Chapitre 3 Théorème de Gauss

1
E
Q
Chapitre 3
Théorème de Gauss
Questions :
#1) Cube métallique avec une charge ponctuelle positive au centre
Le champ électrique appliqué sur les parois du cube conducteur provoquera un
mouvement de charges sur celui-ci. Cependant, le champ n’est pas le même sur
chaque point du cube. En effet, les coins et les arêtes du cube sont plus éloignés de
la charge ponctuelle que les régions centrales de chacune des parois du cube. C’est
dans ces régions centrales qu’on retrouvera une plus forte concentration de charges
négatives (électrons) attirées par la charge ponctuelle positive.
#2) Charge ponctuelle Q à l’intérieur d’un cube de Gauss :
a) Rien. À moins qu’on ait spécifié que la surface a été choisie de façon à épouser la
distribution de charges à l’intérieur.
b) On peut le calculer avec le théorème de Gauss :
0
enfermée
Q
ε
Φ =
c) Rien. À moins qu’on ait spécifié que la surface de Gauss choisie assure un même
champ
E
, faisant un même angle avec tous les morceaux
dA
.

2
E
EΦ =
0
0
0 0
enfermée enfermée
Q
dA Q
ε
= = → =
∫
i
r
a
b
•
-Q
Q
-Q
-
-
-
- -
+
+
+
+ +
-
-
Sphère de Gauss
#5) Non. Il n’est pas possible de former une surface fermée autour ou à l’intérieur du
cercle qui permette d’assurer que le champ électrique ait la même valeur, en tous
points, sur cette surface. Il y a seulement au centre du cercle qu’on peut établir que
le champ est nul.
#7) Surface fermée :
a) Non. Voici une situation où la charge à l’intérieur d’une surface est nulle tout en
ayant la présence d’un champ :
b) Oui si la surface est fermée. Vérifions avec le théorème de Gauss :
EΦ =
0
0
0 0
enfermée enfermée
Q
dA Q
ε
= = → =
∫
i
#9) Vrai. Pour trouver le champ électrique, on doit connaître la position des charges afin
de choisir adéquatement la forme que doit prendre la surface de Gauss.
#12) Qu’il y a une charge –Q au centre de la coquille qui était globalement neutre.
Sachant que le champ électrique est nul dans le matériau conducteur (là où on a
représenté une sphère de Gauss en pointillés jaunes) :
Il faut nécessairement que la charge totale enfermée dans la surface de Gauss soit
nulle.

3
Exercices :
#1) Flux électrique, figure 3.28:
2
450
0,12
60
N
E i
C
r m
A r à π
=
=
= °
2
2
cos cos60 10,2N m E A E A E r
C
θ π
⋅
Φ = = = ° = i
#3) La quantité de lignes de champ traversant l’hémisphère est la même que celle
traversant la base de celui-ci (figure 3.30). Par le fait même, il suffit de calculer
uniquement le flux électrique traversant la base puisqu’il est le même que celui
traversant l’hémisphère.
2 2
cos cos0
E A E A E R E R
θ π π
Φ = = = °=
i
#4) Soit les deux vecteurs :
(
)
( )
2
70 90
0,12
N
E i k
C
A m k
= +
=
( )
( )
2
70 0,12
N
E A m i k
C
Φ = = ⋅ ⋅ i i
( )
( )
02
90 0,12
Nm k k
C
+ ⋅ ⋅ i
1
2
1,30
x x y y z z
E A E A E A
N m C
= + +
⋅
Φ =
#5) Calcul du flux électrique
1
2
6
8
0,05
q C
q C
r m
µ
µ
=
= −
=
2
5
0 0
22,26 10
enfermée
QCN m
C
µ
ε ε
−⋅
Φ = = = − ×

4
#6) Cube:
2
4
3 10
0,1
face
N m
C
a m
⋅
Φ = ×
=
a) La charge dans le cube:
2
4
0
6 3 10 1,59
enfermée
total enfermée
Q
N m
Q C
C
µ
ε
⋅
Φ = ⋅ × = ⇒=
b) Si ce n'était pas le cas, le flux ne serait pas le même à travers les 6 faces du
cube.
#9) Conducteur de forme sphérique :
2
0,08
0,1
R m
nC
m
σ
=
=
a) On choisit une surface de Gauss de forme sphérique, "collée" à la sphère
conductrice:
cosE dA EdA θ Φ = = i
2
12
0 0 0
2
4
4
4
enfermée
Q
A R
EA E R
E R
σ σ π
πε ε ε
π
= = = = =
↑ ↑
∫ ∫ 
2
4R σ π
=
0
0
11,3
r r
N
E u u
C
ε
σε
= =
b) On choisit une surface de Gauss de forme sphérique avec un rayon de 10cm:
cosE dA E dA θ Φ = = i
2
12
0 0 0
4
4
4
enfermée
Q
A R
EA E r
E
σ σ π
πε ε ε
π
= = = = =
↑ ↑
∫ ∫ 
2
4
r
σ π
=
2
0
2
2
0
7,23
r r
R
RN
E u u
C
r
ε
σε
= =

5
r
16µC
8µC -16µC
-
-
-
-
-
+ +
+
+
+
-
-
E
•
-
#10) Charge ponctuelle q au centre d'une coquille conductrice avec Q:
16
8
q C
Q C
µ
µ
=
= −
b) Établissons tout d'abord la répartition des charges sur la coquille:
• Surface interne: -16µC tout comme la charge ponctuelle au centre.
• Surface externe: un excédent de 8µC.
a) Déterminer le champ électrique:
cosE dA E dA θ Φ = = i
12
0
2 2
0
4
4
enfermée
enfermée enfermée
r r
Q
EA E r
Q k Q
E u u
r r
πε
πε
= = =
= =
∫ ∫
• À l'intérieur de la coquille:
5
2 2 2
16 1,44 10
enfermée r r r
k Q k C N
E u u u
C
r r r
µ ⋅ ×
= = =
• À l'extérieur da la coquille:
5
2 2 2
8 0,720 10
enfermée r r r
k Q k C N
E u u u
C
r r r
µ ⋅ ×
= = =
c) Dessin des lignes de champ: