chapitre 17 : calcul d`integrales - integration par parties

Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
© Gérard Hirsch – Maths54 1
CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES -
INTEGRATION PAR PARTIES
Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales :
1) primitivation par lecture directe dans une table
2) par transformations d’écriture
3) par intégration par parties
1. Primitivation par lecture directe dans une table
Exemple
calculer l’intégrale
/4
02
sin
cos
x
I
dx
x
π
=∫
On note f la fonction définie sur 0, 4
π
par 2
sin
:cos
x
fx
x
a
La fonction f est continue sur 0, 4
π
et l’intégrale I existe.
Pour tout
x
∈0, 4
π
, 2
'( )
() () cos '() sin
()
ux
f
x avec u x x et donc u x x
ux
=− = =−
La fonction F définie sur 0, 4
π
par 11
() () cos Fx ux x == est une primitive de f sur 0, 4
π
et donc
/4
0
121
cos
Ix
π
==−
Finalement :
/4
02
sin 21
cos
x
Idx
x
π
==−
∫

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2. Transformations d’écriture
Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée
Exemple
calculer l’intégrale
1
02
3
2
x
I
dx
xx
+
=−−
∫
Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant,
pour tout x dans
[
]
0,1 , 2
3
221
x
ab
x
xxx
+=+
−− − +
• Existence de l’intégrale :
Les racines du dénominateur 21et − n’appartenant pas à l’intervalle
[
]
0,1 , la fonction
2
3
:2
x
fx xx
+
−−
aest continue sur
[
]
0,1 et l’intégrale I existe.
• Transformation d’écriture
[]
2
() 2
0,1 21 2
ababxab
pour tout x xx xx
+
+−
∈+=
−+ −−
En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système
1
23
ab
ab
+=
−=
qui admet l’unique solution 52
33
aetb==−
On a donc
[]
2
35121
0,1 23 23 1
x
pour tout x
x
xxx
+
∈=−
−
−−+
• Calcul de l’intégrale :
11
00
52
3231
dx dx
I
x
x
=−
−+
∫∫
et donc puisque
[
]
0,1 ( 2) 0 ( 1) 0xalorsxetx∈−<+>
[][]
11
00
52
ln(2 ) ln( 1)
33
Ixx=−−+

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Finalement :
1
02
37
ln 2
23
x
Idx
xx
+
==−
−−
∫
3. Intégration par parties
Théorème
Soient u et v deux fonctions dérivables sur
[
]
,ab et admettant des dérivées ''uetv continues.
Alors
[]
() '() ()() '()()
bb
aa
b
a
uxv xdx uxvx u xvxdx=−
∫∫
Démonstration
Soient u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle
[
]
,ab telles que u ‘ et v ‘ soient
continues sur
[
]
,ab , alors puisque la dérivée du produit u v est donnée par
()' ' 'uv u v uv=+alors u v est une primitive de ''uv uv
+
sur
[
]
,ab .
Donc
[]
()
()() '()() () '() '()() () '()
bbb
aaa
b
a
uxvx u xvx uxv x dx u xvxdx uxv xdx=+= +
∫∫∫
d’où la formule d’intégration par parties
[]
() '() ()() '()()
bb
aa
b
a
uxv xdx uxvx u xvxdx=−
∫∫
Cette formule s’applique lorsqu’on cherche à calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions
et à condition que '( ) ( )
b
a
uxvxdx
∫ soit plus facile à calculer que ( ) '( )
b
a
uxv xdx
∫
C’est le cas en particulier pour le produit :
• d’une fonction polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale à la fonction
polynôme)

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• d’une fonction polynôme et d’une fonction logarithme (avec u égale à la fonction
logarithme)
• d’une fonction exponentielle et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale
indifféremment à la fonction exponentielle ou à la fonction sinus ou cosinus)
Remarque
il faut parfois répéter plusieurs fois la méthode.
Exemple
Calculer
/2
0
cos
I
xxdx
π
=∫
on pose
() '() 1
() sin '() cos
ux x u x
vxxvx x
=⇒ =
=⇐ =
et en appliquant la formule d’intégration par parties :
[]
/2
/2
00
sin sin
I
xx xdx
π
π
=−
∫
soit
[]
/2
0
sin cos
I
xx x
π
=+
et finalement
/2
0
cos 1
2
Ixxdx
ππ
==−
∫
Remarque
le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction
:cos
f
xx xa
Les primitives de f sur
R
sont : sin cosFx x x xCavecC
+
+∈a
R

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Exemple
Calculer
/2
0
2cos x
Jexdx
π−
=∫
On pose, par exemple, en choisissant u égale à la fonction exponentielle (on peut aussi procéder
par intégration par parties en posant u égale à la fonction cosinus)
22
() '() 2
() sin '() cos
xx
ux e u x e
vx x v x x
−−
=⇒=−
=⇐=
et en appliquant la formule d’intégration par parties :
/2
/2
00
22
sin 2 sin
xx
Je x e xdx
π
π
−−
=+
∫
On applique la formule d’intégration par parties uine deuxième fois (dans le même sens, c’est-à-
dire en posant toujours u égale à la fonction exponentielle)
22
() '() 2
() cos '() sin
xx
ux e u x e
vx x v x x
−−
=⇒=−
=− ⇐ =
et
/2
/2
00
222
sin 2 cos 2 cos
xxx
Je x e x e xdx
π
π
−−−
=+−−
∫
L’intégrale apparaissant dans le second membre étant l’intégrale J cherchée, on en déduit
/2 /2
00
22
sin 2 cos 4
xx
Je x e x J
ππ
−−
=− −
soit
/2 /2
00
22
5sin2cos
xx
Je x e x
ππ
−−
=−
d’où
/2
0
2
1(sin 2cos )
5
x
Je x x
π
−
=−
et finalement
/2
0
21
cos ( 2)
5
x
Jexdxe
π−−π
==+
∫