Cours 5GPM Edition 2000-2001 TRANSISTOR MOS A EFFET DE CHAMP Eléments de théorie et de pratique P. MASSON et J.L. AUTRAN Edition 2000-2001 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Département Science et Génie des Matériaux DEA Dispositif de l’Electronique Intégrée -2- Avertissement Le présent document est la deuxième version d'un cours sur le transistor métal-oxydesemiconducteur (MOS) à effet de champ. L'étude théorique est restreinte au cas du transistor à canal n dans un régime non saturé (avant pincement du canal). Le cas du transistor à canal p est traité (intégralement) en annexe. Les auteurs tiennent à remercier très sincèrement G. Ghibaudo et P. Gentil (LPCS, ENSERG, Grenoble) pour leurs suggestions et leur lecture critique du document. Ils remercient également par avance les lecteurs qui voudront bien leur faire part de leurs remarques et corrections concernant le fond et la forme du document. Copyright © 1998, 2000 P. Masson et J.L. Autran. Tous droits réservés. -3- -4- Table des matières Avertissement ................................................................................................. 3 Table des matières ......................................................................................... 5 Table des symboles ......................................................................................... 7 Introduction générale ................................................................................. 11 Chapitre I : Etude préliminaire du transistor MOS ........................... 12 I.1. Convention d’écriture .......................................................................................... 12 I.2. Densité de porteurs dans le semi-conducteur................................................. 13 I.3. Expression préliminaire du courant ................................................................. 15 I.3.1. Séparation des termes de diffusion et de conduction ........................................... 16 I.3.2. Association des termes de diffusion et de conduction .......................................... 16 I.4. Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur QSC ................ 18 I.4.1. Expression de la charge QSC ................................................................................. 18 I.4.2. Cas de l’inversion faible et forte ........................................................................... 21 I.5. Détermination de la charge de la zone désertée QD....................................... 22 I.6. Détermination de la charge d’inversion Qn ..................................................... 23 I.7. Expression de S en fonction de V(x), VGS et VBS ............................................ 24 I.8. Dépendance des différents paramètres avec la distance à l’interface....... 26 Chapitre II : Le transistor MOS en inversion faible avant saturation ................................................................................................ 29 II.1. Approche complète : courant de diffusion et de conduction ....................... 29 II.1.1. Expression analytique du potentiel de surface .................................................... 29 II.1.2. Expression du courant en inversion faible ........................................................... 31 II.1.3. Détermination de C(x) ........................................................................................ 32 II.1.4. Illustration ............................................................................................................ 34 I.3. Approche simplifiée (courant de diffusion) ..................................................... 36 I.3.1. Calcul de la relation IDS(S) ................................................................................... 36 Chapitre III : Le transistor MOS en inversion forte avant saturation 39 III.1. Expression préliminaire du courant ................................................................. 39 III.2. Expression de QSC.................................................................................................. 40 Expression de QD.............................................................................................................. 40 -5- Expression du courant.................................................................................................... 41 Expression de la mobilité ............................................................................................... 42 5.1. Collisions sur les phonons ........................................................................................ 43 5.2. Collisions coulombiennes ...................................................................................... 43 5.3. Collisions sur la rugosité de surface ..................................................................... 43 5.4. Mobilité effective en inversion forte ......................................................................... 44 La transconductance....................................................................................................... 47 Exemple ............................................................................................................................. 47 -6- Table des symboles Ar m2 Section droite du canal CD0 F m-2 Capacité associée à la zone désertée pour S = S0 Cit F m-2 Capacité associée aux états d’interface Cox F m-2 Capacité d’oxyde cn m-3 Coefficient de capture des électrons cp m-3 s-1 Coefficient de capture des trous Dit J-1 m-2 Densité d’états d’interface Dn m2 s-1 Coefficient de diffusion des électrons E J Energie EC J Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction ECS J Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction à l’interface EF J Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur loin de l’interface EFn J Energie du quasi niveau de Fermi pour les électrons EFp J Energie du quasi niveau de Fermi pour les trous EFM J Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur Eg J Largeur de la bande interdite du semi-conducteur Ei J Niveau d’énergie intrinsèque loin de l’interface EiS J Niveau d’énergie intrinsèque à l’interface ET J Energie d’un niveau piège dans la bande interdite du semi-conducteur EV J Energie du niveau le plus haut de la bande de valence loin de l’interface EVS J s-1 Energie du niveau le plus haut de la bande de valence à l’interface V F m-1 V-1 Champ électrique Facteur d’occupation de Fermi pour les électrons gm A Transconductance IDS A Courant Drain - Source Jn A m-2 Densité de courant d’électrons en chaque point du canal k J K-1 Constante de Boltzmann (k = 1.381023 J.K-1) L m Longueur de canal dessinée LB m Longueur de Debye extrinsèque NA m-3 Concentration en atomes accepteurs ND m-3 Concentration en atomes donneurs n m-3 Concentration d’électrons libres dans le semi-conducteur ni m-3 Concentration intrinsèque d'électrons dans le semi-conducteur nS m-3 Concentration d'électrons à l’interface -7- n0 m-3 Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface n1 m-3 Concentration d’électrons dans le cas où EF = ET p m-3 Concentration des trous libres dans le semi-conducteur pS m-3 Concentration des trous à l’interface p0 m-3 Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface p1 m-3 Concentration de trous dans le cas où EF = ET Qox C m-2 Charge dans l’oxyde QD C m-2 Charge dans la zone désertée du semi-conducteur QD0 C m-2 Charge dans la zone désertée du semi-conducteur pour S = S0 Qit C m-2 Charge due aux états d’interface Qit0d, Qit0a C m-2 Qit0ad, Qit0 Charges constantes dues aux états d’interface selon le type d’état QSC C m-2 Charge dans le semi-conducteur Qn C m-2 Charge de la couche d’inversion q C Valeur absolue de la charge de l’électron (1.60210-19 C) RSD Résistance série tox m Epaisseur d’oxyde T K Température absolue V(x) V Potentiel le long du canal du à la polarisation Drain - Source VBS V Tension Substrat - Source VDS V Tension Drain - Source VFB V Tension VGS pour laquelle S = 0 à la source VGS V Tension Grille – Source Vox V Tension aux bornes de l’oxyde Vmg V Tension VGS pour laquelle S = F à la source VT V Tension de seuil du