Chapitre 3 Théorème de Gauss

Chapitre 3
Théorème de Gauss
Questions :
#1) Cube métallique avec une charge ponctuelle positive au centre
E
Q
Le champ électrique appliqué sur les parois du cube conducteur provoquera un
mouvement de charges sur celui-ci. Cependant, le champ n’est pas le même sur
chaque point du cube. En effet, les coins et les arêtes du cube sont plus éloignés de
la charge ponctuelle que les régions centrales de chacune des parois du cube. C’est
dans ces régions centrales qu’on retrouvera une plus forte concentration de charges
négatives (électrons) attirées par la charge ponctuelle positive.
#2) Charge ponctuelle Q à l’intérieur d’un cube de Gauss :
a) Rien. À moins qu’on ait spécifié que la surface a été choisie de façon à épouser la
distribution de charges à l’intérieur.
b) On peut le calculer avec le théorème de Gauss :
Φ=
Qenfermée
ε0
c) Rien. Àmoins qu’on ait spécifié que la surface de Gauss choisie
assure un même
champ E , faisant un même angle avec tous les morceaux dA .
1
#5) Non. Il n’est pas possible de former une surface fermée autour ou à l’intérieur du
cercle qui permette d’assurer que le champ électrique ait la même valeur, en tous
points, sur cette surface. Il y a seulement au centre du cercle qu’on peut établir que
le champ est nul.
#7) Surface fermée :
a) Non. Voici une situation où la charge à l’intérieur d’une surface est nulle tout en
ayant la présence d’un champ :
E
b) Oui si la surface est fermée. Vérifions avec le théorème de Gauss :
0 Q
Φ = ∫ E i dA = 0 = enfermée
ε0
→
Qenfermée = 0
#9) Vrai. Pour trouver le champ électrique, on doit connaître la position des charges afin
de choisir adéquatement la forme que doit prendre la surface de Gauss.
#12) Qu’il y a une charge –Q au centre de la coquille qui était globalement neutre.
Sachant que le champ électrique est nul dans le matériau conducteur (là où on a
représenté une sphère de Gauss en pointillés jaunes) :
-
a
-
+
•-Q
+
b
-
-
+
+
-
Q
+
-Q
-
r
0 Q
Φ = ∫ E i dA = 0 = enfermée
ε0
→
Qenfermée = 0
Sphère de Gauss
Il faut nécessairement que la charge totale enfermée dans la surface de Gauss soit
nulle.
2
Exercices :
#1)
Flux électrique, figure 3.28:
E = 450 N i
C
r = 0,12m
A = π r 2 à 60°
2
Φ = E i A = E A cos θ = E π r 2 cos 60° = 10, 2 N ⋅ m
C
#3) La quantité de lignes de champ traversant l’hémisphère est la même que celle
traversant la base de celui-ci (figure 3.30). Par le fait même, il suffit de calculer
uniquement le flux électrique traversant la base puisqu’il est le même que celui
traversant l’hémisphère.
Φ = E i A = E A cos θ = E π R 2 cos 0° = E π R 2
#4) Soit les deux vecteurs :
(
)
E = 70 i + 90 k N
C
2 A = ( 0,12m ) k
Φ = E i A = 70 N
2
Φ = 1,30 N ⋅ m
C
(
2
⋅ ( 0,12m ) ⋅ i i k
)
0
+ 90 N
C
(
2
⋅ ( 0,12m ) ⋅ k ik
)
1
= Ex Ax + E y Ay + Ez Az
C
#5) Calcul du flux électrique
q1 = 6 µ C
q2 = −8µ C
r = 0, 05m
Φ=
Qenfermée
ε0
=
−2 µ C
ε0
2
= −2, 26 ×105 N ⋅ m
C
3
#6) Cube:
2
Φ face = 3 ×104 N ⋅ m
C
a = 0,1m
a) La charge dans le cube:
2
Φ total = 6 ⋅ 3 ×104 N ⋅ m
C
=
Qenfermée
ε0
⇒
Qenfermée = 1,59µ C
b) Si ce n'était pas le cas, le flux ne serait pas le même à travers les 6 faces du
cube.
#9) Conducteur de forme sphérique :
R = 0, 08m
σ = 0,1 nC
m2
a) On choisit une surface de Gauss de forme sphérique, "collée" à la sphère
conductrice:
1
Qenfermée σ A σ 4π R 2
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ = EA = E 4π R 2 =
=
=
ε0
ε0
↑
E 4π R 2 =
ε0
↑
σ 4π R 2
ε0
σ E=
ur = 11,3 N
ε0
C
ur
b) On choisit une surface de Gauss de forme sphérique avec un rayon de 10cm:
1
Qenfermée σ A σ 4π R 2
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ = EA = E 4π r 2 =
