Feuille 1 - IMJ-PRG

LM360 Math´ematiques 2008
TD de topologie et calcul diff´erentiel– Feuille 1:
Topologie, int´erieur, adh´erence
Groupe de TD 5
Si Aest un sous-ensemble de E, on notera Ac=E−Ason compl´ementaire.
Exercice 1. Enum´erer les topologies de l’ensemble E={a, b}. Lesquelles sont
s´epar´ees ?
Correction 1. D´eterminer une topologie, c’est d´eterminer quels sous-ensembles
sont des ouverts. Il n’y a que 4 sous-ensebles ditincts de E:∅,E={a, b}, et
les singletons {a}et {}
¯. D’apr`es les axiomes d’une topologie, Eet ∅doivent ˆetre
ouverts. Il reste donc `a ´etudier 4 cas suivants:
- il n’y a pas d’autres ouverts; on a alors muni Ede la topologie grossi`ere (qui ets
bien une topologie; voir le cours.
-{a}est ouvert mais {b}n’est pas ouvert. Il faut v´erifier que les axiomes d’une
topologie sont v´erifi´es ce qui ets imm´ediat. On appelle τacette topologie.
-{b}est ouvert mais {a}n’est pas ouvert. Il faut v´erifier que les axiomes d’une
topologie sont v´erifi´es ce qui est imm´ediat. On appelle τbcette topologie.
-{a},{b}sont ouverts; on recconait la topologie discr`ete (cf le cours), qui est bien
une topologie.
La topologie discr`ete est s´epar´ee. Les autres topologie ne le sont pas car, par exem-
ple, dans τale seul ouvert contenant best {a, b}=Econtient aussi a. Donc aet b
ne peuvent ˆetre s´epar´es. Un raisonement similaire s’applique pour τbet la topologie
grossi`ere.
Exercice 2. Soit l’ensemble E={a, b, c}, muni d’une topologie. Montrer que si les
singletons {a},{b}et {c}sont ouverts dans E, alors Eest discret (c’est `a dire que
la topologie sur Eest la topologie discr`ete).
Note, on d´efinit parfois la topologie discr`ete comme la topologie pour laque-
lle tous les singletons sont ouverts (cet exercice explique pourquoi; v´erifier que la
d´emonstration donn´ee s’applique ne fait `a tout espace topologique dans lesquels les
singletons sont ouverts).
Correction 2. Il faut montrer que tout sous-ensemble de Eest ouvert. Or un tel
sous-ensemble Sest r´eunion de ses singletons. Comme une r´eunion d’ouvert est
ouvert, Sest ouvert. Par exemple {a, b}={a}∪{b}.
1

Exercice 3 (Topologie sur R2)..
1 (topologie usuelle). On appelle ouvert (usuel) de R2, une r´eunion de produits
d’intervalles ouverts (c’est `a dire de la forme ]a, b[×]c, d[). Montrer que ces
ouverts forment une topologie sur R2. Existe-t-il une partie de R2qui ne soit
ni ouverte, ni ferm´ee ?
2. Est-ce que la famille des B(0, r) := {(x, y)∈R2|x2+y2< r}(pour r∈[0,+∞])
forme une topologie sur R2? Si oui, est-elle s´epar´ee ?
3. Est-ce que les topologies d´efinies en 1et 2. sont les mˆemes ? Y’en-a-t-il une
plus fine que l’autre ?
4. Y-a-t-il un ouvert usuel de R2qui ne soit pas de la forme U×Vo`u Uet Vsont
des ouverts de R(c’est `a dire une r´eunion d’intervalles ouverts) ?
On appelle rectangle ´el´ementaire un produits d’intervalles ouverts de la forme
]a, b[×]c, d[.
Correction 3. 1 Le seul axiome d’une topologie qui ne soit pas trivial est la sta-
bilit´e par intersection finie. Une r´ecurrence ais´ee ram`ene au cas de
[
i∈I
]ai, bi[×]ci, di[!∩
[
j∈J
]uj, vj[×]xj, yj[
=
[
(i,j)∈I×J(]ai, bi[×]ci, di[) ∩(]uj, vj[×]xj, yj[).