transistor Vth V Tension VGS pour laquelle S = 2F à la source VText V Tension de seuil extrapolée du transistor W m Largeur de canal dessinée yd m Largeur de la zone désertée ydM m Extension maximale de la zone désertée (inversion forte) yi m Epaisseur de la couche d’inversion V Potentiel thermique (q/kT) L m Sur-gravure de la longueur du canal W m Sur-gravure de la largeur du canal 0 F m-1 Permittivité du vide (8.8510-12 F.m-1) ox Constante diélectrique de l’oxyde (3.82) SC Constante diélectrique du semi-conducteur (11.9) Si F m-1 Permittivité du semi-conducteur (0SC) -8- 1 V-1 Facteur d’atténuation linéaire de la mobilité dans le canal 2 V-2 Facteur d’atténuation quadratique de la mobilité dans le canal µ0 m2V-1s-1 Mobilité des électrons dans le canal à faible champ électrique µeff m2V-1s-1 Mobilité effective des électrons dans le canal C m-3 Densité volumique de charge C V Ecart entre les quasi niveaux de Fermi F V Potentiel de volume du semi-conducteur V Potentiel dans le semi-conducteur S V Potentiel de surface du semi-conducteur S0 V Valeur particulière S0 = 1.5 F VBS du potentiel de -9- surface du semi-conducteur : - 10 - Introduction générale La connaissance des équations modélisant le courant de conduction du transistor MOS à effet de champ est essentielle, aussi bien pour étudier son comportement électrique que pour déterminer ses paramètres de fonctionnement, tels que la tension de seuil (VT), la transconductance de canal (gm) ou la mobilité à faible champ électrique des porteurs (µ0). Dans ce document, nous avons entrepris de réécrire complètement les démonstrations de quelques modèles d’utilisation courante. Il ne faut donc pas chercher dans son contenu d’élément novateur car tel n’est pas son but. Par son approche très détaillée, nous espérons que le texte permettra au lecteur de mieux comprendre le fonctionnement du transistor et de mieux cerner les méthodes d’extraction de paramètres, notamment celles dédiées à la détermination du potentiel de surface en fonction de la tension de grille. Nous avons limité notre étude au fonctionnement du transistor en faible et forte inversion avant saturation dans le cas d'une structure à canal n. Les équations relatives au transistor à canal p sont données en annexe. - 11 - Chapitre I : Etude préliminaire du transistor MOS Cette première partie a pour objectif d’introduire des notions fondamentales telles que la charge du semi-conducteur et la charge d’inversion ainsi que leur dépendance avec les divers polarisations ou densités de défauts électriquement actifs. Nous nous plaçons bien entendu dans l’optique du transistor MOS c’est-à-dire dans le cas d’un semi-conduteur hors équilibre et nous ferons apparaître, pour en tenir compte, les quasi-niveaux de Fermi. Précisons dans un premier temps les conventions d’écriture et de calcul que nous avons choisies. I.1. Convention d’écriture EC Source -qVGB ECS EFp EFn -qF -qC -q(y) EVS Métal Isolant 0 yi VGS Drain IDS Isolant N+ EV EiS EFM a Ei EF Grille N+ z 0 y Substrat type-p -qS Silicium Substrat ou Bulk y VDS L x W VBS b Figure I.1.a. Diagramme de bandes du transistor MOS à canal n faisant apparaître les quasi-niveaux de Fermi : C = -VBS à la source et C = VDS - VBS au drain. VDS est la tension appliquée entre le drain et la source, et VBS la tension appliquée entre le substrat et la source. b. Coupe d’un transistor MOS à canal n. La Fig. (I.1.a) présente le diagramme de bandes de la structure Métal - Oxyde - Semiconducteur d’un transistor MOS : Le niveau de Fermi du métal est au dessus du minimum de la bande de conduction (non représenté) ce qui donne à ce matériau un nombre considérable d’électrons libres. Les bandes de conduction et de valence de l’isolant sont représentées mais non spécifiées car elles n’interviennent pas dans l’établissement des diverses expressions. Le semi-conducteur, représenté en régime d’inversion forte, fait apparaître deux notations pour le nom des bandes : une dans le volume du substrat et une à l’interface Si/isolant spécifiée par l’indice "S". Les énergies de ce diagramme sont en joules (J) et les diverses tensions sont en volts (V). (y) et Ei représentent - 12 - respectivement la courbure des bandes et le milieu de la bande interdite du semiconducteur. EC (e.g. ECS) et EV (e.g. EVS) sont le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence du semi-conducteur. Le choix du sens des flèches a pour origine la tension que l’on applique entre la grille et le substrat. Cela revient à faire la différence entre les niveaux de Fermi du métal et du semi-conducteur. En raison d’une polarisation non nulle appliquée entre la source et le drain, le semi-conducteur, au niveau du canal, n’est pas à l’équilibre thermodynamique. Cela se traduit par l’apparition de quasi niveaux de Fermi notés EFn pour les électrons et EFp pour les trous avec, dans le cas d’un substrat de type p : EFp EF. C correspond à l’écart entre ces quasi niveaux de Fermi. Il est égal à la polarisation extérieure appliquée entre le point y et le volume du semi-conducteur (y ). Ce potentiel est fonction de la position considérée le long du canal, il est égal à VBS au niveau de la source et à VDS VBS au niveau du drain. Remarque : pour comprendre l’origine de C il faut se souvenir du diagramme de bande de la jonction p-n en l’absence de polarisation (cas de la source avec VBS = 0) ou en polarisation inverse (cas du drain avec VBS = 0) : l’écart entre les quasiniveaux de Fermi de la zone désertée de ces deux diodes se retrouvent aux bornes du canal. Le potentiel de volume F du semi-conducteur a pour expression [Sze’88] : F = kT N A 1 N A 1 ln ln EF Ei q q ni ni (I.1) où k est la constante de Boltzmann, T la température absolue, = q/kT, NA le dopage du substrat (que nous supposons uniforme dans la région active de la surface) et q la valeur absolue de la charge de l’électron. Pour avoir une notion d’ordre de grandeur à l’esprit faisons le petit calcul suivant : le gap du silicium à 300 K est de 1,1 eV et un dopage du substrat de 21023 m3 donne F = 0,424 eV alors q’un dopage de 21023 m3 donne F = 0,457 eV. Un schéma en coupe du transistor MOS à canal n est donné à la figure (I.1.b). Les deux caissons N+ latéraux servent de réservoirs à porteurs minoritaires (du substrat). I.2. Densité de porteurs dans le semi-conducteur Puisque la polarisation est non nulle entre la source et le drain, le semi- conducteur n'est pas à l'équilibre thermodynamique au niveau du canal. Les densités d’électrons et de trous s’expriment donc en fonction des quasi-niveaux de Fermi (EFn et EFp) [Sze’66]. Pour les électrons, on peut écrire : E - E i (y) n(y) = n i exp Fn kT (I.2) Pour les trous, une expression similaire donne : Ei (y) EFp p(y)=ni exp kT (I.3) - 13 - Si l'on remarque que EFn Ei(y) = EFn EF + EF Ei + Ei Ei(y) = qC qF + q(y) (pour le substrat de type p, EFp EF ), l'Eq. (I.2) peut se réécrire sous la forme : n(y)=ni exp βΦ F expβ Ψ(y) ΦC (I.4) c'est-à-dire : 1.2x10 24 1.0x10 24 8.0x10 23 6.0x10 23 4.0x10 23 2.0x10 23 -3 nS (m ) q Ψ(y) ΦC n(y)=n0 exp kT 0.0 (I.5) C variable 0V 0.05 V 0.1 V nS = p0 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 S (V) Figure I.2. Evolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi (C). NA = 2.51023 m-3. De même, en posant Ei(y) - EFp = Ei(y) - Ei + Ei - EFp = -q(y) + qF, l’Eq. (I.3) conduit à : p(y) = p0 exp (y) (I.6) Dans les expressions (I.5) et (I.6), n0 et p0 représentent les densités de porteurs libres à l'équilibre dans le volume du semi-conducteur (i.e. loin de l’interface). Ces densités sont données par : n 0 = n i exp F (I.7) p0 = n i exp F (I.8) La figure (I.2) représente l’évolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction du potentiel de surface et de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi (C) évaluée à partir de l’équation (I.5). La limite entre inversion faible et inversion forte est atteinte lorsque la densité en électrons à l’interface, nS, est égale à la densité en trous dans le volume du semiconducteur, n0. Lorsque l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi est nul (i.e. EFn = EFp), cette limite