Chapitre I : Charges et courants

Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"
1
Equations locales de l’éléctromagnétisme
Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
Objectif : Rappels du cours de première année.
1. Rappels
1.1. Les di érentes distributions
1.1.1. Charges et courants
On appelle charges libres des charges susceptibles d’e ectuer des mouvements macroscopiques comme les électrons émis
par un canon à électrons ou les porteurs de charge mobiles d’un conducteur.
On appelle charges liées des charges ne pouvant e ectuer qu’un mouvement d’amplitude limitée au sein de la matière à
laquelle elles appartiennent comme les électrons des isolants.
Le déplacement des charges libres ou liées engendre des courants des courants libres ou des courants liés.
Remarque : le déplacement des charges liées ne doit pas être négligé car il est à l’origine du mécanisme de polarisation des
diélectriques (= isolants) plongés dans un champ extérieur, de sorte que ces charges liées font partie des sources du champ
électrique.
1.1.2.Distributions de charges
A l’échelle microscopique les charges électriques peuvent être représentées par une distribution discrète: (qi )1 i n .
Dans de nombreux cas on préfère utiliser une modélisation volumique ; on dé+nit alors la densité volumique de charges
(en C. m 3 ). Cette densité est une grandeur moyenne locale dé+nie à une échelle mésoscopique : la charge élémentaire
q contenue dans un volume élémentaire d centré en M est
q = (M)d
Il existe deux cas particuliers :
• la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’une nappe : on dé+nit alors la densité surfacique de
charge (M, t) (en C. m 2 ) : la charge élémentaire q portée par une surface élémentaire dS centrée en M est
q = (M )dS
la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’un !l: on dé+nit alors la densité linéique de charge
(M, t) (en C. m 1 ): la charge élémentaire q portée par une longueur élémentaire d centrée en M est
q = (M)d
1.1.3. Distributions de courants
1.1.3.1. Cas unidimensionnel
On étudie le mouvement d’ensemble des charges mobiles dans un cylindre. On suppose qu’il n’y a qu’un type de
porteur: soit QS la charge qui traverse S pendant une durée dt :
x
S
vmdt
Par dé+nition, l’intensité du courant électrique associé à ce mouvement est
IS =
QS
dt
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
2
Soient :
· n le nombre de porteurs par unité de volume ;
· q la charge d’un porteur ;
· vm la vitesse moyenne d’un porteur ;
· dn le nombre de porteur traversant la surface S entre t et t + dt.
Les porteurs traversant la surface S entre t et t + dt sont dans le cylindre de section S et de génératrice vm dt :
dn
=
nSvm dt et QS = qdn
QS = qnSvm dt
IS = qnSvm = jS avec j = qnvm =
m vm
L’intensité IS du courant électrique traversant la surface S est égale au #ux du vecteur densité de courant
j = m vm où m est la densité volumique de porteurs de charges mobiles:
IS = jS
Unités : j s’exprime en A. m
2
et IS en A.
1.1.3.2. Cas général
Soit une surface S ; on cherche l’intensité IS du courant électrique traversant la surface S :
Avec les mêmes notations que précédement, les porteurs traversant la surface dS entre t et t + dt sont dans le cylindre de
section dS et de génératrice vm dt:
dS
vm
S
d2 n
=
ndS.vm dt
2
QS = qndS.vm dt
2
QS =
QS =
S
IS
=
QS
=
dt
qndS.vm dt
S
qndS.vm
S
L’intensité IS du courant électrique traversant la surface S est égale au #ux du vecteur densité de courant
j = m vm où m = nq est la densité volumique de porteurs de charges mobiles:
IS =
j.dS
S
Remarques :
N
nk .qk .vk .
1) S’il y a plusieurs types de porteurs de charges (cas des électrolytes par exemple) alors j =
k=1
2) La densité volumique de charges ne s’identi+e pas nécessairement à celle des charges mobiles m . Un métal globalement
neutre ( = 0) peut être le siège de courants créés par les déplacements des électrons de conduction.
3) Si la distribution présente l’aspect d’une nappe on dé+nit alors la densité de courant surfacique jS (en A. m 1 )
; l’intensité IC du courant électrique traversant la courbe C tracée sur la nappe surfacique et ”orientée” par le vecteur u
(normal à la courbe et tangent à la nappe) est :
IC =
jS (M, t).ud
C
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
u
M dl
S
3
jS
C
4) Dans le cas de courants +liformes on utilisera seulement les intensités de ces courants.
1.2. Conservation de la charge électrique
1.2.1. Principe de conservation
L’expérience montre que la charge électrique est une grandeur conservative : la charge totale d’un système
fermé se conserve au cours du temps.
