Répartition optimale des puissances dans un réseau électrique par l

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Electrique
Mémoire
MASTER ACADEMIQUE
Domaine : Sciences et technologies
Filière : Electrotechnique
Spécialité : Réseaux électriques
Présenté par :
Benyaza Mohamed Salah
Thème:
Répartition optimale des puissances dans un
réseau électrique par l’algorithme génétique
Soutenu publiquement
Le : 31 /05/2016
Devant le jury :
Mr Guehrar Youcef
MA (A)
Président
UKM Ouargla
Mr Boudjella Houari
MA (A)
Encadreur/rapporteur
UKM Ouargla
Mr Bouhadouza Boubekeur
MA (A)
Examinateur
UKM Ouargla
Année universitaire 2015/2016
En premier lieu, je tiens à remercier «DIEU» qui m’a aidé pour que ce
modeste travail soit achevé et pour que nous avons réussi. Et tenons à remercier
vivement tous ceux qui nous a orientées et nous a encouragées. Et pensons en
particulier à notre encadreur BOUDJELLA HOUARI, Ce qu'il nous a donné ses
conseils et directives valeur qui était de nous aider dans la réalisation de cette
mémoire.
Nos sincères remerciements et sa gratitude à tous ceux qui m'a aidé de
près ou de loin pour accomplir ce travail, un grand merci aussi à tous les
enseignants qui Contribution à notre enseignement en génie électrique
Université de Ouargla.
En fin, je remercie nos amis pour leur aide, leur soutien et leur compréhension.
Pour consacrer le fruit de ce travail humble :
Commencé à peloter et fatigué et sont restés jusqu'à nuits, Aimer en
présence d'Allah et Son Messager après ma mère bien-aimée.
Ce à quoi il a consacré sa vie et son argent dans mon éducation et de l'éducation
et que mes carquois cardiaques de la miséricorde de Dieu souvenir Abe.
Pour tenir dans les yeux de mes souvenirs d'enfance de ma jeunesse et mes
frères.
Pour mes amis qui habitent leurs images et des voix les plus beaux moments et
des jours que je vivais.
Pour tous ceux qui m'a aidé dans la réalisation de ce travail.
Symboles
bij
V .V
V
i
Susceptance des bronches ij
Tensions aux nœuds i et j
j
Conjugué de la tension au nœud i
*
Vi
Acronymes
i
min
Module de la tension minimale au nœud i
Module de la tension maximale au nœud i
Conductance des bronches ij
V imax
g ij
GA
h i, j old
Algorithme génétique
L’ancienne valeur de l'opérateur de croisement heuristique du gène du parent
h i, j new
Dernière valeur de l'opérateur de croisement heuristique du gène du parent
h
i, j 
Ii
I ij
max
Taille de pas maximale admissible
Courant injecté au nœud i
Courant transitant du nœud i au nœud j
I ij'
Courant de fuite au nœud i
I
Vecteur complexe des courants injectés au nœud
k1
Coefficient réglable entre k1max et k1min
Nombre aléatoire entre zéro et deux
Rapport de la meilleure condition physique
Désigne le nombre de nœuds dans le réseau
Nombre total des nœuds consommateurs
Nombre total des nœuds producteurs
Variables de tension
Variables d’angle
Emplacements de tension
Emplacements d'ange
Taille de la population initiale
Production active participant au réglage tertiaire
puissance active injectée au nœud i
Puissance active injectée par le générateur i
k2
k3
n
NC
NG
novv
noav
novloc
noaloc
nop
P
Pi
PGi
PCh j
Puissance active consommée au nœud j
min
P Gi
max
P Gi
Puissance active minimale injectée au nœud i
PL
Pertes des puissances actives totales
Puissance active maximale générée au nœud i
QGi
Puissance réactive injectée au nœud i
Puissance réactive génére au nœud i
Q Chj
Puissance réactive consommée au nœud j
min
Q Gi
max
Q Gi
Puissance réactive minimale injectée au nœud i
QL:
RCGA
Pertes réactives totales dans le réseau
Real-Code Algorithme Génétique
Conjugué de la puissance apparente injectée au nœud i
Qi
S*i
Puissance réactive maximale injectée au nœud i
Simax
j
Puissance maximale transitée entre les nœuds i et j
t
T
L'itération courante (génération) Numéro
Nombre maximum d'itérations
Rapport de transformation du transformateur
ti
j
timin
j
Valeur minimale du rapport de transformation du transformateur
timax
j
Valeur maximale du rapport de transformation du transformateur
V
Vecteur complexe des tensions en chaque nœud
y ij
Admittance de ligne i – j
y
Matrice admittance complexe
y ,ij
Admittance shunt des nœuds i et j
2
θi
j
θimin
j
Phase du rapport de transformation du transformateur
Valeur minimale de la phase de transformation du transformateur
θ imax
j
Valeur maximale de la phase de transformation du transformateur
λp
Coût marginal horaire ou pénalité de la production active
Figure I.1 : Caractéristique entrée-sortie d’une unité de production…………………...
-04-
Figure I.2 : Modèle d’un générateur de puissance……………………………………..
-06-
Figure I.3 : Modèle de transformateur de puissance…………………………………...
-07-
Figure I.4 : Modèle équivalent en π de ligne de transport……………………………..
-08-
Figure I.5 : Modèle d’un élément shunt………………………………………………..
-09-
Figure I.6 : Structure étoile (les postes rouges représentent les apports d'énergie)…….
-10-
Figure I.7 : Structure radiale ou bouclée (Les postes rouges représentent les apports
d'énergie)………………………………………………………………………………..
-10-
Figure I.8 : Structure réseau maillée …………………………………………………..
-11-
Figure I.9 : Fonction coût linéaire par morceaux………………………………………
-14-
Figure I. 10 : Le réseau électrique sous la forme simplifié…………………………….
-16-
Figure I.11 : Schéma d’une branche entre deux nœuds i et j…………………………..
-17-
Figure I.12 : Représentation géométrique de la méthode de N-R……………………..
-25-
Figure II.1: Éléments indispensable……………………………………………………
-34-
Figure II.2: Les méthodes d’Optimisation……………………………………………...
-35-
Figure II.3: Classement des méthodes de résolution…………………………………...
-43-
Figure II.4: Minimum local et global d’une fonction…………………………………
-43-
Figure III.1: Vue d'ensemble d'un algorithme génétique……………………………….
-48-
Figure III.2: L’organigramme des AG standard………………………………………..
-49-
Figure III.3: Représentation d'une sélection par tournoi d'individus pour un critère de
maximisation (chaque individu représente une solution possible)……………………..
-51-
Figure III.4: Représentation d’un croisement en un point de deux chaînes……………
-51-
Figure III.5: Représentation d’une mutation de bits dans une chaîne………………….
-52-
Figure III.6: Croisement en seul point………………………………………………….
-54-
Figure III.7: Représentation d’un croisement en deux points………………………….
-54-
Figure. IV.1 : Schéma du réseau de 14 jeu de barre…………………………………....
-59-
Figure IV.2 : Puissances générées optimales par méthode MIPS ……………………
-60-
Figure IV.3 : Puissances générées optimales par GA 14bus……………………………
-61-
Figure IV.4 : Résultats d’optimisation mono-objective ………………………………
-61-
Figure IV.5 : Réseau test IEEE 30 nœuds……………………………………………...
-62-
Figure IV.6 : Puissances générées optimales par MIPS 30bus…………………………
-64-
Figure IV.7 : Puissances générées optimales par GA 30bus……………………………
-65-
Figure IV.8 : résultats d’optimisation mono-objective (la fonction cout de
production)………………………………………………………………………………
-65-
Tableau I.1 : Classification des nœuds dans un réseau électrique……………………... -16Tableau. III.1: Code de Gray et code binaire pour une chaîne à trois bits……………..
-52-
Tableau IV.1 : Coefficients de la fonction cout des générateurs………………………. -58Tableau IV.2 : Résultats OPF par MIPS 14 nœuds ……………………………………
-59-
Tableau IV.3: Résultats OPF par AG sur réseau IEEE14 nœuds……………………..
-61-
Tableau IV.4 : Coefficients de la fonction cout des générateurs………………………. -63Tableau IV.5: Résultats OPF par MIPS IEEE 30 nœuds ………………………..
-63-
Tableau IV.6 : Résultats OPF par génétique algorithme IEEE 30 nœuds ………
-64-
Tableau IV.7 : Influence de la sélection………………………………………………..
-66-
Tableau IV.8 : Influence de la Croisement ………………………………………….
-66-
Tableau IV.9 : Influence de la Mutation……………………………………………….
-66-
Introduction générale………………………………………………………............. -01Chapitre I Ecoulement des puissances
I.1 Introduction………………………………………………………………………...
-03-
I.2 Programme de marche des unités de production…………………………………… -03I.3 Modélisation des éléments de puissance d’un réseau électrique…………………...
-06-
I.3.1
Générateurs de puissance………………………………………………….
-06-
I.3.2
Transformateurs de puissances……………………………………………
-06-
I.3.3 Modélisation de ligne de transport…………………………………………
-07-
I.3.4 Charges électriques………………………………………………………...
-08-
I.3.5 Eléments shunt……………………………………………………………..
-09-
I.4 Différentes structures des réseaux…………………………………………………. -09I.4.1. Réseau radial ou en étoile…………………………………………………..
-09-
I.4.2. Réseau en boucle…………………………………………………………… -10I.4.3 Réseau maillé ou connecté…………………………………………………..
-11-
I.5 Effet de réseau de transport sur la qualité du service……………………………… -11I.6 Niveaux de tensions des réseaux…………………………………………………..
-12-
I.7 Formulation du problème d’écoulement des puissances…………………………..
-12-
I.8 Analyse de l’écoulement des puissances…………………………………………..
-15-
I.9 Modélisation du réseau…………………………………………………………….
-16-
I.10 Détermination de la matrice admittances…………………………………………
-17-
I.11 Détermination des courants………………………………………………………
-18-
I.12 Détermination des puissances…………………………………………………….
-19-
I.13 Caractéristiques des équations d’écoulement statique des charges………………
-19-
I.14 Principe de base de la solution d’écoulement statique des charges………………
-20-
I.15 Méthodes numériques de solution d’écoulement statique des charges…….........
-20-
I.15.1 Méthode de Gauss-Seidel…………………………………………………. -20I.15.2 Algorithme de Gauss-Seidel………………………………………………
-21-
I.15.3 Organigramme de la méthode Gauss-Seidel avec Ybus………………….
-22-
I.16 Méthode de Newton Raphson…………………………………………………….
-24-
I.16.1 Représentation géométrique de la méthode de N-R………………………. -24I.16.2 Algorithme de N-R dans un système de dimension ‘n’…………………...
-25-
I.16.3 Algorithme de N-R appliquée aux équations de l'écoulement de puissance -27I.16.4 Les coordonnées polaires………………………………………………….
-27-
I.16.5 Organigramme de la méthode Newton-Raphson…………………………
-29-
I.17 Conclusion………………………………………………………………………… -30Chapitre II Méthodes d’optimisation appliquées a l’OPF
II.1 Introduction………………………………………………………………………... -31II .2 Problème de la répartition de puissance optimal OPF……………………………. -31II.3 Formulation de problème de l'écoulement de puissance optimal (OPF)…………..
-32-
II.3.1 Fonction objective………………………………………………………….. -32II.3.1.1 Sous les contraintes d'égalité………………………………………
-33-
II.3.1.2 Sous les contraintes d'inégalité……………………………………
-33-
II. 4 Les éléments d’optimisation………………………………………………………
-34-
II.5 Optimisation combinatoire………………………………………………………...
-35-
II.6 Méthodes d’optimisation déterministes………………………………………….
-36-
II.6.1 Méthode du gradient………………………………………………………..
-37-
II.6.1.1 Formulation mathématiques………………………………………..
-37-
II.6.1.2 Avantages et inconvénients………………………………………...
-38-
II.6.2 Méthode de Newton………………………………………………………..
-38-
II.6.3 Programmation dynamique………………………………………………... -38II.6.4 Méthode du point intérieur…………………………………………………
-39-
II.6.5 Technique de programmation quadratique ………………………………...
-39-
II.7 Méthodes Heuristique……………………………………………………………..
-40-
II.8 Les méta-heuristiques……………………………………………………………...
-41-
II.8.1 Minimum local et global d’une fonction………………………………………...
-43-
II.8.2 Optimisation par algorithmes génétiques………………………………………..
-44-
II.9 Conclusion…………………………………………………………………………
-45-
Chapitre III Algorithmes génétiques
III.1 Introduction……………………………………………………………………….
-46-
III.2 Historique…………………………………………………………………………
-46-
III.3 Définition…………………………………………………………………………. -46III.4 Principe…………………………………………………………………………… -47III.5 Présentation……………………………………………………………………….
-47-
III.6 Paramètres d’un AG………………………………………………………………
-48-
III.7 Principe de base d’un AG standard……………………………………………….
-49-
III.8 Les opérations d’un AG…………………………………………………………..
-50-
III.8.1 Sélection…………………………………………………………………...
-50-
III.8.2 Croisement………………………………………………………………… -51III.8.3 Mutation…………………………………………………………………...
-52-
III.8.4 Codage……………………………………………………………………..
-52-
III.9 Processus d’évolution des générations : générationnel, stationnaire et élitiste…..
-53-
III.10 Opérateurs de croisement………………………………………………………..
-53-
III.11 Pseudo code pour l'algorithme génétique……………………………………….
-54-
III.12 Algorithme de charge des flux de solution……………………………………… -55-
III.13 Conclusion………………………………………………………………………. -57-
Chapitre IV Application des GA dans la répartition optimale des puissances
(Optimisation Mono-Objectif)
IV.1 Introduction……………………………………………………………………….
-58-
IV.2 Optimisation mono-objectif………………………………………………………
-58-
IV.3 Calcul OPF………………………………………………………………………
-58-
IV.3.1Application sur le réseau IEEE 14 nœuds ………………………………… -58IV.3.1.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)...
-59-
IV.3.1.2 Application des algorithmes génétiques dans le calcul d’OPF……
-60-
IV.3.1.2.1 Valeurs des Paramètres d’un algorithme génétique……
-60-
IV.3.1.3 Comparaison entre les deux méthodes……………………………..
-60-
IV.3.2 Application sur le réseau IEEE 30 nœuds…………………………………. -60IV.3.2.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)...
-63-
IV.3.2.2 Calcul d’OPF par GA sur réseau IEEE 30 nœuds………………… -64IV.3.2.3 Comparaison entre les deux méthodes……………………………..
-65-
IV.3.2.4 Influence des paramètres AG sur le calcul OPF……………………
-66-
IV.3.2.5 Comparaison entre les trois opérations …………………………….
-67-
IV.4 Conclusion ……………………………………………………………………….. -67Conclusion générale…………………………………………………………………... -68Bibliographie
Annexe A
Annexe B
Introduction générale
Introduction générale
L’énergie électrique occupe une place très importante dans les branches de l’économie
moderne et de la vie courante. La consommation de l’énergie électrique augmente
considérablement. Il est admis d’une manière générale, que depuis le début du dixneuvième
siècle l’énergie électrique consommée dans le monde double en moyenne tous les dix ans. Le
rôle des systèmes d’énergie électriques est de fournir aux utilisateurs le produit électricité au
moindre coût dans des conditions de qualité et de sécurité satisfaisantes.
Le problème d’optimisation de l’écoulement de puissance (OPF) essaye de maximiser
le profit de la totalité des consommateurs de l’énergie électrique, de minimiser le coût total
des puissances actives générées de façon que les pertes de puissances actives et réactives sont
acceptables et les contraintes sur les transits des puissances dans les lignes de transport sont
satisfaites et de contrôler les puissances actives sortantes des générateurs ainsi que leurs
niveaux de tension.
L’étude de l’optimisation de l’écoulement de puissance (OPF) peut nécessite la
connaissance du transit des puissances dans un réseau électrique ainsi que les tensions aux
différents points remarquables du réseau (générateurs, transformateurs, charges). Ces
grandeurs sont nécessaires pour la conduite des réseaux et pour déterminer l’évolution du
réseau en cas de changement de configurations, telles que, l’adjonction de nouveaux
générateurs (énergies renouvelables), la croissance de la demande d’énergie, et l’implantation
de nouvelles lignes.
Plusieurs méthodes d’optimisation ont été appliquées pour les objectifs cités ci-dessus.
Dans notre travaille nous avons choisis la méthode des algorithmes génétiques qui est inspiré
par des analogies avec la biologie qui est très bien adapté au traitement d’un problème
d’optimisation mono-objectif (optimisation de coût de production) dans laquelle le réseau est
alimenté à partir du générateur. L’application a été consacrée aux réseaux test standard IEEE
14 nœuds et IEEE 30 nœuds.
Afin que notre travail soit accomplis et pour cerner tous les aspects de cette étude, ce
mémoire est organisé comme suit :
Le premier chapitre étude les principaux éléments constitue un réseau électrique et
traite en détaille l’analyse de l’écoulement de puissance, ainsi nous avons montré les
1
Introduction générale
différentes méthodes de résolution d’un problème de répartition des puissances qui sont la
méthode de Newton-Raphson et la méthode de Gauss-Seidel.
Le deuxième chapitre est consacré à quelques définitions de base et formulation du
problème d’optimisation mono-objectif avec les conditions des limites d’égalité et d’inégalité,
ainsi que les méthodes d’optimisation.
Le troisième chapitre donne une vue théorique sur les algorithmes génétiques, comme
on a rédigé une illustration concernant la liaison entre les algorithmes génétiques et
l’optimisation mono-objectif dont l’application a été traduite par une programmation sur
Matlab en utilisant la boite à outil GA Toolbox. Le choix de la probabilité de croisement et de
mutation est un facteur typique qui permet d’évaluer la fonction objective.
Le quatrième chapitre est consacré à l’application des Algorithmes Génétiques dans la
répartition optimale des puissances actives dans un réseau électrique. Une simulation a été
faite sur les réseaux IEEE14 nœuds et IEEE 30 nœuds pour minimiser le coût de production.
Les résultats sont comparés avec celle obtenus par la méthode du point intérieur.
En fin nous clôturons ce travail par une conclusion générale.
2
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I .1 Introduction
Le problème de l’écoulement de puissance optimal a eu une longue histoire pour son
développement. Il y a plus de quarante ans passés, Carpentier introduisit une formulation du
problème du dispatching économique comprenant des contraintes sur les tensions et d’autres
contraintes de fonctionnement. Dans son approche (connue par la méthode d’injection), il
posa le problème du dispatching économique comme un problème d’optimisation no linéaire,
et utilisa la technique du gradient réduit généralisé. En 1968, Dammel et Tinné introduiraient
un problème d’optimisation comprenant le dispatching économique classique contrôlé par les
équations de l’écoulement de puissance et des contraintes de fonctionnement, où ils ont utilisé
la technique du gradient réduit pour résoudre les conditions d’optimalité de Kuhn Tucker.
Cette formulation a été nommée plus tard problème de l’écoulement de puissance optimal
(OPF). Depuis lors, cette dernière a connu un essor considérable comme en témoigne la
littérature.
En général, il serait difficile de classer d’une manière précise et approfondie toutes les
approches parues dans la littérature, car beaucoup emploient une combinaison de
méthodologies spécifiques. Toutefois, nous allons essayer de donner dans ce chapitre, un
aperçu sur certaines méthodes qui nous paraissent importantes dans la résolution de ce
problème.
Les techniques classiques dites aussi mathématiques ou encore conventionnelles
appliquées au problème de l’OPF [1].
I.2 Programme de marche des unités de production
Les
caractéristiques
technico-économiques
des
centrales
électriques
sont
déterminantes pour leur exploitation. Trois types de caractéristiques ont une influence pour
l’exploitation d’une centrales électriques à court terme: son coût de production; ses
contraintes techniques et sa fiabilité. Le plus important de ces trois caractéristiques est le coût
variable de production. Pour les centrales thermiques, il reflète principalement le coût du
combustible utilisé et les autres coûts d’exploitation et de maintenance de la centrale. Le coût
du combustible est évalué en utilisant des valeurs de consommation spécifique de chaleur
(une quantité d’énergie thermique nécessaire pour produire de l’électricité) de la centrale et le
prix du combustible. La valeur de consommation spécifique de chaleur (CSC) est
proportionnelle à l’inverse du rendement énergétique: plus la CSC est grande, moins la
centrale est performante.
3
Chapitre I
Ecoulement des puissances
La fonction coût a une forme non linéaire qui peut être approximée à une courbe
quadratique du type
2
C i PGi   a i  b i . PGi  c i PGi
(I.1)
Où PGi : puissance active injectée au jeu de barre i (figure I.1).
La constante ai est appelée coût de marche à vide, elle représente le coût pour
maintenir la marche d’une unité de production à production nulle. Le coût incrémental

