texte de la PC - Ecole polytechnique

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Petite Classe 3 (22 novembre 2016)
Multiplicateurs de Lagrange
De nombreux problèmes en mathématique, physique ou économie et dans bien d’autres disciplines
peuvent être formulés sous la forme de problèmes d’optimisation sous contraintes. La méthode des
multiplicateurs de Lagrange est une approche générale de résolution de tels problèmes. En dépit
de son apparente complexité, elle s’avère souvent remarquablement simple et puissante. L’objectif
de cette PC est d’introduire la méthode et d’illustrer sa mise en œuvre sur des exemples concrets.
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Quelques exercices appéritifs
1. Déterminer le rayon et la hauteur de la boîte cylindrique droite à base circulaire qui
minimise la surface totale S pour un volume V fixé.
2. Déterminer le plus court chemin entre deux points A et B d’un espace euclidien en utilisant
les coordonnées cartésiennes. On pourra écrire la longueur du trajet comme une intégrale
en temps de la vitesse et faire apparaître un lagrangien. On pourra par ailleurs se limiter
à un espace de dimension d = 2 (plan).
3. Même question pour des chemins contraints à se situer sur une sphère en dimension d = 3.
On utilisera d’abord des coordonnées cartésiennes, puis des coordonnées sphériques si le
temps le permet.
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Le brachistochrone
L’objectif de ce problème est de déterminer la forme du support qui permet à un mobile de
descendre le plus rapidement possible d’un point à un autre. Plus précisément, on lâche un point
matériel classique de masse m sans vitesse initiale d’un point O. Le point matériel se déplace
alors sous l’effet de la pesanteur, d’accélération g, et sans frottement sur un support donné par
la courbe y(x), inconnue à ce stade, dans le plan vertical. L’axe x est horizontal et l’axe y est
vertical et dirigé dans le sens de la gravité. La courbe y(x) joint les points O et A, A étant situé
plus bas et à droite de O (voir la Fig. 1).
1. Ecrire le temps T mis par le point matériel pour aller de O à A sous la forme d’une intégrale
2
sur x entre 0 et xA . On pourra remarquer que l’énergie du point matériel, E = mv
2 − mgy,
est nulle si l’on prend l’origine de l’énergie potentielle au point O. Ecrire de même sous la
forme d’une intégrale sur x la contrainte qui impose que la courbe y(x) passe par O et A.
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Figure 1 – Le problème du brachistochrone. Un mobile de masse m se
déplace sous l’effet de la pesanteur
sur un support d’équation y(x). On
cherche la forme du support qui minimise le temps mis par le point matériel, initialement immobile, pour
aller du point O au point A.
2. En déduire l’action S et le lagrangien L du problème. Ecrire l’équation d’Euler-Lagrange
et en déduire que la courbe brachistochrone est solution de l’équation différentielle
2
y(1 + y ′ ) = C,
(1)
où C est une constante que l’on ne cherchera pas à calculer tout de suite.
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3. En introduisant la quantité θ(x) telle que y ′ (x) ≡ tan(θ/2)
, montrer que la courbe brachistochrone peut être écrite sous la forme paramétrée

 x(θ) = x0 + C2 (θ − sin θ)
(2)

C
y(θ) = 2 (1 − cos θ) .
Reconnaître l’équation paramétrique de la cycloïde.
4. En se souvenant que le mobile est lâché du point O sans vitesse initiale, tracer la courbe
cycloïde entre θ = 0 et θ = 6π, voire plus.
5. Justifier que le point A est nécessairement situé sur la première arche de cycloïde. On
pourra s’aider du tracé obtenu à la question précédente mais une explication argumentée
est bien sûr attendue.
6. On appelle θA la valeur du paramètre θ au point A. Déterminer le rapport yA /xA en
fonction du paramètre θA . Quelle est la forme qualitative de la courbe brachistochrone
entre O et A selon que xyAA < π2 ou xyAA > π2 ? Commenter.
7. Montrer que la courbe obtenue est tautochrone, c’est-à-dire que le temps mis par le point
matériel, initialement sans vitesse, pour atteindre le point le plus bas de la courbe est
indépendant du point de départ. Dans l’intégrale donnant le temps de parcours, on pourra
θ
poser τ ≡ cos1+cos
θ0 −cos θ où θ0 est le paramètre défini à la question 3 au point de départ.
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La corde pesante (facultatif)
Déterminer la forme d’une corde pesante à l’équilibre, de longueur L fixée et dont les extrémités
sont attachées aux points (−x0 , 0) et (+x0 , 0) sur l’axe horizontal. On rappelle que l’équilibre
est obtenu lorsque l’énergie potentielle (ici de gravité) est minimale.
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Annexe : La méthode des multiplicateurs de Lagrange
On cherche les extrema d’une fonction
f |Σ : Σ → R
où Σ est une sous-variété de RN définie par les P contraintes
~ = 0,
gp (R)
~ ∈ RN .
∀R
On suppose que la fonction f |Σ peut être prolongée sur RN en la fonction f . On suppose par
ailleurs que toutes les fonctions f et gp sont différentiables et que pour tout p ∈ [1..P ], on a
~ p 6= 0 en tout point R
~ de la sous-variété Σ.
∇g
La méthode des multiplicateurs de Lagrange consiste à suivre la démarche suivante :
1. Pour toutes valeurs des λp , on introduit la fonction auxiliaire
~ ≡ f (R)
~ −
Fλ1 ,...,λP (R)
P
X
~
λp gp (R)
p=1
définie sur RN .
~ Ce sont les points R
~ =R
~ n (λ1 , ..., λP ) tels que
2. On cherche les extrema de Fλ1 ,...,λP (R).
~ λ ,...,λ (R)
~ = 0,
∇F
1
P
où n est un indice pour les solutions multiples éventuelles.
3. Parmi toutes ces solutions, on cherche celles qui satisfont aux contraintes, c’est à dire les
~ =R
~ n (λ1 , ..., λP ) tels que
points R
~ = 0,
gp (R)
pour p ∈ [1..P ].
Le plus souvent, ceci permet de déterminer les valeurs des multiplicateurs de Lagrange
~ n.
λp (n) pour p ∈ [1..P ] et les extremas contraints recherchés R
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