Ce principe de conservation de la charge est applicable dans toute expérience de physique.
1.2.2. Loi locale de conservation de la charge électrique
1.2.2.1. Cas unidimensionnel
x+dx
x
x
S
Le volume V , compris entre les sections S en x et en x + dx, contient à l’instant t la charge mobile q(t) avec
q(t) = (x, t)Sdx
Pendant la durée dt, le courant électrique est responsable de l’entrée de la charge j(x, t)Sdt et de la sortie de la charge
j(x + dx, t)Sdt, donc d’une variation de la charge
d( q) = j(x, t)Sdt
j(x + dx, t)Sdt = [j(x, t)
j(x + dx, t)] Sdt
La charge électrique se conserve, on a donc
d( q)
dt
=
[j(x, t)
j(x + dx, t)] S =
( (x, t)Sdx)
t
j(x, t)
(x, t)
dx =
dx
x
t
(j(x, t))
(x, t)
+
=0
x
t
Dans le cas unidimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale
j(x,t)
x
+
(x,t)
t
= 0 équation locale de conservation de la charge
1.2.2.2. Cas général
Dans le cas à 3 dimensions on applique la conservation de la charge à un parallélépipède élémentaire placé en M et de
cotés dx, dy, dz.
On e ectue un bilan dans chaque direction.
Le long de l’axe Ox on obtient:
d( q)x = jx (x, y, z, t)dydzdt
jx (x + dx, y, z, t)dydzdt =
jx (x, y, z, t)
dxdydzdt
x
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
4
La conservation de la charge s’écrit alors:
( (x, y, z, t)d )
t
jx (x, y, z, t)
dxdydz
x
=
=
jy (x, y, z, t)
dxdydz
y
jz (x, y, z, t)
dxdydz
z
div j d
Dans le cas tridimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale
div j +
t
= 0 équation locale de conservation de la charge
Remarque: on obtient l’expression de cette loi dans un système de coordonnées donné en exprimant l’opérateur divergence
dans ce système de coordonnées.
1.2.3. Loi intégrale de conservation de la charge électrique
Soit un volume +ni V de l’espace délimité par une surface (fermée) S +xe dans le référentiel d’étude.
A un instant t la charge contenue dans ce volume est
Q(t) =
(M, t)d
V
sa variation par unité de temps est donc
dQ(t)
d
=
dt
dt
(M, t)d
=
V
V
(M, t)
d
t
D’après le principe de conservation de la charge électrique cette variation de charge est dûe aux échanges de charges avec le
milieu extérieur à travers la surface S :
dQ(t)
dt
= I = courant électrique entrant dans le volume V
j.dS
=
S
Pour un volume !ni V de l’espace délimité par une surface fermée S !xe dans le référentiel d’étude, la
conservation de la charge électrique se traduit par l’équation intégrale
V
(M,t)
d
t
=
S
j.dS équation intégrale de conservation de la charge
Remarque : on retrouve l’équation locale de conservation de la charge à partir de l’équation intégrale :
V
(M, t)
d
t
=
j.dS
S
div j d
=
d’après le théorème de Green-Ostrogradsky
V
V
(M, t)
+ div j d = 0 vrai pour tout volume V
t
(M, t)
+ div j = 0
t
1.2.4. Cas des régimes permanents
Dans le cas des régimes permanents (ou stationnaire) l’équation locale de conservation de la charge donne
div j =
(M, t)
=0
t
En régime permanent le vecteur densité de courant est à #ux conservatif. On a donc :
• le courant entrant dans un volume !xe donné est nul car le #ux du vecteur densité de courant électrique
à travers une surface fermée est nul.
• le courant électrique a même valeur à travers toutes les sections d’un tube de courant donné.
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
5
1.2.5. Approximations des régimes quasipermanents (ARQP ou ARQS)
• En électrocinétique les +ls sont des tubes de courants et lorsque que nous parlons de l’intensité dans un +l (entre deux
noeuds voisins) nous supposons implicitement que cette intensité est unique et donc que j est à 7ux conservatif.
• De même, la loi des noeuds est équivalente à annuler le 7ux du vecteur densité de courant électrique sur une surface
fermée entourant le noeud :
I0
=
I1 + I2
j.dS =
S0
j.dS +
S1
j.dS
S2
j.dS = 0
S
Les résultats précédents (intensité unique dans un +l et loi des noeuds) sont vrais en régime permanents mais ”semblent
faux” en régime variable.
