Exercices du chapitre X : Propriétés des applications linéaires

Exercices du chapitre X : Propri´et´es des applications lin´eaires
No1Montrer les propri´et´es suivantes :
(a) L’identit´e IdE:E−→ E, d´efinie par
∀x∈E , IdE(x) = x ,
est une application lin´eaire.
(b) Pour toute application lin´eaire f:E−→ E0
f◦IdE=fet IdE0◦f=f .
(c) L’application OE,E0:E−→ E0, d´efinie par
∀x∈E , OE,E0(x) = 0 ,
est une application lin´eaire.
(d) Pour toute application lin´eaire f:E−→ E0et tout espace vectoriel E00,
f◦OE00 ,E =OE00 ,E0et OE0,E00 ◦f=OE,E00 .
Solution
V´erifications imm´edfiates.
No2Soit f:E−→ E0et g:E0−→ Edeux applications lin´eaires v´erifiant
f◦g= IdE0et g◦f= IdE.
Montrer que fet gsont bijectives et que g=f(−1).
Solution
Si f(x) = f(x0), alors g(f(x)) = g(f(x0)), soit g◦f(x) = g◦f(x0), on en d´eduit donc que x=x0
et fest injective.
Si yappartient `a E, posons, x=g(y). Alors f(x) = f◦g(y) = y. Donc yposs`ede un ant´ec´edent
dans E, et fest surjective. L’application fest bien bijective. La mˆeme m´ethode montre que g
est bijective. Alors
g=f(−1) ◦(f◦g) = f(−1) ◦IdE0=f(−1) .
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No3
(a) Soient f:E−→ E0et g:E0−→ E00 deux applications lin´eaires. D´emontrer les propri´et´es
suivantes :
(1) Si fet gsont injectives, g◦fest injective
(2) Si g◦fest injective alors fest injective.
(3) Il existe des exemples o`u fet g◦fsont injectives, mois o`u gne l’est pas.
(4) Si fest un isomorphisme, g◦fest injective si et seulement si gest injective.
(5) Si gest un isomorphisme, g◦fest injective si et seulement si fest injective.
(6) Si fet gsont surjectives, g◦fest surjective
(7) Si g◦fest surjective alors gest surjective.
(8) Il existe des exemples o`u get g◦fsont surjectives, mois o`u fne l’est pas.
(9) Si fest un isomorphisme, g◦fest surjective si et seulement si gest surjective.
(10) Si gest un isomorphisme, g◦fest surjective si et seulement si fest surjective.
(b) Soient Eet E0deux espaces vectoriels, p1et p2les applications de projections :
p1:E×E0−→ E
(x,x0)−→ xet p2:E×E0−→ E0 (x,x0)−→ x0,
et les deux applications
i1:E−→ E×E0
x−→ (x,0) et i2:E0−→ E×E0 x0−→ (0,x0).
(1) p1et p2sont lin´eaires
(2) p1et p2sont surjectives
(3) i1et i2sont lin´eaires
(4) i1et i2sont injectives
(5) p1◦i1= IdE
(6) p2◦i2= IdE0
(7) i1◦p1+i2◦p2= IdE×E0
(c) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, et f:F×G−→ E
l’application d´efinie par
f(x,y) = x+y .
(1) fest une application lin´eaire (si F×Gest muni de la structure de somme directe
externe).
(2) f(F×G) = F+G, autrement dit fenvoie F×Gsur F+G.
(3) fest injective si et seulement si F∩G={0}.
(4) Si F∩G={0},finduit un isomorphisme de F×Gavec F+G.
Solution
(a) Remarque : nous donnons des d´emonstrations des propri´et´es du (a) sans supposer que les
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applications fet gsoient lin´eaires.
(1) Si g◦f(x) = g◦f(x0), c’est-`a-dire g(f(x)) = g(f(x0)), comme gest injective, cela implique
f(x) = f(x0) et comme fest injective, cela implique x=x0. Donc g◦fest injective.
(2) Si f(x) = f(x0) on en d´eduit que g(f(x)) = g(f(x0)) donc g◦f(x) = g◦f(x0). Et puiqsue
g◦fest injective, on en tire x=x0. Donc fest injective.