=
=
ε0
↑
E 4π r 2 =
ε0
ε0
↑
σ 4π R 2
ε0
σ R2 E=
ur = 7, 23 N ur
2
C
ε0 r
4
#10) Charge ponctuelle q au centre d'une coquille conductrice avec Q:
q = 16 µ C
Q = −8µ C
b) Établissons tout d'abord la répartition des charges sur la coquille:
• Surface interne: -16µC tout comme la charge ponctuelle au centre.
• Surface externe: un excédent de 8µC.
a) Déterminer le champ électrique:
1
Qenfermée
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ = EA = E 4π r 2 =
ε0
Qenfermée k Qenfermée E=
ur =
ur
r2
4πε 0 r 2
• À l'intérieur de la coquille:
k Qenfermée k ⋅16 µ C 1, 44 × 105 E=
ur =
ur =
ur  N 
 C
r2
r2
r2
• À l'extérieur da la coquille:
k Qenfermée k ⋅ 8µ C 0, 720 ×105 E=
ur =
ur =
ur  N 
 C
r2
r2
r2
c) Dessin des lignes de champ:
-
+
+
-
-
E
16µC
+
-
•
-
8µC
+
-
r
-
-16µC
+
5
#12) Sphère chargée:
R = 0, 02m
E = −800 N
C
ur (à la surface)
a) La charge à l'intérieur:
k Qenfermée E=
ur = −800 N ur
2
C
R
⇒
Qenfermée = −3,56 ×10−11 C
b) Possibilités:
1. charge ponctuelle au centre,
2. distribution de charges uniforme de forme sphérique centrée au
milieu de la sphère.
#14) 2 plaques faites de matériau isolant, qu'on considère comme 4 plaques (les 4
surfaces):
1
σ
2
σ
3
−σ
4
−σ
E1 = E2 = E3 = E4 = σ
2ε 0
x
a) Le champ entre les plaques:
σ 2σ E = 4⋅
i =
i
2ε 0
ε0
b) À l'intérieur de la plaque 1 ↔ 2 :
2σ σ E=
i =
i
2ε 0
ε0
6
#15) 2 plaques conductrices:
−σ
σ
II
I
III
E2 = σ
2ε 0
E1 = σ
1
2ε 0
2
x
a) Dans la région II:
σ σ E = 2⋅
i =
i
2ε 0
ε0
b) Dans
les régions I et III:
E=0
#16) Un cube:
arête = L
E = (a + b x) i
z
E
y
x
7
a) Les lignes de champ traversent seulement 2 surfaces du cubes:
•
Celle en x = 0
−1
0
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos180° = − EA = − E L2 = − a + b x L2 = − a L2
•
Celle en x = L
1
L
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos 0° = EA = E L2 = a + b x L2 = ( a + b L ) L2
•
Le flux total:
Φ total = ( a + b L ) L2 − a L2 = b L3
)
(
(
)
b) La charge dans le cube:
Φ total = b L3 =
Qenfermée
Qenfermée = ε 0 b L3
⇒
ε0
#18) Long câble coaxial de la figure 3.31
dA
r
a
b
E
E
L
−σ
Cylindre de
Gauss
σ
dA
a) La surface de Gauss est un cylindre, de longueur L et de rayon r, entourant le
câble au centre. Ce cylindre de Gauss est fermé: une partie tubulaire fermée
par deux disques aux extrémités. On sépare alors le calcul du flux en 3 parties:
8
Φ = ∫ E i dA =
∫
E i dA +
tube
Φ=
∫
E i dA +
∫
disque
E i dA =
∫
disque
E dAtube = E Atube = E 2π r L =
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
tube
Qenfermée
ε0
tube
∫
=
∫
E dAdisque cos 90°
disque
σ 2π a L
ε0
↑
↑
σa ⇒ E=
u
ε0 r r
b) La surface de Gauss est un cylindre, de longueur L et de rayon r, entourant la
gaine extérieure de rayon b. Ce cylindre de Gauss est fermé: une partie
tubulaire fermée par deux disques aux extrémités. On sépare alors le calcul du
flux en 3 parties:
Φ = ∫ E i dA =
∫
E i dA +
tube
Φ=−
∫
E i dA +
∫
disque
∫
E i dA =
disque
E dAtube = −E Atube = − E 2π r L =
tube
∫
E dAtube cos180°
−1
tube
Qenfermée
ε0
=
+ 2⋅
∫
E dAdisque cos 90°
disque
σ 2π L ( b − a )
σ ( −2π b L + 2π a L )
=−
ε0
ε0
↑
↑
σ (b − a ) ⇒ E=−
ur
ε0 r
#20) Long câble coaxial de la figure 3.31
dA
r
a
b
E
L
−λ
Cylindre de
Gauss
λ
dA
9
0
0
a)
La surface de Gauss est un cylindre, de longueur L et de rayon r, entourant le
câble au centre. Ce cylindre de Gauss est fermé: une partie tubulaire fermé
par deux disques aux extrémités. On sépare alors le calcul du flux en 3
parties:
1
0
Φ = ∫ E i dA = ∫ E i dA + ∫ E i dA + ∫ E i dA = ∫ E dAtube cos 0° + 2 ⋅ ∫ E dAdisque cos 90°
tube
Φ=
disque
disque
E dAtube = E Atube = E 2π r L =
∫
Qenfermée
ε0
tube
λL