Nous pouvons tout de même les utiliser si la dépendance des grandeurs vis-à vis du temps reste su9sament lente pour pouvoir
raisonner comme si le régime était permanent. Dans une telle situation
div j =
(M, t)
t
0
En électrocinétique cette hypothèse revient à négliger le retard dû à la propagation par rapport à la période du signal :
L
T soit T
3.10 10 s. Aux fréquences usuelles l’hypothèse est pleinement justi+ée.
c
Dans l’approximation des régimes quasi permanents (ARQP) le vecteur densité de courant électrique j est
à #ux conservatif.
Exercice n 01 : Champ radial de divergence nulle
L’espace entre deux cylindres concentriques, de hauteur h et de rayons a et b, est occupé par un conducteur. Un courant d’intensité
électrique I(t) circule entre les deux cylindres. Déterminer, en négligeant tout e et de bord et dans l’A.R.Q.P., la répartition de courant
entre les deux cylindres.
Exercice n 02 : Sphère radioactive
Une petite sphère radioactive de rayon a, initialement neutre, émet de façon isotrope par sa surface n charges q par unité de temps,
avec une vitesse radiale v de norme v constante. Déterminer à un instant t, la répartition de charges et de courants correspondante.
1.3. Conduction électrique
1.3.1. Conductivité d’un milieu et loi d’Ohm locale
1.3.1.1. Conductivité d’un milieu
Un conducteur est un milieu qui contient des charges libres: les porteurs de charges.
Sous l’e et d’un champ électrique ces particules se déplacent. Ce mouvement d’ensemble est à l’origine d’un courant électrique.
La nature des porteurs dépend du milieu :
· dans les électrolytes : les porteurs de charges sont les anions et les cations ;
· dans les gaz : si le champ est su9samment intense il y a ionisation, les porteurs sont donc les électrons et les ions; un
tel gaz est appelé plasma.
· dans les solides : pour les métaux, les porteurs sont les électrons de conduction et pour les semi-conducteurs les trous
participent également à la conduction électrique.
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
6
Dans de nombreux cas, si le champ appliqué est su9sament faible alors le vecteur densité de courant j et le vecteur champ
électrique sont liés par une relation empirique :
j = ! E Loi d’Ohm locale
1
Le coe9cient ! est la conductivité du milieu et s’exprime en S. m
:
Conductivité ( S. m
10 8
6.10 6
10 2
106
3, 7.107
4, 6.107
5, 9.107
6, 2.107
milieu
para9ne
terreau
électrolytes
Hg
Al
Au
Cu
Ag
1
)
1.3.1.2. Modèle microscopique de la conduction
On considère un milieu conducteur dont les porteurs de charges libres ont :
· une charge q
· une densité particulaire n
· une masse m.
On applique à ce conducteur un champ électrique E qui entraîne un mouvement d’ensemble des porteurs se superposant
à l’agitation thermique.Soit vm la vitesse moyenne associée à ce mouvement d’ensemble des porteurs de charges mobiles. On
note m = nq la densité volumique de charges.
On se place dans un référentiel lié au milieu conducteur et on étudie le mouvement d’un porteur de charge :
Cette particule est soumise :
· à une force électrique: on admet que l’action du champ électrique macroscopique est Fe = q E,
· à une force résultant de l’interaction entre les charges de conduction et les charges )xes du matériau : F =
v.
La deuxième loi de Newton appliquée à un porteur donne :
m
dv
dt
=
Fe + F
=
qE
v
dv
q
+ v= E
dt
m
m
q
t
+ E avec
v(t) = v0 e
est appelé temps de relaxation ; On admet que
est de l’ordre de 10
v(t) = vm = q E = µE avec µ =
q
14
=
m
s et donc que très rapidement
= mobilité des porteurs
d’après 1.1.3.
j=
m vm
q
j=
m
E=
nq 2
E
soit j = ! E loi d’Ohm locale
2
2
avec ! = nq = nqm
L’expérience montre que la loi d’Ohm locale est valable dans de nombreux cas.
1.3.2. Loi d’Ohm intégrale
Soit un conducteur obéissant à la loi d’Ohm locale (conductivité !). On considère une portion de tube de courant comprise
entre les sections S1 et S2 .
Dans le cadre de l’ARQP l’intensité électrique est
j.dS
I=
S
Le champ électrique E dérive d’un potentiel scalaire V
E=
grad V
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
7
Le vecteur j est parallèle au champ E, et les deux sections S1 et S2 perpendiculaires aux lignes de courants constituent des
surfaces équipotentielles. On a donc
2
U = V1
V2 =
E.d
sur un chemin quelconque
1
On dé+nit alors le rapport R
R=
U
=
I
2
1 E.d
S
j.dS
2
1 E.d
=
S
! E.dS
=
2
1 E.d
1
!
S
E.dS
R est appelée résistance du conducteur ohmique et s’exprime en Ohm. R ne dépend que de la géométrie du conducteur
et de la conductivité !.
