Méthodes Probabilistes pour l`étude des phénomènes réels
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Bernard Beauzamy : Méthodes Probabilistes pour l'étude des phénomènes réels, seconde édition. Table des matières Fable allégorique : Comment se ruiner grâce aux statistiques 11 Genèse, références et remerciements 18 Introduction I. Le concept de hasard : une mystification II. Un sujet très peu exploré III. Un enseignement inadapté IV. Un foisonnement de pseudo-sciences V. Un bien mauvais exemple : la Bourse A. Utilisation de lois factices B. Utilisation de modèles endogènes VI. Un premier paradoxe probabiliste : que peut-on prédire ? 1. Une seule observation 2. Deux observations 3. Trois observations 4. Dix observations VII. Que peut-on faire à partir d’observations recueillies ? VIII. Une première illustration 1. Echantillon de taille 1 : on observe 2. Echantillon de taille 2 : 3. Echantillon de taille 22 22 23 24 25 26 26 27 27 29 29 29 29 30 31 31 32 32 Première Partie : Concepts probabilistes dans le monde réel 34 Chapitre 1 : Mais qu’est-ce qui est aléatoire ? I. Le hasard n’existe pas II. Mais il faut introduire le hasard A. Des chaussures B. Des missiles III. Introduire le hasard ? Mais comment ? 36 36 37 38 38 39 Chapitre 2 : L’acquisition de l’information probabiliste I. Les probabilités au quotidien II. Acquisition de l’information A. La mauvaise manière : le jugement d’expert B. La bonne manière : en répétant l’expérience III. Un exemple concret IV. Sur la répétabilité de l’expérience A. La répétabilité virtuelle B. La prédiction par calcul C. Absence complète de répétabilité 4. Elle ne précise pas l'unité de temps. 5. Il faut un nombre élevé d'installations 42 42 42 42 45 45 49 49 50 51 52 52 V. Les phénomènes extrêmes VI. Se faire écraser en traversant la rue 53 54 Chapitre 3 : La représentation de l’information probabiliste I. L’histogramme et ses dangers II. Recommandation 58 58 60 Chapitre 4 : L’exploitation de l’information probabiliste I. Le sens commun II. Cas d’une utilisation multiple : application à la garantie 62 62 63 Chapitre 5 : Concepts probabilistes de base finfin I. L’espace des résultats II. La probabilité A. Définition générale B. Densité de probabilité III. La répartition du maïs en France IV. Probabilités conditionnelles Chapitre 6 L'indépendance des événements I. Qu’est-ce que l’indépendance ? A. Définition générale B. L'indépendance dépend de la loi choisie II. Indépendance mutuelle I. Présentation II. La fonction de répartition III. Les v. a. associées aux phénomènes réels A. Une mesure est toujours discrète B. Le phénomène observé peut-il être continu ? C. Un phénomène réel est nécessairement borné D. Définition d’un phénomène continu E. Observation et continuité IV. Difficultés inhérentes à la théorie de l’intégration V. Continuité de la densité VI. Discontinuité des lois usuelles VII. Phénomènes discontinus VIII. Lois tronquées A. Loi exponentielle B. Loi de Gauss tronquée C. Loi de Poisson IX. Génération de nombres aléatoires selon une loi donnée A. Cas de l’intervalle B. Cas d’un intervalle symétrique par rapport à l’origine C. Cas général ; exploitation pratique D. Cas de la loi normale Chapitre 8 L'indépendance des variables aléatoires I. Présentation II. Exemples 69 69 71 71 74 76 77 79 79 79 79 80 83 85 86 86 87 87 88 90 92 93 93 94 96 97 97 98 98 99 99 101 103 104 107 107 107 107 A. Exemple 1 : Le jeu de dé B. Exemple 2 : le facteur C. Exemple 3 : la pluie et les vacances III. Indépendance théorique et indépendance pratique IV. Indépendance et répétition V. L’indépendance : un concept qui ne doit rien au hasard Chapitre 9 Loi d’un couple de variables aléatoires I. Présentation II. Loi du couple et probabilité conditionnelle A. Variables discrètes B. Cas de variables avec densité de probabilité C. Loi du couple et probabilité conditionnelle III. Loi d’un k-uple de variables aléatoires IV. La formule de Bayes A. Présentation B. Un exemple Chapitre 10 Espérance et variance d’une variable aléatoire I. Présentation II. Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire III. Truc pour passer du cas discret au cas continu IV. Variance d'une v. a. V. Covariance de deux v. a. VI. Inégalité de Cauchy-Schwarz VII. Coefficient de corrélation de deux v. a. VIII. Couple Gaussien Chapitre 11 La répétition d'une expérience I. Présentation II. La réitération indépendante : un paradis perdu III. Probabilités et réitération IV. La théorie asymptotique V. Divergences pour N fixé A. Cas 1. Estimations sur les coefficients du binôme 2. Application : calcul de l’indice de disparité dans une population B. Cas p quelconque 108 108 109 109 110 111 115 115 115 116 116 117 118 118 119 119 120 123 123 123 125 126 126 127 129 130 131 133 133 133 135 135 137 137 137 137 139 141 Chapitre 12 La correction des erreurs et la calibration I. Une mesure n’est jamais parfaitement précise II. Trois types d’erreur A. Erreurs de type 1 B. Erreurs de type 2 1. Premier type de formule correctrice 2. Second type de formule correctrice C. Erreurs de type 3 1. Situation 1 2. Situation 2 145 145 145 146 146 146 147 148 149 149 151 3. Description du protocole sur un exemple 4. Réduction du nombre de mesures III. De l’importance des corrections IV. Deux concepts différents : la justesse de l’instrument et sa qualité V. La calibration d’un capteur avec effet d’échelle VI. Reconstitution des lois conditionnelles des erreurs Chapitre 13 Exploiter l’information de mesure : Fusion de données multicapteurs I. La mise en œuvre d’un capteur après calibration II. Fusion de données multicapteurs A. Enregistrer une suite de mesures au moyen de deux capteurs B. Propriétés de la loi de fusion C. Fusion de deux gaussiennes III. Application à l’hybridation de mesures de positionnement A. Hybridation Inertie – GPS 1. Qu’est-ce qu’une centrale à inertie ? 2. Le GPS 3. Hybridation Inertie- GPS B. Positionnement grâce à une caméra 1. Généralités 2. Hybridation Caméra – Inertie IV. Fusion d’informations relatives à des visées consécutives A. Cas de deux visées B. Cas de visées multiples Chapitre 14 Evaluation d’un taux de risque I. Présentation II. L’exemple du Concorde III. Les hypothèses de travail IV. Outils mathématiques A. Notions de base B. La répétition engendre l’anarchie, et non l’homogénéité V. Evaluation du taux de risque lié à un produit A. Théorie générale B. Calcul de l’espérance C. Calcul du maximum D. Quel choix faire E. Calcul de la variance de la loi F. Décroissance de la variance avec le nombre d’essais VI. Utilisation prédictive VII. Une expérience fictive VIII. Deux paradoxes probabilistes IX. Extension au cas multinomial A. La formule générale B. Application à la prédiction à partir d’un échantillon C. Application : estimation d’un taux de panne 1. Présentation générale 2. Une difficulté théorique de modélisation 3. La réitération de l’information X. Comparaison de deux produits 151 152 153 154 154 162 163 163 163 168 168 173 173 177 177 177 179 180 181 181 182 183 184 192 195 195 195 196 196 197 197 198 199 199 201 202 203 205 205 206 207 208 211 211 213 215 215 217 218 218 XI. Calculs explicites sur ordinateur A. Généralités B. Analyse de la condition C. Réduction de l’intervalle de travail D. Calcul effectif des sommes de Riemann Chapitre 15 Un échantillon recueilli est-il compatible avec une loi donnée ? I. Une question naturelle II. Test empirique de compatibilité III. Cas d’un échantillon de taille 2 IV. Cas d’un échantillon de taille N V. Ajustement d’un paramètre à partir d’un échantillon A. Un cas particulier B. Cas général C. Ajustement sur un échantillon multiple D. Exemple Chapitre 16 Reconstitution d’une densité de probabilité à partir d’un échantillon I. Introduction II. La construction de base : la fonction de répartition A. Echantillon simple B. Echantillon multiple III. Le phénomène aléatoire et l’erreur de mesure A. L’instrument a été calibré B. Instrument non calibré IV. Rendre la fonction de répartition continue A. La construction B. Quelles hypothèses sous-jacentes fait-on ? C. Le sens physique de ces hypothèses D. Une autre approche E. Que perd-on en rendant continue la fonction de répartition ? 1. Cas d’un échantillon simple 2. Cas d’un échantillon multiple V. Exploration d’un phénomène aléatoire à l’aide d’un échantillon A. Présentation B. Boîtes de Faible Probabilité C. Utilisation des BFP 1. Présentation théorique 2. Exploitation de la formule 3. Intervalle de confiance pour la médiane 4. Estimation du quantile à 95 % VI. Répartition d’un échantillon ultérieur Chapitre 17 La décision à partir d’une information probabiliste I. Présentation II. Modélisation du problème III. Exemples de base A. Situation équiprobable ; on perd sa mise si on se trompe B. Situation équiprobable, mais les gains ne sont pas les mêmes C. Cas où n’est pas le même pour tout 219 219 221 222 223 227 227 227 230 231 233 234 235 235 236 237 239 239 239 240 241 242 243 244 246 246 247 248 248 249 249 249 250 252 252 253 254 254 254 256 257 258 261 261 261 262 262 262 263 263 D. Cas où il n’y a pas de perte E. Le choix de l’espérance de IV. Le cas du tiercé Chapitre 18 La prévision des phénomènes extrêmes I. Présentation du problème II. Estimation par taux de risque III. Evaluation probabiliste directe IV. La loi du maximum d’un échantillon A. Cas d’une loi uniforme