(ou marginal) de production est le coût pour produire une unité supplémentaire d’énergie. Ce
coût est important pour prendre les décisions d’exploitation à court terme
λ 
dc
 b  2 cp
dp
(I.2)
Figure I.1 : Caractéristique entrée-sortie d’une unité de production.
Outre le coût variable à court terme, d’autres caractéristiques spécifiques sont
importantes à mentionner pour la production d’électricité. C’est le cas notamment du coût
spécifique pour démarrer ou arrêter l’unité de production (coût de démarrage et d’arrêt).
Par exemple, le coût de démarrage correspond au coût de l’énergie nécessaire pour
mettre en fonctionnement toutes les installations permettant la production d’électricité
(chaudières, pompes, etc.). Ce coût dépend normalement de l’état de l’unité de production au
moment de l’appel à démarrer (démarrage à froid ou à chaud). Certaines contraintes
techniques sont aussi importantes pour l’exploitation.
4
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Généralement, l’unité de production ne peut fonctionner de manière stable qu’à partir
d’un niveau de production minimal (capacité minimale de production) et jusqu’à un niveau
maximal de production (capacité maximale de production). L’inertie propre des moyens de
production limite la vitesse à laquelle les unités de production peuvent changer leur niveau de
production.
La vitesse maximale de changement du niveau de production pour une période de
temps donné est appelée contrainte de rampe. Il existe aussi un temps minimal pour le
démarrage (temps de démarrage).
Enfin, les unités de production présentent différents degrés de fiabilité et d’incertitude.
Ce degré de fiabilité peut être interprété comme le degré de précision dans la prévision de la
capacité de production d’une centrale. Les erreurs de prévision de capacité peuvent venir du
manque de prévision sur la force motrice (par exemple, courant d’eau ou vitesse du vent).
L’exemple le plus typique est ici la production éolienne, dont le niveau de production
dépend de la vitesse du vent. Cette vitesse est un phénomène climatique qui dépend de
plusieurs variables, et qui est très difficile à prévoir avec exactitude.
Les erreurs de prévision peuvent venir aussi de la défaillance forcée d’une unité de
production ou d’autres facteurs qui l’empêchent d’atteindre leur niveau normal de production.
Lucas le plus extrême est quand l’unité n’arrive pas à démarrer comme prévu, ou qu’elle doit
être arrêtée complètement pour des problèmes techniques.
Le caractère de flexibilité ou de souplesse de moyens de production à court terme
représente la vitesse à laquelle chaque moyen de production peut changer le niveau de sa
production après un signal donné. Nous trouvons des moyens de production plus flexibles,
comme les centrales hydrauliques (avec réservoir) et les centrales à combustion ou les
moteurs diesel (avec des temps de démarrage faibles et des contraintes faibles de rampe).
Par opposition, les centrales nucléaires et les centrales thermiques sont des moyens de
production peu flexibles. Il est important de remarquer que cette flexibilité doit être obtenue
rapidement après un ordre. Certains moyens de production peuvent avoir un caractère
flexible, mais nécessitent plus de temps pour préparer cette vitesse de changement. Par
exemple, certaines centrales nucléaires peuvent être programmées la veille pour réaliser des
variations assez grandes de production, mais, à une échelle de temps plus proche du temps
réel, les variations de production possibles pour ces centrales sont beaucoup moins élevées
[2].
5
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.3 Modélisation des éléments de puissance d’un réseau électrique
Lorsqu’on veut calculer l’écoulement de puissance ou bien l’écoulement de puissance
optimal dans un réseau électrique, il n’est pas nécessaire de modéliser tous les éléments qui
constituent ce réseau, mais on ne modélise que les éléments qui interviennent réellement, tels
que les générateurs de puissance, les charges électriques, les lignes de transport, les
transformateurs de puissance et les compensateurs statiques. Le modèle doit être
suffisamment simple tout en traduisant principalement la réalité du comportement [9]. Dans
cette section, on utilise des grandeurs réduites(en unité relative pu).
I.3.1
Générateurs de puissance
Dans l’analyse de l’écoulement de puissance, les générateurs sont modélisés comme
des injecteurs de courants. Dans l’état stationnaire, un générateur est généralement contrôlé de
sorte que la puissance active injectée au jeu de barres et la tension aux bornes de générateurs
soient maintenues constantes. La puissance active délivrée par le générateur est réglée à
travers le contrôle de la turbine, qui doit être dans les limites de la capacité du système turbine
générateur. La tension est liée principalement à l’injection de la puissance réactive au jeu de
barres de production, qui est contrôlée par le courant de l’excitation, et comme le générateur
doit fonctionner dans les limites de sa courbe de capacité réactive, il n’est pas possible de
régler la tension en dehors de certaines limites admissibles [5].
Figure I.2 : Modèle d’un générateur de puissance.
I.3.2
Transformateurs de puissances à prise variable :
Il ya deux types de transformateur à modéliser: le transformateur régulateur de tension
à changeur de prises de charges et le transformateur déphaseur. Dans la modélisation des
systèmes électriques, les rapports de déviations et les décalages de phase sont typiquement
représentés comme des modifications à la matrice admittance. La figure (1.3) présente le
schéma unifilaire équivalent d’un transformateur triphasé symétrique à changeur de prises de
charge et/déphaseur [3].
6
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Figure I.3 : Modèle de transformateur de puissance.
: représente les pertes par effet joule et les inductances de fuite de transformateur ramenées
au secondaire.
La modélisation retenue suppose que les pertes sont séparées pour moitié au primaire
et pour l’autre moitié au secondaire. Le paramètre
en charge. Le paramètre
symbolise la ration de régleur de tension
symbolise le déphasage introduit par le transformateur entre les
jeux de barres i et j. Il est important de noter que la matrice admittance du réseau électrique
qui prend en considération ces variables va être donc ajustée à chaque itération.
Y: c’est la matrice admittance du transformateur qui s’écrit comme suit:
 jα

Ycap
e
y

y

I1  
2
ti j
     e jα
Ycap
1
I 2  
y 2 y
2
ti j
 t i j
ij
IY V
ij






V1 
 
V2 
(I.3)
I.3.3 Modélisation de ligne de transport
Une ligne de transport moyenne est généralement modélisée par un modèle en π à
paramètres distribués (figure I.4). Ces paramètres, dont les valeurs dépendent de la nature et la
géométrie des conducteurs, sont définis pour une ligne connectée entre les jeux de barres i et
j, comme suit:
 des paramètres linéaires séries, par phase, la résistance rij et la réactance xij ;
 et des paramètres shunts, par phase, la susceptance capacitive bcij et la conductance gij0 ;
La conductance linéique est généralement négligée donc on a : gij0 = 0.
L'admittance série de la ligne de transmission i et j est donné par la relation:
yi j  gi j  jbi j 
7
1
ri j  x i j
(I.4)
Chapitre I
Ecoulement des puissances
L'admittance shunt de la ligne i j est donnée directement en fonction de la susceptance
et la conductance de la ligne, donc on a:
yi j 0 
gi j 0
2

j bc i j
2

j bc i j
2
 j Bcij
(I.5)
Figure I.4 : Modèle équivalent en π de ligne de transport.
I.3.4 Charges électriques
La modélisation de la charge joue un rôle très important dans l’étude de l’écoulement
de puissances. Ces charges sont souvent des sous-stations qui alimentent les réseaux de
distribution, on les modélise statiquement comme des injecteurs négatifs de puissance dans
les jeux de barres. La connexion de la charge au réseau est réalisée par l’intermédiaire d’un
transformateur à prises de charge qui maintient le niveau de tension constant, cela signifie que
les puissances active et réactive de la charge peuvent être représentées par des valeurs
constantes. Il existe aussi la modélisation dynamique des charges qui est relativement
compliquée car la puissance consommée par la charge est en fonction de la tension et du
temps, et elle est utilisée généralement pour l’étude et l’analyse de la stabilité transitoire [4].
Les équations des puissances active et réactive de la charge en fonction de la tension de jeu de
barres peuvent s’écrire comme suit :
 V 

