2 . La machine M1 remplit la bouteille de lait et la machine M2 met le bouchon. Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d’établir que 5 % des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8 % ont un bouchon. D’autre part, 4 % des bouteilles correctement remplies n’ont pas de bouchon. On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note : • R, l’évènement : « la bouteille est correctement remplie » ; • B, l’évènement : « la bouteille a un bouchon ». Rappel des notations : Si A et B sont deux évènements donnés, P(A) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise et PB (A) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé. A désigne l’évènement contraire de l’évènement A. 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. )= PR(B 0 ,9 6 B R ) P(R P(R =0 )= ,9 5 0 ,0 PR (B )=0 )= PR(B 5 ,0 4 B 0 ,0 8 B R PR (B )=0 ,9 2 B 2. Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu’elle ait un bouchon. On cherche P(R ∩ B) = PR B × P(R) = 0,96 × 0,95 = 0,912 3. Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916. D’après la formule des probabilités totales, P(B) = P(R ∩ B) + P(R ∩ B) Soit P(B) = 0,912 + PR(B) × P(R) = 0,912 + 0,05 × 0,08 = 0,916 4. Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu’elle soit correctement remplie. Partie B : Production journalière Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 2 000 et d’écart type 200. 1. Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre 1 800 et 2 200 bouteilles. La calculette donne : P(1800 6 X 6 2200) ≈ 0,683 on aurait pu aussi utilisé le rappel, on est dans l’intervalle à un sigma. 2. Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à 1 600 bouteilles. Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines On cherche : P(X 6 1600) = P(X > 2400) = 1 − P(X 6 2400) = 1 − P(X 6 2000) − P(2000 6 X 6 2400 ≈ 0,228 Page 6 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 1.6 Bac ES Polynésie sept 2013 Commun à tous les candidats Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l’année 2000 et le tableau ci-dessous donne l’évolution de sa production. Année Rang de l’année Production en tonnes 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 0 2 4 6 8 10 12 7 000 18 811 36 620 49 000 58 012 63 098 68 500 1. a) Déterminer le pourcentage d’augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme a % où a est un nombre entier. 68 500 − 7 000 ≈ 879% 7 000 b) Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l’équation x12 = 9,79. ssi ln(x1 2) = ln(9,79) ssi 12lnx = ln(9,79) ln(9,79) ssi lnx = 12 Ssi ln(9,79) ≈ 1,21 x = e 12 a= Interpréter ce nombre en termes de taux d’évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme b % où b est un nombre entier. Le taux d’évolution de la production de cette entreprise entre 2000 et 2012 est de 979% (la production est multipliée par 9,79 environ) donc chaque année le taux d’évolution moyen est de b ≈ 121% 2. L’entreprise fait appel à un cabinet d’experts pour modéliser l’évolution de la production de l’entreprise afin de faire une projection jusqu’en 2020. Le cabinet d’experts propose la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 20] par : f (x) = 27 131 lnx + 0,626x3 où x représente le rang de l’année et f (x) le nombre de tonnes produites. a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 20]. Déterminer f ′ (x) puis les variations de la fonction f sur [2 ; 20]. 27131 f ′ (x) = + 0,626x2 > 0 car x ∈ [2 ; 20] donc la fonction f est strictement croissante sur [2 ; 20]. x b) à l’aide de cette modélisation, l’entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l’année 2020 ? Justifier. On cherche à résoudre l’inéquation f (x) > 90 000 La machine à calculer donne f (20) ≈ 86 985 la fonction étant strictement croissante, l’entreprise ne pourra pas atteindre une production de plus de 90 000 avant 2020. 3. Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d’une bobine varie en fonction de nombreux facteurs. Soit X la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que X suit une loi normale de paramètres m = 500 et σ = 2. a) Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée. Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10−4 . On cherche P(X 6 496) = P(X > 504) = 1 − P(X 6 500) − P(500 6 X 6 504) ≈ 0,0227 b) L’entreprise perd de l’argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg. Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l’argent à l’entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10−4 . On cherche P(X > 506) = 1 − P(X 6 506) P(X 6 506) = P(X 6 500) + P(500 6 X 6 506) ≈ 0,9987, D’où P(X > 506) = 0,0013 Page 7 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 2 Suites 2.1 Bac ES Pondichéry 2013 Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 C à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note Cn le capital du client au 1er janvier de l’année 2000 + n, où n est un entier naturel. 1. Calculer C1 et C2 . Arrondir les résultats au centime d’euro. 2,5 = 1,025C0 = 3075 et C2 = 1.025C1 ≈ 3151,88 C1 = C0 + 100 2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn . En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation : Cn = 3 000 × 1,025n. Cn+1 = Cn + 0,025Cn = 1,025Cn donc la suite (Cn ) est géométrique de raison 1,025 et donc Cn = 3 000 × 1,025n 3. On donne l’algorithme suivant : Entrée Traitement Sortie Saisir un nombre S supérieur à 3 000 Affecter à n la valeur 0. Initialisation Affecter à U la valeur 3 000 Initialisation Tant que U 6 S n prend la valeur n + 1 U prend la valeur U × 1,025 Fin tant que Afficher le nombre 2000 + n a) Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. Valeur de n Valeur de U Condition U 6 S 0 3 000 vrai 1 3 075 vraie 2 3 152 vraie 3 3 231 vraie 4 3 311 faux b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. L’algorithme affiche 2004 c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. Cet algorithme donne l’année où le capital deviendra supérieur à S 4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 C. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date. La suite est strictement croissante car 1,025 > 1 et C13 ≈ 4 136 donc le placement ne sera pas suffisant en 2013. 