XI-2) Champ électrostatique

Cours : D – Electromagnétisme XI – Symétries et Electrostatique Sciences Physiques : PSI
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
XI-2) Champ électrostatique
En électromagnétisme, on étudie les effets induits par la présence de charges et de courants, qui modifient les propriétés de l'espace en
créant en chaque point un champ électrique et un champ magnétique. L'ensemble des deux champs constitue le champ électromagnétique  .
Par ailleurs, une charge située en un point où règne un champ électromagnétique subit une action qui dépend de ce champ. L'objet de
l'électromagnétisme est l'étude du champ électromagnétique en fonction de ses sources, et de son effet sur les charges et les courants. Ce premier
chapitre d'électromagnétisme est consacré à l'étude du champ électrique en régime stationnaire, dont les sources sont les charges stationnaires dans
le référentiel d’étude.
Dans un premier temps, les charges électriques sont mises en évidence, ainsi que les différentes façons dont elles peuvent être distribuées
dans l'espace. Puis on a pour but, étant donnée une distribution particulière, de déterminer le champ électrique qu'elle crée en tout point de l'espace.
I - Charges électriques
I-1) Charge électrique à l'échelle mésoscopique
Pour définir l'échelle mésoscopique de description de la charge électrique, on prend l'exemple d'un gaz ionisé, chaque ion porte une charge
q.
- Description microscopique :
Si on considère un volume élémentaire microscopique d, fixe dans le repère d'observation, c'est-à-dire un cube dont l'arête 
 est de
l'ordre de grandeur de quelques dizaines de rayons atomiques, alors le nombre de charges fluctue de façon importante au cours du temps, car les
particules franchissent en permanence la frontière de d. Le nombre N de particules chargées dans d fluctue.
Volume élémentaire microscopique d contenant des ions de charge q.
- Description mésoscopique :
On considère désormais un volume élémentaire d, fixe dansle repère d'observation, dont le rayon typique 
 est de l'ordre du
micromètre : c'est l'ordre de grandeur de quelques libres parcours moyens entre deux collisions successives subies par les porteurs de charge. Le
nombre N de particules contenues dans d varie très peu, il y a quasiment autant de particules qui rentrent que de particules qui sortent de d. Les
fluctuations discrètes du nombre de charges contenues dans d, dues au mouvement microscopique incessant des particules qui franchissent la
frontière du volume d en entrant et en sortant, sont négligeables.
Volume élémentaire mésoscopique.
Bien que les particules microscopiques franchissent sans cesse la frontière du volume d, en régime stationnaire, la quantité N de particules
est indépendante du temps. On définit alors n, d'unité (m-3), densité des particules chargées au niveau du point M où se situe d :  
avec N la
quantité de particules chargées dans .
L'échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique et l'échelle macroscopique. Dans un volume
élémentaire mésoscopique d'un milieu chargé, on néglige les fluctuations du nombre de panicules chargées dues à l'agitation microscopique. Le
volume est suffisamment petit pour qu'on puisse considérer que la densité de particules soit uniforme.
I-2) Distribution volumique de charge électrique
La notion de distribution volumique de charge électrique n'a de sens qu'au niveau mésoscopique. Soit  un volume élémentaire
mésoscopique qui contient une charge Q, on définit la densité volumique de charges  au niveau du point M au voisinage duquel se situe le volume
mésoscopique dt par :
L'unité d'une densité volumique de charge dans le système international est le coulomb par mètre cube : C.m-3.

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I-3) Distributions surfacique et linéique
Certaines répartitions de charge prennent la forme de couches minces, dont l'épaisseur h est très inférieure aux autres dimensions du
problème (largeur et longueur de la distribution, distance à laquelle on évalue le champ créé). On adopte alors un modèle dit surfacique, qui consiste à
négliger l'épaisseur de la répartition, en considérant que toutes les particules qui la composent sont disposées sur une surface.
Le paramètre décrivant cette distribution est la densité surfacique de charge , définie comme le rapport entre la quantité de charge dq
présente sur un élément de surface et l'aire dS de celui-ci :
On se place dans le cas où la distribution réelle est une couche mince d'épaisseur h, contenant une densité volumique de porteurs de charge
n uniforme. On relie les densités volumiques n et  à , en considérant que la quantité de charge présente dans un élément de la couche de volume
d = h dS s'écrit :   
Donc :
De même on définit la densité linéique de charger par :
I-4) Propriétés de la charge totale d'un système fermé
Un système fermé est composé d'un ensemble de particules, délimité par une frontière imperméable aux échanges de charges. Il vérifie les
propriétés fondamentales :
- La charge est quantifiée, elle est un multiple entier relatif de la charge élémentaire e;
- La charge d'un système fermé, somme des charges des particules qui constituent le système, est une grandeur extensive et additive (si
on réunit deux systèmes, la charge du nouveau système est la charge des deux systèmes réunis) ;
- La charge d'un système fermé se conserve (s'il se produit une ionisation d'une molécule dans le système, des charges de signe opposé
apparaissent, mais la charge globale est conservée), la charge est une grandeur conservative ;
- La charge d'un système fermé ne dépend pas du référentiel d'étude.
II - Définition du champ électrique
II-1) Force de Coulomb
Tout au long du XVIIIème siècle, des expériences ont été menées dans le but d'observer les interactions entre corps électrisés. C'est en 1785
que Coulomb met au point sa balance, qui permet une étude quantitative de la force d'interaction entre deux particules chargées.
De toutes les expériences effectuées au XVIIIème, on a pu déduire trois propriétés essentielles de la force d'interaction entre deux corps
chargés ponctuels, M1 et M2, qui portent les charges q1 et q2 :
Où est une constante dimensionnée, appelée permittivité électrique du vide. Sa valeur dans le système international d'unités est : 
II-2) Définition du champ électrostatique
L'expérience de Coulomb a mis en évidence la force exercée par une charge localisée q1 sur une autre charge q2.
Si on considère une distribution Dch de charges indépendante du temps, l'action exercée par Dch sur une charge q placée en un point M est une force, 
appelée force électrique.