P  P0 
 V0 
np
 V 

Q  Q 0 
 V0 
,
nq
(I.6)
Où
0
et
0:
puissances active et réactive consommées à une tension de référence
8
0=1pu;
Chapitre I
Et
Ecoulement des puissances
: constantes dépendant du type de la charge.
I.3.5 Eléments shunt
Dans la plupart des cas, les éléments shunts sont des dispositifs destinés à la
compensation de l’énergie réactive et la tenue de la tension, à savoir : batteries de
condensateurs et inductances fixes, compensateurs synchrones ou compensateurs statiques
(SVC) [6]. Chaque élément connecté au réseau sera modélisé, suivant le cas, par une
admittance équivalente ou une injection de puissance.
Yi 0  G i 0  j  Bi 0
(I.7)
Figure I.5 : Modèle d’un élément shunt.
I.4 Différentes structures des réseaux
Le concept de réseau englobe la totalité des installations, notamment les lignes
aériennes, câbles, transformateurs et les appareils avec leurs moyens de contrôle et de
sécurité, les interrupteurs, etc.., nécessaires ou transport et à la distribution de l’énergie
èlectrique.les réseaux électrique peuvent être organisés selon plusieurs types de structures
exposées ci-dessous [7]:
I.4.1. Réseau radial ou en étoile
Il représente le réseau sous sa forme la plus simple. Les lignes partent d'un point
central, par exemple une station de transformation locale, et rayonnent depuis celui-ci. Si une
perturbation se produit sur ce type de réseau, l'alimentation électrique de tous les clients
rattachés à ce rayon défectueux est interrompue, jusqu'à ce que la panne soit réparée. La
panne d'une station de transformation peut paralyser tout un quartier.
9
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Figure I.6 : Structure étoile (les postes rouges représentent les apports d'énergie).
La sécurité d'alimentation est faible puisqu'un défaut sur la ligne ou sur le poste rouge
coupe l'ensemble des clients en aval.
I.4.2. Réseau en boucle
L'assemblage en boucle des lignes permet de mettre hors circuit une partie de la ligne
défectueuse grâce à ses points de séparation. L'alimentation électrique est interrompue
uniquement dans cette partie jusqu'à la réparation de la panne; le reste du réseau peut
continuer à fonctionner.
Figure I.7 : Structure radiale ou bouclée (Les postes rouges représentent les apports
d'énergie).
La sécurité d'alimentation, bien qu'inférieure à celle de la structure maillée, reste élevée.
10
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.4.3 Réseau maillé ou connecté
Lorsque des lignes en boucle sont regroupées pour relier des points très éloignés les
uns des autres, elles forment un réseau maillé. Ce type de réseau offre une très grande fiabilité
d'approvisionnement car chaque tronçon de ligne peut être alimenté via différentes voies.
Même une défaillance sur plusieurs tronçons n'engendre pas une grosse perturbation.
Figure I.8 : structure réseau maillée.
Les postes électriques sont reliés entre eux par de nombreuses lignes électriques,
apportant une grande sécurité d'alimentation.
Les réseaux maillés sont surtout construits et exploités là où la sécurité
d'approvisionnement d'un grand nombre de clients peut être compromise par une perturbation,
comme c'est particulièrement le cas pour les réseaux de transport et de distribution haute
tension.
I.5 Effet de réseau de transport sur la qualité du service
Les réseaux HTB/HTA contribuent donc de façon déterminante au maintien de
l’équilibre entre la demande et l’offre, ainsi qu’à la sécurité d’alimentation et à l’économie de
l’exploitation. Par ailleurs, la qualité du service est également un souci majeur de l’exploitant.
Sur le plan, cette qualité nécessite [8] :

de maintenir les caractéristiques du produit (tension, fréquence) dans les limites très
précises du cahier des charges.

De limiter, autant que faire se peut, les interruptions de service. Les réseaux
HTB/HTA jouent aussi un rôle très important pour respecter ces contraintes car, les
11
Chapitre I
Ecoulement des puissances
références de tension qui vont conditionner l’ensemble du plan de tension dans le
réseau sont fixées, pour l’essentiel, par les groupes de production raccordés aux
réseaux THT.

La fréquence est, de même, fixée par les groupes de production qui doivent rester
synchrones en régime permanent.

La sécurité d’alimentation des grands centres de consommation dépend très fortement
de la structure des réseaux de transport.
I.6 Niveaux de tensions des réseaux
D'une façon générale, la plupart des pays mettent en œuvre :
• Un réseau de transport HTB 220 …….. 800 KV ;
• Un réseau de répartition HTA 60 ……...170 KV ;
• Un réseau de distribution MT 5 ……... 36 KV (selon CEI) ;
• Un réseau de distribution et de livraison BT 400/230 V.
I.7 Formulation du problème d’écoulement des puissances
La gestion optimale des productions actives et réactives est une fonction de plus en
plus importante des centres de conduite des réseaux, dans le but d’accroitre la sécurité
d’alimentation et dans d’exploiter judicieusement les ressources existantes en minimisant les
coûts de production et les pertes.
Pour assumer pleinement cette tâche, il est important de bien définir les objectifs qui
serviront de critères d’optimisation. On peut dégager les buts suivants :

Proposer un programme de production qui respecte toutes les contraintes de courants
de branche et de tensions, dans un but de sécurité avant toute autre recherche de gain
économique (analyse de sécurité) ;

Minimiser le coût de productions actives et réactives incluant les pertes dans le réseau
(dispatching économique) ;

Réajuster les programmes de production lors de défaillance d’un ou plusieurs éléments
du réseau (groupe, ligne ou transformateur), afin de ramener le réseau de l’état d’alerte
à l’état sain [10].
12
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Les objectifs précités peuvent être formulés tels quels pour résoudre les problèmes de
planification, soit :

Retarder le renforcement du réseau par une répartition judicieuse des puissances
transitées ;

Retarder l’investissement de nouveaux moyens de production ;

Le cas échéant, minimiser le coût des renforcements et des nouveaux moyens de
production.
La recherche d’un programme de production qui respecte toutes les contraintes suivant
diverses contingences et qui accroit de ce fait la sécurité d’alimentation est sans doute
l’objectif primordial. En effet, le coût des conséquences économiques en cas de défaillance est
beaucoup plus élevé que le cout de production.
La minimisation du coût de la production active est un problème qui intéresse
particulièrement les réseaux à prédominance thermique.
Les coûts absolus ou relatifs des productions actives et réactives ont été admis a priori
linéaire et positif en absorption comme en production. Toutefois, on peut les définir librement
selon les divers objectifs que l’on souhaite atteindre. La même hypothèse a été faite pour les
écarts des régleurs des transformateurs par rapport à leur position initiale. Les coûts
marginaux et les pénalités sont donc constants, si l’on exclut la correction apportée par les
facteurs de pénalité. A toute fin pratique, on peut admettre que la fonction coût de la
production active d’une centrale thermique est linéaire, mais on peut toujours approximer une
fonction convexe par plusieurs segments de droites (fonction linéaire par morceaux). On
associe alors à chaque segment une nouvelle variable (figure I.9), sans relation physique avec
les divers groupes d’une centrale.
Si le coût marginal de la production d’énergie active est une notion bien définie que
l’on peut quantifier avec précision (on affecte parfois un coût marginal à la production
hydraulique pour valoriser l’énergie accumulée), il n’en est pas de même pour le coût
marginal de l’énergie réactive qui est de 10 à 1000 fois inférieur a celui de l’énergie active
[10]. En effet, ce cout représente les pertes actives dues aux transits des puissances réactives
dans le réseau, qui sont prises en compte a l’aide de facteurs de pénalité dans la fonction
objectif. La même remarque est applicable à l’effet de la variation des rapports de
transformation sur les pertes actives. Comme le coût de la production d’énergie réactive est
considérablement plus faible que celui de l’énergie active, le gain économique réalisé par son
13
Chapitre I
Ecoulement des puissances
optimisation n’est pas spectaculaire, mais reste appréciable. Par contre, on tire
avantageusement parti de la diversité des moyens de production et de la souplesse de réglage
en qualité et rapidité.
Figure I.9 : Fonction coût linéaire par morceaux.
Dans le cas exceptionnel d’une fonction coût non convexe ou discontinue, les
méthodes de programmation linéaire ou non linéaire sont inexactes ou inapplicables, et il faut
recourir à d’autre méthodes, telles que la programmation dynamique [10].
Les courbes donnant le coût de production de chaque centrale en fonction de la
puissance qu’il débite ont été déterminées expérimentalement.
La formation analytique de ces courbes est celle d’un polynôme de degré « n » et qui
s’écrit sous la forme suivante :
n
2
CPG   a 0  a1 pG  a 2 pG
 ........  a n pG
(I.8)
Dans la pratique, la fonction coût se présente sous forme d’un polynôme du deuxième degré
[10] :
2
CP G   a 0  a1 P G  a 2 p G
14
(I.9)
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Les coefficients de ce polynôme sont calculés par les méthodes d’interpolation de Lagrange,
Newton,…etc.
NG
F   C i p Gi 
(I.10)
i 1
Les puissances actives doivent être choisies de telle sorte à minimiser la fonction coût
de production totale en tenant compte de certaines contraintes. Le problème peut être posé de
la manière suivante :
NG
Minimiser  Ci(Pgi)
(I.11)
i 1
Sous les contraintes
NG
NC
i 1
j 1

 c i pg i    pch j  PL  0 

min
max
 p Gi  p Gi
p Gi



(I.12)
I.8 Analyse de l’écoulement des puissances
Le calcul de l’écoulement de puissances dit aussi calcul de la répartition des charges
(load flow) permet de déterminer :
 Les tensions complexes aux niveaux des différents nœuds ;
 Les puissances transitées d’un nœud à un autre ;
 Les puissances injectées à chaque nœud ;
 Les pertes actives et réactives dans le réseau électrique.
Pour résoudre le problème de l’écoulement de puissances, il existe deux méthodes,
l’une dite des mailles, l’autre dite des nœuds. Cette dernière méthode est préférable car elle
prend en considération la matrice admittance [Y], qui est une matrice creuse, de même elle est
facile à introduire les données du problème. Le développement de l’outil informatique a
permis d’élaborer plusieurs méthodes, on peut citer les méthodes de Gauss Seidel et de
Newton - Raphson.
15
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.9 Modélisation du réseau
La résolution du problème de l’écoulement des puissances dans tout système
électrique nécessite un modèle mathématique pour calculer les différents paramètres du réseau
Électrique. [10].
Soit le réseau électrique donné par la forme simplifié comme montre la figure (I. 10).
Figure I. 10 : Le réseau électrique sous la forme simplifié
En régime permanent, l’équation linéaire du réseau est donnée par :
I  y. V
(I.13)
Le tableau ci-dessous résume les différents types de nœuds constituant le réseau électrique.
Tableau I.1 : Classification des nœuds dans un réseau électrique.
Type de Nœuds
Données
inconnues
Nœuds producteurs
P et V
Q et 
Nœuds consommateurs
P et Q
V et 
Nœud de bilan
V et 
P et Q
16
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.10 Détermination de la matrice admittances
On considère le schéma d’une branche entre deux nœuds i et j :
Figure I.11 : Schéma d’une branche entre deux nœuds i et j.
L’utilisation de la méthode des nœuds nécessite la transformation des impédances des
branches du réseau en admittances ; pour cela, nous posons :
 yij 
D’où :
1
Zij

1
Rij
Xij


j
(I.14)
Rij  jXij Rij2  jXij2 Rij2  Xij2
y ij  g ij  jbij
(I.15)
Avec :
gij 
Rij
Rij2  Xij2
(I.16)
bij 
Xij
2
R ij  Xij2
(I.17)
Où g ij : Appelée conductance ;
bij : Appelée susceptance ;
L’admittance propre du nœud i donnée par :
n
Y
ii

j 1
'

y ij 

 y ij 

2 



l’admittance mutuelle entre le nœud i et le nœud j : Y ij   y ij
17
(I.18)
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.11 Détermination des courants
Les équations qui régissent le réseau par l’application de la loi des nœuds peuvent être
données par la formule suivante :
n
I   I
i
I

ij
j 1
'
ij

(I.19)
L’expression du courant transmit du nœud i vers le nœud j :
I
y V

ij
ij
i
V
j

(I.20)
L’expression du courant de fuite à la terre :


 


'
I
ij
y
'
ij


i 


V
2
(I.21)
On déduit donc l’expression du courant au nœud i :
I
i

y V  V
i
ij
j

 '

 y ij


V i 
 2



(I.22)
D’où :
I V
i


.
i 


y
ij
'




2 

y
ij
y V
ij
j
(I.23)
On trouve ainsi l’équation générale du courant :
I  V .Y
n
i
i
ii
I
  Y ij V
  Y ij V
j 1
ji
j
(I.24)
D’une façon générale, on aura :
n
i
j 1
j
(I.25)
D’où la forme matricielle du courant :
I  y. V 
(I.26)
18
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.12 Détermination des puissances
La puissance apparente injectée au nœud i est donnée par :

S
i

P

jQ  V . I

i
i
i
(I.27)
i
On remplace l’équation (I.25) dans l’équation (I.27) on aura
*

S  P  jQ  V . Y .V
i
i
Sachant que :
V
Y
V
i
ij

i
ij
i
j
(I.28)
j
 e i  jf i

G

ij
 ei 
jf
(I.29)
jB
(I.30)
ij
(I.31)
i
Et l’équation de la puissance apparente sera :
n
  p  jQ   jf .  (
Si
Gij  j Bij). (e j  j f j)
i
i ei
i
J 1


(I.32)
On en déduit les expressions des puissances actives et réactives :
n

P i    e i . e j. G ij  f j . Bii  f i . f j . G ij  e j. G ij 
 j 1


(I.33)
n

Q i    f i . e j . G ij  f j . Bij  e i . f j . G ij  e j. B ij 
 j 1

(I.34)







I.13 Caractéristiques des équations d’écoulement statique des charges
En observant les deux relations (I.33) (I.34), on constate que:
1. Les équations sont algébriques, car elles représentent un modèle statique du système, ou un
système opérant en régime permanent.
19
Chapitre I
Ecoulement des puissances
2. Les équations sont non linéaires, donc difficilement réservables de façon analytique, d'où la
nécessité d'utiliser une méthode numérique de solution par ordinateur.
3. Généralement, dans l'analyse des systèmes, les équations relient le courant et la tension, ces
équations relient la puissance et la tension.
Par conséquent, il s'agit de réduire le nombre d'inconnues, de 6N à 2N en spécifiant
4N variables afin d'égaler le nombre d'équations à celui des variables. En principe les 2N
variables restantes pourront être déterminées.
I.14 Principe de base de la solution d’écoulement statique des charges
Après avoir classifié les 6N variables, la solution du système d'équation formé par les
deux équations (I.33) (I.34) peut être obtenue en procédant comme suit:
Étape 1 :
A partir de la connaissance de la demande de la clientèle, on possède toutes les
informations requises sur les 2 N variables incontrôlables.
Étape 2 :
On spécifie alors 2 N variables de contrôle; par exemple les puissances générées.
Étape 3 :
Les 2 N variables qui restent constituent les inconnues. A l'aide de 2 N équations.
I.15 Méthodes numériques de solution d’écoulement statique des charges
Pour résoudre les équations d'écoulement statique des charges, un grand nombre de
techniques numériques ont déjà été utilisées.
Plusieurs méthodes itératives ont été appliquées, on peut citer : la méthode de GaussSeidel, la méthode de Newton-Raphson, la méthode de relaxation...etc.
I.15.1 Méthode de Gauss-Seidel
Cette méthode permet de résoudre un système d’équations non linéaire en utilisant la
matrice admittance, on suppose initialement des tensions pour tous les nœuds excepté le nœud
de bilan où la tension maintenue constante.
On peut exprimer les courants pour chaque nœud par la relation suivante :
20
Chapitre I
Ecoulement des puissances
S
I
V
i
*
i
*
P

i
i

jQ
V
*
i
i=1,2,..., n
(I.35)
i
En remplace la valeur du courant dans l’équation (I.35) on aura :
Ii 
P  jQ    
Y V Y V
V
i
i
*
ii
ij
i
i s
j
(I.36)
i
L’expression de la tension pour chaque nœud est :