5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. On cherche à résoudre 3000 × 1,025n > 30 000 soit 1,025n > 10, ce qui équivaut à : ln10 ln(1,025n) > ln10 ssi nln1,025 > ln10 ssi n > ≈ 93,24 et donc son capital sera multiplié par 10 en 2094 ln1,025 2.2 Bac ES Liban 2013 Partie A On considère la suite (un ) définie par u0 = 10 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,9un + 1,2. 1. On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par vn = un − 12. a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. On calcule vn+1 = un+1 − 12 = 0,9un + 1,2 − 12 = 0,9un − 10,8 = 0,9(un − 12) = 0,9vn La suite (vn ) est donc géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0 = u0 − 12 = −2 b) Exprimer vn en fonction de n. En appliquant les formules sur les suites géométriques, on aura : vn = v0 × qn = −2 × 0,9n c) En déduire que pour tout entier naturel n, un = 12 − 2 × 0,9n. On a vn = un − 12. soit un = vn + 12 et donc pour tout n, un = 12 − 2 × 0,9n. Page 8 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 2. Déterminer la limite de la suite (vn ) et en déduire celle de la suite (un ). Comme la raison de la suite (vn ) est comprise entre 0 et 1, la limite de la suite (vn ) est donc nulle. Par suite : lim un = 12 n→+∞ Partie B En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année : • 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; • 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville. 1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un ) où un désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année 2012 + n. La diminution de 10% de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur 0,9 soit 0,9un auquel il faut ajouter les 1 200 nouveaux habitants soit 1,2 milliers. On obtient donc bien un+1 = 0,9un + 1,2 2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année 2012 + n. VARIABLES a,i,n. INITIALISATION Choisir n a prend la valeur 10 TRAITEMENT Pour i allant de 1 à n, a prend la valeur 0,9a + 1,2, SORTIE Afficher a 3. a) Résoudre l’inéquation 12 − 2 × 0,9n > 11,5. 12 − 2 × 0,9n > 11,5 ⇔ −2 × 0,9n > −0,5 On multiplie l’inégalité par −1 donc on change le sens de l’inégalité soit 2 × 0,9n < 0,5 ⇔ 0,9n < 0,25. La fonction logarithme étant strictement croissante, on obtient : ln(0,9n ) < ln(0,25) ⇔ n ln(0,9) < ln(0,25). ln(0,25) ln(0,9) étant négatif, on aura n > soit n > 13,15. ln(0,9) Les solutions de l’inéquation sont donc les entiers naturels supérieur à 14. b) En donner une interprétation. La population de Bellecité sera supérieur à 11,5 milliers d’habitants à partir de l’année 2012 + 14 soit 2026. 2.3 Bac ES Polynésie juin 2013 La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française. Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros : Années Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d’euros) 2008 2009 2010 2011 81 295 66 052 64 690 63 182 Source : ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie Française) 1. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est −8,06% arrondi au centième. 63 182 ≈ 0,7771942, le coefficient multiplicateur moyen est donc Le coefficient multiplicateur entre 2008 et 2011 est de 81 295 1 (0,7771942) 3 ≈ 0,919411 soit un taux d’évolution annuel moyen de 0,919411 − 1 ≈ −0,0806 = −8,06% On admet pour la suite de l’exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011. Page 9 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 2. On considère l’algorithme suivant : Entrée Traitement : Saisir un nombre positif P Affecter la valeur 0 à la variable N Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation} {initialisation} Tant que U > P Affecter la valeur N + 1 à N Affecter la valeur 0,92 × U à U Fin de Tant que Sortie Affecter la valeur N + 2011 à N Afficher N Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles. On obtient 2014 ce qui veut dire qu’en 2014 le montant deviendra inférieur à 50 000 3. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (un ). On note u0 le montant en 2011, en milliers d’euros, et un le montant en 2011 + n, en milliers d’euros. On a donc u0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%. a) Montrer que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. On a un+1 = un − 0,08un = 0,92un donc (un ) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme u0 = 63 182. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, un en fonction de n. On a : un = 63 182 × 0,92n c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros. L’année 2016 correspond à n = 5 , la machine donne u6 ≈ 41 642 4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros. 1 − 0,9210 ≈ 446 706 millier d’euros. Ici on utilise la somme des termes d’une suite géométrique : S = 63 182 × 1 − 0,92 2.4 Bac ES Asie 2013 Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué de 70% des abonnés de l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés. Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600. 1. Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et 2012. Le nombre d’abonnés en 2011 est de 0,70 × 600 + 210 = 630 Le nombre d’abonnés en 2012 est de 0,70 × 630 + 210 = 651 2. On définit la suite (un ) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7un + 210. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B n 0 1 2 3 4 5 6 7 un 600 Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (un ). Il suffit de taper dans la cellule B3 : B2 ∗ 0.7 + 210 3. On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 700. a) Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme. Et c’est reparti : vn+1 = un+1 − 700 = 0,7un + 210 − 700 = 0,7 × (Un + 700) = 0,7vn .donc (Vn ) est géométrique de raison 0,7 et de premier terme v0 = −100 Page 10 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé b) Justifier que pour tout entier naturel n, un = 700 − 100 × 0,7n. vn = −100 × 0,7n un = vn + 700 = −100 × 0,7n + 700 4. a) Soit n un entier naturel. Démontrer que un > 697 est équivalent à 0,7n 6 0,03. un > 697 ssi −100 × 0,7n + 700 > 697 ssi −100 × 0,7n > −3 ssi 0,7n 6 0,03. b) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant : Variables : Initialisation : Traitement : N est un nombre entier naturel Affecter à N la Valeur 0 Affecter à U la valeur 1 Tant que U > 0,03 Affecter à N la valeur N + 1. Affecter à U la valeur 0,7 × U. Sortie : Fin du Tant que Afficher N. Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme). En faisant tourner l’algorithme on obtient : N U Sortie 0 1 1 0,7 2 0,49 3 0,343 4 0,2401 5 0,6807 6 0,11765 7 0,08235 8 0,05785 9 0,04035 10 0,02825 10 c) Retrouvez ce résultat en résolvant l’inéquation 0,7n 6 0,03. 0,7n 6 0,03 ssi ln 0,7n 6 ln 0,03 ssi n ln 0,7 6 ln 0,03 ln0,03 car ln 0,7 < 0 ssi n > 9,83 S = [9,83; +∞[ ssi n > ln 0,7 d) En utilisant l’étude précédente de la suite (un ), déterminer à partir de quelle année le nombre d’abonnés atteindra au moins 697. Compte tenu des deux questions précédentes, ceci se produira pour n = 10 soit en 2010. 2.5 Bac ES Centres Etrangers 2013 Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent. En 2012, la ville comptait 40 000 habitants. On note Un le nombre d’habitants de la ville en l’année 2012 + n. On a donc U0 = 40 000. On admet que la suite (Un ) est définie pour tout entier naturel n par Un+1 = 0,875 × Un + 1 200. On considère la suite (Vn ) définie pour tout entier naturel n par Vn = Un − 9 600. Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n’est demandée. 1. La valeur de U1 est : a. 6 200 b. 35 000 c. 36 200 d. 46 200 2. La suite (Vn ) est : a. géométrique de raison −12,5% b. géométrique de raison 0,875 c. géométrique de raison −0,875 d. arithmétique de raison −9 600 3. La suite (Un ) a pour limite : a. +∞ b. 0 c. 1 200 Page 11 sur 27 d. 9 600 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 4. On considère l’algorithme suivant : VARIABLES : U, N INITIALISATION : U prend la valeur 40 000 N prend la valeur 0 TRAITEMENT : Tant que U > 10 000 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0,875 × U + 1 200 Fin du Tant que SORTIE : Afficher N Cet algorithme permet d’obtenir : a. la valeur de U40 000 b. toutes les valeurs de U0 à UN c. le plus petit rang n pour lequel on a Un 6 10 000 d. le nombre de termes inférieurs à 1 200 5. La valeur affichée est : a. 33 b. 34 c. 9 600 d. 9 970,8 Correction : U1 = 0,875U0 + 1 200 = 0,875 × 40 000 + 1 200 = 36 200 donc U1 = 36 200 . La bonne réponse est donc la réponse c. On note que Un = Vn + 9 600. Vn+1 = Un+1 − 9 600 = 0,875 × Un + 1 200 − 9 600 = 0,875 × (Vn + 9 600) − 8 400 = 0,875 × Vn + 8 400 − 8 400 donc Vn+1 = 0,875 × Vn donc la suite (Vn ) est une suite géométrique de raison 0,875. La bonne réponse est la réponse b. Le premier terme est donc V0 = U0 − 9 600 = 40 000 − 9 600 = 30 400 On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, Vn = 30 400 × 0,875n, or Un = Vn + 9 600 donc Un = 30 400 × 0,875n + 9 600. Notons que 0 < 0,875 < 1 donc limn→+∞ 0,875n = 0 donc limn→+∞ Un = 9 600 . La bonne réponse est la réponse d. La bonne réponse est la réponse c. U32 = 30 400 × 0,87532 + 9 600 ≈ 10 024 > 10 000 et U33 = 30 400 × 0,87533 + 9 600 ≈ 9 971 < 10 000 donc la valeur affichée est la valeur de N égale à 33 . La bonne réponse est la réponse a. 3 Fonctions 3.1 Bac ES Pondichéry 2013 La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B. PARTIE A On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par f (x) = 1 − (x + 1)e−x . 1. Montrer que f ′ (x) = xe−x où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f . f ′ (x) = −e−x + (x + 1)e−x = e−x (−1 + x + 1) = xe−x 2. Démontrer que l’équation f (x) = 0,5 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Sur [0 ; 6], x > 0 et e−x > 0donc f ′ (x) > 0 donc f est strictement croissante sur [0 ; 6]. Elle est continue car dérivable, f (0) = 0 et f (6) ≈ 0,98265 donc 0,5 ∈ [ f (0) ; f (6)]. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0,5 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. f (1,67) ≈ 0,49738 et f (1,68) ≈ 0,50062 et donc α ≈ 1,68 Page 12 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 3. On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par F(x) = x + (x + 2)e−x est une primitive de f sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10−3 de I = I= Z 6 0 Z 6 0 f (x) dx. f (x) dx = [F(x)]60 = F(6) − F(0) = 6 + 8e−6 − 0 − 2 = 4 + 8e−6 ≈ 4,02 . PARTIE B Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6. x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit. f (x) représente la production journalière de batteries en milliers. 1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. Confère question A.2 le moment en question est α ≈ 1,68mois soit Un mois et 20 jours. 2. Déterminer une valeur arrondie à 10−3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. 1 La valeur moyenne de f sur les six premiers mois est m = × I ≈ 0,67 milliers de batteries. 6 PARTIE C Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km. Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d’espérance m = 200 et d’écart-type σ = 40. 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? On cherche P(X 6 160) = P(X > 240) = 1 − P(X 6 200) − P(200 6 X 6 240) ≈ 1 − 0,5 − 0,3413447399 ≈ 0,16 2. La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. L’aller-retour correspond à une distance de 320 km,On cherche donc P(X > 320) P(X > 320) = 1 − P(X 6 320) = 1 − P(X 6 200) − P(200 6 X 6 320) ≈ 0,00135, elle est donc inférieure à 0,01 3.2 Bac ES Amérique du Nord 2013 On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. y 3 2 A 1 D −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 x 3 −1 −2 −3 Figure 1 −4 Cf Partie A On suppose que f est de la forme f (x) = (b − x)eax où a et b désignent deux constantes. On sait que : • • Les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f . La tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l’axe des abscisses. Page 13 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé On note f ′ la fonction dérivée de f , définie sur R. 1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f ′ (0). On cherche l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 2, c’est à dire du point D et donc f (2) = 0, la tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse 0 est parallèle à l’axe des abscisses et donc f ′ (0) = 0 2. Calculer f ′ (x). f ′ (x) = −eax + a(b − x)eax = eax (ab − ax − 1) 3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : b−2 = ab − 1 = 0 0 On sait que f (2) = 0 soit f (2) = (b − 2)e2a soit b − 2 = 0car pour tout x ∈ R eax > 0 on obtient donc la première équation du système. On sait que f ′ (0) = 0 soit e0 (ab − 1) = 0 soit ab − 1 = 0 car e0 = 1, on obtient la seconde équation du système. 4. Calculer a et b et donner l’expression de f (x). La première équation nous donne b = 2, en remplaçant dans la seconde, il vient de façon évidente a = (−x + 2)e0,5x . 