Chapitre I : Charges et courants
Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme" 1
Equations locales de l’éléctromagnétisme
Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
Objectif : Rappels du cours de première année.
1. Rappels
1.1. Les diérentes distributions
1.1.1. Charges et courants
On appelle charges libres des charges susceptibles d’eectuer des mouvements macroscopiques comme les électrons émis
par un canon à électrons ou les porteurs de charge mobiles d’un conducteur.
On appelle charges liées des charges ne pouvant eectuer qu’un mouvement d’amplitude limitée au sein de la matière à
laquelle elles appartiennent comme les électrons des isolants.
Le déplacement des charges libres ou liées engendre des courants des courants libres ou des courants liés.
Remarque :le déplacement des charges liées ne doit pas être négligé car il est à l’origine du mécanisme de polarisation des
diélectriques (= isolants) plongés dans un champ extérieur, de sorte que ces charges liées font partie des sources du champ
électrique.
1.1.2.Distributions de charges
A l’échelle microscopique les charges électriques peuvent être représentées par une distribution discrète:(qi)1in.
Dans de nombreux cas on préfère utiliser une modélisation volumique ;ondé+nit alors la densité volumique de charges
(en C.m3). Cette densité est une grandeur moyenne locale dé+nie à une échelle mésoscopique : la charge élémentaire
qcontenue dans un volume élémentaire dcentré en Mest
q=(M)d
Il existe deux cas particuliers :
•la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’une nappe :ondé+nit alors la densité surfacique de
charge (M,t)(en C.m2) : la charge élémentaire qportée par une surface élémentaire dS centrée en Mest
q=(M)dS
la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’un !l:ondé+nit alors la densité linéique de charge
(M,t)(en C.m1): la charge élémentaire qportée par une longueur élémentaire dcentrée en Mest
q=(M)d
1.1.3. Distributions de courants
1.1.3.1. Cas unidimensionnel
On étudie le mouvement d’ensemble des charges mobiles dans un cylindre. On suppose qu’il n’y a qu’un type de
porteur: soit QSla charge qui traverse Spendant une durée dt :
x
S
v dt
m
Par dé+nition, l’intensité du courant électrique associé à ce mouvement est
IS=QS
dt
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Soient :
·nle nombre de porteurs par unité de volume ;
·qla charge d’un porteur ;
·vmla vitesse moyenne d’un porteur ;
·dn le nombre de porteur traversant la surface Sentre tet t+dt.
Les porteurs traversant la surface Sentre tet t+dt sont dans le cylindre de section Set de génératrice vmdt :
dn =nSvmdt et QS=qdn
QS=qnSvmdt
IS=qnSvm=jS avec j=qnvm=mvm
L’intensité ISdu courant électrique traversant la surface Sest égale au #ux du vecteur densité de courant
j=mvmoù mest la densité volumique de porteurs de charges mobiles:
IS=jS
Unités :
js’exprime en A.m2et ISen A.
1.1.3.2. Cas général
Soit une surface S; on cherche l’intensité ISdu courant électrique traversant la surface S:
Avec les mêmes notations que précédement, les porteurs traversant la surface dS entre tet t+dt sont dans le cylindre de
section dS et de génératrice vmdt:
S
dS
vm
d2n=nd
S.vmdt
2QS=qnd
S.vmdt
QS=S
2QS=S
qnd
S.vmdt
IS=QS
dt =S
qnd
S.vm
L’intensité ISdu courant électrique traversant la surface Sest égale au #ux du vecteur densité de courant
j=mvmoù m=nq est la densité volumique de porteurs de charges mobiles:
IS=S
j.d
S
Remarques :
1) S’il y a plusieurs types de porteurs de charges (cas des électrolytes par exemple) alors
j=
N
k=1
nk.qk.vk.
2) La densité volumique de charges ne s’identi+e pas nécessairement à celle des charges mobiles m. Un métal globalement
neutre (=0) peut être le siège de courants créés par les déplacements des électrons de conduction.
3) Si la distribution présente l’aspect d’une nappe on dé+nit alors la densité de courant surfacique
jS(en A.m1)
; l’intensité ICdu courant électrique traversant la courbe Ctracée sur la nappe surfacique et ”orientée” par le vecteur u
(normal à la courbe et tangent à la nappe) est :
IC=C
jS(M,t).ud
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent 3
S
C
M
jS
u
dl
4) Dans le cas de courants +liformes on utilisera seulement les intensités de ces courants.
1.2. Conservation de la charge électrique
1.2.1. Principe de conservation
L’expérience montre que la charge électrique est une grandeur conservative : la charge totale d’un système
fermé se conserve au cours du temps.
Ce principe de conservation de la charge est applicable dans toute expérience de physique.
1.2.2. Loi locale de conservation de la charge électrique
1.2.2.1. Cas unidimensionnel
x
S
xx+dx
Le volume V, compris entre les sections Sen xet en x+dx, contient à l’instant tla charge mobile q(t)avec
q(t)=(x, t)Sdx
Pendant la durée dt, le courant électrique est responsable de l’entrée de la charge j(x, t)Sdt et de la sortie de la charge
j(x+dx, t)Sdt, donc d’une variation de la charge
d(q)=j(x, t)Sdt j(x+dx, t)Sdt =[j(x, t)j(x+dx, t)] Sdt
La charge électrique se conserve, on a donc
d(q)
dt =[j(x, t)j(x+dx, t)] S=((x, t)Sdx)
t
j(x, t)
xdx =(x, t)
tdx
(j(x, t))
x+(x, t)
t=0
Dans le cas unidimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale
j(x,t)
x+(x,t)
t=0 équation locale de conservation de la charge
1.2.2.2. Cas général
Dans le cas à 3 dimensions on applique la conservation de la charge à un parallélépipède élémentaire placé en Met de
cotés dx, dy, dz.