est atteinte pour S = 2F. Par contre si C est différent de 0, cette limite est alors atteinte pour un potentiel de surface supérieur ou inférieur à 2F (S = 2F + C), c’est ce qu’illustre la figure (I.2). - 14 - I.3. Expression préliminaire du courant La densité de courant en chaque point du canal est la somme des composantes de diffusion et de conduction des électrons et de trous libres [Pao’66] : Jx,y q μ n nξ Dn n μ pξ Dpp J n J p (I.9) où J n et J p représentent les composantes du courant dues aux électrons ou aux trous. D n et Dp sont les coefficients de diffusion des électrons et des trous. L'expression (I.9) se simplifie puisque le courant d’électrons (cas du n-MOS) ne sera observable qu’en régime d’inversion faible et forte. Cela signifie que l’on peut considérer la densité de courant des porteurs majoritaires dans le volume du substrat (i.e. des trous) comme négligeable, i.e. J p 0 [Barron’72]. Le quasi niveau de Fermi des trous peut donc être considéré comme constant dans tout le substrat. Ceci est d'autant mieux vérifié que les dopages des zones de sources et de drain sont élevés (car l’injection de trous dans ces deux régions à partir du substrat est alors négligeable). Puisque le canal du transistor se forme à l’interface isolant / semi-conducteur, la mobilité des électrons µn est une grandeur caractéristique des propriétés de transport en surface du semi-conducteur, généralement différentes des propriétés volumiques. Nous la notons µ0 et nous lui donnons le sens d'une mobilité moyenne des électrons dans la couche d’inversion. L’équation (I.9) se résume alors à : J(x,y) J n =qnμ 0ξ qDn n (I.10) Il est possible d’obtenir une solution analytique de l'équation (I.9) si la condition d’unidimensionnalité est vérifiée, c’est-à-dire si : 2 y 2 2 (I.11) x 2 Cette hypothèse, appelée approximation graduelle de Shockley, n’est valable que lorsque le transistor fonctionne en régime de non saturation (canal non pincé). Dans ce cas, on démontre que la variation du champ longitudinal en fonction de la coordonnée x est relativement faible (les lignes de courant sont considérées parallèles à l’interface). L'expression de la densité de courant d’électrons sous sa forme unidimensionnelle s’écrit de la façon suivante : J n = qn 0 x qDn grad x (n) (I.12) où x est le champ électrique longitudinal dans le canal. Sachant que le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire (x = gradx) et en kT utilisant la relation d’Einstein D n = 0 , l’Eq (I.12) peut se mettre sous la forme : q J n = qnμ 0 d kT dn qµ 0 dx q dx (I.13) - 15 - I.3.1. Séparation des termes de diffusion et de conduction Le courant IDS en chaque point du canal correspond à l’intégration de la densité d’électron sur toute la couche d’inversion de l’interface vers le volume du semi-conducteur. Soit yi et W respectivement la profondeur et la largueur de cette couche, on écrit alors : I DS =W yi 0 qn 0 d dy W dx yi 0 qµ 0 kT dn dy q dx (I.14) Dans l'Eq. (I.14), le signe vient du fait que l’axe x est orienté dans le sens opposé au sens du courant IDS. Cette équation peut se mettre sous la forme : yi y d kT d i I DS =Wμ 0 qndy Wµ0 qndy dx 0 q dx 0 (I.15) La densité de charge Qn de la couche d‘inversion par unité de surface (exprimée en C m-2) est donnée par : yi Q n q ndy (I.16) 0 Donc, à partir des équations (I.15) et (I.16) on arrive à : I DS = Wμ 0 Q n d kT dQ n Wµ0 dx q dx (I.17) L’expression du courant s’obtient en intégrant l’équation (I.17) le long du canal c’est-à-dire de x = 0 à x = L : S ( L ) Qn ( L ) kT I DS dx=Wμ 0 Q n d dQ n q 0 Qn ( 0 ) S ( 0) L (I.18) et finalement : I DS = ( L) S W W kT Qn (L) Qn (0) μ 0 Q n d μ 0 L L q S ( 0) (I.19) Le premier terme de l’équation (I.19) représente le courant de conduction et le second terme le courant de diffusion. I.3.2. Association des termes de diffusion et de conduction A partir de l’équation (I.5), l’Eq. (I.12) peut aussi se mettre sous la forme : d n 0 expβ ψ(y) ΦC J n = qnμ 0grad x (ψ) kTμ 0 dx - 16 - (I.20) d C d d q 0 n 0 expy C n 0 expy C dx dx dx J n qn 0 (I.21) L'Eq.(I.21) se simplifie en utilisant l'Eq. (I.5) [Barron’72] : J n = qμ 0 n dΦC dx (I.22) Le courant total IDS est alors obtenu en intégrant Jn sur toute l’épaisseur de la couche d’inversion yi formant le canal du transistor : yi yi I DS = W J n dy W qμ 0 n 0 0 ΦC dy x (I.23) Le terme C x étant indépendant de la variable y au niveau du canal du transistor, on peut donc le sortir de l’intégrale. Il en va de même pour le terme constant µ0. L'expression intégrale de IDS peut donc se mettre sous la forme : d C I DS = Wq 0 dx yi ndy W 0 0 d C Qn dx (I.24) Le courant IDS est constant le long du canal, ce qui permet d'intégrer l'Eq. (I.14) par rapport à x et à C de la source (x = 0, C = VBS) au drain (x = L, C = VDS VBS) : L I DS dx I DS L= Wμ 0 0 VDS VBS (I.25) Q n dΦC VBS où C(x) = V(x) VBS, V(x) étant le potentiel en chaque point du canal dû à la polarisation appliquée entre le drain et la source. Le potentiel du substrat VBS est constant, ce qui implique que dV = dC. On effectue donc le changement de variable V(x) = C(x) VBS. L'Eq. (I.18) devient : I DS = V DS W μ 0 Q n (V)dV L 0 (I.26) D'après l'Eq. (I.26), le problème du calcul du courant IDS se ramène donc au calcul de Qn intégrée de 0 à VDS. Cette charge d'inversion peut être considérée comme égale à la charge totale du semi-conducteur QSC à laquelle on soustrait la charge de la zone désertée QD située en dessous du canal, i.e. Qn = QSC QD. L’Eq. (I.26) prend alors la forme : V DS W I DS =- μ 0 Q SC Q D dV L 0 (I.27) Le calcul de IDS passe donc par la détermination des quantités QSC et QD. - 17 - I.4. Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur QSC I.4.1. Expression de la charge QSC La densité de charge dans le semi-conducteur s’écrit : qp n N D N A (I.28) Dans le volume du semi-conducteur, loin de l’interface, la condition de neutralité doit être satisfaite, i.e. (y ) = p0 n0 + ND NA- = 0 d’où ND NA- = n0 p0. La densité de charge s’écrit alors avec les équations (I.5),(I.6) et (I.28) : q q q n 0 exp y C p 0 exp y n 0 p 0 kT kT (I.29) L'équation (I.29) s'écrit après factorisation : n qp 0 0 expy C 1 exp y 1 p0 (I.30) Le champ électrique dans la zone désertée est relié à la densité de charge via l’équation de Poisson : d 2 dy 2 d dy Si (I.31) où Si = SC0 est la permittivité diélectrique du semi-conducteur. On peut donc écrire à partir des Eqs. (I.30) et (I.31) : d2 dy 2 qp 0 Si n0 expy C 1 exp y 1 p0 (I.32) La première intégration de l'Eq. (I.32) se fait par changement de variable en considérant le fait que : d2 dy 2 d dy d d dy d d d dy dy 2 d2 d = d d d 1 d d dy dy 2 dy dy 2 D’où : (I.33) (I.34) La dérivée seconde de est évaluée grâce à l’Eq. (I.31) : d d dy 2 2 Si d (I.35) - 18 - Les conditions aux limites sont (y ) = 0 (potentiel de nul dans le volume du semid conducteur loin de l’interface) et 0 , d’où l’intégrale : dy y 2 0 0 n 0 qp d 2 0 d exp C 1 exp C 1d d dy si p 0 dy (I.36) On peut donc écrire : 2 2 qp d d 2 0 si dy y dy y n0 p0 0 1 1 exp C exp (I.37) soit : 2 d qp 2 0 si dy n0 exp C exp C 1 exp p0 (I.38) ou encore : 2 d qp n 2 0 0 exp C exp C 1 exp si p 0 dy (I.39) En prenant la racine carrée de l'équation (I.39), on obtient : 1 2kTp0 n 0 d exp C exp C 1 exp 2 y dy si p 0 (I.40) avec un signe + si S < 0 et un signe si S > 0. Le champ électrique à l’interface s’écrit : S 1 2kT p0 n 0 expS C S exp C 1 exp S S 2 si p 0 (I.41) avec un signe + si S > 0 et un signe - si S < 0. Le calcul de la densité de charge totale dans le semi-conducteur s'effectue à partir de l'expression du champ électrique en surface en utilisant le théorème de Gauss. Rappel : Le flux du vecteur excitation électrostatique ( D = SC0 dans le cas d'un milieu diélectrique parfait) sortant d’une surface fermée (S) est égal à la somme des seules Q int charges vraies intérieures à (S), soit . Dans le cas présent, la surface . dS SC 0 ( S) d’intégration choisie est celle d’un cylindre fermé de section unitaire, d’axe y et dont l'une des bases est dans le plan de l'interface Isolant/Semi-conducteur, la deuxième base se trouvant dans une région neutre (i.e. dans le volume du substrat au-delà de la zone désertée), comme l'illustre la Fig. (I.3). - 19 - (y) -S Figure I.3. Surface d’intégration choisie pour appliquer le théorème de Gauss au champ électrique dans le semi-conducteur (considéré comme milieu diélectrique parfait). =0 (y) 0 Isolant y Silicium Dans la région neutre du semi-conducteur, le champ électrique est nul ( = 0). Sur les faces latérales du cylindre, le champ électrique est parallèle à la surface, ainsi le flux de au travers de ses faces est nul, de sorte que le théorème de Gauss conduit finalement à : ξ S= Q SC ε Si (I.42) 0.004 -2 | QSC | ( Cm ) 23 1 10 23 5 10 1 23 2.5 10 23 4 10 0.003 23 0.5 10 2 4 3 0.002 0.001 0.000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S (V) Figure I.4. Exemple de courbes QSC(S) calculées pour différentes valeurs du dopage du substrat NA (m-3). Les différents régimes du semi-conducteur sont indiqués pour NA = 2.51023 m-3. L’expression de la charge dans le semi-conducteur est donc évaluée en reportant dans l'équation (I.41) l'expression du champ électrique en surface établie dans l'Eq. (I.42) : n 1 QSC 2kT si p 0 0 expS C S exp C 1 exp S S 2 p0 (I.43) avec un signe + si S < 0 et un signe si S > 0. Il est important de rappeler que cette expression n’est valable que dans le cas d'un semiconducteur de type p. L'expression de QSC pour un substrat de type n est donnée en annexe 1. La Fig. (1.3) illustre les variations de QSC en fonction du potentiel de surface pour différentes valeurs du dopage (supposé constant) du semi-conducteur. On distingue les quatre régimes suivant pour le semi-conducteur (cas ou C = 0) : - 20 - S < 0 : régime d’accumulation. Les trous, porteurs majoritaires du substrat, sont accumulés à l’interface. 0 < S < F : régime de déplétion. Les trous sont encore présents à l’interface mais moins nombreux que dans le volume du substrat. F < S < 2F : régime d’inversion. La concentration en électrons libres à l’interface devient plus importante que celle des trous. S > 2F : régime d’inversion forte. Les électrons libres, porteurs minoritaires, sont accumulés à l’interface où ils forment la couche d’inversion. I.4.2. Cas de l’inversion faible et forte 1 10 -2 10 -5 10 -8 10 exp(- S) S-1 exp ( exp (- S) et S-1 10 S- C)-exp (- C) Bien que rigoureusement exacte, l'expression (I.43) est assez "lourde" à manipuler dans l’optique du transistor. Pour alléger cette expression il faut constater que le courant dû a l’effet transistor ne sera observé que dans les régimes d’inversion faible ou forte. En régime de désertion ou d’accumulation il sera extrêmement faible et dans tous les cas masqué par le courant inverse de la jonction drain-substrat. -11 a 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 exp ( S- C)- S S (V) 10 10 11 10 8 10 5 10 2 0.0 C variable 5; 10; 25; 50; 100 mV 0.2 0.4 0.6 b 0.8 S (V) 11 10 8 10 5 10 2 0.0 Figure I.5. Variations en fonction du potentiel de surface des quantités exp(S) et S 1 (a), exp(S C) exp(C) pour C variable (b) et exp(S C) S pour C (c). S variable 5; 10; 25; 50; 100 mV c 0.2 0.4 S (V) 0.6 0.8 Dans le cas ou S est positif, on peut effectuer quelques simplifications : exp S S 1 - 21 - exp C expS C S expS C Ces simplifications sont illustrées sur les figures (I.5.a) à (I.5.c). On en déduit une expression simplifiée de QSC : 1 n 2 Q SC= 2kTε Si p0 0 expβΨS β C βΨS 1 p0 (I.44) n0 2q F exp d'après les équations (I.7) et (I.8), et compte tenu du p0 kT fait que C = V VBS, l'expression de QSC pour S > 0 peut se réécrire sous la forme : Etant donné que 1 QSC= 2kTε Si p0 expβ ΨS V VBS 2ΦF βΨS 1 2 I.5. (I.45) Détermination de la charge de la zone désertée QD Pour obtenir l'expression de la charge de la zone désertée QD, il faut résoudre l’équation de Poisson en omettant le terme ayant pour origine les électrons de la couche d’inversion (quantité n). La densité de charges s’écrit donc à présent : n ρ qp0 exp βΨ(y) n 0 p0 qp 0 exp βΨ(y) 1 0 p0 (I.46) En reportant (I.46) dans l’équation de Poisson, il vient : d 2Ψ dy 2 qp 0 n0 exp βΨ(y) 1 ε Si p0 (I.47) Utilisant une démarche calculatoire similaire à celle mise en œuvre pour le calcul de Q SC, on arrive à la succession d’étapes suivantes : 2 2qp 0 d Si dy 0 n0 exp p0 (I.48) 2 2kTp 0 n0 d 1 exp Si p0 dy (I.49) La racine carrée de l’équation (I.49) donne : d dy 1 2 2kTp 0 n0 1 exp Si p0 (I.50) Notons que puisque le substrat est de type p, la zone désertée dans le semi-conducteur apparaît uniquement pour S > 0 ; c’est pourquoi seule la racine positive de l'équation est - 22 - considérée. L’expression de la charge de la zone désertée QD s’obtient alors en appliquant le théorème de Gauss de la même façon qu'au paragraphe I.5.2. On obtient : 1 2 n Q D 2kTε Si p0 exp βΨS βΨS 0 βΨS 1 p0 (I.51) Puisque S est positif, il est possible de simplifier notablement l’équation (I.51) en remarquant que : 1 n0 n 2 1 i 1 p0 NA exp S S La charge de la zone de désertée s’exprime alors comme suit : 1 Q D 2kT Si p0 S 1 2 I.6. (I.52) Détermination de la charge d’inversion Qn En faible inversion, puisque S + VBS 2F < 0, alors exp((S V + VBS 2F)) << S 1 du moins tant que S + VBS << 2F kT/q. Ainsi en développant QSC au premier ordre, il vient : 1 expS V + VBS 2 F 2 1 Q SC = 2kT Si p0 1 S 1 2 S 1 expβ ΨS V+VBS 2ΦF 1 Q SC 2kTε Si p0 1 βΨS 1 2 2βΨS 1 soit : (I.53) (I.54) Avec un substrat de type p, p0 NA. Considérant les équations. (I.52) et (I.54), la charge d’inversion Qn peut donc s’écrire sous la forme : 1 expS V VBS 2 F Qn QSC Q D 2kT Si N A S 1 2 1 1 2S 1 (I.55) D’où : Qn = 1 2kT Si N A expS V + VBS 2 F 2 S 1 (I.56) La figure (I.6.a) représente l’évolution de la charge du semi-conducteur, QSC (équation. (I.43)), de la charge de désertion, QD (Eq. (I.51)), et de la charge d’inversion, Qn (= QSC – QD), en fonction du potentiel de surface pour tous les régimes. On constate que les charges QSC et QD égales en régime d’accumulation, de désertion et d’inversion faible. Par contre en régime d’inversion forte la charge de la couche d’inversion ne peut plus être négligée. - 23 - -3 10 -4 Inversion forte 10 Désertion Inversion faible -2 Accumulation 10 |QSC| |Qn| |QD| a 0.0 0.2 0.4 S (V) 0.6 0.8 1.0 -2 |QSC|, |QD| et |Qn| (Cm ) -2 |QSC|, |QD| et |Qn| (Cm ) La figure (I.6.b) permet de rappeler la remarque faite à la figure (I.2) sur l’apparition du régime d’inversion forte en fonction de S qui est retardée lorsque C augmente. 0.03 C variable 0V |QSC| |Qn| |QD| 0.02 0.05 V 0.01 b 0.8 0.1 V 0.9 1.0 S (V) 1.1 Figure I.6. Evolution des différentes densités de charges présentes dans le semi-conducteur pour tous les régimes de fonctionnement (a) et en régimes d’inversion faible et forte pour C variable (b). I.7. Expression de S en fonction de V(x), VGS et VBS Pour établir l’expression du potentiel de surface S, commençons par établir la condition de neutralité électrique au niveau de la charge totale par unité de surface de la structure MOS : QG Qox Qit QSC 0 (I.57) où Qox représente la charge fixe de l'isolant de grille ramenée à l’interface Si-SiO2. Elle est dite fixe car elle ne change pas avec la polarisation. QG est la charge de grille et Qit la charge piégée dans les états d'interface. En régime d’inversion faible, les variations de Q it avec S ne sont pas négligeables. Il est d'ailleurs démontré en annexe 2 que quelque soit la répartition énergétique des pièges de type donneur (chargé positivement si inoccupé neutre si occupé) et accepteur (neutre si inoccupé et chargé négativement si occupé) dans la bande interdite du semi-conducteur, Qit peut se mettre sous la forme : Qit = Qit0 qDit S S F S C S C F - 24 - (I.58) où Qit0 est une constante (exprimée en Cm2) et Dit est la densité d’état d’interface (exprimée en eV1 m2). L’équation (I.57) s’écrit donc : QG Qox Qit0 qDit S S F S C S C F QSC 0 (I.59) Comme C = V VBS, alors : QG Qox Qit0 qDit S S F S V VBS S V VBS F QSC 0 (I.60) Par ailleurs, la relation entre les différents potentiels de la structure MOS s’écrit : VGS VBS = Vox + S + MS (I.61) De plus en considérant la tension aux bornes de l’isolant et la charge sur la grille, on a : QG =CoxVox=Cox VGS VBS ΨS ΦMS (I.62) L'Eq. (I.61) peut donc s'écrire : VGS MS Q ox Q it0 Q qD it S S F S C S C F VBS S SC C ox C ox C ox (I.63) Il est important de noter que cette équation est utilisable du régime d’accumulation au régime d’inversion forte en prenant pour la charge QSC l’expression non simplifier (I.43). On peut aussi remarquer que la détermination de VGS en fonction du potentiel de surface S est analytique. En pratique on applique un potentiel sur la grille et la détermination S nécessite l’utilisation d’un solveur. 1.5 0.6 0.3 10 marge (%) S (eV) 1.2 0.9 1 C = 0, 0.025, 0.5 0.2, 0.5 V 2 F F C = 0.025, 0.5 0.2, 0.5 V -3 10 -7 10 -11 10 0.0 b a -2 -1 0 1 -2 2 -1 0 1 2 VGS (V) VGS (V) Figure I.7. Evolution de S en fonction de VGS pour différentes valeurs de C (a) et différence entre les courbes (b). VBS = 0, NA = 7.51023 m3, Dit = 0, Qox = 0. L’évolution du potentiel de surface en fonction du potentiel de grille est présentée à la figure (I.7.a) pour plusieurs valeur de C et en l’absence d’états d’interface. En prenant comme référence la courbe à C = 0, on constate qu’elle est identique aux autres courbes dans les régimes d’accumulation, désertion et inversion faible. Par contre elle s’écarte très rapidement en régime d’inversion faible. Pour bien mettre en évidence la différence entre - 25 - les courbes nous la représentons à la figure (I.7.b). En supposant que la référence représente S au niveau de la source et une des quatre autres courbes le potentiel de surface au niveau du drain, on constate qu’en régime d’inversion faible et en raison de la faible différence entre ces deux potentiels, le courant de drain sera essentiellement dû à un phénomène de diffusion (c.f. équation (I.13)). Par contre en régime d’inversion forte ce courant sera essentiellement dû à un phénomène de conduction. S (eV) 0.9 a 2 F 0.6 F 0.3 10 Dit = 0, 5x10 11 11 12 12 1x10 , 5x10 0.0 1x10 , 5x10 -2 -1 0 1 2 VGS (V) Figure I.8. Evolution de la courbe S(VGS) pour C = 0 et différentes densités de pièges exprimée en eV1cm2 (a) Evolution de la courbe S(VGS) en fonction de C et Dit (b) et différence entre ces courbes (c). VBS = 0, NA = 7.51023 m3, Dit = 0, Qox = 0. La présence d’états d’interface déforme la relation VGS(S) comme le montre les figures (I.8). Nous constatons à présente et raison de la forte différence entre le potentiel de surface au niveau de la source et du drain, que le courant en régime d’inversion faible correspond à la somme d’un courant de diffusion et d’un courant de conduction. En inversion forte, le courant est toujours dû principalement à un phénomène de conduction. I.8. Evolution de , n et p avec la distance à l’interface Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés aux caractéristiques de la structure MOS au niveau de l’interface comme la courbure de bande à l’interface (potentiel de surface S) et les densités de porteurs nS et pS. Il est cependant possible de connaître l’évolution de ces paramètres de l’interface vers le volume du semi-conducteur en résolvant l’équation de Poisson (Eq. (I.31)). La connaissance de l’évolution de la courbure de bande nécessite donc la résolution d’une équation différencielle du deuxième ordre mais on peut réduire ce calcul d’un ordre en utilisant l’équation (I.40) : dérivée du potentiel par rapport à la distance y (c.f. figure (I.1)). 2kTp0 d dy si n0 exp C exp C 1 exp p0 - 26 - (I.64) avec un signe + si S < 0 et un signe si S > 0. 2 F S croissant 10 S croissant 18 F 0.3 10 -3 (V) 0.6 p0 22 n (m ) 0.9 ni 14 10 10 0.0 10 a 0 10 20 30 y (nm) 40 b 50 0 10 20 30 y (nm) 40 n0 50 26 10 p0 22 Figure I.9. Evolution de la courbure de bande (a), de la densité d’électrons (b) et de trous (c) en fonction de la distance à l’interface pour C = 0. NA = 71023 m-3. -3 p (m ) 10 18 10 ni 14 10 S croissant 10 10 c 0 10 20 30 y (nm) 40 n0 50 A la figure (I.9.a), nous représentons la courbe (y) pour les différents régimes du semiconducteur (accumulation, désertion, inversion faible et forte). Rappelons aussi que varie dans toutes la zone de charge d’espace (ZCE) dont la longueur dépend de la valeur du potentiel de surface. Les figures (I.9.b et c) illustrent la variation de la densité des électrons et des trous pour C = 0 et mettent en évidence la rapidité de la décroissance avec la distance. Donc si on se place par exemple en régime d’inversion faible, nous pouvons dire que la quasi-totalité des électrons se trouvent proche de l’interface comparé à la ZCE. - 27 - ni 14 10 S croissant n0 -3 n (m ) 10 10 6 10 Figure I.10. Evolution de la densité d’électrons en fonction de la distance à l’interface pour C = 0.5 V. NA = 71023 m-3. 2 10 -2 10 0 10 20 30 y (nm) 40 50 Lorsque le semi-conducteur n’est pas à l’équilibre thermodynamique il faut tenir compte de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi pour déterminer la densité en électrons dans la ZCE. Hors de cette zone la densité d’électron est gérée par le niveau de Fermi. La courbe n(y) doit donc présenter une discontinuité à la limite de cette zone. De plus à S donné la densité en électrons est inférieure pour un C positif que pour C = 0. Tous ceci est illustré à la figure (I.10). I.9. Variation de S avec C Comme nous le savons à présent, le potentiel de surface ainsi que l’écart entre les quasiniveaux de Fermi varie le long du canal entre le drain et la source. Il est possible de déterminer la dépendance entre S et C à partir de l’équation (I.63) mais il faudra résoudre l’équation du courant (équation (I.13)) pour positionner ces deux potentiels le long du canal (sauf pour les extrémités du canal). - 28 - Chapitre II : Le transistor MOS en inversion faible avant saturation Dans cette première partie, nous allons étudier le fonctionnement du transistor en régime d’inversion faible avant saturation. Nous établissons l’expression du courant Drain/Source IDS en fonction de la tension Grille/Substrat VGS. A partir des l'Eqs. (I.19) et (I.27), deux méthodes de calcul peuvent être envisagées : La première considère qu’en inversion faible le courant dû au champ électrique (i.e. la composante de dérive) est négligeable devant le courant de diffusion (membre de droite de l’équation (I.27)). C’est ce que nous appelons l’approche "simplifiée". Cette méthode ne permet pas de donner une expression analytique du courant de drain en fonction du potentiel de grille sauf sous certaines conditions. La deuxième méthode prend en compte les deux composantes de dérive et de diffusion sans simplification (équation (I.19)). C’est ce que nous appelons l’approche "complète". Nous commençons par nous intéresser à cette approche "complète" dans le paragraphe II.1. II.1. Approche complète : courant de diffusion et de conduction II.1.1. Expression analytique du potentiel de surface Rappelons tout d’abord que la charge QSC est quasiment égale à la charge QD en inversion faible ce qui donne avec l’équation (I.52) : 1 QSC Q D = 2ε Si kTN A βΨS 1 2 (II.1) Au niveau de la source et en régime de faible inversion, le potentiel de surface s varie en fonction de la polarisation de grille de F VBS à 2F VBS. On peut alors considérer que le potentiel de surface moyen dans le canal du transistor vaut S0 = 1.5F VBS, ce qui permet de développer QSC au premier ordre autour de cette valeur moyenne S0 : dQ D ΨS ΨS0 Q D Q D(ΨS0 )+ dΨS ΨS0 (II.2) QD QD0 CD0 ΨS ΨS0 QSC (II.3) - 29 - -5 SO 0.0 0.4 1.2 0.8 S (V) 1.2 1.6 -1 10 -2 10 b 1.6 0.3 2 F + C 10 0.8 F + C -4 0.4 SO inversion faible 2 F 10 0.0 0 10 F -3 1 a 2 F + C -2 QD (Cm ) 10 inversion faible 10 marge (%) 2 F -5 F + C 10 10 QD QDsimp SO -4 F -2 QD (Cm ) -3 10 0.6 0.9 c 1.2 1.5 S (V) Figure II.1. Evolution de la charge de la zone désertée, en fonction du potentiel de surface, calculée sans approximation (QD) ou avec simplification (QDsimp) pour C = 0 (a) et C = 0.5 V (b). Evolution de la différence entre QD et QDsimp (c). NA = 21023 m3, F = 0.424 V. Dans l'Eq. (II.3), CD0 et QD0 ont pour valeur : QD0 =QD( S0 )= 2 Si kTN A S0 11 / 2 dQ D 1 q βΨS0 1 12 C D0 = = 2ε Si kTN A 2 kT dΨS ΨS0 ΨS0 (II.4) (II.5) soit : C D0 = q²ε Si N A βΨS0 112 2kT (II.6) QD0 et CD0 sont respectivement la charge et la capacité de la zone