1 et donc f (x) = 2 Partie B On admet que f (x) = (−x + 2)e0,5x . (c’est rassurant, c’est ce que l’on a trouvé dans la partie A 1. À l’aide de la figure 1, justifier que la valeur de l’intégrale Z 2 0 f (x) dx est comprise entre 2 et 4. L’intégrale précédente est égale à l’aire de la partie hachurée de la figure 1 car la fonction est positive sur l’intervalle. de façon évidente (on compte les carreaux hachurés, cette est comprise entre 2 et 4. 2. a) On considère F la fonction définie sur R par F(x) = (−2x + 8)e0,5x . Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R. Il suffit de dériver F, F ′ (x) = −2 × e0,5x + 0,5 × (−2x + 8) × e0,5x = e0,5x (−2 − x + 4) = e0,5x (−x + 2) = f (x) et donc F est une primitive de la fonction f sur R. b) Calculer la valeur exacte de Z 2 0 Z 2 0 f (x) dx et en donner une valeur approchée à 10−2 près. f (x) dx = [F(x)]20 = F(2) − F(0) = 4 × e − 8 ≈ 2,87 3. On considère Gune autre primitive de f sur R. Parmi les trois courbes C1 ,C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. 8 C1 6 4 2 C3 −10 −8 −6 −4 −2 C2 2 4 6 8 10 −2 −4 Figure 2 On sait que f (2) = 0 donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de G au point d’abscisse 2 est nul, la tangente est donc horizontale,la seule courbe qui vérifie cela est bleue à savoir C3 , On aurait pu aussi essayé d’estimer la différence G(2) − G(0) qui doit valoir 2,87 Page 14 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 3.3 Bac ES Liban 2013 Partie A On considère la fonction C définie sur l’intervalle [5 ; 60] par : C(x) = e0,1x + 20 . x 1. On désigne par C′ la dérivée de la fonction C. 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 Montrer que, pour tout x ∈ [5 ; 60],C′ (x) = . x2 0,1xe0,1x − (e0,1x + 20) 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 = C′ (x) = x2 x2 2. On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par f (x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20. a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60]. On calcule la dérivée de f : f ′ (x) = 0,1e0,1x + 0,12xe0,1x − 0,1e0,1x = 0,12e0,1x > 0 car la fonction exponentielle est strictement positive sur R, donc la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60]. b) Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60]. f est continue et strictement croissante sur [5 ; 60], f (5) ≈ −20,82 < 0 et f (60) ≈ 1997,14 > 0 donc 0 ∈ [ f (5); f (60)], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60]. c) Donner un encadrement à l’unité de α . La calculette donne 25 6 α 6 26 car f (25) ≈ −1,726 < 0 et f (26) ≈ 1,542 > 0 d) En déduire le tableau de signes de f (x) sur [5 ; 60]. x 5 α 60 Signe de f (x) - 0 + 3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60]. C′ (x) est du signe de f (x) car sur [5 ; 60] x2 > 0, on en déduit le tableau de variation de C x 5 α 60 Signe de C′ (x) 0 + C(5) C(60) Avec C(5) ≈ 4,33 ; C(α ) ≈ 1,2865 et C(60) ≈ 7,057 Variation de f ց ր C(α ) 4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : a) C(x) = 2. Cette équation admet deux solutions car 2 ∈ [C(α ) ; C(5)] et 2 ∈ [C(α ) ; C(60)] b) C(x) = 5. Cette équation admet une unique solution car 5 ∈ / [C(α ) ; C(5)] et 5 ∈ [C(α ) ; C(60)]. Partie B Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l’intervalle [5 ; 60]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A. Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. Ce coût moyen minimal correspond au minimum de la fonctionC et est obtenu pour x = α , Il faut donc fabriquer 25 vélos. Page 15 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 3.4 Bac ES Antilles Guyane 2013 Partie A On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses respectives 0 ; 6 et 11. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . y 10 9 D 8 b 7 6 b E 5 4 C 3 2 1 b 0 -1 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x -2 -3 -4 -5 A Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) : 1. Donner les valeurs exactes de f (0) = −5, f (1) = 0, f ′ (0) = 6 et f ′ (6) = 0. 2. Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, préciser ce point. Manifestement le point E est un point d’inflexion. 3. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de I = Z 8 4 f (x) dx. On compte les carreaux correspondant à la partie hachurée du plan , il vient 28 6 I 6 32 4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 4. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l’unité. On cherche les abscisses des points d’intersection éventuels de la courbe et de la droite d’équation y = 4 on lit x ≈ 2 et x ≈ 14 Partie B La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par f (x) = (5x − 5)e−0,2x . 1. Montrer que f ′ (x) = (−x + 6)e−0,2x où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 20]. f ′ (x) = 5e−0,2x − 0,2(5x − 5)e−0,2x = e−0,2x (6 − x) 2. a) Étudier le signe de f ′ (x) sur [0 ; 20]. f ′ (x) > 0 sssi 6 − x > 0 car e−0,2x > 0 pour tout x ∈ R. Et donc f ′ (x)′ geqslant0 ssi x 6 6. b) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de f (0) et f (6). x 0 6 20 Signe de f ′ (x) + 0 f (0) = −5 ; f (6) = 25e−1,2 ≈ 7,3576 ; f (20) = 95e−4 ≈ 1,74 f (6) Variation de f ր ց f (0) f (20) 3. Justifier que l’équation f (x) = 4 admet une unique solution α sur [0 ; 6]. Donner la valeur arrondie au millième de α . La fonction f est continue, strictement croissante sur [0 ; 6], 4 ∈ [ f (0) ; f (6)], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f (x) = 4 admet une unique solution α sur [0 ; 6] la calculette donne α ≈ 2,256 4. a) Montrer que la fonction F définie sur [0 ; 20] par F(x) = (−25x − 100)e−0,2x est une primitive de f sur [0 ; 20]. On doit donc démontrer que F ′ x) = f (x), F ′ (x) = −25e−0,2x − 0,2 × (−25x − 100)e−0,2x = e−0,2x (−25 + 10x20) = (5x − 5)e−0,2x = f (x) Page 16 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé b) Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 8]. Donner sa valeur exacte. La valeur moyenne m de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 8] vaut : Z 8 1 f (x)dx = [F(x)]84 = F(8) − F(4) = −300e−1,6 + 100e−0,8 ≈ 29,297 m= 8−4 4 Partie C Une entreprise fabrique x centaines d’objets où x appartient à [0 ; 20]. La fonction f des parties A et B modélise le bénéfice de l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue. Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation f (x) = 4 admet une autre solution β sur [6 ; 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903. 1. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4000 C ? (Arrondir à l’unité). L’ensemble solution de l’inéquation f (x) > 4 est S = [α ; β ] Et donc la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4000 C doit être comprise entre 226 et 1 390 2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets. Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l’euro près). m = 29 297 C 3.5 Bac ES Asie 2013 La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des nombres réels. Elle passe par les points A 1; 4e0,5 ,B(0; 5) et C(5; 0). Le point D(−3; 0) appartient à la tangente à C f au point A. On note f ′ la fonction dérivée de f sur R. y 11 10 9 8 A 7 b Cf 6 5 B 4 3 2 1 D -5 -4 -3 -2 -1 C 0 -1 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 -4 Partie A - Par lecture graphique 1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier. La tangente au point A(1; f (1)) a un coefficient directeur positif, donc le nombre dérivé en 1 est positif donc f ′ (1) > 0 2. Que semble représenter le point A pour la courbe C f ? Le point A semble être un point d’inflexion, car la courbe semble traverser sa tangente en A et semble être convexe avant, puis devient concave. 3. a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I = Z 3 0 f (x) dx unités d’aires. La fonction étant positive sur [0 ; 3], il s’agit du domaine situé entre la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 3, c’est la partie du plan hachurée en rouge sur la figure. b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi : 06I69 10 6 I 6 12 En comptant les carreaux, on constate que c’est 20 6 I 6 24 Page 17 sur 27 20 6 I 6 24 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé Partie B - Par le calcul On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x + 5)e0,5x et f ′ (x) = (1,5 − 0,5x)e0,5x. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R. 1. a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0,25(−x + 1)e0,5x. f ′′ (x) = −0,5e0,5x + 0,5(1,5 − 0,5x)e0,5x = e0,5x (−0,5 + 0,75 − 0,25x) = (−0,25x + 0,25)e0,5x = 0,25(−x + 1)e0,5x. b) Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe C f . f ′′ (x) = 0 ssi −x + 1 = 0 ssi x = 1 f ′′ (x) 6 0 ssi −x + 1 6 0 ssi x > 1 donc la dérivée seconde s’annule en changeant de signe en x = 1, le point A est donc un point d’inflexion de C f . c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier. D’après l’étude précédente du signe de f ′′ (x), la fonction f est convexe sur [−∞ ; 1] . 2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F(x) = (−2x + 14)e0,5x. On admet que F est une primitive de f sur R. Calculer I = I= Z 3 0 Z 3 0 f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. f (x) dx = F(3) − F(0) = 8e1,5 − 14 ≈ 21,85 3.6 Bac ES Centres Etrangers 2013 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 8] par : f (x) = −x2 + 10x − 16 x2 On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère. 1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a : f ′ (x) = −10x + 32 x3 (−2x + 10) × x2 − 2x(−x2 + 10x − 16) −2x3 + 10x2 + 2x3 − 20x2 + 32x −10x2 + 32x −10x + 32 = = = x4 x4 x4 x3 ′ 2. a) Étudier le signe de f (x) sur l’intervalle [2 ; 8]. Sur ; 8[2 ], x3 > 0 donc f ′ (x) est du signe de −10x + 32 −10x + 32 > 0 ssi x 6 0,32 f ′ (x) = b) En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [2; 8] . x 2 3,2 8 f ′′ + 0 − f (3,2) ≈ 0,5625 f (3,2) f′ ր ց 0 0 3. On appelle f ′′ la dérivée seconde de f sur [2 ; 8]. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2; 8], on a : f ′′ (x) = 20x − 96 x4 a) Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8]. , notons que x4 > 0 sur [2 ; 8] donc f ′′ est du signe de 20x − 96, 20x − 96 > 0qui ssi > 4,8 donc la f ′′ (x) = 20x−96 x4 fonction f est convexe sur [4,8 ; 8]. . b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion. La fonction f ′ est décroissante sur [2 ; 4,8] puis croissante sur [4,8 ; 8] donc la fonction f est concave sur [2 ; 4,8] puis convexe sur [4,8 ; 8] donc le point de (C ) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion. 4. On considère la fonction F définie sur [2 ; 8] par : F(x) = −x + 10 lnx + a) Montrer que F est une primitive de f sur [2 ; 8]. 16 1 ′ F (x) = −1 + 10 × x + 16 × − x12 = −1 + 10 x − x2 = 16 x −x2 +10x−16 x2 donc F ′ (x) = f (x) donc la fonction F est une primitive de f sur [2 ; 8]. Page 18 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé b) Calculer I = I= R8 2 Z 8 2 f (x) dx f (x) dx = [F(x)]82 = F(8) − F(2) = −8 + 10 ln 8 + 2 − (−2 + 10 ln 2 + 8) I = −8 + 10 ln 8 + 2 + 2 − 10 ln 2 − 8 = −12 + 10 ln 8 − 10 ln 2 donc I = −12 + 10 ln 4 ≈ 1,86 . 3.7 Bac ES Métropole 2013 Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l’intervalle [0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d’euros. L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Partie A : étude graphique On a représenté, en annexe 2, la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas. Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée. 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. On cherche les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est supérieure à 13, on lit [2,45 ; 3,4] l’intervalle correspondant en nombre de poulies est donc [2 450 ; 3 400] 2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ? La courbe admet un sommet d’ordonnée environ 15,1, la fonction semble admettre un maximum valant 15,1 soit 15 100 euro. Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? Le nombre de poulies vendues semble être 3 000 Partie B : étude théorique Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut B(x) = −5 + (4 − x)ex . 