(on d´emontre ais´ement cette ´egalit´e en raisonant par double inclusion). Or
l’intersection de deux rectangles ets un rectangle: (]ai, bi[×]ci, di[)∩(]uj, vj[×]xj, yj[)
est vide ou ´egal `a
]max(ai, uj),min(bi, vj[×]max(ci, xj),min(di, yj[.
On en d´eduit le r´esultat. Une partie X= [a, b[×[c, d[ n’est ni ouverte, ni
ferm´ee. En effet, aucun rectangle ´el´ementaire contenant (a, c) n’est inclus dans
Xce qui prouve que Xn’est pas ouvert. Le compl´ementaire de Xcontient le
point (b, d) et tout rectangle ´el´ementaire contenant (b, d) intersecte X. Donc
XCn’est pas ouvert et il suit que Xn’est pas ferm´e.
2On v´erifie que [
i∈I
B(0, ri) = B(0,Sup(ri)) et \
j∈J
B(0, rj) = B(0,min(rj)). De
plus R2=B(0,∞) et ∅=B(0,0). Donc la famille des B(0, r) forme une
topologie sur R2. Elle n’est pas s´epar´ee car par exemple, tout ouvert non vide
contient le point 0. Donc aucun point de R2ne peut ˆetre s´epar´e de 0.
3La topologie de la question 1est s´epar´ee (voir le cours) donc elle ne peut coincider
avec la topologie pour la question 2. La topologie usuelle est en fait plus fine
que la topologie de la question 2car toute boule ouverte est un ouvert pour
la topologie usuelle.
4Il y en a fait beaucoup. Par exemple B(0, r). En effet si X=U×Valors
X=p1(X)×p2(Y) o`u p1, p2sont les projections respectives sur la premi`ere
et deuxi`eme coordonn´ees.
2

Exercice 4. Soient X, Y , deux ensembles et f:X→Yune application. Soient
(Ui)i∈Iune famille de parties de X.
1. Montrer que f∪i∈IUi=∪i∈If(Ui).
2. Montrer que f∩i∈IUi⊂ ∩i∈If(Ui) et que l’inclusion peut ˆetre stricte. A quelle
condition sur fa-t-on ´egalit´e ?
3. Soit Aun sous-ensemble de Y. Montrer que f−1(Y−A) = X−f−1(A).
Correction 4. 1 Si x∈∪i∈IUi, alors il existe i∈Itel que x∈Ui. Il suit que
f(x)∈f(Ui)⊂ ∪i∈If(Ui). R´eciproquement, si y∈ ∪i∈If(Ui), il existe i∈I
tel que y∈f(Ui)⊂f∪i∈IUi.
2Soit x∈∩i∈IUi, alors pour tout i∈I,x∈Uidonc, pour tout i∈I,f(x)∈
f(Ui). On a ´egalit´e si fest injective. En effet si x6=yet f(x) = f(y),
alors {x}∩{y}=∅ 6={f(x)}(ce qui fournit un contre-exemple si fn’est pas
injective). R´eciproquement, si fest injective, alors que que soit y∈ ∩i∈If(Ui),
il existe une famille (xi∈Ui)i∈Itelle que y=f(xi). Par injectivit´e, tous les
xicoincident. On peut donc les noter xqui, par construction, appartient `a
chaque Ui. Il suit que y=f(x)∈f∩i∈IUi.
3on a f−1(Y−A) = {x∈X / f(x)/∈A}=X−f−1(A).
Soit Eun espace topologique et Aune partie de E. Rappelons que l’adh´erence
de A, not´ee Aest le plus petit ferm´e de Econtenant A.L’int´erieur de A, not´e ˚ A
est le plus grand ouvert de Econtenu dans A.
Exercice 5. On consid`ere Rmuni de sa topologie usuelle. D´eterminer l’int´erieur
et l’adh´erence de Qet R−Q.
Correction 5. On utilise que Qest dense dans R. Il suit que Q=R. Montrons que
˚
Q=∅. En effet si p/q ∈Q, tout intervalle ]a, b[ contenant p/q est non-d{enombrable,
donc contient des ´el´ements de R−Q. Il suti qu’aucun point de Qest int´erieur `a Q;
c’est `a dire ˚ Q=∅. On montre de mˆeme que R−Q=Ret ˚ R−Q=∅.