1  Pi  jQi




Y ij E j Y ij E j 
*
Yii  Ei

Vi 
(I.37)
On pose :
KL i 
YL ij 
P i  jQ i
Y ii
Y ij
(I.38)
(I.39)
Y ii
D’où l’expression de la tension pour chaque nœud :
V
k 1
i
KL  
Y L V
k
[V i ]
i 1

i

ij
k 1
j
j 1
n

 Y L V
ij
k
j
(I.40)
j  i 1
Pour accélérer la convergence de la méthode, on introduit un facteur d’accélération α:
V
k 1
i
ΔV
Avec :
k
i
k
k
 V i  α Δ V i
k 1
(I.41)
k
 V i V i
(I.42)
I.15.2 Algorithme de Gauss-Seidel
Etape1 :
Formation de la matrice admittance [Y]
Etape2 :
0
Estimation des valeurs initiales des tensions nodales V i i=1,2,……, n
Etape3 :
21
Chapitre I
Ecoulement des puissances
i  1,2,......., n
Détermination des paramètres KLi et YLij 
 j  1,2,......, n
Initiation des itérations k = 0
Etape4 :
Calcul itératif des tensions pour chaque nœud suivant la relation :
V
k 1

i
KL 
YL V
k
[V i ]
i

ij
K 1
j
 YLij V
K
(I.43)
j
On calcul l’écart entre les valeurs d’une même tension trouvée aux itérations qui se suivent :
'k)
ΔV
i
(k 1)
V i
(k)
V i
(I.44)
On introduit le facteur d’accélération  pour réduire le nombre d’itérations.
Etape 5 :
Une fois le test de convergence est vérifie (max ΔE(k) ≤ ε), les valeurs des tensions de
la dernière itération sont retenues, on calcul :

les puissances transitées
S

ij


V
i
(V
i
V
j
)Y
ij

i
n


les puissances injectées :
les pertes :
S
L

S
ji

S
S

i
 S
ij
j 1
ij
Si non aller à l’étape 4.
I.15.3 Organigramme de la méthode Gauss-Seidel avec Ybus
On pose quelques remarques pour l’organigramme :
i= 1 : Nœud de référence.
i = 2, …, m : Nœuds du contrôle.
i = m + 1, …, n : Nœuds de charge.
On voit que l’itération sont continue jusqu'à la tolérance (ε) est vérifiée
22
y

V .V
i
2
ij
Chapitre I
Ecoulement des puissances
23
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.16 Méthode de Newton Raphson
La technique itérative de Newton Raphson converge avec une même vitesse, mesurée
par le nombre d'itérations, pour les larges et courts systèmes, en moins de quatre à cinq
itérations en général. C'est pour cette raison que la méthode de N-R est la plus utilisée pour
l'étude des larges systèmes.
I.16.1 Représentation géométrique de la méthode de N-R
24
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Elle est basée sur la détermination de la tangente à la courbe F(x) en chaque point
(x(k), F(x(k))). L'intersection de cette tangente avec l'axe des x fournit le point xk+1.
Δ x(k) Étant une approximation de l'erreur commise sur x à l'itération(k)) [4].
Figure I.12 : Représentation géométrique de la méthode de N-R.
I.16.2 Algorithme de N-R dans un système de dimension ‘n’
Soit la fonction f x   0 de dimension n, tel que
 f 1 x  
 f  x 
 2

.


f x  
.

.



 f n  x 
 x (0 )
 1( 0 ) 
x2 

( 0 )  .
x


.

.

 (0 )
x
 n 
( 0)
(0)
Estime que, x1(0) , x (0)
2 ,...., x n sont les solutions de ces n équations. L'exposant
indique que ces valeurs sont des estimations initiales.
(0)
(0) (0)
(0)
On désigne par Δx 1(0) , Δx (0)
2 ,...., Δx n les valeurs à ajouter à x1 , x 2 ,...., x n pour trouver
les solutions correctes.
Lorsqu'on développe toutes les fonctions en série de Taylor au voisinage du point
d'estimation initiale on aura :
(0)
 F 1 
  x
F x   
 x1 
(0)
1
(0)
(0)
(0)
1
 F 1 

  x

 x 2 
25
(0)
2
 F 1 
 ....  
  x

 x n 
(0)
n
 0
(I.45)
Chapitre I
Ecoulement des puissances
(0 )
(0)
(0 )


 F 2 


  x    F 2   x  ....    F 2   F x   0
F x  
  x1 
 x 2 
 x n 
(0)
(0)
(0)







F

F

F
(0)
n
 x1( 0 )   n  x (20 )  ....   n  x n x ( 0 )   0
F n x  
 x1 
 x 2 
 x n 
(0)
2
(0)
(0)
1
2
(0)
(I.46)
n
(I.47)
On peut écrire le système de n équations linéaires comme suit :
  f 1 


f 1 x (0)     x 


1
0

(0)  
f
x
 2
 f 2


  



x
.
  1 0

  ...
.

 
f n x (0)    f n 


  x1  0
 
 
 
 f  
...  1  
  x n  0  (0)
0
 Δx
  f 2    1(0)  
0

... 
  . Δx 2    

x
 n  0  ...  ...

...
...   (0)  
0
  f n   Δx n   
 
... 


x
 n  0
 f1 


x 
 20
 f 2 


x 
 20
...
f n 


 f 
 20
(I.49)
Les termes   f 1  ,.......,   f n  correspondent à la dérivée partielle évaluée avec les
x 
x 
1 0
n0


(0)
valeurs x1(0) , x(0)
2 ,......, x n .
 
Ou dans une notation compacte : f x (0)  j(0) Δx (0)  0
 
La matrice carrée dite Jacobéenne : J(0)
De cette dernière équation on tire ensuite le vecteur d'erreur x(0)
 
 
1
Δx (0)   j(0) f x (0) . a
(I.50)
mais :
 
1
x (0)  x (1)  x (0) Donc x (1)  x ( 0 )  j ( 0 ) f x ( 0 ) 
(I.51)
en générale
 
 
1
x(k 1)  x(k)  j(k) f x (k)
(I.52)
Arrêt des opérations
On a vu que théoriquement la solution n'est atteinte qu'après une infinité d'itérations. En
pratique, on arrête les opérations pour l'un des tests suivants:
1. Si F(x(k)) est quasiment nulle.
26
Chapitre I
Ecoulement des puissances
2. Si l'amélioration de (x(k)) d'une itération à la suivante ne justifie pas l'effort de calcul
supplémentaire.
3. Si la convergence n'est pas obtenue avant un nombre d'itération fixe. Le processus est
considéré comme non convergent pour l'estimation initiale (x(0)) donnée.
I.16.3 Algorithme de N-R appliquée aux équations de l'écoulement de puissance
Le problème de l'écoulement de puissance peut être résolu par la méthode de N-R, qui
utilise des équations non linéaires pour exprimer les puissances actives et réactives en
fonction des tensions. Le problème peut être résolu en utilisant soit les coordonnées
rectangulaires soit les coordonnées polaires. On choisit les coordonnées polaires.
I.16.4 Les coordonnées polaires
En coordonnées polaires on a :
P
i
v
i
v

jQ

i
. exp
i
jθ  et
Y
i
ij

Y
ij
. exp
*
v .Y . v

ij
i
 j  
ij
(I.53)
j
La puissance au jeu de barres i est :
P  jQ  V v Y
i
i
i
 
ij
j

 
. exp  j  ij  θ i  θ j




Sachant que : exp  j  ij  θ i  θ j  cos  ij  θ i  θ j  jsin  ij  θ i  θ j
(I.55)

Les composantes actives et réactives de la puissance sont :
P
i
Q
i

v v Y
ij

vv Y
ij
i
j
i
j
cos

ij
sin

ij

(I.56)

(I.57)

θ
θ
j

θ θ
j
i

i
Les éléments de la matrice Jacobéenne qui sont calculées à partir des équations du système
sont :
Pour j1 :
p

i

v .v .Y

vv Y
i
j
ij
sin
  θ  θ 
ij
i
j
(I.58)
j
p

i
i
j
ij
sin

ij

j
Pour j2 :
27
θ θ
i
j

(I.59)
Chapitre I
Ecoulement des puissances
p
v
i

v .Y
i
ij
cos
  θ  θ 
ij
i
(I.60)
j
j
p
 v
i
 2 . v i . Y ii . cos
  v  Y
i
ij
ij
cos
  θ  θ 
ij
i
j
(I.61)
i
Pour j3 :
Q

i
vvY

i
j
ij
 θ θ 
cos 
ij
i
(I.62)
j
j
Q

i

vvY
ij
vY
sin
i
j
cos
  θ  θ 
ij
i
(I.63)
j
i
Pour j4 :
Q
 v
i

i
ij

ij

θ
i
θ

j

(I.64)
j
Q
v
i
 2.
v .Y
i
ii
. sin
  v Y
ij
i
ij
. cos
  θ  θ 
ij
i
j
(I.65)
i
L'équation liant les variations des puissances aux variations des amplitudes de la
tension et les angles de phase pour la méthode de N-R est donnée par :
 Δp   J1 ... J 2  Δθ 
 ...    ... ... ...   ... 

  

ΔQ J 3 ... J 4 Δ v 
28
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.16.5 Organigramme de la méthode Newton-Raphson
29
Chapitre I
Ecoulement des puissances
I.17 Conclusion
Le problème d'écoulement statique des charges dans un réseau électrique peut être
formulé avec ou sans contraintes. Le développement des relations de tout modèle conduit à
des équations non linéaires. Compte tenu de la complexité des systèmes (nombre de barres et
de lignes élevé), les méthodes de solution sont toujours itératives.
30
Chapitre I
Ecoulement des puissances
Dans le chapitre prochain nous allons présenter plusieurs méthodes d’optimisation
pour le calcul OPF.
31
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
II.1 Introduction
Les problèmes d’optimisation occupent actuellement une place importante dans la
communauté scientifique. Les problèmes peuvent être combinatoires (discrets) ou à variables
continues, avec un seul ou plusieurs objectifs (optimisation multi-objectif), statiques ou
dynamiques. Cette liste n’est pas exhaustive et un problème peut être à la fois continu et
dynamique.
La résolution d’un problème d’optimisation et un problème complexe, car de
nombreux facteurs interviennent et interagissent entre eux. Néanmoins, l’optimisation
appliquée au domaine d’électrotechnique permet de résoudre des problèmes qui étaient
insolubles auparavant et aboutit souvent à des solutions originales.
Dans ce chapitre, nous présentons différentes méthodes de résolution. L’ensemble de
ces méthodes est tellement vaste qu’il est impossible de tout exposer. Ainsi, nous présentons
les principales méthodes de résolution.
II .2 Problème de la répartition de puissance optimal OPF
Comme tout secteur productif, la production et le transport d’énergie électrique sont
sujet aux lois du marché. En plus de la dérégulation du développement des interconnexions et
des fluctuations des prix des combustibles, l’aspect économique force les opérateurs à la
gestion des différentes sources de production et acheminer le plus d’énergie possible à travers
leurs réseaux de la manière la plus rentable possible. [12]
Gestion de la puissance produite et transmise à travers le réseau n’est pas le seul souci
des opérateurs. L’amélioration de la qualité et la réduction des coûts de fonctionnement tout
en respectant les contraintes du réseau, sont considérées comme des problèmes majeurs de
l’écoulement de puissance optimal.
A court terme, le problème de la répartition optimale des puissances (OPF) est un
problème d’optimisation dont l’objectif consiste à déterminer la contribution de chaque
centrale électrique en service pour satisfaire la demande des consommateurs de l’énergie
électrique de sorte que le coût de production de l’énergie totale soit le plus faible possible et
satisferaient
les
différentes
contraintes
imposées
au
réseau.
Ce
problème
est
mathématiquement large, vu le nombre de variables et de contraintes qu’il fait intervenir. Les
domaines d’application de l’écoulement de puissance optimal peuvent être classés comme
suit :
31
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
 Minimisation du coût de combustible;
 Minimisation des pertes; Amélioration du profil et la stabilité de la tension;
 Maximisation de la puissance transmissible.
II.3 Formulation de problème de l'écoulement de puissance optimal (OPF)
Le problème de la répartition optimale des puissances est un problème d’optimisation
dont l’objectif est de minimiser le coût total de la production de la puissance active d’un
réseau électrique [13].
Minimiser : f x, u 
gx, u   0
Sujet à :
h x, u   0
Tels que :
f  x, u  : Fonction objective ;
g x, u  : Contraintes d’égalités ;
h x, u  : Contraintes d’inégalités ;
x : Vecteur de variables d’état ;
u : Vecteur de variables à contrôler ;

Variables de contrôle : les variables de contrôle sont en général les modules de
tensions ou les puissances réactives générées aux jeux de barres générateurs, les
rapports de transformation des régleurs en charge, les phases des transformateurs
déphaseurs, est les puissances réactives générées par les différents compensateurs
d’énergie réactive.