1. a) On note B′ la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 3,6], on a : B′ (x) = (3 − x)ex B′ (x) = −ex + (4 − x)ex = ex (3 − x) b) Déterminer le signe de la fonction dérivée B′ sur l’intervalle I. B′ (x) > 0 ssi 3 − x > 0 ssi x 6 3 car ex > 0 c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle I. x 0 3 3,6 B′ + 0 − B(0) = −1 ; B(3) ≈ 15,0855 et B(3,6) ≈ 9,639 B(3) B ր ց B(0) B(3,6) On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle. 2. a) Justifier que l’équation B(x) = 13 admet deux solutions x1 et x2 , l’une dans l’intervalle [0 ; 3] l’autre dans l’intervalle [3 ; 3,6]. La fonction B est continue, strictement croissante sur [0 ; 3], 13 ∈ [B(0) ; B(3)], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation B(x) = 13 admet une unique solution x1 sur [0 ; 3] la calculette donne x1 ≈ 2,456 La fonction B est continue, strictement décroissante sur [3 ; 3,6], 13 ∈ [B(3,6) ; B(3)], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation B(x) = 13 admet une unique solution x2 sur [3 ; 3,66] la calculette donne x2 ≈ 3,398 b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. Confère question précédente x1 ≈ 2,46 et x2 ≈ 3,4 Page 19 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé Annexe 2 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 I 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 −1 3.8 Bac ES Métropole dévoilé 2013 Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignaient l’extinction de cette espèce. L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Partie A : Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f (t) = 25e−0,5t , où t est le temps exprimé en années et f (t) le nombre de milliers d’insectes. 1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre d’insectes la première année. Arrondir à 1 %. f (0) − f (1) ≈ 39,35% ≈ 39% le pourcentage de diminution du nombre On a f (0) = 25 et f (1) ≈ 15,1633 et donc f (0) d’insectes la première année est d’environ 39%. 2. a) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 4] par F(t) = −50e−0,5t est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4]. On cherche donc à démontrer que F ′ (t) = f (t) F ′ (t) = −50 × (−0,5) × e−0,5t = 25e−0,5t = f (t) donc F est une primitive de f . b) Calculer la valeur exacte de Z 4 2 Z 4 2 25e−0,5t dt. 25e−0,5t dt = [F(t)]42 = F(4) − F(2) = −50e−2 + 50e−1 ≈ 11,627 c) En déduire la population moyenne d’insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année. Z 4 1 1 25e−0,5t dt = (F(4) − F(2)) ≈ 5,814, la population La valeur moyenne de la fonction f entre 2 et 4 est m = 4−2 2 2 moyenne sera donc d’environ 5 814 insectes. Partie B : Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année. Page 20 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé L’évolution de la population est alors modélisée par la fonction g définie sur l’intervalle [4 ; 10] par : 2 g(t) = 20e−0,1t + t − 4,65. 1. On désigne par g′ la fonction dérivée de la fonction g. 2 Montrer que pour réel t de l’intervalle [4 ; 10], g′ (t) = −4te−0,1t + 1. 2 2 g′ (t) = 1 − 0,2t × 20e−0,1t = 1 − 4te−0,1t 2. On admet que la fonction g′ est continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10]. Montrer que l’équation g′ (t) = 0 a une solution et une seule α dans l’intervalle [4 ; 10]. Donner la valeur arrondie au dixième de α . La fonction g′ est continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10], g′ (4) ≈ −2,23 et g′ (10) ≈ 0,998 donc 0 ∈ [g′ (4) ; g′ (10)] donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g′ (t) = 0 a une solution et une seule α dans l’intervalle [4 ; 10]. La calculette donne α ≈ 5,58 ≈ 5,6 . 3. a) En déduire le signe de g′ (t) sur l’intervalle [4 ; 10]. D’après ce qui précède, g′ étant strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10 , g′ (t) > 0 pour t ∈ [α ; 10] et g′ (t) 6 0 pour t ∈ [0 ; α ] b) Donner le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [4 ; 10]. On en déduit le tableau de variation de g t 4 α 10 Signe de g′ (t) 0 + g(4) g(10) Variation de g ց ր g(α ) On a g(4) ≈ 3,3879 : g(α ≈ 1,8188 et g(10) ≈ 5,3509 c) Que peut-on supposer quant à l’effet du traitement sur la population d’insectes ? Il semblerait que la population diminue jusqu’à 1 818 insectes puis se remette à croitre après 5,56 années et atteigne au bout de 10 ans environ 5 350 individus, et si la situation perdure, elle continuera de croitre. 4 Exercices de spécialité graphes 4.1 Bac ES Amérique du Nord 2013 Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page. On considère que : • • Si Léa s’est connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,9. Si Léa ne s’est pas connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,8. Pour tout entier n > 1, on note an la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et bn la probabilité qu’elle ne se connecte pas le n-ième jour. On a donc : an + bn = 1. Le 1er jour, Léa ne s’est pas connectée, on a donc a1 = 0. 1. a) Traduire les données par un graphe probabiliste. 0,1 0,9 C C 0,2 0,8 b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. 0,9 0,1 0,8 0,2 c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. On cherche a3 b3 or a3 b3 = a1 b1 × M 2 Attention ici on commence à n = 1 La machine à calculer donne : a3 b3 = 0,88 0,12 , donc la probabilité que Léa se connecte le troisième jour est de a3 = 0,88 M= Page 21 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 2. Démontrer que, pour tout entier n > 1, on a : an+1 = 0,1an + 0,8. 0,9 0,1 an+1 bn+1 = an bn × = 0,9an + 0,8bn 0,1an + 0,2bn 0,8 0,2 Donc an+1 = 0,9an + 0,8bn or bn = 1 − an, il vient donc an+1 = 0,9an + 0,8 − 0,8an = 0,1an + 0,8 8 3. On considère la suite (un ) définie, pour tout entier n > 1, par un n = an − . 9 a) Montrer que (un ) est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. encore une fois la même chose : 8 8 7,2 8 0,8 8 un+1 = an+1 − = 0,1an + 0,8 − = 0,1an + − = 0,1an + = 0,1(an + ) = 0,1un 9 9 9 9 9 9 8 8 Donc la suite (un ) est géométrique de raison 0,1 et de premier terme u1 = a1 − = − Ici encore attention on 9 9 commence à n = 1 b) Exprimer un puis an en fonction de n. Ici encore attention on commence à n = 1 8 un = u1 × 0,1n−1 = − × (0,1)n−1 9 8 8 8 et donc an = un + = − × (0,1)n−1 + 9 9 9 4. a) Déterminer en justifiant la limite de (an ). 8 0 < 0,1 < 1 donc lim (0,1)n−1 = 0 d’où lim − (0,1)n−1 = 0 n→+∞ n→+∞ 9 8 et donc lim an = n→+∞ 9 b) Interpréter ce résultat. La probabilité que Léa se connexe va tendre vers 8 ≈ 0,888888888889 9 4.2 Bac ES Polynésie 2013 Les parties A et B sont indépendantes Alors qu’une entreprise A possédait le monopole de l’accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s’implanter. Lors de l’ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d’accès B, l’entreprise A possède 90% du marché et l’entreprise B possède le reste du marché. Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d’une seule entreprise A ou B. On observe à partir de 2010 que chaque année, 15% des clients de l’entreprise A deviennent des clients de l’entreprise B, et 10% des clients de l’entreprise B deviennent des clients de l’entreprise A. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité qu’un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l’entreprise A pourl’année 2010 + n, et bn , la probabilité pour que son fournisseur d’accès en 2010 + n soit l’entreprise B. On note Pn = an bn la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010 + n et on a ainsi a0 = 0,9 et b0 = 0,1. PARTIE A 1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste. 0,15 0,85 B A 0,9 0,10 2. a) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe. 0,85 0,15 0,10 0,90 b) Montrer qu’en 2013, l’état probabiliste est environ 0,61 0,39 . On a Pn = P0 × M n , 2013 correspond à n = 3 soit P3 = P0 × M 3 La calculatrice donne : a3 b3 ≈ 0,61 0,39 M= Page 22 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé c) Déterminer l’état stable P = a b de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat. Il s’agit de résoudre l’équationP × M = P avec P = a b et a + b = 1 , 0,85a+0,10b=a -0,15a+0,10b=0 0,15a+0,90b=b qui est équivalent à : 0,15a-0,10b=0 ce qui correspond au système si l’on considère la a+b=1 a+b=1 dernière équation de ce système, en remplaçant b = 1 − a dans les deux autres équations, il vient : 0,15a − 0,1 + 0,1a = 0 0,1 soit 0,25a = 0,1, on obtient donc a = = 0,4 et donc b = 0,6, l’état stable est donc P = 0,4 0,6 0,25 Cela signifie donc que la répartition entre les deux entreprises va tendre vers 40% de part de marché pour A et 60% pour B. PARTIE B Lors d’une campagne de marketing l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0,80 C par stylo et 1,20 C par porte-clés distribué. À la fin de la journée l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 C. On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués. 1. Écrire un système traduisant cette situation. s+p=550 Il s’agit du système : 0,8s+1,2p=540 1 1 et X et T sont des matrices que l’on 0,8 1,2 précisera. 1 1 s 550 De façon évidente ce système est équivalent à : × = 0,8 1,2 p 540 3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat. La matrice R est inversible car 1 × 1,2 − 0,8 × 1 6= 0 et donc X = R−1 T , la machine à calculer donne : s = 300 et p = 250, l’entrepise a donc distribué 300 stylos et 250 porte-clé. 2. Montrer que le système précédent est équivalent à R × X = T où R = 4.3 Bac ES Antilles Guyane 2013 Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d’un pic rocheux. La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux. ➃b ➈b Légende : ➀ ➂ Départ ➄ ➆ Pic rouge Col vert ➅ Refuge ➇ Pont Napoléon ➈ Cascade des anglais ➉ Arrivée Roche percée ➁ Passerelle ➃ Col des 3 vents b D➀ ➄ b b ➁ b ➆ b b ➅ ➉A b b ➇ ➂ 1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n’empruntant pas forcément tous les sentiers. Par exemple : 1 − 2 − 4 − 5 − 6 − 3 − 8 − 7 − 9 − 10 soit Départ-Passerelle-Col de 3 vents-Pic rouge-Refuge-Roche percéePont Napoléon-Col vert-Cascade des anglais-Arrivée. 2. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? La question précédente indique que le graphe est connexe, ce graphe a quatre sommets de degrés impairs à savoir 1 ; 6 ; 7 et 9, donc d’après le théorème d’ Euler, ce graphe n’admet pas de chaine eulérienne, donc il n’existe pas d’itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois. Page 23 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 3. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre. On donne ci-contre M 5 . a) Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne ? Cela signifie qu’il existe 89 chaines de longueur 5 allant du sommet 2 au sommet 4 b) Déterminer le nombre d’itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge. Le coefficient a1;10 = 31 il donne le nombre d’itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Un itinéraire correspondant passant par le pic rouge (sommet 5) est par exemple 1 − 4 − 5 − 7 − 8 − 10 56 78 75 82 59 M5 = 57 54 40 26 31 78 88 95 89 96 57 50 65 48 30 75 95 68 68 77 68 46 73 52 23 82 89 68 62 98 49 29 79 67 13 59 96 77 98 50 82 80 40 24 46 ➃b 54 50 46 29 80 25 10 73 60 5 40 65 73 79 40 68 73 32 14 48 20 b 2 20 ➄ 10 35 b 31 30 23 13 46 16 5 48 39 ➈b 45 60 D➀ 26 48 52 67 24 49 60 14 6 39 35 90 4. On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. Déterminer l’itinéraire allant de D à A le plus court en temps. On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme. 57 57 68 49 82 36 25 68 49 16 b 15 50 ➁ 25 40 b 25 ➅ ➆ b b 55 15 ➉A 40 b b ➂ On utilise l’algorithme de Dijkstra : 1 2 3 4 5 6 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 351 151 901 ∞ ∞ 351 901 ∞ 403 901 852 403 901 806 901 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 905 905 8 ∞ ∞ 1053 1053 956 956 956 956 9 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1354 1107 1107 10 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1358 1309 90 ➇ Marqués 1 1 ;3 1 ;3 ;2 1 ;3 ;2 ;6 1 ;3 ;2 ;6 ;5 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7 ;8 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7 ;8 ;9 On lit 10 − 9 − 7 − 5 − 6 − 3 − 1 d’où l’itinéraire cherché :1 − 3 − 6 − 5 − 7 − 9 − 10 la durée est de 130 minutes. 4.4 Bac ES Centres Etrangers Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux correspondants. B D C A E G F 1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). Page 24 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé Sommets Degrés A 2 B 4 C 5 D 5 E 4 F 4 G 2 2. a) Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). 0 1 1 M= 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 7 8 5 5 5 3 7 8 12 13 12 8 5 8 12 12 15 13 13 5 b) On donne la matrice M 3 = 5 13 15 12 13 12 8 5 12 13 13 10 12 5 5 8 13 12 12 8 7 3 5 5 8 5 7 2 Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste. Le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F est donné par le coefficient a1;7 = 3 de la matrice M 3 , il y en a donc 3, qui sont A − B − D − G ; A − C − D − G et A − C − F − G 3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu’un tel parcours est possible. Le graphe est connexe, car il existe au moins une chaine passant par tous les sommets, par exemple : A − B − D −C − E − F − G il n’a que deux sommets de degrés impairs à savoir C et D, donc d’après le théorème d’Euler, il admet une chaine eulérienne . 