1 Probabilités - gerard

Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé
DIVERS EXERCICES TOUS ISSUS DE SUJETS DE BAC ES RECENTS
CORRECTION SUCCINCTE
VEUILLEZ EXCUSER LES EVENTUELLES ERREURS DE FRAPPE
Tous ces exercices sont conformes au programme, j’ai essayé de vous indiquer l’origine de chacun
1 Probabilités
1.1 Bac ES Métropole 2013
Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l’usine A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.
La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014.
La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024.
On note :
•Dl’évènement : « le composant présente un défaut de soudure »
•Al’évènement : « le composant est produit par l’unité A »
•Bl’évènement :« le composant est produit par l’unité B »
On note p(D)la probabilité de l’évènement Det pA(D)la probabilité de l’évènement Dsachant que l’évènement Aest réalisé.
Partie A : généralités
1. a) D’après les données de l’énoncé, on a pA(D) = 0,014 et pB(D) = 0,024.
b) Calculer p(A) = 6
15 =0,4 et p(B) = 9 15 =0,6.
2. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
A
P(A) = 0,4
D
P
A(D) = 0,014
D
P
A(D) = 0,986
B
P(B) = 0,6
D
P
B(D) = 0,024
D
P
B(D) = 0,976
3. a) Calculer p(A∩D) = P
A(D)×P(A) = 0,014 ×0,4=0,0056
et p(B∩D) = P
B(D)×P(B) = 0,024 ×0,6=0,0144.
b) En déduire p(D).
D’après la formule des probabilités totales, P(D) = P(A∩D) + P(B∩D) = 0,02
4. On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne
de l’unité A ?
On cherche P
D(A) = P(A∩D)
P(D)=0,0056 0,02 =0,28
Partie B : contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.
On admet que la variable aléatoire Rqui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une
loi normale de moyenne m=200,5 et d’écart-type
σ =3,5.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats sont arrondis à 0,0001 près ; ils ont été obtenus à l’aide de la calculatrice
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1. Calculer la probabilité p1de l’évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».
On cherche p1=P(X>211) = 1−P(R6211) = 1−P(R6200,5)−P(200,56R6211)≈0,0013
2. Calculer la probabilité p2de l’évènement :« La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué
dans l’énoncé ».
On cherche p2=P(195 6R6205)≈0,8427
3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un de
l’autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84.
Ici on reconnait la loi binomiale :
On a trois épreuves à deux issues possibles, le composant est accepté ou non, la probabilité de succès (composant accepté)
est constante et vaut 0,84, les épreuves sont indépendantes, la variable aléatoire Xqui donne le nombre de succès suit donc
la loi binomiale B(3;0,84)
Déterminer la probabilité pqu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.
p=P(X=2) = 3
2×0,842×0,16 ≈0,3387
1.2 Bac ES Centres Etrangers 2013
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
1. Paul se connecte sur le site. La durée D(en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui
suit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120].
a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
On cherche P(20 6D660) = 60 −20
120 −20 =40 100 =0,4
b) Calculer l’espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat.
On sait que E(D) = 20 +120
2=70 ce qui permet de dire que le jeu pourra commencer en moyenne au bout de 70
secondes soit une minute et dix secondes.
2. L’équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J(en minute) d’une partie est une variable aléatoire
qui suit la loi normale N(120,400).
a) Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire J.
Rappel : l’espérance est la moyenne (le premier nombre de la notation) et l’écart type est la racine carrée du deuxième
nombre donné dans la notation N(m,
σ
2)Jsuit N(120,400)donc E(J) = 120 et
σ =√400 =20
b) Montrer l’équivalence :
90 <J<180 ⇔ −1,5<J−120
20 <3
Je préfère la notation avec ssi il suffit d’écrire 90 <J<180 ssi 90 −120 <J−120 <180 −120
ssi −−30 <J−120 <60 ssi −30
20 <J−120 20 <60 20
ssi −1,5<J−120
20 <3 et c’est fini !
c) On définit la variable aléatoire Xpar X=J−120
20 .
Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.
Ceci est un résultat de cours, lorsque l’on enlève à la variable aléatoire qui suit N(m,
σ
2)la moyenne et que l’on divise
par l’écart type , la variable aléatoire Xobtenue suit la loi normale centrée réduite soit N(0,1)
d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.