Dans le cas d’une densité de courant uniforme et d’un conducteur cylindrique de section S et de longueur
on a
R = S = R S avec R = 1 =résistivité du milieu (en . m)
1.3.3. E et Joule
Un porteur de charge, animé d’une vitesse v, reçoit de la force éxercée par le champ électrique une puissance p avec
t
p = F .v = q E.v = q E. v0 e
pour t
+
q
E
on a donc
q
q2
p = q E. E = E 2
d’où une puissance reçue par le conducteur par unité de volume
Pvol = np = n
q2
E2 = n
q2 2
E
m
La puissance dissipé par e et Joule par unité de volume est
Pvol = !E 2 = j.E
Le champ électrique cède donc de l’énergie aux porteurs. Comme l’énergie cinétique moyenne des porteurs reste constante
(elle est fonction de la température), il faut admettre que, au cours des chocs qu’ils subissent, les porteurs cèdent au réseau
l’énergie qu’ils ont reçue du champ. Ce transfert d’énergie constitue l’e et Joule.
Pour un conducteur ohmique cylindrique de section S, de longueur et de résistance R on a
P = Pvol . (V ol) = !E 2 .S = !
2
U
.S =
U2
R
Pour un conducteur de forme quelconque on le décompose en tube de courant élémentaire pour lesquels l’approximation
cylindrique est justi+ée; par sommation on obtient
U 2 dG = U 2
dP =
P=
S
S
dG = GU 2
S
La puissance dissipé par e et Joule dans un conducteur ohmique de résistance R est
P =
U2
R
Exercice n 03 : Conductivité dans un cylindre de cuivre
Le cuivre (Cu) a une masse volumique µ = 8, 94.103 kg. m 3 , une masse molaire M (Cu) = 63, 5 g. mol 1 et une résistivité
= 1, 6.10 8 . m.
On considère un cylindre de cuivre de section S = 1 m2 , de longueur = 1 m. On impose entre les deux extrémités de ce cylindre
une di érence de potentiel U = 0, 1 V.
1) Calculer le nombre d’atomes de cuivre du cylindre.
2) Calculer la résistance de ce cylindre. En déduire l’intensité du courant I et la densité de courant j .
3) En admettant que chaque atome de cuivre libère environ un électron mobile, calculer la vitesse d’ensemble des porteurs de
charges.
4) Calculer la mobilité des électrons libres. En déduire le temps de relaxation du milieu. Conclusion.
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
Rappel: la masse d’un électron est m = 9, 1.10
31
8
kg.
Exercice n 04 : Conductivité dans un ruban d’argent
1
Un ruban d’argent de conductivité ! = 6, 7.107
. m 1 , de section rectangulaire s = 2, 5 mm2 , est parcouru par un courant
d’intensité I = 10 A perpendiculairement à sa section.
Données: M(Ag) = 108 g. mol 1 et µ(Ag) = 10500 kg. m 3 .
1) Calculer la densité volumique de charges mobiles m en supposant que chaque atome d’argent produit en moyenne 1 électron
libre.
2) Calculer également la densité de courant et le champ à l’intérieur du ruban.
3) Calculer la vitesse moyenne des électrons libres et leur mobilité.
4) Quelle est la puissance dissipée par unité de volume dans ce conducteur ?
Exercice n 05 : Résistance d’un demi anneau
Soit un demi-anneau en cuivre, de section carrée d’épaisseur e, de rayon intérieur r1 , et de rayon extérieur r2 = r1 +e. La résistivité
du cuivre à 0 C vaut 0 = 1, 60.10 8 . m.
On suppose que lorsque une di érence de potentiel est appliquée entre les sections conductrices de chaque extrémité, les lignes de
courants sont circulaires: la seule coordonnée qui intervient est donc la distance x à l’axe du demi-anneau.
1) Déterminer l’expression de la conductance élémentaire dG du tube de courant élémentaire compris entre les demi-cylindres de
distances à l’axe x et x + dx.
2) Avec les hypothèses précédentes, déterminer l’expression de la résistances R0 de cet anneau à 0 C. Application numérique:
e = 1 cm et r1 = 2 cm.
3) Déterminer l’erreur relative commise dans le calcul de R0 dans la mesure où l’anneau est assimilé à un conducteur cylindrique
de même section droite, dont la longueur serait la longueur moyenne du demi-anneau.
2. Le champ électrique permanent
2.1. Rappels
2.1.1. Fondements de l’électrostatique
L’électrostatique est la branche de la physique qui étudie les interactions entre des charges )xes.
