La correction du DS4

TS - Maths - D.S.4 - Correction Samedi 05 Décembre 2015 - 4h
Spécialités : SVT - Physique
Exercice 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est
inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.
Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.
Partie A
L’eau minérale provient de deux sources, notées «source A »et «source B ».
La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source
A soit très peu calcaire est 0,17. La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production
d’une journée de la source B soit très peu calcaire est 0, 10.
La source A fournit 70 % de la production quotidienne totale des bouteilles d’eau et la source B le reste de
cette production.
On prélève au hasard une bouteille d’eau dans la production totale de la journée. On considère les évè-
nements suivants :
A:«La bouteille d’eau provient de la source A »
B:«La bouteille d’eau provient de la source B »
S:«L’eau contenue dans la bouteille d’eau est très peu calcaire ».
1. Déterminer la probabilité de l’évènement A∩S.
On modélise la situation avec un arbre pondéré :
A
0,7
S
0,17
S
0,83
B
0,3
S
0,1
S
0,9
D’après l’arbre on a P(A∩S)=0,7 ×0,17 =0,119 .
2. Montrer que la probabilité de l’évènement Svaut 0,149.
Les sources Aet Bfournissent la totalité de la production : Aet Bforment donc une partition de l’uni-
vers. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales :
P(S)=P(A∩S)+P(B∩S)=0,119 +0,3 ×0,1 =0,149 .
3. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu’elle
est très peu calcaire.
La probabilité demandée est :
PS(A)=P(A∩S)
P(S)=0,119 0,149 =119 149 ≈0,799 .
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Partie B
Le lendemain d’une forte pluie, l’usine produit un échantillon de nbouteilles provenant de la source A,
avec nun entier naturel à définir.
Pour ces deux questions, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
1. On choisit n=100. Déterminer la probabilité que parmi ces bouteilles, plus de 20 contiennent de
l’eau très peu calcaire.
Produire une bouteille est une épreuve de Bernouilli, avec «l’eau est très peu calcaire »pour succès, de
probabilité 0,17.
On répète cette expérience nfois de manière indépendante.
Soit Xla variable aléatoire qui compte les succès.
Xsuit alors la loi binomiale de paramètres net p=0,17.
Pour cette question nous avons n=100.
La probabilité cherchée est donc P(X>20) =1−P(X≤20) ≈0,175 .
Nous avons tapé à la calculatrice :
Texas Instrument
1-binomfrep(100,0.17,20)
ou (en anglais) :
1-binomcdf(100,0.17,20)
CASIO
1-binomcd(20,100,0.17)
2. L’usine désire fournir en moyenne 50 bouteilles d’eau très peu calcaire.
Quel nombre ntotal de bouteilles doit-elle produire ce jour là ?
La production moyenne de l’usine correspond à l’espérance de la variable aléatoire Xqui est par théo-
rème est égale à n×0,17.
Nous voulons donc n×0,17 =50 ce qui équivaut à n=50
0,17 ≈294 bouteilles.
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Exercice 2 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère deux suites de nombres réels (dn)et (an)définies par d0=300,
a0=450 et, pour tout entier naturel nÊ0
dn+1=1
2dn+100
an+1=1
2dn+1 2an+70
1. Calculer d1et a1.
On calcule d1=1
2d0+100 =1 2×300+100 =250 et a1=1 2d0+1 2a0+70 =1 2×300 +1 2×450 +70 =445
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de dnet anpour une valeur
entière de nsaisie par l’utilisateur.
L’algorithme suivant est proposé :
Variables :net ksont des entiers naturels
Det Asont des réels
Initialisation :Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n
Traitement : Pour kvariant de 1 à n
Dprend la valeur D
2+100
Aprend la valeur A
2+D 2+70
Fin pour
Sortie : Afficher D
Afficher A
(a) Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour n=1?
Nous obtenons 250 pour Det 420 pour A.
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?
Ces nombres ne sont pas cohérents avec nos résultats pour d1et a1.
(b) Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.
Nous modifions l’algorithme ainsi, en échangeant les lignes pour que le calcul de Asoit fait avant
que celui de Dne modifie l’état de cette variable :
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Variables :net ksont des entiers naturels
Det Asont des réels
Initialisation :Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n
Traitement : Pour kvariant de 1 à n
Aprend la valeur A
2+D 2+70
Dprend la valeur D
2+100
Fin pour
Sortie : Afficher D
Afficher A
Il était aussi possible de stocker le calcul de D dans une variable E et de l’inclure dans le calcul de
A.