désertée (par unité de surface) pour S = S0. L’équation (I.63) s'écrit en fonction de ces deux quantités : VGS MS Q ox Q it0 Q qD it S C C D0 S S0 VBS S D0 C ox C ox C ox (II.7) L'Eq. (I.7) peut se réécrire en faisant apparaître la capacité associée aux états de surface définie par : C it = dQ it qD it dΨS (II.8) Il vient donc : VGS VBS ΨS ΦMS Q ox +Qit0 C it ΨS V+VBS Q D0 CD0 ΨS 1.5ΦF +VBS 0 C ox C ox C ox C ox (II.9) soit : - 30 - C C 1 it D0 C ox C ox C C Q +Qit0 ΨS VGS 1 it D0 VBS ΦMS+ ox C ox C ox C ox C C Q it V+1.5 D0 ΦF + D0 C ox C ox C ox (II.10) De l’Eq. (II.10), on tire donc facilement l’expression du potentiel de surface : C ox S C ox C it C D0 Q Q it0 C Q VGS MS ox 1.5 D0 F D0 C ox C ox C ox C it C ox C it C D0 (II.11) V VBS * Soit VGS la tension définie par l’expression suivante : * VGS = MS Q ox +Q it0 C Q 1.5 D0 F D0 C ox C ox C ox (II.12) L’expression finale de S peut donc s’écrire sous la forme : C ox S C ox +Cit +CD0 * VGS VGS + C C it ox +Cit +CD0 V VBS (II.13) II.1.2. Expression du courant en inversion faible Il est à présent possible de réécrire l’expression de la charge d’inversion Q n (Eq. (I.49)) en remplaçant S par la quantité donnée par l’Eq. (I.69) : Qn C ox +CD0 C ox 1 2kT Si N A * exp VGS VGS 2 S 1 C ox +Cit +CD0 C ox +Cit +CD0 V 2 F (I.70) Reportant cette valeur de Qn dans l’expression intégrale de IDS (Eq. I.9), il vient : VDS W I DS 0 L 0 C ox 1 2kT Si N A * exp VGS VGS 2 S 1 C C C ox it D0 C ox C D0 C ox C it C D0 Le terme V 2 F dV (I.71) 2kT Si p 0 varie peu avec S en comparaison du terme exponentiel. On le sort S 1 de l’intégrale en considérant que l’erreur commise est négligeable lorsque l’on estime ce terme pour la valeur moyenne du potentiel de surface S0. L’expression de IDS(VGS) devient : - 31 - I DS kT Si N A 1 C ox C it C D0 W 0 L 2S0 1 C ox C D0 exp 2 F (I.72) V DS C ox C ox C D0 * exp VGS VGS exp V C ox C it C D0 C ox C it C D0 0 L’équation (I.72) peut se simplifier en considérant l’égalité suivante : kT kT kT Si N A q 2S0 1 q 2 2 q² Si N A kT C D0 2kTS0 1 q (I.73) d’où l’expression finale du courant [2] : 2 C C it C D0 C ox W kT * C D0 ox exp 2 F exp VGS VGS L q C ox C D0 C ox C it C D0 C ox C D0 1 exp VDS C ox C it C D0 (I.74) I DS 0 Dans le cas d’une tension drain-source VDS très petite (typiquement inférieure à kT/q), l’équation du courant peut se simplifier en faisant un développement limité du terme exponentiel comprenant VDS. C ox VDS 1 exp C ox C it C D0 C ox VDS C ox C it C D0 VDS 0 (I.75) L’expression du courant pour VDS petit est donc : I DS 0 C ox W1 * C D0 exp VGS VGS L C ox C it C D0 exp 2 F (I.76) II.1.3. Détermination de C(x) La combinaison de l’Eq. (I.70) (donnant l’expression de Qn(VGS)) avec l’Eq. (I.17) (sachant que dC/dx = dV/dx) conduit à la relation suivante : I DS dV W 0 C D0 C ox C D0 C ox * exp V exp VGS VGS 2 F C ox C it C D0 dx C ox C it C D0 (I.77) On pose la constante Const comme étant égale à : I DS C ox * C onst exp VGS VGS 2 F W 0 C D0 C ox C it C D0 Les Eqs. (I.77) et (I.78) permettent de trouver l’équation différentielle suivante : - 32 - (I.78) C ox C D0 dV exp V C onst dx C ox C it C D0 (I.79) L’Eq. (I.79) peut se réécrire sous forme d’intégrale : x C onst dx 0 V C ox C D0 exp V dV C ox C it C D0 0 C ox C D0 Soit H C ox C it C D0 (I.80) , l’intégration de l’équation (I.80) donne : Const x H1 exp HV(x ) 1 (I.81) La condition (V = VDS en x = L) et l’Eq. (I.35) conduisent à l’expression de la constante Const sous la forme : C onst 1 exp HVDS 1 (I.82) LH Les équations (I.81) et (I.82) permettent d’exprimer V en fonction de x : x exp HVDS 1 exp HV(x) 1 L (I.83) qui devient finalement : V( x ) exp HVDS 1 1 ln x 1 H L (I.84) soit : (C ox C D0 ) VDS 1 exp C ox C it C D0 C ox C it C D0 V( x ) ln x 1 (C ox C D0 ) L (I.85) L’expression de C(x) est facilement obtenue à partir de celle de V(x) en considérant la relation C = V VBS. La figure (I.7) illustre cette relation C(x) pour différentes valeurs de VDS. Pour les faibles tensions VDS, la courbe C(x) est assimilable à une droite, ce qui signifie que le courant IDS est essentiellement dominé par le seul mécanisme de diffusion des porteurs. En revanche, pour VDS > 26 mV, la relation C(x) n’est plus linéaire. - 33 - A noter que l’équation (I.85) est assimilable à une droite d’équation V( x ) VDS x lorsque L Cox Cit CD0 , ce qui à température ambiante et dans le cas d’une densité d’états Cox CD0 d’interface faible (typiquement < 1010 eV-1cm-2) conduit à VDS 5 mV . VDS C (% de VDS ) 100 0.0025 V 0.05 V 0.2 V 80 0.025 V 0.1 V 0.5 V 60 40 20 0 0 source 20 40 60 x (% de L) 80 100 drain Figure I.7. Relation C(x) tracée pour différentes valeurs de VDS avec VBS = 0. C est exprimé en % de VDS et x en % de la longueur de canal L. Les paramètres utilisés pour la simulation sont : tox = 59 Å, NA = 1.21023 m-3 et Dit = 21011 eV-1.cm-2. II.1.4. Illustration Les courbes IDS(VGS) et S(VGS), présentées aux figures (I.6) et (I.7), illustrent les équations qui ont été établies précédemment pour le transistor à canal N en régime de faible inversion. Dans une représentation semi-logarithmique, la pente de la courbe IDS(VGS) est égale à : dln(I DS ) C ox = dVGS C ox + C it + C Do (I.86) La pente en inversion faible s’exprime communément en volts (ou millivolts) par décade et est calculée à partir de l’expression suivante : 1 = Pente ln(10) C ox C ox + C it + C D0 (I.87) - 34 - Dit (A) 10 -5 10 -7 10 -9 Dit variable 11 12 10 11 0; 10 ; 5x10 ; 10 ; 2x10 -11 -0.2 0.0 0.2 12 0.4 0.6 VGS (V) Figure I.6. Courbes IDS(VGS) en régime sous le seuil tracée pour différentes valeurs de D it exprimées en eV-1cm-2. Valeurs utilisées pour la simulation : NA = 1.21023 m-3, tox = 59 Å, W = 10 µm, L = 1 µm. Dit (eV-1cm-2) 0 11011 51011 11012 21012 Pente (mV/décade) 73.2 74.8 81.4 89.8 106.4 Tableau. I.1 Pente sous le seuil des courbes IDS(VGS) de la Fig (I.6). Le tableau (I.1) indique les valeurs des pentes sous le seuil en prenant exemple des courbes de la figure (I.7). L’Eq. (I.87) montre que lorsque la densité d’états d’interface est très faible (Cit 0) et que la capacité CD0 est négligeable, la caractéristique IDS(VGS) admet une pente maximale égale à 59.6 mV/décade. Pour le transistor MOS sur silicium massif, cette valeur est une limite physique qui ne peut être franchie quel que soit le niveau de dopage du substrat. Les figures (I.8.a) et (I.8.b) représentent le potentiel de surface en fonction de V GS calculé à partir de l’équation (I.56). Elles permettent de constater que plus VDS et Dit sont grands et plus l’écart s’accroît entre les relations S(VGS) évaluées au niveau du drain et au niveau de la source du dispositif. S = 2 F 0.8 S (V) 0.6 0.4 S Source S Drain 11 -1 Dit = 2x10 eV cm S = F -2 0.2 Dit = 0 0.0 -1.5 -1.0 -0.5 S=0 0.0 VGS (V) - 35 - a 0.5 S = 2 F 0.8 S Source S Drain S (V) 0.6 0.4 11 -1 Dit = 2x10 eV cm S =F -2 0.2 Dit = 0 0.0 -1.5 -1.0 -0.5 S=0 0.0 b 0.5 VGS (V) Figure I.7. Caractéristiques S(VGS) calculées pour différentes valeurs de Dit au niveau de la source et du drain. Paramètres utilisés pour la simulation : NA = 1.21023 m-3, tox = 59 Å, W = 10 µm, L = 1 µm, VDS = 10 mV (a) ou VDS = 75 mV (b). Remarque : Une variation de la charge fixe Qox de l’isolant entraîne une variation de la * quantité VGS , ce qui a pour unique conséquence une translation de la courbes IDS(VGS) vers les VGS positifs ou négatifs selon le signe de Qox. Cependant, une variation de la densité * d’états d’interface entraîne non seulement une variation de VGS , via le terme Qit0, mais aussi une variation de la pente sous le seuil, via le terme Cit. I.3. Approche simplifiée (courant de diffusion) Dans le cas de l’approche simplifiée, le courant de conduction (dû au champ électrique le long du canal) est négligé. Le courant IDS est alors considéré comme un pur courant de diffusion des électrons. I.3.1. Calcul de la relation IDS( S) ( L) S W W kT Qn (L) Qn (0) I DS = μ 0 Q n d μ 0 L L q S ( 0) Pour les faibles tensions VDS, le courant de drain se comporte de la même façon que le courant de collecteur d’un transistor bipolaire NPN dont la base, dopée uniformément, serait constituée par le substrat