ε0
=
↑
⇒ E=
b)
↑
λ 2k λ ur =
ur
2πε 0 r
r
La surface de Gauss est un cylindre, de longueur L et de rayon r, entourant la
gaine extérieure de rayon b. Ce cylindre de Gauss est fermé: une partie
tubulaire fermé par deux disques aux extrémités. On sépare alors le calcul du
flux en 3 parties:
Φ = ∫ E i dA =
∫
E i dA +
tube
Φ=−
disque
tube
∫
∫
E i dA +
disque
∫
E i dA =
disque
E dAtube = − E Atube = − E 2π r L =
tube
∫
E dAtube cos180°
+ 2⋅
Qenfermée
ε0
=
∫
E dAdisque cos 90°
disque
tube
λL − λL 0
=
ε0
ε0
↑
⇒ E=0
−1
↑
#22) Configuration de la figure 3.32
dA
-
-
•
+
-
b
-
a
r
-
Sphère de Gauss
10
0
a)
Pour r < b la sphère de Gauss « enferme » uniquement la charge de la petite
sphère de rayon a :
1
Q
σ 4π a 2
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ =E ∫ d A = E 4π r 2 = enfermée =
ε0
ε0
↑
↑
σ a2 ⇒ E=
u
ε0 r2 r
b)
Pour r > b la sphère de Gauss « enferme » la charge totale de la
configuration :
1
Qenfermée σ 4π a 2 − σ 4π b 2
2
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ =E ∫ d A = E 4π r =
=
ε0
σ (b − a
⇒ E=−
ε0 r2
2
2
ε0
↑
) u
↑
r
#23) Configuration de la figure 3.32
dA
E =0
-
-
•
+
-
b
a
r
-
-
Sphère de Gauss
La surface de Gauss est une sphère de rayon r > b :
Q
0
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ = 0 = enfermée
→
ε0
Qenfermée = 0
Donc la charge de la petite sphère doit être la même que celle de la coquille, de
signe opposé:
11
•
•
•
Celle de la petite sphère:
Q
Q
σ sphère = sphère = sphère2
Asphère 4π a
→
Qsphère = 4πσ sphère a 2
Celle de la coquille:
Q
Q
σ coquille = coquille = coquille2
Acoquille
4π b
→
Qcoquille = 4πσ coquille b 2
On égale les deux charges:
Qsphère = − Qcoquille
4π σ sphère a 2 = − 4π σ coquille b 2
⇒
σ sphère
b2
=− 2
σ coquille
a
#25) Un cylindre conducteur de longueur infinie:
dA
L
r
a
E
Cylindre de
Gauss
λ
dA
a = 0,12m
λ = 3 nC m
E = ? à P situé à r = 0, 22m
12
Φ = ∫ E i dA =
E i dA +
∫
tube
Φ=
∫
∫
E i dA +
disque
∫
E i dA =
disque
E dAtube = E Atube = E 2π r L =
Qenfermée
ε0
tube
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
=
∫
E dAdisque cos 90°
disque
tube
λL
ε0
↑
⇒ E=
∫
↑
λ 2k λ ur =
ur = 245 N ur
C
2πε 0 r
r
#27) Sphère conductrice:
E
-
dA
-
-
R
-
r
-
R = 0,1m
E = −1800 N
C
-
Sphère de Gauss
-
ur à r = 0, 22m
13
0
−1
Q
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos180° = − E A = − E 4π r 2 = enfermée
ε0
Qenfermée kQenfermée k σ 4π R 2 E=−
u
u
ur
=
−
=
−
r
r
r2
r2
4πε 0 r 2
k σ 4π R 2 E = −1800 N ur = −
ur
C
r2
⇒
σ = −7, 70 ×10−8 C
m2
#31) Sphère pleine isolante uniformément chargée Q (occupant tout le
volume ρ C 3  ).
 m 
E
dA
+
+
+
+
+
+
+
R +
r
+
+
+
+
+
+
+
+
Sphère de Gauss
+
1
Qenfermée
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos 0° = E A = E 4π r 2 =
ε0
→
Qenfermée kQenfermée E=
ur =
ur
4πε 0 r 2
r2
a) En sachant que E = 2000 N C ur à r = 0, 05m
kQenfermée E=
ur = 2000 N ur
2
C
r
→
Qenfermée = 555 pC
14
On calcule la densité volumique de charges :
Q
ρ = enfermée
= 1, 06 µC 3
3
m
4π r
3
b) Le module du champ électrique à r = 0,2m. Trouvons tout d’abord la
charge totale portée par la sphère :
Q
= 1, 06 µC 3
→
ρ = enfermée
3
m
4π R
3
Qenfermée = 4, 44nC
Donc le champ :
kQ
E = enfermée
ur = 999 N ur
2
C
r
Problèmes :
#1) Sphère pleine isolante uniformément chargée Q (occupant tout le
volume ρ C 3  ).
 m 
E
Q
dA
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ρ
R +
+
+
r
+
+
+
+
+
Sphère de Gauss
15
1
Qenfermée
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos 0° = E A = E 4π r 2 =
ε0
→
Qenfermée kQenfermée E=
ur =
ur
4πε 0 r 2
r2
a) Pour une sphère de Gauss avec r < R :
kQenfermée E=
ur =
r2
ρ r E=
ur
3ε 0
(
3
k ρ 4π r
r2
)
 1

