I Modèles avec réponse discrète

Corrigé ESSEC II 2012 Eco par Pierre Veuillez
En psychologie, an s’intéresse à la façon dont un individu est amené à sélectionner une action quand
un choix se présente entre di¤érentes actions possibles. Ce choix peut être in‡uencé par un grand
nombre de facteurs impondérables, ce qui fait qu’il est légitime de le modéliser à l’aide de variables
aléatoires. L’objet du problème est de présenter quelques éléments simples de la théorie des modèles
de choix discret. Dans le modèle binaire le plus simple, le choix se fait en fonction de la réaction
à un stimulus. Dans une première partie, on étudie la modélisation élémentaire de la réponse à un
stimulus. Dans une deuxième partie, on considère une importante modélisation de choix dépendant
du hasard, dit modèle de Luce, et on étudie ses propriétés. En…n dans une troisième partie, on regarde
le cas où les di¤érents choix possibles engendrent du réactions aléatoires et on étudie des propriétés
de la réaction optimale. Les trois parties sont indépendantes
I Modèles avec réponse discrète
Soit un réel (positif ou négatif) représentant un niveau de stimulus. On considère une variable
aléatoire réelle Xà valeurs dans Rreprésentant la tolérance de l’individu au stimulus en question.
On considère donc que l’individu réagit si Xne réagit pas si X > . On considère la variable
aléatoire Yindicatrice de la réaction dé…nie par
Y=1si Xa
0si X > 
Soit Fla fonction de répartition de la variable aléatoire X.
1. On a Y ,! B(P(X)) donc son espérance est =P(X)et sa variance V(Y) =
(1 )
2. On considère nindividus dont on observe la réaction au stimulus. La tolérance de l’individu
iest une variable aléatoire Xidont on suppose qu’elle suit la même loi que X. En outre, les
tolérances pour les di¤érents individus sont supposées indépendantes
a) Soit Nla variable aléatoire égale au nombre d’individus réagissant au stimulus.
Nest le nombre d’individus réagissant au stimulus, indépendamment l’un de l’autre et
parmi nindividus.
Conclusion : N ,! B(n; )donc E(N) = n et V(N) = n (1 )
b) Puisque E(N) = n alors EN
n=
Conclusion : N
nest un estimateur sans biais de 
3. Soient mun réel strictement positif.
On suppose que la tolérance Xest obtenue comme résultante d’un « grand nombre » nde
facteurs indépendants de petites taille c’est à dire que X=Pn
i=1 Xi;où les Xisont supposés
être des variables aléatoires de même loi d’espérance m
net de variance 2 n
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a) On a
E(X) = E n
X
i=1
Xi!
=
n
X
i=1
E(Xi)
=nm
n
=met
V(X) = V n
X
i=1
Xi!indépendantes
=
n
X
i=1
V(Xi)
=n2
n
=2
donc l’écart type de Xest :
b) Xétant une somme de variables indépendantes et de même loi ayant une variance non
nulle, alors la somme centrée-réduite converge en loi vers N(0;1)
Or la somme centrée-réduite est :X=XE(X)
pV(X)=Xm
:
Donc la fonction de répartition de Xtend vers ;fonction de réparation de N(0;1) (là
où elle est continue : sur R) et pour tout a2R:
PXm
a! (a) = 1
p2Za
1
exp u2
2du
c) Le résultat précédent justi…e que pour ngrand on peut considérer que la variable aléatoire
Xm
suit la loi normale centrée réduite.
On a
=P(X)
=PXm
m
=  m
d) Quand !+1;m
!0donc (continuité) m ! (0) = 1 2
Quand l’écart type est grand, les valeurs de Xsont dispersées et elles ont autant de chances
d’être au dessus que en dessous du seuil.
4. Plutôt que d’utiliser ici normale, on préfère souvent une loi plus simple dont on étudie dans
cette question quelques propriétés.
a) Soit Fla fonction dé…nie sur Rpar :
8y2R;F(y) = 1
1 + ey
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Fest continue et de classe C1sur R(1 + ey6= 0).
lim1 F= 0 et lim+1F= 1
en…n,
F0(y) = ey
(1 + ey)2>0
donc Fest croissante.
Conclusion : Fest donc la fonction de répartition d’une variable ... à densité (loi logistique)
b) On suppose que Xsuit une loi logistique. On a =P(X) = F() = 1
1 + e
On suppose que Zsuit aussi une loi logistique.
c) On a dit que Zétait alors à densité et une densité de Zest dé…nie par :
f(y) = F0(y) = ey
(1 + ey)2
pour tout y2R
d) Soit yun réel positif.
F(y) = 1
1 + ey
=1
ey(1 + ey)
=eyF(y)
e) Astuce à chercher ... pas trop longtemps !