Exercice 6. On consid`ere R2muni de sa topologie usuelle. D´eterminer l’int´erieur
et l’adh´erence des sous-ensembles suivants:
A={(x, y)∈R2/2x>y+ 1}B={(x, y)∈R2/0<x<2 et 0 ≤y≤1}
C={(x, y)∈R2/0≤x2+y2≤1}D={(x, y)∈R2/ x2+y2≥4} ∩ Q2.
Correction 6. L’ensemble Aest ouvert. En effet A= (2p1−p2)−1(]1,+∞[) o`u
p1(x, y) = xet p2(x, y) = ysont les projections canonique des R2dans R. D’apr`es
le cours, elles sont continues. Il suit que Aest la pr´e-image d’un ouvert par une
fonction continue, donc est ouvert. Par cons´equent ˚ A=A. On a A={(x, y)∈
R2/2x≥y+ 1}. En effet ce dernier ensemble est ferm´e (mˆeme raisonement que
pour Aouvert) et de plus tout point de {(x, y)∈R2/2x≥y+ 1}est adh´erent `a
A. En effet si (x, y)∈ {(x, y)∈R2/2x≥y+ 1}, la suite (x+ 1/n, y) est dans Aet
converge vers (x, y).
Des raisonements analogues montrent que B={(x, y)∈R2/0≤x≤2 et 0 ≤
y≤1},˚ B={(x, y)∈R2/0< x < 2 et 0 < y < 1},C=C(Cest ferm´e) et
˚
C={(x, y)∈R2/0≤x2+y2<1}(attention, ici 0 est bien un point int´erieur `a
C.)
Comme tout disque ouvert non vide de R2contient des points de Q2, on voit
que l’adh´erence de Dest {(x, y) : x2+y2≥4}. Et comme tout ouvert non vide de
R2contient des points `a coordonn´ees irrationnelles, l’int´erieur de Dest l’ensemble
vide.
3

Exercice 7 (une autre d´efinition de l’int´erieur et de l’adh´erence).Soit Aune partie
d’un espace topologique E. On dit qu’un point x∈Aest int´erieur `a Asi il existe
un ouvert Uxcontenant xet inclus dans A. on dit qu’un point x∈Eest adh´erent
`a Asi tout ouvert Ucontenant xrencontre A(c’est `a dire U∩A6=∅pour tout
ouvert Ucontenant x).
1. Montrer que ˚ A={x∈A / x est int´erieur `a A}.
2. Montrer que A⊂Bimplique ˚ A⊂˚ B.
3. Montrer que Ac= ( ˚ A)cet que Ac=˚ (Ac).
4. En d´eduire que A={x∈E / x est adh´erent `a A}.
Correction 7. 1 Par d´efinition, si xest int´erieur, il existe un ouvert x∈Ux⊂A.
Mais alors ∪xest int´erieurUxest un ouvert inclus dans A. De plus si x∈˚ A,
alors xest int´erieur `a A(on peut prendre Ux=˚ A). Il suit que ˚ A⊂ {x∈
A / x est int´erieur `a A}et comme ˚ Aest le plus grand ouvert inclus dans A,
on a ˚
A={x∈A / x est int´erieur `a A}.
2On a ˚ A⊂A⊂B; donc ˚ Aest un ouvert inclus dans B, donc dans le plus grand
ouvert inclus dans B, c’est `a dire ˚ B.
3Rappelons que si (Xi) est une famille de parties de E, le compl´ementaire de la
r´eunion des Xiest l’intersection des compl´ementaires des Xi.
Par d´efinition, ( ˚ A)cest le compl´ementaire de la r´eunion de tous les ouverts
contenus dans A, c’est donc l’intersection de tous les ferm´es contenant Ac,
c’est-`a-dire Ac. La deuxi`eme ´egalit´e se d´eduit de la premi`ere en rempla¸cant A
par son compl´ementaire.
4D’apr`es 3, par passage au compl´ementaire, il suffit de montrer que l’on a {x∈
E / x est adh´erent `a A}c=˚ Ac. Or
{x∈E / x est adh´erent `a A}c={x∈E / ∀x∈Uxouvert , Ux∩A6=∅}c
={x∈E / ∃x∈Uxouvert , Ux∈Ac}
={x∈E / x est int´erieur `a Ac}=˚ Ac.