On eectue un bilan dans chaque direction.
Le long de l’axe Ox on obtient:
d(q)x=jx(x, y, z, t)dydzdt jx(x+dx,y,z,t)dydzdt =jx(x,y,z,t)
xdxdydzdt
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La conservation de la charge s’écrit alors:
((x,y,z,t)d)
t=jx(x, y, z, t)
xdxdydz jy(x,y,z,t)
ydxdydz jz(x, y, z, t)
zdxdydz
=div
jd
Dans le cas tridimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale
div
j+
t=0 équation locale de conservation de la charge
Remarque:on obtient l’expression de cette loi dans un système de coordonnées donné en exprimant l’opérateur divergence
dans ce système de coordonnées.
1.2.3. Loi intégrale de conservation de la charge électrique
Soit un volume +ni Vde l’espace délimité par une surface (fermée) S+xe dans le référentiel d’étude.
A un instant tla charge contenue dans ce volume est
Q(t)=V
(M,t)d
sa variation par unité de temps est donc
dQ(t)
dt =d
dt V
(M,t)d=V
(M,t)
td
D’après le principe de conservation de la charge électrique cette variation de charge est dûe aux échanges de charges avec le
milieu extérieur à travers la surface S:
dQ(t)
dt =I=courant électrique entrant dans le volume V
=S
j.d
S
Pour un volume !ni Vde l’espace délimité par une surface fermée S!xe dans le référentiel d’étude, la
conservation de la charge électrique se traduit par l’équation intégrale
V
(M,t)
td=S
j.d
Séquation intégrale de conservation de la charge
Remarque :on retrouve l’équation locale de conservation de la charge à partir de l’équation intégrale :
V
(M,t)
td=S
j.d
S
=V
div
jdd’après le théorème de Green-Ostrogradsky
V(M,t)
t+div
jd=0vrai pour tout volume V
(M,t)
t+div
j=0
1.2.4. Cas des régimes permanents
Dans le cas des régimes permanents (ou stationnaire) l’équation locale de conservation de la charge donne
div
j=(M,t)
t=0
En régime permanent le vecteur densité de courant est à #ux conservatif. On a donc :
•le courant entrant dans un volume !xe donné est nul car le #ux du vecteur densité de courant électrique
à travers une surface fermée est nul.
•le courant électrique a même valeur à travers toutes les sections d’un tube de courant donné.
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1.2.5. Approximations des régimes quasipermanents (ARQP ou ARQS)
•En électrocinétique les +ls sont des tubes de courants et lorsque que nous parlons de l’intensité dans un +l (entre deux
noeuds voisins) nous supposons implicitement que cette intensité est unique et donc que
jest à 7ux conservatif.
•De même, la loi des noeuds est équivalente à annuler le 7ux du vecteur densité de courant électrique sur une surface
fermée entourant le noeud :
I0=I1+I2
S0
j.d
S=S1
j.d
S+S2
j.d
S
S
j.d
S=0
Les résultats précédents (intensité unique dans un +l et loi des noeuds) sont vrais en régime permanents mais ”semblent
faux” en régime variable.
Nous pouvons tout de même les utiliser si la dépendance des grandeurs vis-à vis du temps reste su9sament lente pour pouvoir
raisonner comme si le régime était permanent. Dans une telle situation
div
j=(M,t)
t0
En électrocinétique cette hypothèse revient à négliger le retard dû à la propagation par rapport à la période du signal :
L
cTsoit T3.1010 s. Aux fréquences usuelles l’hypothèse est pleinement justi+ée.
Dans l’approximation des régimes quasi permanents (ARQP) le vecteur densité de courant électrique
jest
à#ux conservatif.
Exercice n01 : Champ radial de divergence nulle
L’espace entre deux cylindres concentriques, de hauteur het de rayons aet b, est occupé par un conducteur. Un courant d’intensité
électrique I(t)circule entre les deux cylindres. Déterminer, en négligeant tout eet de bord et dans l’A.R.Q.P., la répartition de courant
entre les deux cylindres.
Exercice n02 : Sphère radioactive
Une petite sphère radioactive de rayon a, initialement neutre, émet de façon isotrope par sa surface ncharges qpar unité de temps,
avecunevitesseradialevde norme vconstante. Déterminer à un instant t, la répartition de charges et de courants correspondante.
1.3. Conduction électrique
1.3.1. Conductivité d’un milieu et loi d’Ohm locale
1.3.1.1. Conductivité d’un milieu
Un conducteur est un milieu qui contient des charges libres: les porteurs de charges.
Sous l’eet d’un champ électrique ces particules se déplacent. Ce mouvement d’ensemble est à l’origine d’un courant électrique.
La nature des porteurs dépend du milieu :
·dans les électrolytes : les porteurs de charges sont les anions et les cations ;
·dans les gaz : si le champ est su9samment intense il y a ionisation, les porteurs sont donc les électrons et les ions; un
tel gaz est appelé plasma.
·dans les solides : pour les métaux, les porteurs sont les électrons de conduction et pour les semi-conducteurs les trous
participent également à la conduction électrique.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
/
16
100%