ρ 4π r

3  4π ε 0 
ur =
ur
3
b) À l’extérieur de la sphère :
kQ
E = totale
ur =
2
r
ρ R3 E=
ur
3ε 0 r 2
(
3
k ρ 4π R
r
2
)
 1

3
 4π ε  ρ 4π R
3 
0
ur =
ur
2
3r
À noter que les deux équations du champ, trouvées pour chacune des
situations, donne la même expression en r = R.
#3) Coquille conductrice :
E
-
-
dA
R2
+
R1
σ
+
•
+
-
+
-q
-
−σ
+
+
+
a)
-
r
Sphère de Gauss
16
a) En choisissant une surface de Gauss à l’intérieur du matériau conducteur, on
s’assure que le champ électrique est nul en tous points de celle-ci.
Qenfermée
0
Φ = ∫ E i dA = ∫ E dA cos θ = 0 =
ε0
→ Qenfermée = − q + σ 4π R = 0
2
1
⇒ q = − σ 4π R12
b) La charge totale :
•
Sur la surface interne de la coquille :
q1 = −q = 4πσ R12
•
Sur la surface externe de la coquille :
q2 = −4πσ R22
•
Charge totale :
Qcoquille = −4πσ ( R22 − R12 )
c) À l’extérieur de la coquille :
(
)
2
2
2
kQenfermée k −4πσ R1 +4πσ R1 − 4πσ R2 E=
ur =
ur
r2
r2