4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun. B D 4 8 8 20 16 12 4 A C 12 12 20 E 4 G 24 8 F Ce même candidat se trouve à la mairie (A) quand on lui rappelle qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpital situé en zone G. a) En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. A 0 B ∞ 8A 8A C ∞ 4A D ∞ ∞ 20C 12B E ∞ ∞ 16C 16C 16C F ∞ ∞ 24C 24C 24C 20E G ∞ ∞ ∞ ∞ 32D 32D 28F Marqués A A ;C A ;C ;B A ;C ;B ;D A ;C ;B ;D ;E A ;C ;B ;D ;E ;F Le trajet cherché est A − C − E − F − G b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ? Ce trajet dure 28 minutes Page 25 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 4.5 Bac ES Métropole 2013 Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d’Aoste. Quatre fois par mois, son employeur l’envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence. Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d’un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu’il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois. Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets. Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d’Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale. 174 A M 140 120 126 246 T P 98 168 B 119 G 108 104 LS 145 F Les deux parties sont indépendantes. Partie A : étude du trajet 1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l’ordre de parcours). On utilise l’algorithme de Dijkstra A 0 M T G P LS B F Marqués ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 174A 120T ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A 174A 288T 300M ∞ ∞ ∞ A ;T ;M 288T 300M ∞ ∞ ∞ A ;T ;M 396G 398P ∞ A ;T ;M ;G ;P 398P 541LS A ;T ;M ;G ;P ;LS 502B A ;T ;M ;G ;P ;LS ;B le trajet le plus court est donc : A − M − P − B − F , il fait 502 km. 2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l’euro près). Le budget est donc de 8 × 502 × 0,51 ≈ 2 048 C. En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l’euro près. Il aura donc une prime de 2200 − 2048 = 152 C. Partie B : traversée de Parme Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu’il est rouge, il s’arrête. L’expérience lui a permis d’établir que s’il se présente à un feu, il se produit les évènements suivants : • • Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85. Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30. Page 26 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste. 0,15 0,85 V R 0,7 0,30 2. Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l’ordre (V, R) en ligne comme en colonne. M= 0,85 0,15 0,30 0,70 3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice P1 donnant l’état initial est donc (1 0). a) Déterminer les matrices P2 = P1 × M et P3 = P2 × M. (Le détail des calculs n’est pas demandé.) La machine à calculer donne : P2 = (0,85 0,15) et P3 = (0,7675 0,2325) b) Conclure quant à la probabilité p de l’évènement « Le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu ». La probabilité de « le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu »est de p = 0,2325 4.6 Bac ES Métropole dévoilé 2013 Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l’une ne sert que du café et l’autre ne sert que du thé. Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l’entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d’employés de l’entreprise reste constant au cours du temps. La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours, auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que : • 97 % des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain. • 98 % des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain. On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants. Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café. On note C l’état « L’employé choisit un café » et T l’état « L’employé choisit un thé ». Pour tout entier naturel n non nul, on note : • cn la probabilité de l’évènement « un employé, pris au hasard, choisit un café le jour n » ; • tn la probabilité de l’évènement « un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour n » ; • Pn la matrice (cn tn ) correspondant à l’état probabiliste le jour n. 1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T . 0,03 0,97 C T 0,98 0,02 2. Déterminer la matrice P1 donnant l’état probabiliste le premier jour. P1 = 0,70 0,30 0,97 0,03 3. La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l’ordre C et T est M = . 0,02 0,98 Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu’un employé choisisse un thé le quatrième jour. On calcule P4 = P1 × M 3 Attention, on commence à n = 1 car premier jour, la calculette donne P4 = 0,91 0,09 4. a) Montrer que l’état stable est (0,4 0,6). Page 27 sur 27 Année 2015 Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé 0,97c+0,02t=c 0,03c+0,98t=t On résous l’équation P × M = P avec P = c t . Il vient c+t=1 -0,03c+0,02t=0 -0,03c+O,O2(1-c)=0 0,03c-0,02t=0 et donc Ce qui équivaut à : c+t=1 c+t=1 O,O5c=0,02 c=0,4 On obtient : ssi c+t=1 t=0,6 b) Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l’utilisation de la machine à café à long terme ? La société à tord car la probabilité du choix du café va tendre vers 0,4, le pourcentage d’amateurs de café sera donc égal à 40% à long terme. 5. a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn . On a : Pn+1 = Pn × M soit cn+1 tn+1 = cn 0,97 0,03 tn × 0,02 0,98 En déduire que pour tout entier n, on a cn+1 = 0,95 × cn + 0,02. De l’équation précédente, on obtient cn+1 = 0,97cn + 0,02tn or cn + tn = 1 soit tn = 1 − cn, en remplaçant, il vient donc : cn+1 = 0,97cn + 0,02(1 − cn) = 0,95cn + 0,02 b) On considère l’algorithme suivant : Variables : Entrée : Initialisation : Traitement : Sortie : A est un réel i et n sont des entiers naturels Saisir n Affecter à A la valeur 0,70 Pour i de 1 à n Affecter à A la valeur 0,95 × A + 0,02 Fin Pour Afficher A En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3. i 1 2 3 A 0,95 × A + 0,02 =0,685 0,95 × A + 0,02 =0,67075 0,95 × A + 0,02 =0,6572125 Affichage 0,6572125 Que permet de déterminer cet algorithme ? Cet algorithme permet de déterminer pour une valeur de n donnée, la valeur de cn . Page 28 sur 27 Année 2015