3. (a) Pour tout entier naturel n, on pose en=dn−200.
Montrer que la suite (en)est géométrique.
Pour tout entier naturel non a en=dn−200 qui donne en+200 =dn(A) et en+1=dn+1−200. Avec
la définition de dncette dernière relation donne :
en+1=1
2dn+100 −200
Avec (A) nous avons alors :
en+1=1
2(en+200) +100 −200 =1 2en+100 +100 −200 ce qui équivaut à en+1=1 2en.
La suite (en) est donc géométrique de raison 1
2et de premier terme e0=d0−200 =100.
(b) En déduire l’expression de dnen fonction de n.
Nous avons donc le terme général de (en) qui s’écrit pour tout entier naturel n:en=100 ×(1
2)n.
Avec (A) cela donne dn=100 ×(1
2)n+200 .
(c) La suite (dn)est-elle convergente ? Justifier.
Nous avons 1
2∈]−1;1[ donc par théorème enconverge vers 0. (A) implique donc par somme que
dnest convergente et que sa limite est 200.
4. On admet que pour tout entier naturel n,
an=100nµ1
2¶n
+110µ1
2¶n
+340.
(a) Montrer que pour tout entier nsupérieur ou égal à 3, on a 2n2Ê(n+1)2.
On étudie le signe de 2n2−(n+1)2=2n2−(n2+2n+1) =n2−2n−1.
On a ∆=(−2)2−4×1×(−1) =8.
Ceci donne x1=−(−2)−p8
2×1=2−p4×2 2=2−p4×p2 2=2−2p2 2=1−p2 et x1=−(−2)+p8 2×1=1+p2.
La trinôme est du signe de 1 >0 sauf entre 1 −p2≈ −0,4 et 1 +p2≈2,4 donc pour tout entier
naturel n≥3 nous avons : 2n2−(n+1)2Ê0 qui équivaut à 2n2Ê(n+1)2.
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier nsupérieur ou égal à 4,
2nÊn2.
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•Pour tout entier nsupérieur ou égal à 4, on pose P(n) :
2nÊn2.
•Initialisation
Nous calculons 24=16 et 42=16, on a donc bien 24Ê42:P(4) est vérifiée.
•Hérédité
Nous supposons que pour un entier naturel k≥4 la propriété P(k) est vérifiée, c’est à dire :
2kÊk2(B)
(B)⇔2k×2Êk2×2 (car 2 >0)
(B)⇔2k+1Ê2k2
D’après la question précédente, kétant un entier supérieur à 3 nous avons 2k2Ê(k+1)2ce
qui implique ici :
2k+1Ê(k+1)2.
P(k+1) est donc vérifiée.
Nous avons donc démontré que pour tout entier naturel k≥4P(k)⇒P(k+1).
•Nous pouvons donc conclure par récurrence que pour tout entier naturel n≥4 la propriété
P(n) est vérifiée.
pour tout entier nsupérieur ou égal à 4, nous avons donc bien :
2nÊn2.
(c) En déduire que pour tout entier nsupérieur ou égal à 4,
0É100nµ1
2¶n
É100
n.
Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 4, nous avons n2>0, ce qui donne avec la question
précédente :
2nÊn2>0
La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0;+∞[ nous en déduisons :
1
2nÉ1
n2(C)
(C) ⇔100n×1
2nÉ100n×1
n2(car nest supérieur à 4 donc 100n>0)
(C) ⇔100n×1n
2nÉ100n:n
n2:n
(C) ⇔100nµ1
2¶n
É100
n
Nous avons donc bien démontré l’inégalité demandée.
(d) Etudier la convergence de la suite (an).
Nous avons admis :
an=100nµ1
2¶n
+110µ1
2¶n
+340.
Pour étudier la limite de (an) nous pouvons prendre nentier naturel supérieur ou égal à 4.
Nous avons alors d’après la question précédente 100nµ1
2¶n
É100
n.
100nµ1
2¶n
étant un produit de nombres tous positifs on a alors 0 É100nµ1
2¶n
É100
n. Et lim
n→+∞0=
lim
n→+∞
100
n=0 donc par encadrement nous avons lim
n→+∞100nµ1
2¶n
=0.
Nous avons ensuite 110 µ1
2¶n
qui est le terme général d’une suite géométrique de raison comprise
dans ] −1;1[ donc lim
n→+∞110µ1
2¶n
=0.
Enfin lim
n→+∞340 =340 donc par somme lim n→+∞an=340
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