Variables d’état : sont les modules des tensions des jeux de barres des charges et les
angles de toutes les tensions sauf le jeu de barres de référence.
II.3.1 Fonction objective
Généralement l'objectif le plus utilisé dans la formulation de problème d'OPF est
minimisation du coût total de puissance active générée par des unités de productions, dont les
caractéristiques sont complexes et fortement non-linéaire en satisfaisant les contraintes
d’égalités et d’inégalités. La fonction objective totale du système électrique peut alors être
écrite comme la somme du modèle quadratique de coût de chaque générateur [14].
32
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
NG
NG
i 1
i 1
2
Minimiser F   Fi PGi    a i PGi
 b i PGi  c i ($ /h)
Tels que
,
b et
représentent les coefficients de coût de la
è
(II.1)
unité de production.
II.3.1.1 Sous les contraintes d'égalité
Les contraintes d'égalité de l'OPF reflètent à des lois physiques gouvernant le système
électrique. Elles sont représentées par les équations non-linéaires de l’écoulement de
puissance qui exigent que la somme de l’injection nette des puissances actives et réactives
dans chaque jeu de barres soit nulle [13] [14].
NG
NC
 PGi   Pchj  PL  0 
i 1
j 1
NG
NC
i 1
j 1
 QGi   Qchj

  g x   0
 QL  0 

(II.2)
II.3.1.2 Sous les contraintes d'inégalité
Les contraintes d'inégalités habituelles peuvent inclure les limites sur les dispositifs
physiques dans le système électrique tels que, les générateurs, les transformateurs à prises de
charge, et les transformateurs déphaseurs, ainsi que les limites créées pour assurer la sécurité
de système, en plus d'autres contraintes d'inégalités comme les limites des puissances
réactives de compensations. Les limites sur les générateurs concernent les limites des
puissances actives et réactives qui doivent être maintenues dans les limites admissibles:

PGimin  PGi  PGimax 
QGimin  QGi  QGimax 

Vi min  Vi  Vi max 

t imin
 t i j  t imax
  h x   0
j
j
max 
θ imin
j  θi j  θi j


2
max 2
S i j  S i j  0

QCimin  QCi  QCimax 
33
(II.3)
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
II. 4 Les éléments d’optimisation
L’optimisation est une des mathématiques consacré à l’étude du (ou des)
minimum(s)/maximum(s) d’une fonction à une ou plusieurs variables sur un certain domaine
de définition, de l’étude de leur existence à leur détermination, en général par la mise en
œuvre d’un algorithme et par suite un programme. Pour mener à bien une opération, plusieurs
éléments sont indispensables et conditionnent la solution trouvée. Figure (II.1) présente les
quatre éléments essentiels à la résolution d’un problème d’optimisation.
Choix de la
Fonction Objectif
avec ces Contraintes
Définir les
Paramètres
Optimum
Chercher
Choix de
l’Algorithme
d’Optimisation
Choix du Modèle
Figure II.1: Éléments indispensable.
En général, un grand nombre de paramètres sont indispensables, il faut être capable de
définir les paramètres utiles à l’optimisation. Certains paramètres ont une influence sur la
fonction choisie, d’autres pas. Etant donné le coût des simulations, seul les paramètres
influents sont à retenir :
Une fonction objective : définie l’objectif à atteindre. La définition de cette fonction est en
fait un problème délicat. Car le problème est formule en un problème d’optimisation par
l’intermédiaire de la fonction objective. C’est elle qui est au centre de l’optimisation, c’est
donc elle dépend que la pertinence de la solution.
Un modèle : précis, robuste et malléable du système étudié est indispensable. Ce modèle doit
être utilisable sur un domaine d’étude le plus large possible.
Un algorithme d’optimisation : permet de trouver la solution. Différentes méthodes
d’optimisation existent et en sont présentées.
34
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Figure II.2: Les méthodes d’Optimisation.
II.5 Optimisation combinatoire
L'optimisation combinatoire [20] occupe une place très importante en recherche
opérationnelle, en mathématiques discrètes et en informatique. Son importance se justifie
d'une part par la grande difficulté des problèmes d'optimisation et d'autre part par de
nombreuses applications pratiques pouvant être formulées sous la forme d'un problème
d'optimisation combinatoire.
Bien que les problèmes d'optimisation combinatoire soient souvent faciles à définir, ils
sont généralement difficiles à résoudre. En effet, la plupart de ces problèmes appartiennent à
la classe des problèmes NP-difficiles et ne possèdent donc pas à ce jour de solution
algorithmique efficace valable pour toutes les données. L’optimisation combinatoire est
minimiser (ou maximiser) une fonction souvent appelée fonction coût, d’une ou plusieurs
variables soumises à des contraintes.
Le sujet de l’optimisation combinatoire dans un domaine discret. Il faut trouver parmi
toutes les possibilités, souvent en nombre fini, la possibilité optimale. Ceci parait facile mais
devient infaisable dès que la taille du problème est suffisamment grande. La taille pour
35
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
laquelle la recherche d’un optimum devient infaisable est petite, très souvent plus petite que la
taille des problèmes pratiques.
En général, la difficulté d’un problème grandit très vite avec le nombre des variables.
Il n’est pas alors faisable d’examiner toutes les possibilités. Les méthodes d’optimisation
peuvent être reparties en deux catégories :
 Méthodes exactes.
 Méthodes approchées.
Les méthodes exactes fournissent systématiquement une solution (optimale) au
problème traité si une telle solution existe. Dans le cas contraire, ce type de méthode permet
d’affirmer qu’il n’existe pas de solution au problème traité.
Les méthodes approchées fournissent une solution approchée au problème traité. Elles
sont en général conçues de manière à ce que la solution obtenue puisse être située par rapport
à la valeur optimale : de telles méthodes permettent d’obtenir des bornes inférieures ou
supérieures de la valeur optimale tel que :
 Méthodes Heuristiques ;
 Méthodes Méta heuristiques
II.6 Méthodes d’optimisation déterministes
Dans la littérature, nous trouvons de nombreuses méthodes d’optimisation
conventionnelles (déterministes). Il est possible de classer ces méthodes en deux grandes
catégories : programmation linéaire et programmation non-linéaire.
Le premier groupe traite de la résolution des problèmes parfaitement représentés par
un système d’équations linéaires, tandis que la programmation non-linéaire traite les
problèmes non-linéaires. Les méthodes déterministes sont basées sur le calcul de la dérivée du
problème, ou sur des approximations de cette dernière. Elles nécessitent donc quelques
informations sur le vecteur gradient.
Beaucoup de techniques d'optimisation classiques tels la programmation linéaire et
non linéaire [21], la méthode de gradient, la méthode de newton [1], la programmation
quadratique [22, 23], et la méthode de point intérieur [23, 24] ont été appliquées pour
résoudre le problème d’optimisation liés à la planification et le control des réseaux
électriques, en particulier l’optimisation de la puissance réactive. Ces méthodes ayant la
36
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
propriété de converger vers la solution mathématique exacte « réelle » tout en respectant
certaines conditions liées au bon fonctionnement du processus envisagé, ces dernières
appelées contraintes d’égalités et d’inégalités.
II.6.1 Méthode du gradient
Historiquement, les méthodes de gradient sont les plus anciennes. Elles permettent de
résoudre des problèmes non linéaires et sont basées sur une hypothèse forte sur la
connaissance de la dérivée de la fonction objective en chacun des points de l’espace [3].
Cette méthode peut être classée en deux catégories de premier ordre et de deuxième
ordre, le premier ordre basé sur une approximation linière en séries de Taylor avec
initialisation de gradient, et le deuxième ordre base sur l’approximation quadratique en séries
de Taylor avec initialisation de gradient en utilisant l’Hessien H.
II.6.1.1 Formulation mathématiques
On choisit un point de départ x 0 et on calcule le gradient  f  x0  en x0. Comme le
R
R
gradient indique la direction de plus grand augmentation de f, on se déplace d’une quantité λ0
dans le sens opposé au gradient et on définit le point x1 :
x1  x0  0
f  x0 
f  x0 
(II.4)
Cette procédure est répétée et engendre les points x 0, x1,..., xk . Ainsi, pas a pas, la distance
ente le point d’indice k et l’optimum diminue
xk  1  xk  k
f  xk 
 k , k > 0
f  xk 
(II.5)
λ0 : c’est le déplacement à chaque itération.
Si
k est fixé, on parle de méthode de gradient à pas prédéterminé. L'inconvénient de
cette procédure est que la convergence est très dépendante du choix du pas de déplacement.
La convergence peut être très lente si le pas est mal choisi. L'intérêt principal de cette
méthode est de pouvoir se généraliser aux cas de fonctions ne sont pas différentiables.
37
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
II.6.1.2 Avantages et inconvénients
L’inconvénient de ces méthodes est que la convergence est ralentie pour certains types
de fonctions : les déplacements successifs sont orthogonaux, donc l’algorithme va être piégé
si les vallées (s’il s’agit d’une minimisation) sont étroites. Dans le cas des fonctions non
convexes, la méthode risque de converger vers un optimum local dépendant du point de
départ choisi. Dans des régions plates, ou raides, la convergence sera fortement ralentie.
II.6.2 Méthode de Newton
La méthode de Newton est une méthode très puissante à cause de sa convergence
rapide, en particulier si l’estimation initiale de la solution x(0) est suffisamment proche de la
solution optimale x(*). L’idée de cette méthode est de minimiser, à chaque itération k, une
approximation quadratique de la fonction objective originale f
(x)
au voisinage de
l’estimation actuelle de la solution x(k) L’approximation quadratique de f (x) est obtenue à
partir du développement en série de Taylor à l’ordre 2 [1] [15].
f( x (k+1) ) = f (x (k) )+[ ∇f(x(k))]T [ Δx (k+1) ]+[Δx (k+1) ] T [∇2f(x(k)[ Δx (k+1) ] ] T
(II.6)
Ou: F: Rn →Rn est régulière (au moins différentiable). On cherche donc x(*) tel que F(x) = 0
7T
7T
Pour toute i = 1,….n.
II.6.3 Programmation dynamique
La programmation dynamique est une technique classique de conception
d’algorithmes pour résoudre des problèmes en temps polynomial. L’idée générale est de
résoudre un problème en utilisant des solutions à des sous-problèmes précédemment résolus.
Pour ce faire, la programmation dynamique applique une approche dite « du bas vers le haut
», c’est-à-dire qu’on commence par résoudre les sous-problèmes les plus petits, et donc les
plus faciles, pour ensuite résoudre des problèmes de plus en plus grands, jusqu’à finalement
déterminer une solution du problème initial. Bien souvent, comme la programmation
dynamique nécessite de stocker les solutions de tous les sous-problèmes résolus, il est
également nécessaire de disposer d’un espace exponentiel [16].
38
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
II.6.4 Méthode du point intérieur
L’origine, les méthodes de type « Point Intérieur » ont été conçues pour résoudre les
problèmes de programmation non linéaire. Des recherches plus approfondies sur ces
méthodes ont montré qu’elles donnaient de très bonnes performances en termes de vitesse de
convergence pour les problèmes de grande échelle. L’algorithme présenté dans cette section,
connu sous le nom d’ « algorithme primal-dual » est l’un des plus utilisé. Le principe de cette
méthode est de rajouter à la fonction objective une fonction logarithmique « barrière »
incluant des contraintes et qui décroît progressivement au fil de l’optimisation pour tendre
vers 0. Typiquement, considérons un problème de la forme [1]:
min f  x 
avec h  x   0
(II.7)
On peut théoriquement transformer ce problème contraint, en incorporant les
contraintes d’inégalités dans la fonction objective, en un problème non contraint:
min f u x ,  k  avec
Où
f u x ,  k   f  x    k  i ln h i  x 
(II.8)
> 0 est un paramètre de pénalisation qui tend vers 0 au fil des itérations par
remise à jour appropriée. Le choix de la valeur initiale de μ0 ainsi que sa procédure de remise
à jour doivent être choisis de manière judicieuse pour éviter les problèmes de divergence.
II.6.5 Technique de programmation quadratique
Cette technique est une classe spéciale de la programmation non linéaire où la fonction
objective est une approximation quadratique avec des contraintes linéaires. Ces techniques
utilisent les dérivées du deuxième ordre pour améliorer la vitesse de convergence ainsi que la
procédure quasi- Newtonienne, ou une approximation du Hessien est faite. Cependant, dans
les méthodes quasi- Newtoniennes la matrice Hessien réduite construite itérativement est une
matrice pleine, ce qui peut rendre ces méthodes trop lentes si le nombre de variables est
important [1].
n
Soit x  R .n s’agit de minimiser une fonction objective de la forme suivante :
n
n
n
f  x 1 ,......., x n     q ij x i x j   c i x i
i 1 j 1
39
i 1
(II.9)
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Sous les contraintes :
n
g k  x    a ij x i  0
k  1,........., m
(II.10)
i 1
Ce problème s’exprime sous forme matricielle :
f x  
1
2
x
T
Qx 
c
T
(II.11)
x
g k x   Ax  0
k  1,........., m
(II.12)
Q est une matrice symétrique. Dans le cas où elle est semi-définie positive, la fonction
f est convexe et le problème a au moins une solution (s'il existe un point satisfaisant les
contraintes). Si Q est définie positive, f est strictement convexe et il existe une unique
solution.
II.7 Méthodes Heuristique
(Du grec heuriskêin, « trouver ») est un terme de didactique qui signifie l'art
d'inventer, de faire des découvertes (Littré). C'est en sociologie, une discipline qui se propose
de dégager les règles de la recherche scientifique (Larousse).
En optimisation combinatoire, Théorie des graphes et Théorie de la complexité, une
heuristique est un algorithme qui fournit rapidement (en temps polynomial) une solution
réalisable, pas nécessairement optimale, pour un problème d'optimisation NP-difficile. Une
heuristique, où méthode approximative, est donc le contraire d'un algorithme exact qui trouve
une solution optimale pour un problème donné. Les algorithmes de résolution exacts étant de
complexité exponentielle, il est généralement plus judicieux de faire appel à des méthodes
heuristiques pour des problèmes difficiles. On retiendra cependant que des méthodes de
résolution exactes (comme le simplexe) sont de complexités exponentielles mais parfois plus
efficaces en pratique qu'une méthode heuristique. L'usage d'une heuristique est pertinent pour
calculer une solution approchée d'un problème et ainsi accélérer le processus de résolution
exacte.
Généralement une heuristique est conçue pour un problème particulier, en s'appuyant
sur sa structure propre, mais les approches peuvent contenir des principes plus généraux. On
parle de méta-heuristique pour les méthodes approximatives générales, pouvant s'appliquer à
différents problèmes (comme le recuit simulé par exemple). La qualité d'une heuristique peut
s'évaluer selon deux critères scientifiques :
40
Chapitre II

Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Critère pratique, ou empirique : on implémente l'algorithme approximatif et on évalue
la qualité de ses solutions par-rapport aux solutions optimales (ou aux meilleures
solutions connues). Ceci passe par la mise en place d'un benchmark (ensemble
d'instances d'un même problème accessible à tous).

