COLLEGE LIBERMANN DOUALA Année scolaire 2006 2007

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ème Séquence_28Mars2007/Maths_TleC CollègeLibermann_Douala
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COLLEGELIBERMANN_DOUALA Annéescolaire2006/2007
B.P.5351Tél.33422890
5
ème Séquence/BaccalauréatBlanc_Sessiondemars2007
TleC ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES Durée:4H
L'épreuvecomportetroisexercicesetunproblème.Lespagessontnumérotéesde 1 à 3. Laqualitédelarédaction
etlesoinapportéautracédesfiguresserontprisencomptedansl'évaluationdelacopieducandidat.
EXERCICE1: 3Points
LetableaucidessousdonnelarépartitiondesélèvesdelaclassedeTerminaleCdu
Collègeselonleursmoyennes(arrondiesàl'unitéprès)du
1
er
trimestre.
Moyennes 8 9 10 11 12
Nombredegarçons 1 4 8 2 1
Nombredefilles 0 0 5 2 2
Onreprésentelenomdechacundesélèvesparunnumérode1à25.Oninscritles25
numérossurdesjetonsindiscernablesautoucherquel'onmetdansunsac.
OntiresuccessivementtroisjetonsenremettantChaquefois
le
jetontirédanslesac.
SoitXlavariablealéatoireréellequiassocie
à
chaquetripletdejetonstiréslenombre
d'élèvesayantobtenumoyenne(arrondieàl'unitéprès)supérieureouégale
à10.
1.D
éterminerlaloideprobabilitédeX. 1,5pt
2. Calculerl'espérancemathématiqueetlavariancedeX. 1,5pt
N.B:Ondonneralesrésultatssouslaformedefractionirréductible.
EXERCICE2: 3,5Points
1. Résoudredans Z l'équation(E):Z
3 =4 2(1+i). 1,5pt
Ondonneralessolutionssouslaformealgébrique.
2. OndésigneparA,BetClesimagesdansleplancomplexe,rapportéàunrepère
orthonormé,dessolutionsde(E);(D)ladroited'équationx=3et
(
G
)
l'ensemble
despointsMdecoordonnées(x;y)tels
queMA
²
+MB
² +MC ² =12
+3
4
(x–
3)
² .
CalculerladistancedupointMàladroite(D)puisdétermineretconstruire
(
G
).
2pts
EXERCICE3: 2,5Points
Dansleplanorienté,onconsidèredeuxpointsAetBtelsqueAB
=
6cm.
Ondésignepar:
}Cl'imagedeBparlarotationdecentreAetd’angle2p
3.
}Dlepointtelque 2
3
AD AB =
uuur uuur .
}SlasimilitudedirectequitransformeAenBetCenD.OnnoteI soncentre.
1. Calculer IA
IB etdonnerunemesuredel'angle( a
¾®
IA , ¾® IB ). 1pt
2. EndéduirelaconstructiongéométriquedupointI. 1pt
3. DémontrerquelepointIappartientaucerclecirconscritautriangle
ADC.
0,5pt

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Problème: 11Points
LaPartieAestindépendantedespartiesBetC.
PartieA:
OnconsidèredansIN*x
IN*,
l'équation(E):50x11
y
=
3.
1.
a.QuellessontlesvaleurspossiblesduPGCDdescouples (x,y) solutionsdel'équationE? 0.25pt
b. Résoudrel'équation(E).
0,75
pt
2. Soit
n
unentiernaturelnonnul,onpose:a=11
n
+3 et b=
13n1.
a.M
ontrerquetoutdiviseurdeaetbestundiviseurde50. 0,25pt
b.Ens'inspirant
delaquestion1.b.,déterminerlesvaleursde n pourlesquelles
lePGCDdea etbestégalà50. 0,75pt
c.Déterminer
lesvaleursde n pourlesquelleslePGCDdeaetbestégalà25. 1pt
PartieB:
Soit
f
lafonctiondéfiniesurl'intervalle]0
;+∞[
par: 2
1
ln
( ) 1
x t
f x dt
t
= +
ò .
Ondésignepar G lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormé(
0,
I,J).
1. a. Justifierque f estdérivablesur]0
;+∞[
etcalculer f’
(x).  0,5pt
b. Endéduirelesensdevariationde f.  0,25pt
2. a. Pour x> 0,Calculer 2
1
ln
x tdt
t
ò
à
l'aided'uneintégrationparparties. 0,5pt
b. Démontrerquepourtout t> 1, 2 2 2
ln ln ln
2 1
t t t
t t t
£ £
+ .
c. Endéduirequepourtout
x>
0, 1 1 ln 1 ln 1 ( ) 1
2
x x
f x
x x x x
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- - £ £ - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø . 0,25pt
d. Onadmetque lim ( )
x f x l ®+¥ =
,
donnerunencadrementde
1.
0,25pt
3. Soit
g
lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par
g(x)
=
f(x) f(1
x
).
a.
Démontrerque g estlafonctionnullesur]0
;+∞[ 1pt
b.
Endéduirelalimitede f enzéro. 0,5pt
c. Tracerl’alluredelacourbe G. 0,5pt
PARTIEC:
Pourtoutentiernaturelnonnul n, onpose 1
0 ln(1 ) .
n
n
U x x dx = +
ò
1. a.Démontrerque ln2 0 1
n
U n £ £ + . 0,25pt
b. Endéduirequelasuite (Un) estconvergenteetdonnersalimite. 0,25pt
c.Enremarquantque,pourtoutxde[0
;
1]ona: 2 1 1
1 1
x x
x x
= - +
+ + .
Calculer: 2
1
0 .
1
x dx
x +
ò 0,25pt
d. Calculer  Un
aumoyend'uneintégrationparparties. 0,5pt
2. Pourtout
x
de[0;1]etpourtout
n≥
2,onpose: ( ) 1 ..... ( 1)" "
n
S x x x = - + + - .
a. Démontrerque: 1 1
1 ( 1)
( ) 1 1
n n
n x
S x x x
+ +
-
= -
+ + . 0,25pt
b. Démontrerque: 1
1
1
0
1 ( 1)
1 ... ln2 ( 1)
2 1 1
n n
n x dx
n x
+
+
-
- + + = - -
+ +
ò . 0,75pt
c. Démontrer
que:
1
ln2 ( 1) 1 ( 1)
ln2 1 ...
1 1 2 1
n n
n
U n n n
+ é æ öù
- - ÷
ç
ê ú
÷
= - - - + +
ç ÷
ç
ê ú
÷
ç ÷
+ + +
è ø
ë û . 1pt
d.
Endéduirelavaleurexactede 1 2
0 ln(1 ).
x x +
ò 0,25pt
3. Déterminer lim
x ®+¥
1 ( 1)
1 ...
2 1
n
n
æ ö
- ÷
ç ÷
- + +
ç ÷
ç ÷
ç ÷
+
è ø . 0,75pt