(3) Soit fl’application de Rdans R2d´efinie par f(x) = x
x, et gl’application de R2dans lui-
mˆeme d´efinie par gx
y=x 0. Alors fest injective car f(x) = f(x0) implique x x=x0 x0,
donc x=x0. De mˆeme g◦fest injective, car g◦f(x) = x
0et g◦f(x) = g◦f(x0) implique
x
0=x0 0donc x=x0. Par contre gn’est pas injective, car g0 y=g0 0.
(4) Supposons fbijective. Alors elle est injective et si gest injective, d’apr`es (1), g◦fest
injective. Inversement, si g◦fest injective, comme f(−1) est injective, toujours d’apr`es (1),
g= (g◦f)◦f(−1) est injective.
(5) Supposons gbijective. Alors elle est injective et si fest injective, d’apr`es (1), g◦fest
injective. Inversement, si g◦fest injective, comme g(−1) est injective, toujours d’apr`es (1),
f=g(−1) ◦(g◦f) est injective.
(6) Soit zdans E00. Comme gest surjective, il existe ydans E0tel que g(y=z). Comme fest
surjective, il existe xdans E, tel que f(x) = y. Alors g◦f(x) = z. Donc g◦fest surjective.
(7) Soit zdans E00. Comme g◦fest surjective, il existe xdans Etel que g◦f(x) = z. Alors
y=f(x) appartient `a E0et g(y) = g◦f(x) = z. Donc gest surjective.
(8) Soit fl’application de Rdans R2d´efinie par f(x) = x
0, et gl’application de R2dans R
d´efinie par gx
y=x. Alors gest surjective car le nombre r´eel yest l’image de y 0. De mˆeme
g◦fest surjective, car g◦f(x) = x
0et le nombre r´eel yest l’image de y 0. Par contre f
n’est pas surjective car l’´equation x
0=u vn’a pas de solution si v6= 0.
(9) Supposons fbijective. Alors elle est surjective et si gest surjective, d’apr`es (6), g◦fest
surjective. Inversement, si g◦fest surjective, comme f(−1) est surjective, toujours d’apr`es (6),
g= (g◦f)◦f(−1) est surjective.
(10) Supposons gbijective. Alors elle est surjective et si fest surjective, d’apr`es (6), g◦fest
surjective. Inversement, si g◦fest surjective, comme g(−1) est surjective, toujours d’apr`es (6),
f=g(−1) ◦(g◦f) est surjective.
(b) V´erifications imm´ediates des propri´et´es.
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(c) (1) On v´erifie les propri´et´es de lin´earit´e
f((x,y)+(x0,y0)) = f(x+x0,y +y0) = (x+x0)+(y+y0) = (x+y)+(x0+y0) = f0x,y)+f(x0,y0),
et
f(λ(x,x0)) = f(λx,λx0) = λx +λx0=λ(x+x0) = λf(x,x0).
(2) Si uappartient `a F+G, il se d´ecompose sous la forme u=x+yavec xdans Fet ydans
G. Alors f(x,y) = x+y=u. Donc fest surjective.
(3) Si F∩G={0}, et si f(x,y) = f(x0,y0) alors x+y=x0+y0soit x−x0=y0−y. Ce vecteur
appartient `a F∩G. Il est donc nul. Alors x=x0et y=y0, d’o`u (x,y) = (x0,y0). L’application f
est donc injective.
Si F∩G6={0}, soit xun ´el´ement non nul de cet ensemble. Alors f(x, −x) = f(0,0). L’applica-
tion fn’est pas injective.
(4) Si F∩G={0}l’application fest donc une application lin´eaire bijective (c’est-`a-dire un
isomorphisme) de F×Gsur F+G.
No4Soit fune application lin´eaire de Edans E0. D´emontrer les propri´et´es suivantes :
(a) Si Fest un sous-espace vectoriel de E,f(F) est un sous-espace vectoriel de E0.
(b) Si F0est un sous-espace vectoriel de E0,f−1(F0) est un sous-espace vectoriel de E.
(c) f({0}) = {0}et f−1(E0) = E.
(d) f(E) s’appelle l’image de f. On le note Im f. C’est un sous-espace de E0.