En première année, les fondements de l’électrostatique sont:
• la loi de Coulomb régissant l’interaction de deux charges ponctuelles +xes dans le vide
f1
2
1 q1 q2
4"#0 r2 u12
=
• le principe de superposition: additivité des e ets des charges prises séparément.
2.1.2. Champ électrostatique
• On remplace l’action à distance (loi de Coulomb) par une action locale: existence d’un champ électrostatique E avec :
f1
2
= q2 E(r2 ) avec E(r2 ) =
1 q1
u12
4340 r2
• Le principe de superposition donne dans le cas d’une distribution discrète de charges :
E(M) =
• On obtient de même :
i
Ei (M) =
i
1 qi
4"#0 ri2 ui
(P )d
1
uP M
2
4"#0
V rP
M
'(P )dS
1
E(M ) = 4"#0 S r2
uP M
PM
(P
)d
1
uP M
E(M ) = 4"#
2
C rP
0
M
E(M) =
avec ui =
Ai M
Ai M
distribution volumique
distribution surfacique
distribution linéique
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
9
2.1.3. Symétries du champ électrostatique
E est un vecteur polaire, on a donc les propriétés suivantes :
distribution de charges
invariance par une translation
invariance par une rotation
invariance par une symétrie plane
champ électrostatique
même invariance
même invariance
changé en son symétrique
En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de charges E est porté par ce plan.
En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de charges E est normal à ce plan.
2.1.4. Propriétés de E
• Le champ électrostatique E dérive d’un potentiel scalaire V
E=
grad V avec V (M ) =
1
4"#0
V
(P )d
rP M
+ cste
C
E.d = 0 E est à circulation conservative
• Le champ électrostatique E est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles (V = cste). Le potentiel n’admet pas
d’extrémum en dehors des charges.
• Le champ électrostatique E véri+e le théorème de Gauss :
S
E.dS =
1
#0 Qint
avec Qint =
(P )d
V
théorème de Gauss
• A la traversée d’une nappe de charge surfacique , il y a discontinuité de la composante normale du champ électrique :
E2
E1 =
'
#0 n1
2
2.2. Equations locales
2.2.1. Equations locales à partir des équations intégrales
• E dérive d’un potentiel scalaire V :
E=
grad V
rot E =
rot grad V = 0
on a donc
rot E = 0 1 ère équation locale du champ E
• le théorème de Gauss s’écrit
E.dS
S
=
1
40
(P )d
V
V
div E
V
égalité véri+ée pour tout volume V
1
(P )d
40
V
1
(P ) d = 0
40
div E d =
Th de Green-Ostrogradsky
div E =
1
40
on a donc
div E =
#0
2 ème équation locale du champ E
• Le potentiel V véri+e lui aussi une équation locale
E=
grad V
div grad V =
40
Le potentiel scalaire V véri+e l’équation:
V +
#0
= 0 équation de Poisson
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
10
2.2.2. Résolution des équations locales
Pour utiliser uniquement la formulation locale de l’électrostatique il faut retrouver les expressions du champ électrostatique
E et du potentiel V à partir des équations locales
rot E = 0 et div E =
40
On doit donc résoudre l’équation de Poisson V + #0 = 0 et en déduire l’expression de E. On considère le cas d’une
distribution +nie de charges (les charges se trouvent dans un volume D).
On admet (cf. cours de math) que la seule solution de l’équation de Poisson tendant vers zéro en 1/r lorsque la distance à
la distribution tend vers l’in+ni est
(P )d
1
V (M) =
4340
D rP M
Comme
grad
On a alors
E(M ) =
1
r
=
ur
r2
1
gradM
4340
Les deux équations locales rot E = 0 et div E =
de Coulomb + principe de superposition}.
D
#0
gradM
1
rP M
(P )d
rP M
=
=
1
4340
uP M
rP2 M
V
(P )d
uP M
rP2 M
et la loi d’action f = q E sont équivalentes à l’ensemble {loi
Exercice n 06 : Champ crée par une répartition discrète de charges
Calculer le champ électrostatique E sur une droite (x x) portant deux charges
donnant E en fonction de x.
q et +q situées en
a et +a. Tracer la courbe
Exercice n 07 : Champ crée par un plan in+ni
Déterminer le champ électrostatique crée par un plan in+ni portant la charge surfacique
uniforme sur toute sa surface.
Exercice n 08 : Champ crée par un disque
Déterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par un disque de rayon R, uniformément chargé en surface (avec une
charge totale Q), en tout point de son axe.
Exercice n 09 : Champ crée par une sphère
Déterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par une sphère de centre O et de rayon R, de charge volumique uniforme
.
Exercice n 10 : Champ crée par une droite chargée
Déterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par une droite uniformément chargée coïncidant avec l’axe Oz et portant
la charge = dq/dz , constante, par unité de longueur.