Critère mathématique : il faut démontrer que l'heuristique garantit des performances.
La garantie la plus solide est celle des algorithmes approchés, sinon il est intéressant
de démontrer une garantie probabiliste, lorsque l'heuristique fournit souvent, mais pas
toujours, de bonnes solutions.
C'est un fait que ces deux critères peuvent être contradictoires. Un exemple frappant
est celui du transversal minimum. L'algorithme 2-approché pour ce problème est dans une
imposante majorité des cas nettement moins efficace que l'heuristique des plus hauts degrés.
Celle-ci consiste à former une solution réalisable en sélectionnant à chaque itération le
sommet couvrant un maximum de sommets. Cette heuristique peut pourtant fournir des
solutions aussi mauvaises que l'on veut, dans le sens que pour tout ρ>
1 on peut construire
une instance pour laquelle l'heuristique donne une solution dont la valeur est supérieure à
ρfois celle de l'optimum.
Ironiquement, la principale difficulté de la résolution exacte d'un problème
d'optimisation combinatoire est non pas de trouver une solution optimale, ce qui souvent
arrive assez rapidement lors du processus de résolution, mais de démontrer qu'une solution est
bien la meilleure possible, c'est-à-dire de réaliser que l'on a la solution optimale. Le critère
mathématique est surtout important car l'information qu'il donne est exploitable dans un
processus de résolution exacte. Par-exemple, si l'heuristique 2-approchée pour le transversal
minimum donne une solution réalisable de valeur 100, on sait que la valeur de la solution
optimale est au minimum 50, on peut donc stopper un processus d'énumération (par-exemple
séparation et évaluation) dès que l'on possède une solution réalisable atteignant cette borne.
Dans ce contexte il devient motivant d'élaborer l'algorithme 2-approché le plus
mauvais qui soit, donnant la solution la plus éloignée de l'optimum, pour prouver une
meilleure borne. On utilise donc un couplage maximum, alors qu'un couplage maximal suffit,
pour cette algorithme 2-approché.
41
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
II.8 Les méta-heuristiques
Les méthodes d’optimisation globales connues souvent par le nom méta-heuristiques
sont inspirées parfois de la théorie d’évolution chez les sociétés d’animaux et d’insectes dans
laquelle on trouve les algorithmes génétiques (AG), parfois sont inspirées de la théorie
d’éthologie de ces sociétés dans laquelle on cite les algorithmes d’optimisation par essaims
particulaires PSO, les colonies de Fourmies (ACO).etc. Ces algorithmes sont basés sur
l’exploration aléatoire probabiliste d’une ou plusieurs régions de l’espace de recherche, cette
exploration aléatoire guidée parfois par des fonctions probabiliste permet d’éviter les
optimum locaux lors de l’exploration contrairement aux méthodes déterministes qui se bloque
en général dans un optima local ou bien si la fonction objective présente certaine complexité
mathématique grandissante.
Les premières méta-heuristiques datent des années 1980, et bien qu’elles soient
d’origine discrète, on peut les adapter à des problèmes continus. Elles sont utilisées
généralement quand les méthodes classiques (mathématiques) ont échoué de trouver la
solution souhaitée, leur efficacité n’est pas toujours garantie, elle dépond, de la nature de
problème envisagé et les paramètres de l’algorithme. Ces méthodes sont largement appliquées
aux différents domaines notamment dans le domaine de l’optimisation de l’énergie électrique
[16].
Un très grand nombre de résolution existent en Recherche Opérationnelle et en
Intelligence Artificielle pour l’optimisation combinatoire et l’affectation sous contraintes. La
figure (II.3) met en parallèle les méthodes représentatives développées en RO et en IA, avec à
titre indicatif la date approximative d’apparition de chaque méthode.
42
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Figure II.3: Classement des méthodes de résolution.
II.8.1 Minimum local et global d’une fonction
L’utilisation d’un algorithme de type gradient pour minimiser une fonction f non
convexe peut donner des résultats non satisfaisants. Le point de départ pour la recherche de la
solution peut beaucoup influencer la convergence de l’algorithme vers le minimum global.
En effet, l’algorithme est d’autant plus susceptible de rester bloqué dans un minimum
local si la fonction possède plusieurs optima locaux [17].Cette difficulté est illustrée dans la
figure (II.4).
Figure II.4: Minimum local et global d’une fonction.
43
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Pour éviter de rester bloqué dans un optimum local que présentent les méthodes
classiques, les algorithmes d’optimisations globales adoptent une stratégie qui consiste à
effectuer une exploration aléatoire de l’espace de recherche de la fonction objectif. Ils sont
basés sur les principes de la théorie évolutionnaire. Ils simulent l’évolution naturelle des
structures individuelles afin de trouver une solution optimale.
Dans chaque génération, une nouvelle approximation de solution optimale se produit
par des processus de sélection des individus selon leurs performances dans le domaine du
problème. Les individus sélectionnés vont être reproduits en utilisant les mécanismes de
recherche par exemple des opérateurs empruntés aux génétiques naturelles dans le cas d’un
algorithme génétique. Ces processus mènent à l’évolution de la population des individus les
mieux adaptés à leur environnement.
Ces méthodes reçoivent de plus en plus d’intérêt en raison de leurs capacités
potentielles à résoudre des problèmes complexes. Un des avantages bien connu des métaheuristiques est leur capacité à résoudre les problèmes sans connaissance a priori des
formulations mathématiques de ces derniers.
Les méta-heuristiques sont souvent employées pour leur facilité de programmation et
de manipulation. Elles sont en effet facilement adaptables à tout type de problème
d’optimisation. Parmi les méta-heuristiques les plus connues on cite :
1. les algorithmes génétiques GA.
2. Les algorithmes d’optimisation par essaims de particules PSO.
3. les algorithmes de colonies de fourmis ACO.
4. les algorithmes à évolution différentielle.
5. les stratégies d’évolution.
II.8.2 Optimisation par algorithmes génétiques
Les algorithmes génétiques (AG) sont des méthodes d’optimisation stochastiques
maintenant bien connues, sont inspires des mécanismes de la sélection naturelle et de la
génétique. Ils utilisent les principes de survie des individus les mieux adaptés. C’est J.
Halland [1], qui a posé les fondements théoriques des algorithmes génétiques, passant du
paradigme darwinien de l’évolution naturelle à celui de l’évolution artificielle. Une nouvelle
étape est franchie de lorsque les travaux de G. Goldberg [18] vers le milieu des années quatrevingt, donnent aux algorithmes génétiques leurs lettres de noblesse en tant que méthode
d’optimisation viable, efficace et non spécifique [19].
44
Chapitre II
Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF
Le premier pas dans l'implantation des algorithmes génétiques est de créer une
population d'individus initiaux. En effet, les algorithmes génétiques agissent sur une
population d'individus, et non pas sur un individu isolé. Par analogie avec la biologie, chaque
individu de la population est codé par un chromosome ou génotype. Une population est donc
un ensemble de chromosomes. Chaque chromosome code un point de l'espace de recherche.
L'efficacité de l'algorithme génétique va donc dépendre du choix du codage d'un
chromosome Dans l'algorithme génétique de John Holland, un chromosome était représenté
sous forme de chaînes de bits contenant toute l'information nécessaire à la description d'un
point dans l'espace ce qui permettait des opérateurs de sélection, croisement et de mutation
simple.
II.9 Conclusion
Dans ce chapitre, on a illustré le concept de l’écoulement optimal des puissances et
plus particulièrement le dispatching économique dont la fonction objective est une fonction
quadratique de la puissance générée. Plusieurs méthodes d’optimisation pour le calcul OPF
ont étés développés avec la prise en considération de leur évolution historique. On a décrit les
méthodes d’optimisation déterministes. L’une des méthodes mathématiques d’optimisation
qui s’appelle la méthode d’algorithme génétique est appliquée pour le calcul de la répartition
optimal des puissances, représente l’outil d’analyse et d’application dans le chapitre prochain.
45
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
III.1 Introduction
Les algorithmes génétiques (AG) sont des techniques de recherche et d’optimisation
stochastique dérivées de la génétique et des mécanismes de la sélection naturelle et de
l’évolution. Leurs champs d’application sont très vastes : éco, optimisation de fonctions (cout
ou les pertes), planification, et bien d’autres domaines. La raison de ce grand nombre
d’application est claire, la simplicité et l’efficacité [25].
III.2 Historique
Les algorithmes génétiques, initiés dans les années 1970 par John Holland, sont des
algorithmes d’optimisation s’appuyant sur des techniques dérivées de la génétique et des
mécanismes d’évolution de la nature : croisement, mutation, sélection.
Les premiers travaux sur les algorithmes génétiques ont été initialement développés
par John Holland (1975) qui a développé les principes fondamentaux des algorithmes
génétiques dans le cadre de l’optimisation mathématique.
A cette époque, l’informatique n’avait pas encore connu de développement et ses
travaux n’ont pas pu être appliqués sur des problèmes réels de grande taille. La parution en
1989 de l’ouvrage de référence écrit par D.E Goldberg, qui décrit l’utilisation de ces
Algorithmes dans le cadre de résolution de problèmes concrets, à permis de mieux faire
connaître ces derniers dans la communauté scientifique et à marqué le début d’un nouvel
intérêt pour cette technique d’optimisation, notamment après la parution de puissants
calculateurs dans les années 90.
III.3 Définition
Les algorithmes génétiques sont des algorithmes d'optimisation s'appuyant sur des
techniques dérivées de la génétique et des mécanismes d'évolution de la nature : sélections,
croisements, mutations, etc. Ils appartiennent á la classe des algorithmes évolutionnaires. On
peut dire que l'algorithme génétique est une méthode de programmation qui repose sur le
principe de l’évolution pour effectuer la recherche d'une solution adéquate à un problème.
46
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
III.4 Principe
Les algorithmes génétiques (AG) sont des méthodes utilisées dans les problèmes
d’optimisation. Tirent leur nom de l’évolution biologique des êtres vivants dans le monde
réel. Ces algorithmes cherchent à simuler le processus de la sélection naturelle dans un
environnement défavorable en s’inspirant de la théorie de l’évolution proposée par C. Darwin.
Dans un environnement, « les individus » les mieux adaptés tendent à vivre assez longtemps
pour se reproduire alors que les plus faibles ont tendance à disparaître.
Dans un problème d’optimisation à ‘n’ variables, nous faisons correspondre un gène à
Chaque variable cherchée. Chaque gène est représenté par une chaîne de caractères choisis
Dans un alphabet fini (souvent binaire).
Les gènes s’enchaînent ensemble "bout à bout" pour construire un chromosome,
chaque chromosome représentant une solution potentielle sous une forme codée. Ces
chromosomes constituent les briques de base contenant les caractéristiques héréditaires des
individus.
Un chromosome (ou plusieurs) forme un individu qui représente à son tour une
solution potentielle dans l’espace de recherche correspondant du problème. Etant donné que
les algorithmes génétiques travaillent sur un ensemble de points de l’espace de recherche,
nous appelons l’ensemble des points choisis (à savoir les individus) une population. Au fur et
à mesure des générations (itérations), une population des individus mieux adaptés va être
créée.
III.5 Présentation
Les techniques de recherche et d’optimisation sont en général classées en trois
catégories. Énumératives, déterministes et stochastiques. Les AG font partie de la troisième
catégorie et quatre caractéristiques les distinguent des autres techniques d’optimisation :
 Ils utilisent un codage des paramètres et non les paramètres eux-mêmes.
 Ils travaillent sur une population d’individus (ou de solutions).
 Ils n’utilisent que les valeurs de la fonction à optimiser, pas sa dérivée, ou une autre
connaissance auxiliaire.
 Ils utilisent des règles de transition probabilistes et non déterministes.
47
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Figure III.1 : Vue d'ensemble d'un algorithme génétique.
III.6 Paramètres d’un AG
Pour appliquer un la méthode des AG à un problème réel, on doit posséder les
éléments suivants :

Un codage des éléments appartenant à la population, le codage des solutions du
problème à résoudre doit être choisi avec soin;

un processus d’évolution des générations;

des opérateurs pour modifier les individus d’une population de la génération t  à la
génération t  1 comme le croisement et la mutation;
1. des paramètres de l’AG : les opérateurs précédents dépendent de plusieurs paramètres
qui sont fixés à l’avance et dont dépend fortement la convergence de l’algorithme :
2. taille de la population : c’est-à-dire le nombre d’individus dans la population. Si la
taille est trop petite, l’AG peut ne pas converger, par contre si elle est trop grande,
l’évaluation des individus peut être très longue;
3. probabilité de croisement et de mutation. Les valeurs de ces probabilités peuvent
varier d’une application à l’autre. Par exemple, dans l’étude des AG pour
l’optimisation de cinq fonctions mathématiques, De Jong (1975) a suggéré de choisir
une probabilité de croisement élevée, une probabilité de mutation faible (inversement
proportionnelle à la taille de la population), et une population de taille modérée. La
probabilité de mutation est en général très faible, inférieure à 0,1, une probabilité trop
grande, peut modifier les meilleurs individus;
4. critère d’arrêt : c’est-à-dire le nombre maximal de générations à effectuer.
48
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
III.7 Principe de base d’un AG standard
Un AG standard nécessite en premier le codage de l’ensemble des paramètres du
problème d’optimisation en une chaîne de longueur finie. Le principe d’un AG est simple, il
s’agit de simuler l’évolution d’une population d’individus jusqu’à un critère d’arrêt. On
commence par générer une population initiale d’individus (solutions) de façon aléatoire. Puis,
à chaque génération, des individus
individus sont sélectionnés, cette sélection est effectuée à partir
d’une fonction objectif appelée fonction d’adaptation. Puis, les opérateurs de croisement et de
mutation sont appliqués et une nouvelle population est créée. Ce processus est itéré jusqu’à un
critère d’arrêt. Le critère le plus couramment utilisé est le nombre maximal de générations
que l’on désire effectuer. La figure (III.2)
(
présente le principe de l’AG standard.
Figure III.2 : Organigramme
rganigramme des AG standard.
L’AG débute par la génération d’une population initiale et l’évaluation de la fonction
d’adaptation de tous les individus qui composent cette première population. Puis, des
individus sont sélectionnés aléatoirement pour la reproduction selon le principe de la survie
du plus adapté.
49
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Ensuite, des individus « enfants » (ou les descendants) sont générés en appliquant les
deux opérateurs génétiques suivants : le croisement et la mutation. Ces enfants sont placés
dans une nouvelle population p(t) et vont se substituer, en tout ou en partie, à la population de
la génération précédente. De nouvelles populations d’individus vont ensuite se succéder,
d’une génération (t) à la génération (t+1), chaque génération représentant une itération jusqu’à
l’atteinte du critère d’arrêt. L’AG présenté ci-dessus est dit générationnel car tous les
individus enfants générés sont placés dans une population et vont remplacer entièrement la
population des individus parents.
III.8 Les opérations d’un AG
III.8.1 Sélection
La sélection a pour objectif d’identifier les individus qui doivent se reproduire. Cet
opérateur ne crée pas de nouveaux individus mais identifie les individus sur la base de leur
fonction d’adaptation, les individus les mieux adaptés sont sélectionnés alors que les moins
bien adaptés sont écartés. La sélection doit favoriser les meilleurs éléments selon le critère à
optimiser (minimiser ou maximiser). Ceci permet de donner aux individus dont la valeur est
plus grande une probabilité plus élevée de contribuer à la génération suivante (figure III.3).
Il existe plusieurs méthodes de sélection, les plus connues étant la « roue de la fortune » et la
« sélection par tournoi » :
La « roue de la fortune » est la plus ancienne, où chaque individu, de la population de
taille maximale jmax, occupe une section de la roue proportionnellement à sa fonction
d’adaptation Fitness( j ), la probabilité de sélection d’un individu ( j ) s’écrit :
Fitness
prob  j  