(e) f−1({0}) s’appelle le noyau de f. On le note Ker f. Cest un sous-espace de E.
(f) fest surjective si et seulement si Im f=E0.
(g) fest injective si et seulement si Ker f={0}.
(h) Si F0est un sous-espace vectoriel de E0,f(f−1(F0)) = F0∩Im f
(i) Si Fest un sous-espace vectoriel de E,f−1(f(F)) = F+ Ker f.
Solution
(a) Soit yet y0dans f(F), et λr´eel. Alors, il existe xet x0dans Ftels que y=f(x) et y0=f(x0).
On en d´eduit
y+y0=f(x+x0) et λy =f(λx).
Alors, comme x+x0et λx sont dans F, les vecteurs y+y0et λy sont dans f(F) qui est bien un
sous-espace vectoriel de E0.
(b) Soit xet x0dans f−1(F0) et λr´eel. Donc f(x) et f(x0) sont dans F0. Alors les vecteurs
f(x+x0) = f(x) + f(x0) et f(λx) = λf(x) sont dans F0ce qui montre que x+x0et λx sont
dans f−1(F0) qui est bien un sous-espace vectoriel de E.
(c) Evident.
(d)Cas particulier de (a), car Eest un sous-espace de E.
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(e) Cas particulier de (b), car {0}est un sous-espace de E0.
(f) Cela s’´ecrit aussi f(E) = E0et c’est une caract´erisation (ensembliste) de la surjectivit´e d’une
application.
(g) Si fest injective, et si xappartient `a Ker f, alors f(x)=0=f(0) et donc x= 0. Il en
r´esulte que Ker(f) = {0}. Inversement, si Ker(f) = {0}et si f(x) = f(x0), alors f(x−x0) = 0,
donc x−x0appartient `a Ker f, et il en r´esulte que x−x0= 0, donc que x=x0. L’application f
est injective.
(h) Si yappartient `a f(f−1(F0)), il existe xdans f−1(F0) tel que f(x) = y. Cela veut dire que
f(x) appartient `a F0. Mais aussi f(x) appartient `a Im f. Donc yappartient `a F0∩Im f, ce qui
donne l’inclusion
f(f−1(F0)) ⊂F0∩Im f .
Inversement, si yappartient `a F0∩Im f. Il existe xdans Etel que f(x) = y. Donc xappartient
`a f−1(F0), et f(x) `a f(f−1(F0)). Cela donne l’inclusion
F0∩Im f⊂f(f−1(F0)) .
On a donc ´egalit´e.
(i) Si xappartient `a f−1(f(F)), on a donc f(x) qui appartient `a f(F). Donc il existe x0dans F
tel que f(x0) = f(x). On en d´eduit que f(x−x0) = 0, donc que x−x0appartient `a Ker f. Alors
x=x0+ (x−x0) appartient `a F+ Ker f, et l’on a l’inclusion
f−1(f(F)) ⊂F+ Ker f .
Si xappartient `a F+ Ker f, il existe x0dans Fet x00 dans Ker ftels que x=x0+x00. Alors
f(x) = f(x0) appartient `a f(F), et xappartient `a f−1(f(F)), d’o`u l’inclusion
F+ Ker f⊂f−1(f(F)) .
On a donc ´egalit´e.
No5(a) Pour tout sous-espace F0de E0, montrer que f−1(F0) contient Ker f.
(b) Inversement, pour tout sous-espace Fde Etel que Ker f⊂F, montrer qu’il existe
F0⊂E0tel que f−1(F0) = F.
(c) Si fest de plus surjective, montrer que F0est unique.
(d) Que se passe-t-il si fn’est plus surjective?
(e) Pour tout sous-espace Fde E, montrer que f(F) est inclus dans Im f.
(f) Inversement, pour tout sous-espace F0de E0tel que F0⊂Im f, montrer qu’il existe F⊂E
tel que f(F) = F0.
(g) Si de plus fest injective, montrer que le F[de (f)] est unique.
(h) Que se passe-t-il si fn’est plus injective?
Solution
(a) Comme 0E0appartient `a F0, le sous-espace f−1(F0) contient en particulier tous les vecteurs
dont l’image est nulle c’est-`a-dire Ker f.
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