P de la structure MOS. L’expression de IDS peut donc s’écrire comme suit : I DS qA r Dn dn n0 nL qA r Dn dx L (I.88) où Ar est la section dans laquelle passe le courant, n(0) est la densité d’électrons dans le canal au niveau de la source (en surface du semi-conducteur) et n(L) la même quantité au niveau du drain. L’Eq. (I.4) permet d’exprimer ces deux densités d’électrons : n0 n i expS VBS F (I.89) - 36 - nL n i expS VDS VBS F (I.90) Le calcul de la quantité n(0) - n(L) conduit à : n0 nL n i expS VBS F expS VDS VBS F (I.91) n0 nL n i expS VBS F 1 exp VDS (I.92) soit : La section Ar que traverse le courant est égale au produit de la largeur du canal W par son épaisseur yi. En raison de la dépendance exponentielle de la densité d’électrons avec (x), l’épaisseur effective du canal peut être assimilée à la distance pour laquelle la quantité (x) diminue de kT/q ( 26 mV à température ambiante) par rapport à la valeur en surface kT (S). Cette épaisseur effective est égale à où S est le champ électrique à l’interface q S (supposé constant sur l’épaisseur yi). La détermination de S permet donc de remonter à celle de yi. En effet, la densité de charges dans la zone désertée est approximativement égale à -qNA ; ce qui conduit à N d l’expression de la dérivée du champ sous la forme q A . L’intégration de cette dx Si N équation permet d’obtenir y q A y y d qui pour y = 0 (i.e. à l’interface) devient Si N S q A y d . La longueur de la zone désertée (yd) en fonction du potentiel de surface est Si d tirée de l’équation de Poisson en considérant que , ce qui une fois intégrée donne dy y q NA y y d 2 et donc S q N A y d 2 en surface. D’où y d 2 Si 2 Si 2 Si S . qN A En remplaçant l’expression de yd dans celle de S en surface, cette dernière quantité a donc 2qN A S pour valeur S , ce qui conduit à l’épaisseur du canal recherchée : Si yi Si 1 2qN A S (I.93) On peut à présent établir l’expression IDS(S). I DS Si W q 0 ni expS VBS F 1 exp VDS L 2 2qN A S (I.94) En se rappelant que N A n i exp F , l’équation (I.94) peut s’écrire sous la forme : I DS qW 0 n i L 2 Si expS VBS 1,5 F 1 exp VDS 2qn i S - 37 - (I.95) Cette expression s’exprime différemment en introduisant la longueur de Debye extrinsèque et un coefficient Cm qui valent respectivement : LB Si qN A (I.96) W 2L (I.97) Cm 0 Finalement, l’expression du courant IDS est [3] : qL B N A I DS 2C m ni NA 2 1 expS VBS S 2 1 exp VDS (I.98) I.3.2. Etablissement de la relation IDS(VGS) A l’instar de l’approche utilisée dans la méthode "complète", la relation IDS(VGS) s’obtient par un développement en série de Taylor de VGS autour de S0 [4] : VGS VGS S 1.5 F VBS VGS S 1.5 F VBS S 1.5 V S F BS (I.99) L’Eq (I.69) permet d’exprimer la dérivée de l’Eq. (I.99), ce qui donne : VGS VGS S 1.5 F VBS C ox C it C D0 S 1.5 F VBS C ox (I.100) ou encore : S C ox VGS VGS S S0 1.5 F - VBS C ox C it C D0 (I.101) L’introduction de cette valeur de S dans l’Eq (I.95) donne : I DS 0 W 1 L 2 q Si N A 1 exp F 1 exp VDS 2S0 2 C ox VGS VGS S S0 exp C ox C it C D0 (I.102) Par ailleurs, la capacité CD0 peut s’exprimer sous la forme : C D0 = q² Si N A S0 - 112 2kT q Si N A 2S0 On arrive donc à l’expression du courant IDS: - 38 - (I.103) I DS 0 C ox W 1 1 ** C D0 exp F 1 exp VDS exp VGS VGS L 2 2 C ox C it C D0 (I.104) avec : ** VGS VGS S 1.5 F VBS (I.105) Pour VDS très faible, l’Eq. (I.104) se simplifie en l’expression suivante : I DS 0 C ox W1 1 ** C D0 VDS exp VGS VGS exp F L 2 C ox C it C D0 (I.106) On peut identifier cette relation à l’équation (I.76), ce qui permet d’écrire : C ox C ox 1 ** * F VGS 2 F VGS 2 C ox C it C D0 C ox C it C D0 (I.107) C C it C D0 ** * VGS 2,5 ox F VGS C ox (I.108) soit : * ** Remarque : Cette Eq. (I.108) fait le lien entre les tensions VGS et VGS introduites respectivement dans les références [Grotjohn’84] et [Van Overstraeten’72] (aux faibles tensions VDS). Chapitre III : Le transistor MOS en inversion forte avant saturation Dans cette deuxième partie, nous établissons les équations régissant le fonctionnement du transistor en régime d’inversion forte avant saturation. III.1. Expression préliminaire du courant L’intégrale donnant le courant IDS est toujours valable (Eq. (I.20)) et s’exprime sous la forme : - 39 - V DS W I DS = μ 0 Q SC Q D dV L 0 (III.1) où Qn représente la charge par unité de surface de la couche d’inversion, QSC la charge totale dans le semi-conducteur et QD la charge de la zone désertée. V est le potentiel extérieur en chaque point du canal ayant pour origine la polarisation du drain. III.2. Expression de QSC La neutralité de la charge totale s’exprime par : QG Q tot QSC 0 (III.2) où Qtot représente l’ensemble des charges de l’isolant rapportées à l’interface Si-SiO2. Par ailleurs, l’équation des tensions dans la structure MOS s’écrit : VGS Vox S MS VBS (III.3) Vox avec : QG C ox (III.4) En régime d’inversion forte, le potentiel de surface s’écrit S = C +2F avec C = V - VBS. D’où, en combinant les équations (III.2) à (III.4) : Cox VGS - V + VBS - 2 F - MS - VBS Q tot + QSC = 0 (III.5) Q Q SC = -Cox VGS - V - MS + tot - 2 F C ox (III.6) Soit la tension Vtot définie comme : Vtot = MS - Q tot C ox (III.7) L’expression de la charge du semi-conducteur s’écrit alors : QSC = -Cox VGS - V - Vtot - 2 F (III.8) Expression de QD La densité de charges dans la zone désertée étant égale à qN A , on en déduit immédiatement l’expression de la dérivée du champ électrique via l’équation de Poisson : - 40 - N d NA y y d , et donc à q A . L’intégration de cette équation donne (x) = -q dy Si Si N l’interface (y=0) S = q A y d . On exprime alors l’épaisseur de la zone désertée, yd, en Si fonction du potentiel sous la forme suivante : ( y) = qN A y y d ² 2 Si (III.9) qN A y d ² et tenant compte du fait qu’en régime 2 Si de forte inversion S V VBS 2 F , l’épaisseur maximale de la zone déplétée ydM s’écrit : En surface, cette expression devient S = y dM = 2 Si V VBS 2 F qN A (III.10) La charge de la zone déserté est alors Q D qN A y dM , ce qui s’écrit en remplaçant ydM par sa valeur trouvée précédemment : Q D = - 2qN A Si V - VBS + 2 F (III.11) Expression du courant En reportant les expressions de QSC et QD (Eqs. (III.8) et (III.11)) dans l’expression du courant (Eq. III.1) on obtient : I DS VDS 2qN A Si W V VBS 2 F 12 dV 0 C ox VGS V Vtot 2 F 0 L C ox (III.12) qui une fois integré donne : VDS 3 W V 2 2qN A Si V VBS 2 F 2 I DS 0 C ox V VGS Vtot 2 F L 2 C ox 3 0 soit : I DS 3 V W 2 2qN A Si 0 C ox VDS VGS DS Vtot 2 F VDS VBS 2 F 2 L 2 C ox 3 3 VBS 2 F 2 (III.14) - 41 - (III.3) Pour des valeurs VDS suffisamment faibles (i.e. VDS VBS 2 F ), un développement limité au premier ordre de l’expression donne : VDS VBS 2 F 3 2 VBS 2 F 2 VBS 2 F 3 3 3 2 VDS 2 1 1 VBS 2 F 3 VDS 3 VBS 2 F 2 1 2 VBS 2 F 1 3 VDS VBS 2 F 2 2 (III.15) Le courant IDS s’exprime alors sous la forme simplifiée suivante : 2qN A Si W VBS 2 F 12 VDS 0 C ox VDSVGS Vtot 2 F L C ox 2 (III.16) I DS On défini à présent la tension de seuil du transistor par la quantité suivante : VT Vtot 2 F 2qN A Si C ox VBS 2 F 12 (III.17) ce qui permet d’écrire l’expression bien connue du courant IDS : V W 0 C ox VGS VT DS VDS L 2 (III.18) I DS Expression de la mobilité Dans l’équation (III.18) établie précédemment, le terme0 correspond à la mobilité des porteurs sous faible champ électrique. D’un point de vue physique, il est clair que cette mobilité n’est pas celle qui convient pour décrire le transport des porteurs en régime d’inversion forte. En effet, certaines interactions porteurs-milieu ne peuvent plus être négligées dès lors que la densité de porteurs en surface du canal devient importante. On est donc amené à introduire une mobilité effective eff qui tient compte de ces interactions. Schématiquement, trois mécanismes différents sont à l’origine du comportement de la mobilité en régime d’inversion forte [5] : Les collisions sur les phonons ; Les collisions coulombiennes ; Les collisions sur la rugosité de surface. Il est intéressant de s’attarder sur ces mécanismes sans entrer vraiment dans les détails. - 42 - 5.1. Collisions sur les phonons Au-dessus de 0 K, un réseau cristallin vibre suivant des modes de vibration ou phonons qui dépendent de l’énergie d’excitation apportée au réseau. A faible énergie thermique (typiquement pour des températures inférieures à 100 K), ce sont les phonons acoustiques qui prédominent. A plus forte énergie, (e.g. pour des températures voisines de 300 K), il faut considérer les phonons optiques. Lors de son transport dans la couche d’inversion, un électron peut entrer en collision avec un ou plusieurs phonons, ce qui se traduit par une diminution de sa mobilité. 