Exercice n 11 : Conducteurs cylindriques in+nis
Soient deux conducteurs cylindriques de rayon r, de longueur , d’axes parallèles distants de a. On suppose très grand devant a,
lui même très grand devant r. Les +ls portent des charges avec une densité linéique
pour O1 z1 , + pour l’autre.
1. Calculer le potentiel en un point M .
2. Déterminer les surfaces équipotentielles et les lignes de champ.
Exercice n 12 : Champ crée par une sphère creuse
Soit une sphère creuse de rayon R, de centre O, portant une charge répartie uniformément (densité super+cielle ).
1. Calculer directement le potentiel crée par cette sphère en un point M à la distance r du point O (r > R) et en déduire le champ
électrostatique en M . Conclusion.
2. Retrouver ces résultats par application du théorème de Gauss.
Exercice n 13 : Modèle d’un atome
1. On représente, d’une manière approchée, un atome par :
- un noyau central O de rayon a, contenant Z protons de charge e,
- et un cortège électronique dont la densité volumique de charge en M (OM = r > a) est (r) = A.r n (n et A constants).
Sachant que l’atome est électriquement neutre :
1.1. Montrer que n > 3.
1.2. Déterminer la constantes A.
2. Déterminer le champ électrostatique E et le potentiel V en M .
3/2
3. La théorie montre qu’en chaque point M , (r) et V (r) sont liés par la relation (r) = K [V (r)]
avec K = cste. En déduire
n et la loi V (r).
4. Application numérique : Z = 100 et a = 10 5 nm. Calculer V à la distance r = 50a.
Exercice n 14 : Champ électrique atmosphérique
Le champ électrique dans l’atmosphère, au voisinage de la Terre, est dirigé vers le centre de la Terre et vaut E1 = 93 V. m
l’altitude h1 = 100 m et E2 = 30V. m 1 à l’altitude h2 = 1 km.
1. Déterminer la densité volumique moyenne des charges de l’atmosphère aux altitudes considérées, par deux méthodes :
1
à
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
11
1.1. En utilisant l’équation de Poisson,
1.2. En utilisant le théorème de Gauss.
2. Etudier les variations du potentiel électrique en fonction de l’altitude h, entre les deux altitudes considérées. On admet que le
potentiel est V1 à l’altitude h1 .
3. Calculer la d.d.p. entre les altitudes h1 et h2 en fonction de E1 , E2 , h1 et h2 .
Exercice n 15 : Potentiel de Yukawa
q 1
A une distance r d’un point O, le potentiel d’une distribution de charges a pour expression : V (r) = 4"#
e r/a avec a =
0 r
constante et q > 0.
1. Déterminer le champ E (r) à la distance r de O et le 7ux ; de ce champ à travers une sphère S de centre O et de rayon r. Que
deviennent ces expressions quand r tend vers 0 ? Interprétation.
2. Déterminer la charge volumique (r) à la distance r. Déterminer la somme q des charges contenues dans la sphère S . Que
devient q quand r tend vers l’in+ni ?
3. Le champ magnétique permanent
3.1. Rappels
3.1.1. Dé!nition
Soit une particule de masse m, de charge q, animée d’une vitesse v et évoluant dans une région de l’espace où elle est soumise
à une force dite de Lorentz donnée par :
F = qv
B
Nous dirons alors que la particule évolue dans une région où règne un champ magnétique B.
Unités : [B] = tesla (symbole T).
Remarque : La dé+nition de B fait intervenir un produit vectoriel ; L’orientation du champ magnétique dépend donc de
la convention choisie pour la base des coordonnées d’espace. Un tel vecteur est appelé pseudo vecteur ou vecteur axial par
opposition aux vrais vecteurs ou vecteurs polaires comme le champ électrique.
3.1.2. Symétries du champ magnétostatique
B est un pseudo vecteur, on a donc les propriétés suivantes:
distribution de courants
invariance par une translation
invariance par une rotation
invariance par une symétrie plane
champ magnétostatique
même invariance
même invariance
changé en opposé de son symétrique
En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de courants B est normal à ce plan.
En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de courants B est porté par ce plan.
3.1.3. Allures des lignes de champ
Pour obtenir expérimentalement la carte d’un champ magnétique dans un plan donné, il su9t de placer une plaque plane
dans ce plan(constitué en général d’un matériau transparent pour permettre une projection) et de la saupoudrer de limaille
de fer : on obtient le spectre magnétique.
En présence du champ magnétique les morceaux de limaille de fer s’aimantent et s’orientent dans la direction de B. Chaque
grain se comporte comme un dipôle magnétique.