Ici le plus simple est d’utiliser la calculette sans tenir compte de la question précédente,
la machine donne P(90 <J<120)≈0,4332
1.3 bac ES Polynésie juin 2013
On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
A . Étude de la zone 1
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On note Xla variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1
associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable
aléatoire Xsuit une loi normale de moyenne met d’écart type
σ =30. La
courbe de la densité de probabilité associée à Xest représentée ci-contre.
0,0064
0,0128
150 200 250 30050 100 x
y
1. Par lecture graphique, donner la valeur de m.
On cherche l’abscisse du maximum de la courbe : on lit m=150
2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2, d’avoir un poisson dont la taille est
comprise entre 150 cm et 210 cm.
On utilise la calculette, on obtient P150 6X6210)≈0,48
3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2, de pêcher un poisson
adulte.
On cherche PX >120) = P(X<180) = P(X<150) + P(150 <X<180) = 0,5+0,3413 ≈0,84
4. On considère un nombre kstrictement plus grand que la valeur moyenne m.
Est-il vrai que P(X<k)<0,5 ? Justifier.
On sait qu P(X<m) = 0,5 or K>mdonc P(X<k)>0,5
B . Étude de la zone 2
1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de
cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
a) Calculer la fréquence fde poissons malades dans l’échantillon.
f=15
50 =0,3
b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion pde poissons malades dans toute la zone 2.
On arrondira les bornes au millième.
Ic=f−1
√n;f+11 √nsoit [0,158 ;0,442] Ici pensez à arrondir en dessous pour la borne inférieure et au dessus
pour la borne supérieure.
2. Soit Yla variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que
la variable aléatoire Ysuit la loi normale de moyenne m′=205 et d’écart type
σ
′=40.
En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type σ =30, dire
laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse.
La bonne courbe est la première, car elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x=205 ce qui n’est pas le cas
de la troisième, de plus la seconde courbe étant plus ressérée autour de la moyenne traduit un écart type plus petit que la
courbe de référence, or l’écart type de Yest supérieur à l’écart type de X.
Courbe 1
0,0064
0,0128
150 200 250 30050 100 x
y
Courbe 2
0,0064
0,0128
0,0192
150 200 250 30050 100 x
y
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Courbe 3
0,0064
0,0128
150 200 250 30050 100 x
y
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1.4 Bac ES Antilles Guyane 2013
Les parties A et B sont indépendantes.
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l’exercice.
Partie A
La direction d’une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les
proportions ci-dessous en termes de contrat d’embauche du personnel :
80 % de CDI (contrat à durée indéterminée)
20 % de CDD (contrat à durée déterminée).
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :
CDI CDD Effectif total Pourcentage de CDI
Site de production A 315 106 421 74,822%
Site de production B 52 16 68 76,471%
1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. Voir tableau
2. Pour une proportion p=0,8, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons
de taille n, pour n=421 et pour n=68
On cherche : "p−1,96rp×(1−p)
n;p+1,96rp×(1−p) n#.
Pour P=0,8 et n=421 I421 = [0,76179 ; 0,83821]
Pour P=0,8 et n=68 I68 = [0,704926 ; 0,895074]
3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?
On applique le cours
Soit fla fréquence du caractère étudié d’un échantillon de taille n.
Soit l’hypothèse : "La proportion de ce caractère dans la population est p."
Soit Il’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 : I="p−1,96rp×(1−p)
n;p+1,96rp×(1−p) n#
Si f∈I, alors on accepte l’hypothèse faite sur la proportion p.
Si f/∈I, alors on rejette l’hypothèse faite sur la proportion pavec un risque de 5% de se tromper.
Donc pour l’échantillon de taille 421 on refuse l’hypothèse avec un risque 5% et pour l’échantillon de taille 68, on accepte
l’hypothèse.
Partie B
Dans cette partie, on convient que l’on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique
lorsquen >30,np >5et n(1−p)>5, où p désigne la proportion dans une population, et n désigne la taille d’un échantillon
de cette population.
La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d’un site de production souhaite
évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants
électroniques.
1. S’il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ?
Expliquer.
n>30 ; n×p=3,565 donc on ne peut pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
2. S’il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ?
Expliquer.
n>30 ; n×p=8>5 et n×p×(1−p) = 6,51 >5donc on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil
de 95%.
3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s’avèrent
défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ?
I100 = [0,199911;0,120009], donc 0,09 ∈I100, il accepte donc l’hypothèse que moins de 7% de pièces soient défectueuses
dans la production.
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