chapitre 3 : equations et inequations diverses

Mathématiques 2e Niv. 1 et 2 Première partie : Algèbre Théorie chapitre 3
COLLEGE SISMONDI (S.Z.) 2012 - 2013 CH. 1, P.23
CHAPITRE 3 :
EQUATIONS ET INEQUATIONS DIVERSES
Attention, ce chapitre traite d’équations et inéquations qui ne sont actuellement plus au programme.
§ 3.1 Equations avec valeurs absolues
3.1.1 Introduction et définition
Il n'y a pas de problème quand il s'agit de donner la valeur de | 2 | ou | - 2 |. Par contre, que dire
de | x | ou de | 2 x - 6 |, puisque ces expressions peuvent être positives ou négatives.
Définition :
La valeur absolue de A , notée | A | = A si A ≥ 0 (A ∈ +)
- A si A ≤ 0 (A ∈ - )
Remarque :
Malgré le signe négatif dans le deuxième cas, on a bien une expression positive
Puisque - A étant l'opposé de A, lui-même négatif, est donc positif.
Exemple :
Si A = 2 x - 6 , on a :
| 2x - 6 | = 2x - 6 si 2x - 6 ≥ 0, c'est-à-dire si x ≥ 3
| 2x - 6 | = - (2x - 6) si 2x - 6 < 0, c'est-à-dire si x < 3.
3 est la racine (le zéro) de 2 x - 6
On peut également considérer la valeur absolue d'une expression en utilisant le tableau des signes.
Exemple :
Soit A = -2x + 4
Lorsque x ∈ I1 = ]- ∞ ; 2 ], on a : | A | = | -2 x + 4 | = - 2 x + 4 ;
lorsque x ∈ I2 = [ 2 ; + ∞ [, on a : | A | = | -2 x + 4 | = - ( - 2 x + 4 ) = 2 x - 4
On remarque que lorsque x = 2, les deux écritures de l'expression peuvent être utilisées, car 0 est à
la fois positif et négatif .

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3.1.2 Propriétés usuelles des valeurs absolues
a) | x | est un nombre positif ou nul
b) | x | = 0 ⇔ x = 0
c) | - x | = | x |
d) | x . y | = | x | . | y |
e)
x
y
=
| x |
| y |
f) | x + y | ≤ | x | + | y |
3.1.3 Méthode de résolution d'une équation contenant des valeurs absolues.
Pour résoudre une équation (respectivement une inéquation) avec des valeurs absolues, il convient de
distinguer dans , les différents intervalles dans lesquels les expressions changent de signe. Il faut alors
remplacer l'équation (respectivement l'inéquation) par plusieurs équations (inéquations) sur les intervalles
correspondants. Le tableau des signes est un outil très performant pour résoudre des équations
(respectivement des inéquations) de ce type.
Attention, lorsque, après transformations algébriques, on obtient des solutions, il ne faut pas oublier de
vérifier que les valeurs trouvées appartiennent bien à l'intervalle sur lequel on travaille.
Exemple :
Soit l'équation | - 2 x + 10 | = | x | + | - 4 | .
L'ensemble-solution est donc S = { 2 ; 14 }.

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Exemple :
Soit l'équation | x - 1 | + | x - 2 | = 2 x + 1
x
- ∞
1
2
+ ∞
Signe de ( x - 1)
-
0
+
+
| x - 1 | s'écrit
- (x - 1) = 1 - x
(x - 1)
Signe de ( x - 2 )
-
-
-
0
+
| x - 2 | s'écrit
- (x - 2) = 2 - x
(x - 2)
Sur D1 = ] - ∞ ; 1 ]
1 - x + 2 - x = 2 x + 1
x =
1
2
1
2
∈ D1 , c'est donc une
solution
Sur D2 = [ 1 ; 2]
x - 1 + 2 - x = 2 x + 1
0 = 2 x
x = 0
0 ∉ D2, donc 0 n'est
pas solution
Sur D3 = [ 2 ; + ∞ [
x - 1 + x - 2 = 2 x + 1
0x = 4
Il n' y pas de solution
sur D3
Finalement, S =
€
1
2
"
#
$
%
&
'
Remarque :
Il n'est pas toujours nécessaire d'utiliser les tableaux :
a) dans certains cas, un simple calcul ou un peu de réflexion suffisent :
Exemples :
| 2 x - 1 | + 1 = 0 ⇔ | 2 x - 1 | = - 1
Il n'y a pas de solution donc S = ∅
| 3 x - 2 | = - ( x2 - x + 1 )
| 3 x - 2 | ≥ 0 et - ( x2 - x + 1 ) < 0, puisque Δ < 0 donc S = ∅
b) | f(x) | = 0 ⇔ f(x) = 0
c) | f(x) | = k
Les solutions de cette équation sont celles réunies des deux équations f (x) = k et f (x) = - k