5.2. Collisions coulombiennes Les collisions coulombiennes sont dues à la présence de charges électriques parasites à proximité du canal du transistor qui viennent perturber le transport des électrons. Ces charges correspondent aux charges fixes d’oxyde, aux charges des états d’interface et aux impuretés ionisées dans le substrat. L’influence de ces collisions coulombiennes est importante lorsque la couche d’inversion est d’épaisseur très faible. Elle diminue en revanche lorsque l’on est en forte inversion car un phénomène d’écrantage apparaît alors. En effet les électrons qui sont "loin" de l’interface ne "voient" pas les charges qui s’y trouvent en raison de la présence d’autres électrons (en densité importante) situés entre eux et l’interface. A l’instar des collisions phoniques, un électron peut être gêné lors de son transport dans la couche d’inversion par les charges parasites situées à proximité du canal du transistor. Il en résulte une baisse de la mobilité. 5.3. Collisions sur la rugosité de surface Lorsque la couche d’inversion est totalement formée (inversion forte), les collisions sur les phonons et sur les centres coulombiens influencent relativement peu la mobilité des porteurs. Un troisième phénomène, dû à la rugosité de surface du canal, devient prédominant. Il en résulte qu’à fort champ électrique (VGS élevée), les électrons proches de l’interface ont tendance à subir principalement cette rugosité de surface qui freine leur transport dans le canal. (Grille) (Source) VGS 2 3 (Drain) IDS N+ 4 5 VDS N+ 1 Substrat type-P (Substrat) VBS - 43 - Figure III.1. Schématisation des différents types de charges présents dans un dispositif MOS au voisinage de l’interface Si-SiO2 et des mécanismes collisionnels affectant la mobilité des porteurs dans le canal. La Fig. (III.1) résume les différents types de charges présents au voisinage de l’interface et des mécanismes collisionnels affectant la mobilité des porteurs dans le canal : électrons présents dans le canal (1), charges fixes dans l’oxyde (2), états d’interface (3), rugosité de surface (4), impuretés ionisées dans le substrat (5). En résumé, à température ambiante (300 K), la mobilité des porteurs est essentiellement affectée par les phonons et les pièges chargés aux faibles valeurs du champ électrique et par la rugosité de surface à fort champ. 5.4. Mobilité effective en inversion forte A partir des considérations précédentes, on montre, sur le plan physique, que la mobilité effective des porteurs peut s’exprimer sous la forme suivante : 1 I Q n + 1 Q n + 2QD n 2 Q n + Q D 2 eff I 1 2 (III.19) 1 expression dans laquelle : le terme I 1 traduit l’influence des collisions coulombiennes ; Qn I imp le terme 1 Q n + 2QD 1n 1 représente les collisions sur les phonons ; 1 phon le terme 2 Q n + Q D 2 1 représente les collisions sur la rugosité de surface. 2 surf Ce modèle physique est valable en régime d’inversion (faible et forte). Un autre paramètre important qui affecte cette mobilité effective est la résistance série RSD d’accès au canal. Elle intervient dans le calcul de la mobilité effective suivant la relation : 1 eff 1 imp 1 phon 1 surf W R SD Q n L (III.20) Parallèlement à cette approche "physique", on montre que sur le plan expérimental, la mobilité effective peut se modéliser empiriquement sous la forme : eff = 0 V V 1 + 1 VGS VT DS 2 VGS VT DS 2 2 (III.21) Pour les faible valeurs de VDS, l’Eq. (III.21) se réduit à : - 44 - 2 0 eff = 1 + 1 VGS - VT 2 VGS VT 2 (III.22) ce qui conduit à l’expression du courant IDS : I DS V W eff C ox VGS VT DS VDS L 2 W L V 0 C ox VDS VGS VT DS 2 V V 1 1 VGS VT DS 2 VGS VT DS 2 2 2 (III.23) Il est possible d’établir une corrélation entre le modèle physique et le modèle empirique de la mobilité effective afin d’analyser la dépendance des coefficients µ0, 1 et 2 avec certains paramètres physiques [6]. Les calculs qui suivent ont pour but d’illustrer ce passage entre les deux modèles en mettant en évidence l’influence de la résistance d’accès au canal sur la valeur du coefficient empirique 1. Sur la figure (III.2) est représenté le schéma électrique d’un transistor MOS avec ses résistances d’accès au canal, côté source et côté drain. Dans l’expression du courant sourcedrain établie précédemment (Eq. (III.23)), il faut remplacer VGS par VGS’ et VDS par VD’S’. Bien évidemment, IDS = ID’S’ avec 1 remplacé par 1* . D RSD/2 Figure III.2. Représentation schématique d’un transistor MOS (encerclé) et de ses résistances d’accès au canal. D’ G VD’S’ VDS S’ VGS RSD/2 S D’après la figure (III.2), on peut écrire très simplement (loi des mailles) : VDS R SD I DS VD'S' (III.24) En remplaçant IDS par son expression tirée de l’équation (III.23) à faible VD’S’, il vient : I D'S' 0 C ox VD'S' VGS' VT W L 1 1 VGS' VT 2 VGS' VT 2 (III.25) d’où : - 45 - VDS = R SD (III.25) W eff C ox VGS' VT VD'S' + VD'S' L W VDS = R SD eff C ox VGS' VT 1 VD'S' L (III.26) On en déduit alors l’expression de VD’S’ : VD'S' VDS W R SD eff C ox VGS' VT 1 L (III.27) Remplaçant VD’S’ par son expression dans l’expression du courant, il vient : I DS = W eff C ox VGS' VT L VDS R SD W eff C ox VGS' VT +1 L (III.28) soit : I DS = 0 C ox VGS' VT W * L 1 + 1 VGS' VT + 2 VGS' VT 2 R SD VDS 0 C ox VGS' VT W +1 L 1 + 1* VGS' VT + 2 VGS' VT 2 (III.29) ou encore : 0 C ox VGS' VT VDS W W L 1 + 1* + R SD 0 C ox VGS' VT + 2 VGS' VT 2 L (III.30) I DS = On pose donc : 1 = R SD (III.31) W 0 C ox + 1* L ce qui permet d’écrire IDS sous sa forme finale : I DS = VDS W 0 C ox VGS' - VT L 1 + 1 VGS' - VT + 2 VGS' - VT 2 (III.32) D’après l’Eq. (III.31), on constate donc que la résistance d’accès intervient directement dans l’expression du coefficient 1, avec toutefois une expression du courant (Eq. (III.32)) - 46 - faisant intervenir VGS’ au lieu de VGS. Pour retomber sur l’expression initiale du courant, il faut donc considérer l’équation suivante : VGS VGS' (III.33) R SD I DS 2 De l’Eq.(III.33), on déduit que pour avoir VGS = VGS’ il faut et il suffit que le terme (RSDIDS)/2 soit négligeable devant VGS’, i.e. VDS faible et RSD pas trop élevée. La transconductance La transconductance gm d’un transistor MOS est définie par la dérivée suivante : I DS VGS (III.34) gm Pour établir l’expression de la transconductance, on part de l’Eq. (III.23) donnant l’expression du courant IDS que l’on dérive : V 1 - 2 VGS VT DS 2 2 W 0 C ox VDS L 2 2 VDS VDS 1 + 1 VGS VT + 2 VGS VT 2 2 (III.35) gm = S’il n’y avait pas de rugosité de surface, gm s’exprimerait sous la forme : 0 W C ox V 2 DS L VDS 1 + 1 VGS VT 2 (III.36) gm = Dans le cas où VDS est très faible, la quantité VDS/2 peut être supprimée de l’expression précédante et dans ce cas RSD est inclus dans 1. Exemple Les figures (III.3.a) et (III.3.b) montrent des simulations de IDS(VGS) en fonction de 1 et de 2. Comme le laisse supposer l’équation (III.35), le terme 2 peut rendre la résistance dynamique IDS/VGS négative. En effet la figure (III.3.a) montre qu’à partir d’un certain VGS le courant commence à décroître. Il est à noter aussi qu’il est possible de trouver un 1 négatif lorsque les collisions coulombiennes sont importantes. - 47 - -4 1.0x10 -4 8.0x10 -5 6.0x10 -5 0 1.0x10 -4 8.0x10 -5 6.0x10 -5 4.0x10 -5 2.0x10 -5 -2 0,05 V 0,1 V 4.0x10 -5 2.0x10 -5 -1 -0,1 V -2 -2 (A) IDS IDS (A) 1.2x10 0,3 V -2 0,6 V -1 -0,05 V 0 -1 0,05 V -1 0,1 V a 0 1 2 3 VGS (V) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 VGS (V) Figure III.3. Tracé de IDS(VGS) pour 2 et 1 variables NA = 1.2 1023 m-3, tox = 59 Å, W = 10 µm, L = 1 µm, VDS = 25 mV. a 2 variable, 1 = -0,01V-1. b 1 variable, 2 = 0,06 V-2. - 48 - - 49 -