On observe alors les propriétés suivantes:
· Les lignes du champ magnétique ne divergent pas à partir de leur source mais tourbillonnent autour de celle-ci (di érents
des résultats obtenus pour le champ électrostatique).
· Un tire-bouchon tournant dans le sens des lignes de champ entourant un élément de +l parcouru par un courant, progresse
dans le sens de ce courant.
· Un tire-bouchon tournant dans le sens du courant progresse dans le sens des lignes de champ à l’intérieur du circuit.
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
12
Remarque: on rappelle que le champ électrique n’a pas le même comportement vis à vis de ses sources: les lignes de
champ convergent ou divergent vers les charges électriques ou vers l’in+ni:
3.1.4. Loi de Biot et Savart (1820)
Soit en un point P un élément de !l d parcouru par un courant d’intensité I constante, mesurée positivement dans le sens du vecteur d . Le champ magnétostatique élémentaire dB(M ) créé dans le vide en un
point M par l’élément de courant dC = Id a pour expression :
dB(M) =
µ0 Id
eP M
43
rP2 M
avec rP M = r = P M, eP M étant le vecteur unitaire pointant du point P vers le point M.
µ0 est la perméabilité du vide et sa valeur dépend des unités choisies. Dans le système d’unités internationales
: µ0 = 43.10 7 H. m 1 .
On obtient le champ B par sommation sur toute la distribution (circuit !liforme C parcouru par un courant
I):
B(M ) =
µ0
4"
C
Id- eP M
2
rP
M
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
13
Remarque: suivant la nature de la distribution de courants on pourra utiliser dC = Id ou jS dS ou jd soit
B(M ) =
µ0
43
S
jS dS eP M
µ
ou B(M ) = 0
2
rP M
43
jd
D
eP M
2
rP M
3.1.5. Propriétés de B
• Le champ magnétostatique B véri!e le théorème d’Ampère :
la circulation du champ B sur un contour fermé orienté C quelconque est lié au courant I enlacé par C par la relation
C
B.d = µ0 Ienlacé = µ0
S
j.dS théorème d’Ampère
• Le champ magnétostatique B est à #ux conservatif :
Soit une surface fermé S quelconque, on a :
B.dS = 0
S
• A la traversée d’une nappe de courant de vecteur densité de courant surfacique jS il y a discontinuité
de la composante tangentielle du champ magnétique :
B1 = µ0 jS
B2
n1
2
3.2. Equations locales
3.2.1. Equations locales à partir des équations intégrales
• Le champ magnétostatique B véri+e le théorème d’Ampère : soit S une surface s’appuyant sur un contour fermé orienté
C, on a :
B.d
=
j.dS théorème d’Ampère
µ0
C
S
j.dS
rot B .dS = µ0
S
S
µ0 j .dS = 0
rot B
S
vrai S
rot B = µ0 j
on a donc
rot B = µ0 j 1ère équation locale du champ B
• Soit D un domaine (volume) +ni délimité par une surface fermé S. Le champ magnétostatique B est à 7ux conservatif,
on a donc :
B.dS
=
0
S
div B d = 0
th. de Green-Ostrograsky
D
vrai D
div B = 0
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
14
on a donc
div B = 0 2ème équation locale du champ B
3.2.2. Potentiel vecteur A
3.2.2.1. Existence d’un potentiel vecteur A
Le champ magnétique B est à divergence nulle, il dérive donc d’un potentiel vecteur A
B = rot A
Unités: A s’exprime en tesla.mètre ou en weber par mètre (le weber, symbole Wb, est l’unité de 7ux magnétique 1 Wb =
1 T. m2 ).
3.2.2.2. Choix d’un potentiel vecteur A
• En électrostatique, la relation E = grad V dé+nit le potentiel scalire V à une constante additive près :
si V est un potentiel scalaire pour le champ électrique E (V véri+e la relation E = grad V ) alors V = V + cste
convient également.
• De même la relation B = rot A dé+nit le vecteur A à un vecteur gradient près :
si A est un potentiel vecteur pour le champ magnétique B (A véri+e la relation B = rot A) alors pour toute fonction
scalaire f , le champ vectoriel A = A + grad f est également un potentiel vecteur pour B. En e et
rot A
on a bien rot A
= rot A + grad f
= rot A + rot grad f
= B+0
= B
• Choix du potentiel :
— En électrostatique, on utilise cette indétermination du potentiel scalaire pour imposer une condition suplémentaire
: lim V (r) = 0 (si possible).
r
+
— En magnétostatique, on admet que l’on peut imposer la condition de jauge de Coulomb
div A = 0
le choix d’une jauge modi+e le potentiel vecteur A mais pas le champ B.
