Matrices - Laboratoire de Mathématiques

Département de mathématiques et informatique
L1S1, module A ou B
Chapitre 2
Matrices
Emmanuel Royer
[email protected]bpclermont.fr
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p. 2 Table des matières
Table des matières
1 Les matrices 3
1.1 Définition.................................... 3
1.2 Matricesparticulières............................. 4
1.2.1 Matricescolonnes........................... 4
1.2.2 Matriceslignes ............................ 4
1.2.3 Matricescarrées............................ 4
1.2.4 Matrices triangulaires inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5 Matrices triangulaires supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.6 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.7 Matricesscalaires........................... 5
1.2.8 Matriceidentité............................ 5
1.2.9 Matricenulle ............................. 5
2 Calcul matriciel 5
2.1 Égalitédesmatrices.............................. 5
2.2 Additiondesmatrices............................. 6
2.3 Produit d’une matrice par un élément de K................ 6
2.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne . . . . . . . 7
2.4.2 Produit d’une matrice par une matrice colonne . . . . . . . . . . 7
2.4.3 Produit d’une matrice par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.4 Propriétés ............................... 10
2.4.5 Puissances ............................... 11
2.4.6 Inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.7 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Systèmes d’équations linéaires 16
3.1 Remarquesgénérales ............................. 16
3.2 Résolution des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Inversion de matrices 25
5 Déterminants 28
5.1 Définition.................................... 28
5.2 Propriétés ................................... 29
6 Exercices 40
A Matrices élémentaires 45
A.1 Définition et propriétés élementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2 Mise en échelons des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.3 Matrices élémentaires et inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.4 Systèmes et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.5 Justification de la méthode d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B Déterminants 53
B.1 Déterminant d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.2 Déterminant et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Référence François Liret & Dominique Martinais, « Cours de mathématiques, Algèbre
1re année ». Dunod.

1 Les matrices p. 3
Avertissement préliminaire. Dans tout ce chapitre, on fixe K l’un des trois corps Q , R
ou C . Ceci signifie que vous pouvez lire le chapitre en remplaçant la lettre K par R puis
le relire en remplaçant la lettre K par C et le relire une troisième fois en remplaçant la
lettre Kpar Q.
1Les matrices
1.1) Définition
On appelle matrice à coefficients dans Kla donnée :
a) d’un nombre pde colonnes ;
b) d’un nombre nde lignes ;
c) d’un ensemble de np coefficients de K rangés dans un tableau de n lignes et p
colonnes.
On numérote les coefficients avec deux indices : le premier indique le numéro de la
ligne (on les numérote du haut vers le bas), le second le numéro de la colonne (on les
numérote de gauche à droite). Ainsi, le coefficient aij est à l’intersection de la ie ligne et
de la je colonne. On note alors ( aij )
1≤i≤n
1≤j≤p
la matrice. On dit que la matrice est de taille
n×p(lire « ncroix p» et respecter l’ordre de lecture).
Exemple 1–Si
(aij )1≤i≤3
1≤j≤2=
1 2
3 4
5 6
alors
a11 = 1, a12 = 2
a21 = 3, a22 = 4
a31 = 5, a32 = 6.
Exemple 2–
(i+ 2j)1≤i≤2
1≤j≤3= 3 5 7
4 6 8!(−i+j)1≤i≤3
1≤j≤2=
0 1
−1 0
−2−1
.
Notation 3–On note Mn,p ( K ) l’ensemble des matrices de taille n×p à coefficients dans
K.

p. 4 1 Les matrices
1.2) Matrices particulières
1.2.1 Matrices colonnes
Ce sont les matrices à une colonne : 
a1
a2
.
.
.
an
.
1.2.2 Matrices lignes
Ce sont les matrices à une ligne : a1a2... an.
1.2.3 Matrices carrées
Ce sont les matrices qui ont même nombres de lignes et de colonnes. Ce nombre de
lignes et de colonnes s’appelle l’ordre de la matrice. Les coefficients ayant même indice
de ligne et de colonne s’appellent les coefficients diagonaux. Par exemple,
1 5
3 7 
est une
matrice carrée d’ordre 2. Les coefficients diagonaux sont 1 et 7.
Notation 4–On note Mn ( K ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients
dans K.
1.2.4 Matrices triangulaires inférieures
Ce sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessus de la
diagonale (c’est-à-dire d’indices ij avec j > i) sont nuls. Par exemple :
1 0 0
2 3 0
4 5 6
,
100
020
103
,
100
020
003
.
1.2.5 Matrices triangulaires supérieures
Ce sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessous de la
diagonale (c’est-à-dire d’indices ij avec j < i) sont nuls. Par exemple :
1 2 3
0 4 5
0 0 6
,
101
020
003
,
100
020
003
.
1.2.6 Matrices diagonales
Ce sont les matrices carrées à la fois triangulaires supérieures et triangulaires
inférieures. Les seuls coefficients pouvant être non nuls sont donc ceux de la diagonale.

2 Calcul matriciel p. 5
Par exemple : 
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
,
1 0 0
0 0 0
0 0 0
.
On noter Diag(a1,...,an) la matrice diagonale dont les coefficients sont (a1,...,an).
1.2.7 Matrices scalaires
Ce sont les matrices diagonales dont tous les coefficients diagonaux sont égaux. Par
exemple : 
π000
0π0 0
0 0 π0
000π
.
1.2.8 Matrice identité
C’est la matrice scalaire dont tous les coefficients diagonaux valent 1. On note In la
matrice identité d’ordre n. Par exemple :
I4=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
1.2.9 Matrice nulle
C’est la matrice non nécessairement carrée dont tous les coefficients sont nuls. On
la note 0
n,p
ou 0
n p
si elle a n lignes et p colonnes, 0 s’il n’y a pas d’ambigüité. Par
exemple :
023 = 000
000!.
2Calcul matriciel
2.1) Égalité des matrices
Deux matrices A et B sont égales, ce qu’on note A = B si
— elles ont même nombre de lignes ;
— elles ont même nombre de colonnes ;
— les coefficients à la même position sont égaux.