CIBLE PRINCIPALE Première – Terminale SERIE Série F1-2-3

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CIBLE PRINCIPALE Première – Terminale
SERIE Série F1-2-3-4-C-D
MATIERE Mathématiques
TITRE Contrôle
RESUME DU SUJET Thème abordé :
Nombres Complexes
Exercice
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
( ; , )
O u v
r r
(unité graphique 4 cm). Soit I le point
d’affixe 1. On note
Γ
le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre
Ω
.
Partie A
On pose
1 1
2 2
o
a i
= +
et on note A
0
son image.
1. Montrer que le point A
0
appartient au cercle
Γ
.
2. Soit B le point d’affixe b, avec
1 2
b i
= − +
, et B’ le point d’affixe b’ telle que
0
'
b a b
= .
a. Calculer b’.
b. Démontrer que le triangle OBB’ est rectangle en B’.
Partie B
Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. A tout point M
d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que
'
z az
=
.
On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M'.
1. Interpréter géométriquement
1
arg( )
a
a
−
.
2. Montrer que
1
( ' ; ' ) arg( ) 2
a
M O M M k
a
π
−
= +
uuuuuur uuuuuuur
(où
k
∈
Z
).
3. En déduire que le triangle OMM’ est rectangle en M’ si et seulement si A appartient au cercle
Γ
privé de
O et I.
Correction
Partie A
1.
Ω
a pour affixe 1/2 et Γ a pour rayon 1/2 ; on calcule
0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
A i i
Ω = + − = =
donc A
0
est sur Γ.
2. a.
0
1 1 1 1 3 1
' ( 1 2 ) 1
2 2 2 2 2 2
b a b i i i i i
= = − + + = − + − − = − +
.
b. Avec l’argument : on calcule
( )
' 1 2 3/ 2 / 2 1 3 (1 3 )(3 )
' , ' arg arg arg arg arg
0 ' 3/ 2 / 2 3 10 2
b b i i i i i
B O B B i
b i i
π
− − + + − + + +
= = = = = =
− − −
uuuur uuuur
.
On pouvait aussi faire Pythagore.
Partie B
1.
( )
1
arg( ) ,
a
OA IA
a
−
=
uuur uur
puisque le vecteur
IA
uur
a pour affixe a − 1 et
OA
uuur
a pour affixe a.
2.
' 1 1
( ' ; ' ) arg( ) 2 arg( ) 2 arg( ) 2 arg( ) 2
0 '
z z z az a a
M O M M k k k k
z az a a
π π π π
− − − −
= + = + = + = +
− − −
uuuuuur uuuuuuur
.

3. OMM’ est rectangle en M’ si
( ' ; ' )
M O M M
uuuuuur uuuuuuur
, soit lorsque
( )
1
arg( ) , (2 )
2
aOA IA
a
π
π
−
= = ±
uuur uur
, c‘est-à-dire lorsque
le triangle OAI est rectangle en A. A doit donc être sur le cercle de diamètre [OI]. On enlève les points O et I
sinon l’écriture
( )
1
arg( ) ,
a
OA IA
a
−
=
uuur uur
n’a pas de sens.