jmax
j1
 j
Fitness
 j
(III.1)
À chaque fois qu’un individu doit être sélectionné, un tirage à la loterie s’effectue et
propose un candidat, les individus possédant une plus grande fonction d’adaptation ayant plus
de chance d’être sélectionnés. À chaque fois qu’il faut sélectionner un individu, la « sélection
par tournoi » consiste à tirer aléatoirement (k) individus de la population, sans tenir compte de
la valeur de leur fonction d’adaptation, et de choisir le meilleur individu parmi les k individus.
Le nombre d’individus sélectionnés a une influence sur la pression de sélection, lorsque k = 2,
la sélection est dite par «tournoi binaire».
50
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Figure III.3 : Représentation d'une sélection par tournoi d'individus pour un critère
de maximisation (chaque individu représente une solution possible)
III.8.2 Croisement
Le croisement permet de créer de nouvelles chaînes en échangeant de l’information
entre deux chaînes (figure .III.4). Le croisement s’effectue en deux étapes. D’abord les
nouveaux éléments produits par la reproduction sont appariés, ensuite chaque paire de chaînes
subit un croisement comme suit : un entier k représentant une position sur la chaîne est choisi
aléatoirement entre 1 et la longueur de chaîne (l) moins un (l -1). Deux nouvelles chaînes sont
créées en échangeant tous les caractères compris entre les positions k +1 et l inclusivement.
L’exemple suivant (figure III.4) montre deux chaînes (A1 et A2) de longueur l = 5
appartenant à la population initiale. Les deux nouvelles chaînes (A3 et A4) appartenant à la
nouvelle population sont obtenues par croisement à la position k = 5 :
A1
A2
0110|1
A3
0110|0
1100|0
A4
1100|1
Avan
tTt
Croisement
Après
Figure III.4 : Représentation d’un croisement en un point de deux chaînes.
51
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
III.8.3 Mutation
La mutation est exécutée seulement sur une seule chaîne. Elle représente la
modification aléatoire et occasionnelle de faible probabilité de la valeur d’un caractère de la
chaîne, pour un codage binaire cela revient à changer un 1 en 0 et vice versa (figure .III.5).
Cet opérateur introduit de la diversité dans le processus de recherche des solutions et peut
aider l’AG à ne pas stagner dans un optimum local.
Figure III.5: Représentation d’une mutation de bits dans une chaîne.
III.8.4 Codage
Le codage utilisé par un AG est représenté sous forme d’une chaîne de bits qui
contient toute l’information nécessaire pour représenter un point de l’espace de recherche. Le
codage binaire est le plus utilisé, l’inconvénient majeur du code binaire étant que deux points
proches dans l’espace des variables (colonne 1 du Tableau III.1) ne sont pas nécessairement
codés par deux chaînes de bits voisines (colonne 2). On remédie en général à ce problème en
utilisant le codage de Gray qui conserve une distance de Hemming de 1 entre deux chaînes
(colonne 3). La distance de Hemming entre deux chaînes de bits est le nombre de bits qui
diffère de l’une à l’autre. Pour les deux chaînes suivantes: 111 et 100, la distance est de 2.
Le Tableau (III.1) montre un exemple du code binaire et le code Gray pour des
variables entières allant de 0 et 7. On voit que la distance de Hemming est de 1 pour chaque
entier dans le code Gray, alors que pour les nombres binaires, pour passer de 3 à 4, la distance
de Hemming est de 3.
Tableau III.1: Code de Gray et code binaire pour une chaîne à trois bits.
Variables entières
0
1
2
3
4
5
6
7
Code binaire
000
001
010
011
110
101
110
111
52
Code Gray
000
001
011
010
110
111
101
110
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
III.9 Processus d’évolution des générations : générationnel, stationnaire et élitiste
Traditionnellement, les AG sont générationnels. Les individus de chaque génération
sont testés et une nouvelle population en entier est générée, le nombre de descendants
produits est donc égal au nombre d’individus parents.
Les deux populations ne se chevauchent pas. La nouvelle population d’individus
enfants est formée à chaque génération. Cependant, certains individus enfants peuvent être
une copie conforme des parents qui n’ont pas été perturbés ni par un croisement ni par une
mutation.
La stratégie de remplacement stationnaire (steady-state) diffère de l’AG générationnel.
Dans cette approche, il y a seulement un ou deux individus qui sont générés à la fois [28]. Il
peut y avoir différentes façons de sélectionner « l’individu victime » à supprimer de la
population. Par exemple, on 11 peut sélectionner un individu aléatoirement ou sélectionner
celui qui a la plus petite fonction d’adaptation. Dans ce type d’AG, les nouveaux individus
générés sont ajoutés à la population et peuvent immédiatement être sélectionnés comme
parents de nouveaux individus.
Approche élitiste (élitiste model) : Les opérateurs de croisement et de mutation peuvent
affecter le meilleur individu d’une génération. Le modèle élitiste a pour avantage d’écarter la
possibilité de perdre cet individu. Ce modèle copie le meilleur individu de chaque génération
dans la population de la génération suivante. Ce modèle peut accélérer la vitesse de
domination exercée par ce super individu sur la population.
III.10 Opérateurs de croisement
Il existe d’autres opérateurs de croisement :
1.
Croisement en un seul point: dans ce type de croisement, un point de croisement est
choisi Aléatoirement pour le couple la position de ce point M est définie par:
M  1,2,3,.........., lS  1
lS : La longueur de chromosome (nombre de bits dans le chromosome).
53
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Le croisement en un seul point a l’avantage d’être simple et facile à appliquer. De
plus, ce type de croisement donne de bons résultats dans des applications où certaines
informations importantes sur le problème sont déjà connues. Enfin, pour des problèmes
d’optimisation en temps réel ou des problèmes ayant un grand nombre de variables, cette
méthode peut donner une convergence rapide vers une solution optimale.
Avant
Apre
Figure III.6 : Croisement en seul point.
2. Croisement en deux points: on choisit au hasard deux points de croisement et on échange
les parties de chaîne situées entre ces deux points fig. (III.6).
A1
00|0100|111
A3
01|1011|011
A2
11|1011|000
A4
10|0100|100
Avant
Croisement en deux points
Après
Figure III.7 : Représentation d’un croisement en deux points.
III.11 Pseudo code pour l'algorithme génétique [26]
Input: population (size), problem (size), P (crossover), P (mutation)
Output ; S (best)
54
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
1. Population  initialize population (population (size), problem (size)) ;
2. Evaluate population (population) ;
3. S (best)  Get Best solution (population) ;
4. While  stop condition () do ;
5. parents  Select parents (population, population (size)) ;
6. Children   ;
7. For each Parent1, Parent2  Parent do;
8. Child 1 , Child 2  Crossover ( Parent 1 , Parent 2 , P crossover
;
9. Children  Mutate Child 1 , P mutation  ;
10. children  Mutate Child 2 , P mutation  ;
11. end
12. Evaluate population Children ;
13. S (best)  Get Best Solution (Children) ;
14. Population  Replace (Population, Children) ;
15. end
16. return S (best)
III.12 Algorithme de charge des flux de solution [27]
Étape 1:
Lire les données en ligne data, bus data et obtenir Ybus .
Étape 2:
Initialiser les paramètres de RCGA. Ils sont nop, noaloc, novloc, et noav.
Étape 3 :
nop  novv Population initiale pour amplitude de tension est générée de façon
aléatoire entre les limites minimales et maximales.
Étape 4 :
nop  noav Population initiale pour les angles de tension est générée de façon
aléatoire entre les limites minimales et maximale.
55
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Étape 5 :
n
Calculé :
p

i
Vi .  V k .
k 1
Y
ik
. cos
n
Q
i
  Vi .
k 1
V .Y
k
ik
     
ik
k
i
. sin  ik   k   i 
(III.2)
(III.3)
Étape 6 :
Découvrir la :
 p iCal
Δp i  p SPEC
i
(III.4)
 Q iCal
ΔQ i  Q SPEC
i
(III.5)
Étape 7 :
Calculé l'erreur en utilisant l'équation
e   Δp i2   ΔQ i2
(III.6)
Étape 8 :
Connaître la valeur de remise en forme de chaque population en utilisant l'équation :
Fit i   1
Fiti  
(III.7)
1  Fit i 
 Δp   ΔQ 
2
i
2
i
(III.8)
Étape 9 :
Disposer la population en ordre décroissant en fonction de leurs valeurs de remise en forme.
Étape 10 :
Les meilleurs chromosomes sont directement copiés dans la population suivante de
génération pour réaliser l'élitisme avec une probabilité de Pe pour les deux variables de
tension et de variables d'angle.
Etape 11:
Les parents sont sélectionnés par paires en utilisant la technique de sélection de roue
de la roulette en fonction de leurs valeurs de remise en forme.
56
Chapitre III
l’Algorithmes génétiques
Etape 12:
Technique de croisement Arithmétique combine linéairement deux chromosomes
parents pour produire deux nouveaux descendants. Deux descendants sont créés
conformément aux équations suivantes :
offspring 1  a  parent 1  1  a   parent 2
(III.9)
offspring 1  1  a   parent 1  a  parent 2
(III.10)
Où a est un nombre aléatoire entre zéro et un, qui est généré avant chaque opération de
recouvrement.
h i, j new  k1  h i, j oid  k 2  k 3   parent 1, j   parent i, j  (III.11)
 h i , j max  h i , j new  h i , j max 



max
max
min
k1  k1  k1  k1  t T 

offspring

i , j  

parent

i , j   h i , j new
(III.12)
(III.13)
Étape 13:
Vérifier le nombre d'itérations est supérieure à l'itération maximale ou non. Si elle est
supérieure à nombre d'itérations, puis passez à l'étape 14.
Étape 14:
Après avoir effectué les opérateurs de l'élitisme et de croisement, la nouvelle
population est générée à partir de la population âgée. Dans cet opérateur présent la mutation
de travail est éliminée. Passez à l'étape 6 de répéter la même procédure .Arrêtez la procédure
et d'imprimer les résultats.
III.13 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté tout d'abord une vue générale sur les algorithmes
génétiques, leurs paramètres et les principaux opérations et principe de basse de AG standard
ainsi quelques concepts concernant l’application des algorithmes génétiques sur
l’optimisation mono objectif.
Application de l’algorithme génétique (AG) dans le calcul de la répartition optimale
des puissances actives sera traité sur le chapitre suivant.
57
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
IV.1 Introduction
Ce chapitre est réservé à l’application de l’optimisation mono objective sur la fonction
coût de génération, méthode d’algorithme génétique est appliquée sur deux modèles de
réseaux électriques standards tels que IEEE 14 et IEEE 30 nœuds, en se basant sur le calcul de
l’écoulement de puissance. Le programme à été développé sous l’environnement Matlab pour
optimiser la fonction coût.
IV.2 Optimisation mono-objectif
En appliquant une optimisation mono-objective sur la fonction coût de génération
(FC), tout en respectant les limites des puissances générées actives et réactives, ainsi que
l’amplitude de la tension pour chaque jeu de barre du réseau électrique qui est déterminée par
le programme de l’écoulement de puissance afin de comparer les résultats et tirer des
conclusions. La fonction coût peut s’écrire sous la forme :
NG
FCi PGi   min  aG i  b G i . PGi  cG i PGi2
(IV.1)
i 1
Où ; aGi, bGi, cGi sont les coefficients de la fonction coût de générateur i.
IV.3 Calcul OPF
IV.3.1 Application sur le réseau IEEE 14 nœuds
Pour obtenir l’objectif de notre travail, on a choisi réseau électrique IEEE 14 jeu de
barres, avec 5 centrales électriques de production et 20 lignes représenté par la figure (IV.1).
Tableau IV.1 : Coefficients de la fonction cout des générateurs.
Coefficients de coût ($MW2)
PGi (MW)
cGi
Générateur
Min
Max
aGi
bGi
1
22
110
151.8
22.50
0.1518
2
16
80
606.6
27.30
0.2274
3
14
70
303.6
22.74
0.1518
6
18
90
397.2
30.36
0.0756
8
12
60
454.8
22.74
0.2274
58
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Figure IV.1: Schéma du réseau IEEE 14 nœuds.
IV.3.1.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)
Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode d’optimisation
MIPS sont données par le Tableau (IV.2), le coût de production optimale est de 8081,53 $/h,
les pertes actives totales à une valeur de 9,287 MW.
Tableau IV.2 : Résultats OPF par MIPS 14 nœuds.
N° de Jeu de Barres
Puissances générées PGi (MW)
1
194,33
2
36,72
3
28,74
6
0
8
8,46
Coût de production ($/h)
8081,53
Pertes Active Total (MW)
9,287
59
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Figure IV.2 : Puissances générées optimales par méthode MIPS.
IV.3.1.2 Application des algorithmes génétiques dans le calcul d’OPF
IV.3.1.2.1 Valeurs des Paramètres d’un algorithme génétique
Pour les algorithmes génétiques, il faut faire un choix des valeurs des paramètres
introduits dans le code de calcul, ce choix est basé sur l’expérience de l’application des AG
dans le domaine de l’optimisation de l’écoulement de puissance. On a pris le choix suivant
dans notre travail :
 Le nombre des générations=150.
 Population size (le nombre d’individus dans la population) =200.
 Sélection=0.5.
 Croisement=0.5.

