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LYCEE MARIEN N’GOUABI ANNEE SCOLAIRE 2009-2010
CLASSE: Tle C DATE: 25/02/2010
Professeur :Mr OUEDRAOGO S. Durée :4 heures
DEVOIR DE MATHEMATIQUES
Exercice I (04pts)
Soit
*
l’ensemble des entiers naturels non nuls. On considère, lorsque
*n
, les entiers
a
et
b
tels que :
11 3an
;
13 1bn
.
1. Démontrer que tout diviseur de
a
et
b
est un diviseur de 50.
2. en utilisant l’algorithme d’Euclide, résoudre dans
* x *
, l’équation
50 11 3xy
.
En déduire les valeurs de
n
pour lesquelles les nombres
a
et
b
ont 50 pour PGCD.
3. pour quelles valeurs de
n
, les nombres
a
et
b
ont – il 25 pour PGCD.
Exercice II(04pts)
On considère la suite
()
n
U
définie par la donnée de
0
U
et pour tout
n
de par :
2
1
1 1 1
n n n
U U U
.
1) Démontrer que la suite
n
U
est constante si, et seulement si
0
U
prend deux valeurs, que l’on
précisera.
2) On pose :
0
10U  
a) Démontrer que, pour tout entier naturel
;n
0 1 1.
n
U  
En déduire que
n
U
est une suite
décroissante.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
1
2
0
11
011
n
n
U
UU
.
c) On pose
2
0
1
1
kU
. Démontrer que pour tout entier naturel
n
, on a
0
0 1 1
n
n
U k U   
.
En déduire que la suite
n
U
admet une limite que l’on précisera.
Problème (12pts)
On représentera graphiquement les nombres complexes selon les conventions habituelle en utilisant
un repère orthonormé direct
( ; ; )o u v
. L’unité de longueur choisie étant 4 cm.
A. 1°) On note E l’ensemble des complexes z tels que
0z iz
et on considère la fonction
f
qui, à
chaque élément de E, associe le complexe
()fz
avec
() z z i fz z iz
.
Déterminer l’ensemble E et représenter – le graphiquement.

Par la suite, si un complexe z de E est représenté par un point M, on notera M’ le point représentant
( ).fz
2°) Résolvez dans C l’éqaution
( ) .f z i
3°) z est un complexe appartenant à E ; le point M qui le représente a pour coordonnées
( , )xy
.
Exprimer en fonction de
x
et de
y
les coordonnées du point M’.
4°) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des complexes z tel que
()fz
soit imaginaire
pur.
5°)
z x iy
est un complexe de E. montrer que le module de
()fz
est égale à
2
, si et
seulement si
x
et
y
sont liés par la relation :
2
4 8 1 0y xy  
.
B. Le but de cette partie est de représenter l’ensemble E’ des complexes
z x iy
tels que
()fz
ait
pour module
2
, c'est-à-dire aussi, d’après A.5., l’ensemble des couples
( , )xy
tels que
2
4 8 1 0y xy  
.
Par la suite, on dira d’un couple
( , )xy
qu’il vérifie la relation (1) si l’on a :
2
4 8 1 0y xy  
1°) Montrer que, pour tout réel
x
, il existe deux réels
1
y
et
2
y
que l’on déterminera, tels que les
couples
1
;xy
et
2
;xy
vérifie la relation (1).
2°)
a
et
b
sont les fonctions définies sur par :
2
2
1
( ) 4 1
2
1
( ) 4 1
2
a x x x
b x x x
On notera C la courbe représentative de
a
dans
,,o u v
et C’ celle de
b
.
Montrer que l’ensemble E’ chercher est représentée par la réunion de C et de C’.
Montrer que l’origine O est centre de symétrie de E’.
3°) Etudier la fonction
a
et tracer sa courbe représentative C.
Montrer que la droite
d
d’équation
2yx
est asymptôte à C au voisinage de et préciser la
position de C par rapport à cette asymptôte.
4°) Tracer la tangente à C au point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées.
5°) En utilisant
.2B
et
.3B
; représenter l’ensemble E’.
6°) On note
1
a
la restriction de
a
à l’intervalle
0;1.I
a) Pourquoi
1
a
est – elle une bijection de I sur l’intervalle
1;2 5J
b) Soit
h
la fonction définie sur
J
par
2
41
() 8
x
hx x
Vérifie que, pour tout
x
de
J
, on a :
1( ( ))a h x x
, et que, pour tout
x
de
I
on a :
1
( ( ))h a x x
.
Comment qualifie – t – on
h
par rapport à
1
a
et
1
a
par rapport à
h
.
7°) Tracer la courbe représentative de
h
dans le repère
,,o u v
.