Cette relation n’est utile que pour la parité de f:
f(y) = ey
(1 + ey)2=ey(F(y))2donc
=e2y
ey(F(y))2
=ey(F(y))2
=f(y)
donc fest paire.
Comme yey
(ey+ 1)2yeydont l’intégral converge en +1(espérance de "(1) ) alors,
par équivalence de fonctions positives, R+1
0yf (y)dy converge également.
Et par impartié R+1
1 yf (y)dy converge et est nulle.
Conclusion : Za une espérance, qui est nulle
f) Soit Uune variable aléatoire de loi uniforme sur ]0;1[ et soit T= ln U
1U
Comme U2]0;1[ alors U
1U>0et Test dé…nie.
Soit x2R
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(Tx) = ln U
1Ux
=U
1Uexet 1U > 0
= (Uex(1 U))
= (U(1 + ex)ex)
=Uex
1 + ex
=U1
1 + ex
et comme 1
1 + ex2]0;1[ intervalle sur lequel la fonction de répartition de Uvaut :
FU(x) = x
P(Tx) = PU1
1 + ex=1 1 + ex
pour tout xréel.
Conclusion : ln U
1Usuit une loi logistique
II Règles de décisions stochastiques : le modèle de Luce
On suppose maintenant que l’individu doit choisir une action dans un ensemble …ni d’actions possibles
A.
On note F=fSA = jSj  2goù jSjdésigne le cardinal de l’ensemble S. Quand le nombre d’actions
possibles est très grand, la procédure de choix se passe en deux temps : l’individu commence par
sélectionner une partie Sde Fà laquelle il va restreindre son choix. puis choisit une action précise
à l’intérieur de S.
Pour chaque élément Sde F, on dé…nit une probabilité PSsur S: pour aun élément de S,PS(fag)
représente la probabilité pour que l’individu ayant sélectionné Schoisisse l’action a. Pour simpli…er
la notation on notera PS(a) = PS(fag);
Pour aet bdistincts dans A; on note P(a; b) = Pfa;bg(fag); il s’agit donc de la probabilité de préférer
l’action aà l’action bdans la cas du choix entre aet b:
On suppose que pour tout Sappartenant à Fet tout adans S; PS(a)6= 0
(*) On fait l’hypothèse sur le modèle : Pour tout couple (S; T )d’éléments de Ftel que Sest inclus
dans T; pour tout aélément de S;
PT(a) = PT(S)PS(a)
5) Comme STalors S=T\Sdonc PS(a) = PT\S(a)
Et comme fag  Salors S\ fag=fagdonc
PT(S)PS(a) = PT(S)PT\S(a)
=PT(S\a) = PT(a)
formule des probabilités composées.
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6) a) Soit kun réel strictement positif. On pose pour tout a2A; v (a) = kPA(a)
Pour tout Sde Fet tout ade S;
v(a)
Pb2Sv(b)=kPA(a) Pb2SkPA(b)((1))
=PA(a)
PASb2Sb
=PA(a)
PA(S)et (*)
=PA(S)PS(a)
PA(S)
=PS(a)
b) N.B. L’égalité de deux fonction sur Asigni…e leur égalité pour tout ade A:
Si vet wsont deux fonctions réelles dé…nies sur Asatisfaisant (1) alors pour et tout Sde
Fet tout a2Sv(a)
Pb2Sv(b)=w(a) Pb2Sw(b)
En particulier pour S=A; on a pour tout ade A:
v(a)
Pb2Av(b)=w(a) Pb2Aw(b)donc
v(a) = Pb2Av(b)
Pb2Aw(b)w(a)
et avec =Pb2Av(b)
Pb2Aw(b)on a donc v=w
Les PA(a)nétant pas tous nuls (leur somme vua t1)est donc strictement positif.
7) Pour vfonction réelle strictement positive sur A; on pose, pour tout Sde Fet aappartenant
àS:
QS(a) = v(a)
Pb2Sv(b)
On a alors pour tout a2S:QS(a)0et Pa2SQS(a) = Pa2Sv(a)
Pb2Sv(b)= 1 et
QT(S)QS(a) = Pa2Sv(a)
Pb2Tv(b)
v(a)
Pb2Sv(b)
=v(a)
Pb2Tv(b)
=QT(a)
Conclusion : Qvéri…e ()
8) a) Soit vune utilité associé au système de probabilités (PS)S2F :
Pour tout Sde Fet aet bdans S:
si v(a)v(b)alors
PS(a) = v(a)
Pc2Sv(c)v(b) Pc2Sv(c)=PS(b)
La probabilité que asoit choisit augmente donc avec son utilité.
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