2
4π  1
 σ R2
2
ε
4
π
4π kσ R2 σ R22 0

E=−
u
=
−
u
=
−
u
r
r
ε 0r 2 r
r2
r2
17
#5) Long cylindre isolant avec la charge distribuée uniformément dans son volume :
R dA
r
E
Cylindre de
Gauss
ρ
L
dA
a)
Pour un point à l’intérieur du cylindre :
Φ = ∫ E i dA =
∫
E i dA +
tube
Φ=
∫
∫
E i dA +
disque
E i dA =
∫
disque
E dAtube = E Atube = E 2 π r L =
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
tube
Qenfermée
ε0
tube
∫
=
∫
E dAdisque cos 90°
0
E dAdisque cos 90°
0
disque
ρπr L
ε0
2
↑
↑
ρr ⇒ E=
ur
2ε 0
b)
Pour un point situé à l’extérieur du cylindre :
Φ = ∫ E i dA =
∫
tube
Φ=
∫
E i dA +
∫
E i dA +
disque
E i dA =
∫
disque
E dAtube = E Atube = E 2 π r L =
tube
↑
Qenfermée
ε0
∫
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
tube
=
∫
disque
ρπR L
ε0
2
↑
ρR ⇒ E=
ur
2ε 0 r
2
À noter que les deux équations précédentes donnent la même expression du
champ en r = R.
18
#6) Une cavité au centre d’une coquille isolante avec ρ C 3 
 m 
E
Q
+
dA
+ +
+
+
+
+
R +
a
+
+
+
ρ
+
+
+
+
+
Sphère de Gauss
+
a) Pour un point situé à l’extérieur :
{ (
)}
4π R 3 − 4π a 3
kQenfermée k ρ ⋅
3
3 E=
ur =
ur
2
2
r
r


ρ ( R3 − a3 )
4π  1

ρ ( R3 − a 3 ) 4π k ρ ( R 3 − a 3 ) 4π ε 0 

ur =
ur
E=
ur =
3r 2
3r 2
3ε 0 r 2
b) Pour un point situé à a < r < R :
{ (
)}
4π r 3 − 4π a 3
kQenfermée k ρ ⋅
3
3 E=
ur =
ur
2
2
r
r


3
3
4π  1
 ρ (r − a )
ρ ( r 3 − a3 ) 4π k ρ ( r 3 − a 3 ) 4
π
ε

0
E=
ur =
ur =
ur
3r 2
3r 2
3ε 0 r 2
19
#11) Cylindre infini de la figure 3.35
dA
r
r
a
R
E
L
Cylindre de
Gauss
dA
ρ
a) Pour un point situé à a < r < R :
Φ = ∫ E i dA =
∫
E i dA +
tube
Φ=
∫
∫
E i dA +
disque
E i dA =
∫
disque
E dAtube = E Atube = E 2 π r L =
ε0
∫
E i dA +
tube
Φ=
∫
∫
E i dA +
disque
tube
ρ ( R2 − a2 ) ⇒ E=
ur
2ε 0 r
ρ π (r − a
↑
2
ε0
E i dA =
∫
disque
E dAtube = E Atube = E 2 π r L =
E dAdisque cos 90°
0
E dAdisque cos 90°
0
)L
↑
b) Pour un point à l’extérieur :
Φ = ∫ E i dA =
=
∫
disque
2
↑
ρ ( r 2 − a2 ) ⇒ E=
ur
2ε 0 r
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
tube
Qnfermée
tube
∫
Qenfermée
ε0
∫
1
E dAtube cos 0° + 2 ⋅
tube
disque
ρ π (R − a
2
=
∫
ε0
2
)L
↑
20