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3.1.4* Inéquations contenant des valeurs absolues.
La méthode précédente s'applique également aux inéquations avec valeurs absolues
Exemple :
| x - 2 | + | x - 4 | < 5
x
2
4
| x - 2 |
- x + 2
0
x - 2
x - 2
| x - 4 |
- x + 4
- x + 4
0
x - 4
Sur D1 = ] - ∞ ; 2], on a :
- x + 2 - x + 4 < 5
-2 x < -1 x >
€
1
2
Sur D1, S = ]
€
1
2
;2]
Sur D2 = [ 2 ; 4], on a :
x - 2 - x + 4 < 5
0 x < 3 est toujours vrai
Sur D2, S = [2 ; 4]
Sur D3 = [ 4; +∞ [, on a :
x - 2 + x - 4 < 5
2x - 6 < 5 x <
€
11
2
Sur D3, S = [ 4 ;
€
11
2
[
S = { x | x ∈ et | x - 2 | + | x - 4 | < 5 } = ]
€
1
2
;
€
11
2
[
§ 3.2* Equations irrationnelles
3.2.1 Introduction et définitions
L'ensemble des réels est composé des rationnels (forme décimale finie ou infinie, mais périodique) et des
irrationnels (forme décimale infinie non périodique) tels que
€
2
ou π .
Définitions :
Si x ∈ + et y ∈ +, alors
€
x
= y ⇔ y 2 = x
Pour tout x ∈ et y ∈
€
x
3
= y ⇔ x = y3
Remarques :
1. De la première définition, il faut bien prendre en compte les deux faits suivants :
- on peut considérer la racine carrée de n'importe quel nombre x à condition qu'il soit positif ;
- x étant positif, il existe toujours deux nombres dont le carré est x. La racine carrée de x ,
€
x
représente le nombre positif. Par exemple,
€
16
= 4 ( et non ± 4 ) ,
€
x2
= | x |.
Par contre, lorsqu’on travaille avec la racine cubique, il n'y a pas de restriction pour x et y.

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2. On peut appliquer la notion de racine à des expressions plus complexes (1er degré, 2e degré, etc).
Quand une racine opère sur une telle expression, il faut considérer le domaine de définition, comme
nous l'avons fait précédemment pour les fractions rationnelles.
Exemples:
Soit l'expression M =
€
−x+7
; l'ensemble de définition de M est ]- ∞ ; 7]
Soit N =
€
−x2+4
; l'ensemble de définition de N est [-2 ; +2]
Soit P =
€
x2+5
; l'ensemble de définition de P est
En résumé, toute expression du type B =
€
A
où A et B sont des polynômes vont soulever deux questions,
à savoir :
- l'existence de B, à condition que A ≥ 0
- les équations satisfaites par B : B2 = A et B ≥ 0
3.2.2. Propriétés des racines carrées
a)
€
x
( )
2
= x
b)
€
x
≥ 0
c)
€
xy
=
€
x
.
€
y
x, y étant positifs
d)
€
x
y
=
€
x
y
x, y étant positifs, y ≠ 0
e)
€
x+y
≠
€
x
+
€
y
sauf si x = 0 ou y = 0
f)
€
x2
= | x | c'est-à-dire x si x ≥ 0 et - x si x ≤ 0.
3.2.3, Définition de l'équation irrationnelle
Définition :
Une équation irrationnelle est une équation contenant l'inconnue sous un ou plusieurs signes
d'extraction de racine.
Exemples :
a)
€
3x +1
+
€
−x+2
= 1 b) -
€
1
2
x + 2
€
x
+
5
2
= 0
c)
€
150 −x2
3
= 5 d)
€
2x +7
2
= - 2
e)
€
1−x
3
= - 3 f)
€
x+3
= 1 7 - x