Mutation=0.5.
Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode d’optimisation GA
sont données par le Tableau (IV.3), le coût de production optimale 711.8460 ($/h), les pertes
actives totales à une valeur de 5.2342(MW).
60
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Tableau IV.3: Résultats OPF par AG sur réseau IEEE14 nœuds.
N° de Jeu de Barres
Puissances générées PGi (MW)
1
175.8863
2
48.3762
3
19.5004
6
10.1338
8
10.3376
Coût de production ($/h)
711.8460
Pertes Active Total (MW)
5.2342
Figure IV.3 : Puissances générées optimales par GA.
Figure IV.4 : Résultats d’optimisation mono-objective.
61
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
IV.3.1.3 Comparaison entre les deux méthodes
On remarque que les résultats de calcul OPF obtenus par la méthode GA exprime un
très bon résultat de minimisation de coût de production 711.8460 ($/h) et les pertes 5.2342
MW par rapport aux résultats obtenus par la méthode MIPS qui donne un coût de génération
8081, 53($/h) et pertes 9,287MW.
IV.3.2 Application sur le réseau IEEE 30 nœuds
Le réseau de transport qui va servir de base à notre étude est issu d'un réseau réel
simplifié qui est le réseau test IEEE 30 nœuds représentant une portion du système de
puissance électrique américain. Ce réseau électrique est constitué de 30 jeu de barres, 6
générateurs connectées aux jeux de barres (n=° 1, 2, 5, 8,11, et 13) injectant leurs puissances
à un système alimentant 20 charges à travers 41 lignes de transport (figure IV.1). La tension
de base pour chaque jeu de barres est de 135 kV, puissance de base 100 MVA.
Figure IV.5: Réseau test IEEE 30 nœuds.
62
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Tableau IV.4 : Coefficients de la fonction cout des générateurs.
Coefficients de coût ($MW2hr)
(MW)
cGi
Nœud
Min
Max
aGi
bGi
1
50
200
0.00
2.00
0.00375
2
20
80
0.00
1.75
0.0175
5
15
50
0.00
1.00
0.0625
8
10
35
0.00
3.25
0.0083
11
10
30
0.00
3.00
0.0250
13
12
40
0.00
3.00
0.0250
IV.3.2.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)
Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode MIPS sur réseau
IEEE 30 nœuds sont données par le Tableau (IV.5), le coût de production optimale est de
8906.14$/h, les pertes actives totales à une valeur de 11.742MW.
Tableau IV.5: Résultats OPF par MIPS IEEE 30 nœuds.
N° de Jeu de Barres
Puissances générées PGi (MW)
1
212.23
2
36.23
5
29.35
8
12.94
11
4.40
13
0.00
Coût de production ($/h)
8906.14
Pertes Active Total (MW)
11.742
63
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Figure IV.6 : Puissances générées optimales par méthode MIPS.
IV.3.2.2 Calcul d’OPF par GA sur réseau IEEE 30 nœuds
Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode GA sur réseau
IEEE 30 nœuds sont données par le Tableau (IV.6), le coût de production optimale est de
801.8551$/h, les pertes actives totales à une valeur de. 9.3694MW.
Tableau IV.6 : Résultats OPF par génétique algorithme IEEE 30 nœuds.
N° de Jeu de Barres
Puissances générées PGi (MW)
1
176.4562
2
49.1225
5
20.9848
8
22.1436
11
12.6509
13
11.4115
801.8551
Coût de production ($/h)
9.3694
Pertes Active Total (MW)
64
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
Figure IV.7 : Puissances générées optimales obtenus par GA.
Best: 801.8551 Mean: 1240.4648
2500
Best f itness
Fitness value
Mean fitness
2000
1500
1000
500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Generation
Current Best Individual
Current best individual
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
1
2
3
4
5
Number of variables (5)
Figure IV.8 : Résultats d’optimisation mono-objective (la fonction coût de production)
IV.3.2.3 Comparaison entre les deux méthodes
On remarque que Les résultats de calcul OPF obtenus par la méthode GA exprime un
très bon résultat de minimisation de coût de production 801.8551 ($/h) et les pertes
9.3694MW par rapport Les résultats de calcul OPF par la méthode MIPS le coût de
production 8906.14 ($/h) et les pertes 11.742MW.
65
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
IV.3.2.4 Influence des paramètres AG sur le calcul OPF
Tableau IV.7 : Influence de la sélection.
Grandeurs
Paramètres AG
Sélection
0.5
0.6
0.7
0.8
Croisement
0.5
0.5
0.5
0.5
Mutation
0.5
0.5
0.5
0.5
Coûts de génération
801.8551
817.60
822.7449
840.6827
Pertes actives totales
9.3694
9.7403
9.2656
6.7350
D’après le tableau (IV.7) on remarque qu’il y a une relation proportionnelle entre la
sélection et les valeurs OPF obtenus, chaque fois qu’en augmente la sélection le coût s’élève
et les pertes actives diminuent.
Tableau IV.8 : Influence de la Croisement.
Paramètres AG
Grandeurs
Sélection
0.5
0.5
0.5
0.5
Croisement
0.5
0.6
0.7
0.8
Mutation
0.5
0.5
0.5
0.5
Coûts de génération
801.8551
820.6882
808.7739
859.1319
Pertes actives totales
9.3694
9.3290
8.5936
8.6180
Tableau (IV.8) montre que la meilleure grandeur obtenue (coût et pertes actives)
correspond à une valeur de croisement de 0.5.
Tableau IV.9 : Influence de la Mutation.
Paramètres AG
Grandeurs
Sélection
0.5
0.5
0.5
0.5
Croisement
0.5
0.5
0.5
0.5
Mutation
0.5
0.6
0.7
0.8
Coûts de génération
801.8551
806.0422
814.9963
830.8847
Pertes actives totales
9.3694
9.3735
9.5462
10.1396
66
Chapitre IV
Application des GA dans la répartition optimale des puissances
On remarque que chaque fois nous élevons la valeur de mutation, les valeurs des coûts
et des pertes s'élève.
IV.3.2.5 Comparaison entre les trois opérations
On remarque que
la variation de mutation donne bon résultats par rapport à la
variation de la sélection et de croisement. Finalement on peut conclu que le choix optimal des
paramètres de ces méthodes reste comme problème principal.
IV.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté les résultats de calcul d’OPF obtenus par
l’application des algorithmes génétiques comparées avec celle obtenus par la méthode
classique MIPS sur fonction mono-objective (coût de production). Ces méthodes (AG et
MIPS) sont appliquées sur deux modèles IEEE 14 et IEEE 30 nœuds, nous avons conclu que
la méthode AG est beaucoup mieux par rapport de la méthode MIPS dans le calcul OPF.
67
Conclusion générale
.
Conclusion générale
Dans le premier chapitre, nous avons étudié les principaux éléments constitue un
réseau électrique et traite en détaille l’analyse de l’écoulement de puissance.
Dans le deuxième chapitre, on a donné un aperçu général sur les différentes méthodes
d'optimisation déterministe et évolutionnaire.
Dans le troisième chapitre nous avons présenté tout d'abord une vue générale sur les
algorithmes génétiques, et comment appliquer pour calculer la répartition optimale des
puissances.
Dans le quatrième chapitre, nous avons appliqué l’algorithme génétique par
l’optimisation de coût de génération, qui est la tache principale de ce mémoire, il était
primordial de procéder à un choix judicieux des différents paramètres de l’algorithme
génétique. On a abordé l’optimisation de la répartition des puissances en se basant sur la
recherche du point de fonctionnement optimal en minimisant le coût sous les différentes
contraintes d’égalité et d’inégalité reflétant respectivement l’équilibre Demande- Génération
et sécurité de fonctionnement.
Deux modèles du réseau test de tailles différentes ont été choisis pour valider notre
algorithme, IEEE 14 et IEEE 30 nœuds. Le programme est développé sous l'environnement
de MATLAB version 8.5 (2015a).
68
Bibliographie
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[26] Jason Brownlee, «clever Algorithmes nature-inspired programming recipe», Book
Copyright .p97.2011.
Annexe A
Genetic Algorithm Programming
def onemax(bitstring)
sum = 0
bitstring.size.times {|i| sum+=1 if bitstring[i].chr=='1'}
return sum
end
def random_bitstring(num_bits)
return (0...num_bits).inject(""){|s,i| s<<((rand<0.5) ? "1" : "0")}
end
def binary_tournament(pop)
i, j = rand(pop.size), rand(pop.size)
j = rand(pop.size) while j==i
return (pop[i][:fitness] > pop[j][:fitness]) ? pop[i] : pop[j]
end
def point_mutation(bitstring, rate=1.0/bitstring.size)
child = ""
bitstring.size.times do |i|
bit = bitstring[i].chr
child << ((rand()<rate) ? ((bit=='1') ? "0" : "1") : bit)
end
return child
end
def crossover(parent1, parent2, rate)
return ""+parent1 if rand()>=rate
point = 1 + rand(parent1.size-2)
return parent1[0...point]+parent2[point...(parent1.size)]
end
def reproduce (selected, pop_size, p_cross, p_mutation)
children = []
selected.each_with_index do |p1, i|
p2 = (i.modulo(2)==0) ? selected[i+1] : selected[i-1]
p2 = selected[0] if i == selected.size-1
child = {}
child[:bitstring] = crossover(p1[:bitstring], p2[:bitstring], p_cross)
child[:bitstring] = point_mutation(child[:bitstring], p_mutation)
children << child
break if children.size >= pop_size
end
return children
end
def search(max_gens, num_bits, pop_size, p_crossover, p_mutation)
population = Array.new(pop_size) do |i|
{:bitstring=>random_bitstring(num_bits)}
end
population.each{|c| c[:fitness] = onemax(c[:bitstring])}
best = population.sort{|x,y| y[:fitness] <=> x[:fitness]}.first
max_gens.times do |gen|
selected = Array.new(pop_size){|i| binary_tournament(population)}
children = reproduce(selected, pop_size, p_crossover, p_mutation)
children.each{|c| c[:fitness] = onemax(c[:bitstring])}
children.sort!{|x,y| y[:fitness] <=> x[:fitness]}
best = children.first if children.first[:fitness] >= best[:fitness]
population = children
puts " > gen #{gen}, best: #{best[:fitness]}, #{best[:bitstring]}"
break if best[:fitness] == num_bits
end
return best
end
if __FILE__ == $0
# problem configuration
num_bits = 64
# algorithm configuration
max_gens = 100
pop_size = 100
p_crossover = 0.98
p_mutation = 1.0/num_bits
# execute the algorithm
best = search(max_gens, num_bits, pop_size, p_crossover, p_mutation)
puts "done! Solution: f=#{best[:fitness]}, s=#{best[:bitstring]}"
end
Annexe B
Tensions nodaux du réseau IEEE 30 nœuds obtenus après OPF
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Tensions nœuds
MIPS
GA
1.060
1.039
1.021
1.012
1.013
1.011
1.004
1.013
1.042
1.038
1.060
1.050
1.060
1.035
1.031
1.038
1.033
1.021
1.019
1.023
1.026
1.027
1.021
1.016
1.014
0.996
1.022
1.008
1.002
0.990
1.0600
1.0430
1.0251
1.0168
1.0100
1.0146
1.0049
1.0100
1.0529
1.0468
1.0820
1.0596
1.0710
1.0447
1.0400
1.0470
1.0416
1.0303
1.0277
1.0317
1.0345
1.0351
1.0294
1.0237
1.0203
1.0027
1.0269
1.0127
1.0071
0.9957
Tensions Nodaux du réseau IEEE 14 nœuds obtenus après OPF
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
gi
1
2
3
6
8
Tensions nœuds
MIPS
1.060
1.041
1.016
1.014
1.016
1.060
1.046
1.060
1.044
1.039
1.046
1.045
1.040
1.024
Gencost14bus
P min
10
20
15
10
10
GA
1.060
1.045
1.010
1.0
1.0
1.070
1.0
1.090
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
P max
250
140
100
120
45
Gencost IEEE 30bus
gi
1
2
5
8
11
13
P min
50
20
15
10
10
12
P max
200
80
50
35
30
40
Résumé
L'idée de base, sur laquelle centré ce travail, est la résolution du problème de la répartition optimale de l’énergie
électrique pour avoir le minimum de coût de production d’énergie par les centrale de production d’énergie et cela par
l’application de la méthode d’optimisation qui est la méthode des algorithmes génétique et qui à son tour occupe une large
application dans la recherche scientifique en vu de son efficacité et rentabilité pour l’application en génie électrique .
De ce point de vue et en se basant sur les méthodes d’optimisation classique et méta-heuristique, nous avons
propose ce travail qui est destiné à élaborer un programme qui fait le calcul pour trouver le minimum de coût de production,
nous avons appliqué ce code de calcul sur les réseaux test connus qui sont IEEE14 et IEEE 30 nœuds. L’exécution du
programme a été faite sous l’environnement MATLAB.
Il a été faire de très bons résultats concernant la minimisation de la fonction coût de production d'énergie électrique.
Mots clés: Optimisation, OPF, Algorithme Génétique.
‫اﻟﻤﻠﺨﺺ‬
‫إن اﻟﻔﻜﺮة اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﺘﻤﺤﻮر ﻋﻠﯿﮭﺎ ھﺬا اﻟﻌﻤﻞ ھﻲ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﻗﺘﺼﺎدي اﻷﻣﺜﻞ ﻟﻠﻘﺪرة اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ ﻗﺼﺪ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻧﺘﺎج طﺎﻗﺔ أﻗﻞ ﻣﻦ‬
‫ﺣﯿﺚ ﻛﻠﻔﺔ اﻟﺴﻌﺮ ﻣﻦ طﺮف ﻣﺤﻄﺎت إﻧﺘﺎج اﻟﻄﺎﻗﺔ وذﻟﻚ ﺑﺎﻧﺘﮭﺎج طﺮق اﻷﻣﺜﻠﺔ و ﺧﻮاص اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺎت اﻟﺠﯿﻨﯿﺔ واﻟﺘﻲ ﺗﺸﻐﻞ ﺑﺪورھﺎ ﺣﯿﺰ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬
.‫ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻤﺎ ﺗﺘﻤﯿﺰ ﺑﮫ ﻣﻦ ﻣﺮدودﯾﺔ وﻓﻌﺎﻟﯿﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ‬
‫ﻣﻦ ھﺬا اﻟﻤﻨﻄﻠﻖ واﺳﺘﻨﺎدا اﻟﻰ طﺮق اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﻜﻼﺳﯿﻜﯿﺔ ﻣﻨﮭﺎ واﻟﺤﺪﯾﺜﺔ اﻗﺘﺮﺣﻨﺎ ھﺬا اﻟﻌﻤﻞ اﻟﻤﻨﺠﺰ وھﻮ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﯾﻘﻮم ﺑﺎﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ أﺟﻞ اﯾﺠﺎد أﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﺘﻜﻠﻔﺔ‬
IEEE 30, IEEE 14 : ‫اﻟﻘﺪرة اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ اﻟﻤﻨﺘﺠﺔ وﻟﻘﺪ اﻋﺘﻤﺪﻧﺎ ﻓﻲ دراﺳﺘﻨﺎ ھﺬه ﻋﻠﻰ ﺗﻄﺒﯿﻖ ھﺬا اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ ﻋﻠﻰ ﻧﻤﺎذج اﻟﺸﺒﻜﺎت اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﻋﺎﻟﻤﯿﺎ أﻻ وھﻲ‬
.MATLAB ‫اﻧﺠﺰت ھﺪه اﻟﺪراﺳﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ‬
.‫وﻗﺪ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺟﯿﺪة ﺟﺪا ﻓﻲ ﻣﺎ ﯾﺘﻌﻠﻖ ﺗﻘﻠﯿﻞ ﺗﻜﻠﻔﺔ إﻧﺘﺎج اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ‬
.‫ﺗﺪﻓﻖ اﻟﻘﺪرة اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ‬,‫ اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺔ اﻟﺠﯿﻨﯿﺔ‬, ‫ اﻷﻣﺜﻠﺔ‬: ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﺔ‬
Abstract
The basic idea, which centered sweat this work is solving the problem of the optimal distribution of electric power
for the minimum energy production cost by the central power generation and that by the application of optimization method
which is the genetic algorithms and methods which in turn holds a wide application in scientific research in view of its
efficiency and profitability for the electrical engineering application.
From this point of view and based on the methods of classical and metaheuristics optimization, we offer this work
is to develop a program that does the calculation to find the minimum cost of production, we applied this computer code
known test on networks that are IEEE-30, IEEE-14 nodes, program delivery was made under the MATLAB environment.
It has been getting very good results regarding the minimization of the cost of producing electric energy function.
Keywords: Optimization, OPF, Genetic Algorithm