chapitre 17 : calcul d`integrales - integration par parties
publicité
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES INTEGRATION PAR PARTIES Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales : 1) primitivation par lecture directe dans une table 2) par transformations d’écriture 3) par intégration par parties 1. Primitivation par lecture directe dans une table Exemple calculer l’intégrale I = ∫ π/4 0 sin x dx cos 2 x sin x π On note f la fonction définie sur 0, par f : x a cos 2 x 4 π La fonction f est continue sur 0, et l’intégrale I existe. 4 u '( x) π avec u ( x) = cos x et donc u '( x) = − sin x Pour tout x ∈ 0, , f ( x) = − 2 u ( x) 4 1 1 π π = est une primitive de f sur 0, La fonction F définie sur 0, par F ( x) = u ( x) cos x 4 4 π/4 1 et donc I = = 2 −1 cos x 0 Finalement : I =∫ π/ 4 0 sin x dx = 2 − 1 cos 2 x © Gérard Hirsch – Maths54 1 Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours 2. Transformations d’écriture Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée Exemple calculer l’intégrale I = ∫ x+3 dx x −x−2 1 2 0 Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant, pour tout x dans [ 0,1 ] , • x+3 a b = + x − x − 2 x − 2 x +1 2 Existence de l’intégrale : Les racines du dénominateur 2 et − 1 n’appartenant pas à l’intervalle [ 0,1 ] , la fonction f :xa • x+3 est continue sur [ 0,1 ] et l’intégrale I existe. x −x−2 2 Transformation d’écriture pour tout x ∈ [ 0,1 ] a b (a + b) x + a − 2b + = x − 2 x +1 x2 − x − 2 En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système a +b =1 a − 2b = 3 qui admet l’unique solution a = On a donc pour tout x ∈ [ 0,1 ] • I= 5 3 5 2 et b = − 3 3 x+3 5 1 2 1 = − x − x − 2 3 x − 2 3 x +1 2 Calcul de l’intégrale : ∫ 1 0 dx 2 1 dx − ∫ x − 2 3 0 x +1 et donc puisque x ∈ [ 0,1] alors ( x − 2) < 0 et ( x + 1) > 0 I= 1 1 5 2 [ln(2 − x)]0 − [ln( x + 1)]0 3 3 © Gérard Hirsch – Maths54 2 Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours Finalement : I =∫ x+3 7 dx = − ln 2 3 x −x−2 1 2 0 3. Intégration par parties Théorème Soient u et v deux fonctions dérivables sur [ a , b ] et admettant des dérivées u ' et v ' continues. Alors ∫ b a b b u ( x) v '( x) dx = [u ( x) v( x) ] − ∫ u '( x) v( x) dx a a Démonstration Soient u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle [ a , b ] telles que u ‘ et v ‘ soient continues sur [ a , b ] , alors puisque la dérivée du produit u v est donnée par (u v) ' = u ' v + u v ' alors u v est une primitive de u ' v + u v ' sur [ a , b ] . b b b Donc [u ( x) v( x) ]a = ∫ ( u '( x) v( x) + u ( x) v '( x) ) dx = ∫ u '( x) v( x) dx + ∫ u ( x) v '( x) dx b a a a d’où la formule d’intégration par parties ∫ b a b b u ( x) v '( x) dx = [u ( x) v( x) ] − ∫ u '( x) v( x) dx a a Cette formule s’applique lorsqu’on cherche à calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions et à condition que ∫ b u '( x) v( x) dx soit plus facile à calculer que a ∫ b u ( x ) v '( x) dx a C’est le cas en particulier pour le produit : • d’une fonction polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale à la fonction polynôme) © Gérard Hirsch – Maths54 3 Calcul d’intégrales - Intégration par parties • Cours d’une fonction polynôme et d’une fonction logarithme (avec u égale à la fonction logarithme) • d’une fonction exponentielle et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale indifféremment à la fonction exponentielle ou à la fonction sinus ou cosinus) Remarque il faut parfois répéter plusieurs fois la méthode. Exemple Calculer I = ∫ π/2 x cos x dx 0 on pose u ( x) = x ⇒ u '( x) = 1 v( x) = sin x ⇐ v '( x) = cos x et en appliquant la formule d’intégration par parties : I = [ x sin x ] π/2 0 −∫ π/2 sin x dx 0 soit I = [ x sin x + cos x ] π/ 2 0 et finalement I =∫ π/ 2 x cos x dx = 0 π −1 2 Remarque le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction f : x a x cos x Les primitives de f sur R sont F : x a x sin x + cos x + C avec C ∈ R © Gérard Hirsch – Maths54 4 Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours Exemple Calculer J = ∫ π/2 e −2 x cos x dx 0 On pose, par exemple, en choisissant u égale à la fonction exponentielle (on peut aussi procéder par intégration par parties en posant u égale à la fonction cosinus) u ( x) = e −2 x v( x) = sin x u '( x) = −2 e −2 x ⇐ v '( x) = cos x ⇒ et en appliquant la formule d’intégration par parties : π/ 2 J = e −2 x sin x + 2 0 ∫ π/2 e−2 x sin x dx 0 On applique la formule d’intégration par parties uine deuxième fois (dans le même sens, c’est-àdire en posant toujours u égale à la fonction exponentielle) u ( x) = e −2 x v( x) = − cos x ⇒ u '( x) = −2 e −2 x ⇐ v '( x) = sin x et π/2 J = e −2 x sin x + 2 0 −e −2 x cos x − 2 −2 x ∫0 e cos x dx π/2 L’intégrale apparaissant dans le second membre étant l’intégrale J cherchée, on en déduit π/2 π/ 2 J = e −2 x sin x − 2 e −2 x cos x − 4 J 0 0 π/ 2 π/2 soit 5 J = e −2 x sin x − 2 e−2 x cos x 0 0 π/ 2 1 d’où J = e−2 x ( sin x − 2 cos x) 5 0 et finalement J = ∫ π/2 0 1 e −2 x cos x dx = (e −π + 2) 5 © Gérard Hirsch – Maths54 5 Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours Remarque le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction f : x a e −2 x cos x Les primitives de f sur R sont F : x a 1 −2 x e (sin x − 2 cos x) + C avec C ∈ R . 5 © Gérard Hirsch – Maths54 6