B. Cas d’une loi exponentielle tronquée Chapitre 19 La convergence vers la loi de Gauss I. Tout converge ! A. Exemple 1 B. Exemple 2 II. Fonction caractéristique d’une variable aléatoire A. Définition B. Fonctions caractéristiques des densités usuelles 1. Loi uniforme sur 2. Variable gaussienne C. Calcul des moments III. Fonction caractéristique d’une somme de variables indépendantes IV. La convergence vers la loi de Gauss en général A. Enoncé B. Commentaires sur l’énoncé 1. Il faut que les variables soient indépendantes 2. Il faut que et soient fixes 3. Ne pas multiplier 4. La convergence est asymptotique C. Démonstration du théorème V. Convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss A. Enoncé juste B. Une première estimation de la vitesse de convergence C. Erreurs à ne pas commettre D. Un énoncé faux VI. Résultat quantitatif de convergence de la loi binomiale VII. Cas de la loi binomiale de paramètres n, p Annexe : Analyse quantitative de la convergence de la loi binomiale Chapitre 20 Le hasard a-t-il des lois ? I. La nature ne recherche pas un équilibre II. Marche aléatoire dans le plan A. Un énoncé incroyable B. Démonstration C. Conséquences D. Une version quantitative E. Combien de suites de longueur N contiennent 8 P consécutifs ? III. Taille de populations IV. Un test sur les générateurs de nombres aléatoires 264 265 265 267 267 267 268 269 271 271 272 275 275 275 275 276 277 277 277 277 278 279 280 280 280 281 281 281 282 282 282 283 283 285 286 287 289 290 292 299 299 299 300 301 301 302 303 306 309 310 V. Conclusion Chapitre 21 Les prévisions météorologiques I. Météo et aléas II. Réaliser des tables de probabilités conditionnelles III. Des lois très complexes IV. Indépendance et météorologie V. El Nino et l’indépendance VI. Analyse spatiale des phénomènes météorologiques A. Définition du besoin B. Les bénéfices attendus C. Les méthodes mathématiques VII. Phénomènes extrêmes Chapitre 22 Méthodes probabilistes pour le recalage altimétrique I. Qu’est-ce que le recalage altimétrique ? II. Méthodes probabilistes A. Avantages de la méthode B. Le terrain C. L'altimètre D. La "nappe probabiliste" représentant l'information d'altitude E. Le missile se déplace F. Réitération G. Un exemple simple H. Analyse de l'indépendance des lois. I. Extensions Chapitre 23 Simulations Technico-Opérationnelles ayant des composantes aléatoires I. Description du cadre général II. Introduire des probabilités A. Généralités B. Altérations du scénario par des éléments de faible probabilité C. Mesure probabiliste au sein d’un scénario III. Notion de variance d’un scénario IV. Utilisation de la loi des grands nombres V. Mise en œuvre pratique VI. Une validation supplémentaire : la comparaison des sorties Chapitre 24 Analyse probabiliste de l'effet des vents traversiers sur les TGV I. Présentation du besoin II. Discrétisation III. Evaluation des probabilités IV. Exploiter les précautions déjà prises A. La mise en place d'écrans B. Utiliser un système d'alerte V. Réserves méthodologiques Chapitre 25 La production d’électricité I. Description simplifiée du problème II. La gestion de production immédiate 310 315 315 315 316 317 318 320 321 321 321 323 325 327 327 327 329 329 330 330 331 332 333 334 336 336 339 339 339 340 340 341 341 342 343 343 344 345 345 345 346 347 349 349 349 350 353 353 353 354 III. Prise en compte de la concurrence IV. Tenir compte du jour précédent V. Tenir compte de l'état précédent VI. Prévision aléatoire de la demande A. Notion de scénario B. Un exemple simple 1. Scénario 1 : je vais à Lille 2. Scénario 2 : je vais à Nice C. Retour à la production d'électricité 1. Scénario 1 : je conserve la centrale 1 et n'allume pas la centrale 2 2. Scénario 2 : j'allume aussi la centrale 2 D. Retour à la situation générale VII. Aléas de panne et maintenances Chapitre 26 Organisation de tournées I. Présentation générale du besoin II. Un Contrat de qualité A. Présentation B. Un outil de communication III. La Conception des tournées A. Difficultés fondamentales B. Eléments de base pour la résolution du problème C. Cahier des charges journalier D. Résolution déterministe E. Introduction d'éléments aléatoires Chapitre 27 Comment modéliser un phénomène réel ? I. Etape 1 : bien définir le besoin II. Etape 2 : définir et recenser les instruments d’information III. Etape 3 : définir et recenser les moyens d’action IV. Etape 4 : Modélisation déterministe A. Trouver l’endroit propice B. Se poser à l’endroit propice V. Etape 5 : Introduire les éléments probabilistes 355 355 356 356 356 357 358 358 358 359 360 360 361 363 363 363 364 364 365 366 366 366 367 368 369 371 371 371 372 373 373 373 375 376