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On définit le champ électrique en M créé par Dch :
Comme l'unité de la charge q est le coulomb C, il apparaît que l'unité du champ électrique est celle d'une force divisée par une charge, le
newton par coulomb N.C-1 ; mais cette unité n'est pas l'unité usuelle. L'unité du champ électrique dans le système international est le V.m-1.
Une distribution de charges fixes Dch dans un référentiel R crée au point M un champ électrique 
 tel que :
L'unité du champ électrique dans le système international est le V.m-1.
Remarques :
- Le champ électrique ne se révèle que par ses effets. Ainsi pour mesurer un champ électrique en un point, il faut y placer une charge afin
de mesurer la force qu'elle subit du fait de l'existence du champ électrique.
- La force électrique est une grandeur qui ne dépend pas du choix que l'on fait de l’orientation de l’espace. Comme le lien entre la force
électrique et le champ électrique est une simple proportionnalité on en déduit que le champ électrique est un champ vectoriel qui ne
dépend pas du choix de l'orientation de l'espace. Un tel vecteur est appelé vecteur polaire : il ne dépend pas du choix de l'orientation
de l'espace.
II-3) Champ électrique créé par une charge ponctuelle
On envisage une charge ponctuelle Q située au point 0, origine du repère.
Si on place une charge q en un point M quelconque de l'espace, celle-ci subit la force :
Le champ électrique que crée Q en M est :
On constate que la charge ponctuelle Q crée un champ électrique radial, qui varie comme l'inverse de la distance au carré.
En calculant le flux du champ créé par cette charge ponctuelle à travers la sphère S de rayon r qui passe par M, comme le montre la figure,
on établit sur un cas particulier d'une propriété fondamentale du champ électrique.

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Le flux du champ électrique à travers la sphère de rayon r ne dépend que de la charge Q, il ne dépend pas du rayon de la sphère.
Cette propriété, établie dans le cas particulier d'une charge ponctuelle et d'une sphère dont elle est le centre, est une propriété tout à fait
générale du champ électrique, connue sous le nom de théorème de Gauss.
III - Théorème de Gauss
III-1) Énoncé
On admet que le résultat précédent se généralise au cas d'une surface fermée quelconque, à l'intérieur de laquelle se trouve une
distribution de charge.
Remarque
On appelle surface de Gauss la surface fermée choisie pour appliquer le théorème de Gauss.
Conséquences du théorème de Gauss :
- Les charges situées en dehors de la surface de Gauss ne participent pas au flux du champ électrique ;
- La position des charges à l'intérieur du volume n'a pas d'influence sur le flux sortant du champ électrique ;
- Si le volume délimité par la surface de Gauss est vide de charge, le flux du champ électrique sortant de ce volume est nul, on dit que le
champ électrique est à flux conservatif dans les zones vides de charges.
Dans certains cas de distributions de charges, le théorème de Gauss est un outil puissant pour calculer le champ électrique en tout point de
l'espace, à condition de bien choisir la surface de Gauss.
III-3) Théorème de Gauss pour le champ de gravitation
La force d'interaction gravitationnelle entre deux masses et la force d'interaction électrique entre deux charges ont des expressions
formellement identiques, ce sont deux forces en 1/r².
Le champ de gravitation , créé en M par une distribution de masse , est relié à la force 
 exercée par la distribution D sur une masse m
placée en M, par : 
Un raisonnement par analogies permet d'appliquer à la gravitation les résultats de l'étude du champ électrique et inversement.
On en déduit qu'il est possible de calculer le champ d'attraction gravitationnelle  créé par une distribution de masse qui présente de
fortes symétries avec le théorème de Gauss.
Le tableau d'analogies, établit l'analogie formelle entre l'interaction gravitationnelle et l'interaction électrique. Pour établir ce tableau
d'analogies, on fait correspondre chaque terme présent dans la force d'interaction gravitationnelle entre deux masses m1 et m2 à son analogue dans la
force d'interaction coulombienne entre deux charges q1 et q2 de même signe, comme m1 et m2 sont de même signe.
La valeur de la constante de gravitation est :   
Le flux du champ électrique 
, à travers une surface fermée S qui délimite un volume V, est égal à la charge intérieure au volume, divisé
par  :
Cette relation constitue le théorème de Gauss.

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Et :
Une fois l'analogie établie, on l'exploite pour établir le théorème de Gauss gravitationnel : Le flux du champ de gravitation  à travers une
surface fermée S qui délimite un volume V est égal à la masse intérieure au volume multipliée par la constante -4G :
Cette relation constitue le théorème de Gauss gravitationnel.
IV - Équations locales de l'électrostatique
IV-1) Equation locale de Maxwell Gauss
Le théorème de Gauss n'impose aucune condition sur le volume délimité par la surface de Gauss. On choisit alors de l'appliquer sur un
volume mésoscopique d fixe du référentiel dans lequel est défini la distribution de charge définie par la densité volumique de charge .
En notant d, le flux du champ électrique sortant du volume mésoscopique d, attendu que la charge contenu dans le volume d est
Q=d, le théorème de Gauss s'écrit :
Or, la définition intrinsèque de la divergence est : 
En égalant les deux expressions de  :
L'équation de Maxwell Gauss relie le champ électrique  et la densité volumique de charge .