3.2.2.3. Propriétés du potentiel vecteur A
• Circulation du potentiel vecteur A
soit S une surface s’appuyant sur un contour fermé orienté C, on a :
A.d
=
C
rot A.dS théorème de Stokes-Ampère
S
=
B.dS
S
La circulation du potentiel vecteur A sur un contour fermé orienté C est égale au #ux du champ magnétique B, à travers toute surface S s’appuyant sur ce contour
C
A.d =
S
B.dS = ;
Remarque: l’orientation de la surface S est liée à celle du contour.
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
15
• Equation de Poisson
on a les relations
rot B
=
µ0 j et B = rot A
rot rot A = µ0 j
A = µ0 j
grad div A
A + µ0 j = 0 car div A = 0 (jauge de Coulomb)
En régime permanent, le potentiel vecteur A véri!e l’équation locale :
A + µ0 j = grad div A
Dans la jauge de Coulomb, le potentiel vecteur est lié aux sources du champ magnétique par l’équation
de Poisson :
A + µ0 j = 0
On admet que dans de telles conditions le potentiel vecteur A se comporte comme un vecteur polaire :
potentiel vecteur A
même invariance
même invariance
changé en son symétrique
distribution de courant
invariance par une translation
invariance par une rotation
invariance par une symétrie plane
En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de courant A est porté par ce plan.
En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de courant A est normal à ce plan.
3.2.3. Résolution des équations locales
Comme dans le cas de l’électrostatique, on peut postuler les équations locales et chercher à les résoudre.
On recherche le potentiel vecteur A dans la jauge de Coulomb; A véri+e l’équation de Poisson
A + µ0 j
=
0
Ax + µ0 jx = 0
Ay + µ0 jy = 0
Az + µ0 jz = 0
on retrouve trois équations de Poisson scalaire semblables à celle véri+ée par le potentiel scalaire V :
l’analogie :
40
électrostatique
magnétostatique
1
µ0
ji
V +
#0
= 0 avec
V
Ai
Pour une distribution de courants d’extension +nie, on obtient
Ai (M) =
µ0
43
D
ji (P )d
rP M
En regoupant les trois composantes on obtient l’expression de A :
Le potentiel vecteur A(M) créé en M par une distribution de courant de vecteur densité de courant volumique
j est
j(P )d
µ
A(M ) = 0
43
D rP M
Remarque: suivant la nature de la distribution de courants on pourra aussi utiliser dC = Id ou jS dS ou jd soit
A(M) =
µ0
43
S
µ
jS dS
ou A(M ) = 0
rP M
43
D
Id
rP M
Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent
16
On obtient B grâce à la relation B = rot A :
B(M) = rotM A(M )
= rotM
=
=
=
µ0
43
µ0
43
µ0
43
µ0
43
D
j(P )d
rP M
j(P )
rP M
rotM
D
1
rP M
gradM
D
j(P )
D
d
eP M
rP2 M
j(P ) d
d
On retrouve bien l’expression de B pour une distribution d’extension +nie
B(M) =
µ0
43
D
j(P )d
eP M
2
rP M
Les deux équations locales rot B = µ0 j et div B = 0 sont équivalentes à la loi de Biot et Savart.
Exercice n 16 : Fil in+ni
Calculer le champ B créé par un +l in+ni rectiligne de rayon R parcouru par j0 uniforme dans sa section.
Exercice n 17 : Solénoïde in+ni hélicoïdal
Calculer le champ B créé par un solénoïde in+ni parcouru par un courant surfacique js uniforme, faisant un angle = avec la direction
du solénoïde.
Exercice n 18 : Plaque in+nie
Calculer le champ B créé par une plaque in+nie parcourue par js uniforme.
Exercice n 19 : Champ à l’extérieur d’un solénoïde in+ni
Montrer que le champ à l’extérieur d’un solénoïde in+ni est nul, en considérant le cas limite d’un solénoïde torique de rayon in+ni.
Exercice n 20 : Potentiel-vecteur d’un champ magnétique uniforme
Soit O un point +xe. Véri+er que le potentiel-vecteur d’un champ magnétique uniforme vaut
A=
B
OM
2
Exercice n 21 : Lignes du champ créé par une spire au voisinage de son axe
Trouver l’expression du champ magnétique créé par une spire sur son axe. À l’aide des équations locales, en déduire la forme des
lignes de champ au voisinage de l’axe.
Exercice n 22 : Champ créé par un polygone à n côtés en son centre
Trouver la valeur du champ magnétique créé en son centre par un polygone à n côtés parcouru par un courant I . Faire tendre n
vers l’in+ni : le résultat est-il cohérent ?