Exercice 8. Soit Xun espace topologique, A, B des sous-ensembles de X.
1. Montrer que
A∩B⊂A∩B, A ∪B=A∪B, ˚ (A∩B) = ˚ A∩˚ B
et montrer que la premi`ere inclusion peut ˆetre stricte.
2. Que peut on dire de ˚ A∪˚ B?
3. On note u(A) = ˚ Aet v(A) = ˚ A.
a) Calculer u(A) et v(A) pour E=R(avec la topologie usuelle) et A=]0,2]
et A=Q.
b) Comparer A,˚ A,u(A) et v(A).
c) Montrer que u2=uet v2=v.
4. Soit Yun espace topologique et C⊂Y. On munit X×Yde la topologie produit.
Montrer que A×C=A×Cet ˚ (A×C) = ˚ A×˚ C.
4

Correction 8. 1 On a clairement A∩B⊂Aet A∩B⊂B, donc A∩B⊂Aet
A∩B⊂B, d’o`u l’inclusion : A∩B⊂A∩B.
Comme on a A⊂A∪Bet B⊂A∪B, on a aussi A⊂A∪Bet B⊂A∪B.
Donc A∪B⊂A∪B.
D’autre part, on a A∪B⊂A∪B. Ce dernier ensemble ´etant ferm´e, comme
r´eunion de deux ferm´es, il contient A∪B. On a donc bien A∪B=A∪B.
Par passage au compl´ementaire, et en utilisant l’exercice pr´ec´edent on obtient
˚
(A∩B) = ˚ A∩˚ B.
L’inclusion A∩B⊂A∩Best fausse en g´en´eral: prenons dans R,A= [0,2[
et B=]2,3]. A∩Best alors vide, donc son adh´erence aussi, mais A= [0,2]
et B= [2,3] d’o`u A∩B={2}.
2On a ˚ A∪˚ Best un ouvert inclus dans A∪B, donc inclus dnas le plus grand ouvert
de A∪B. Il suit que ˚ A∪˚ B⊂˚ A∪B. l’inclusion inverse est fausse come on le
voit en consid´erant les compl´ementaires pour le contre-exemple de la question
pr´ec´edente 1.
3 a) u(]0,2]) = ˚ [0,2] =]0,2[ et v(]0,2]) = ]0,2[ = [0,2]. On a u(Q) = Ret v(Q) = ∅.
b) On a pour tout ensemble ˚ X⊂X⊂X. De plus X=Xet ˚
˚
X=˚ X. Il suit
que ˚ A⊂u(A)⊂Aet de mˆeme ˚ A⊂v(A)⊂A. En revanche, on ne peut
pas comparer u(A) et v(A) en g´en´eral car pour A=Qon a v(A) est
strictement inclus dans v(A) et pour une boule ouverte dans Rd, c’est le
contraire...
c) D’apr`es b), on a u(A) = ˚ A⊂v(A). comme u(A) est ouvert, il suit que
u(A)⊂˚ v(A) = u2(A). De plus, on a u(A)⊂A, d’o`u, u(A)⊂A=A. En
prenant les int´erieurs, il suit que u2(A)⊂u(A). On a donc montr´e que
u(A=u2(A). On montre de mˆeme que v2(A) = v(A).
4on sait que les projections pX:X×Y→Cet pY:X×Y→Ysont continues
et ouvertes. On a ˚ A×˚ B⊂A×Best ouvert, donc ˚ A×˚ B⊂˚ A×B. De plus,
comme pXest ouverte, pX(˚ A×B) est un ouvert inclus dans A, donc inclus
dans ˚ A. De mˆeme, pY(˚ A×B)⊂˚ B. Il suit que ˚ A×B⊂˚ A×˚ B. On a obtenu
˚
A×˚ B=˚ A×B.
Comme A×Best ferm´e, on a A×B⊃A×B. Montrons l’inclusion inverse.
Si (x, y) est dans A×B, alors pour tout ouvert ´el ´mentaire Ux×Vydans la
topologie produit, on a x∈Uxest un ouvert de Adonc Ux∩A=6=∅car
x∈A. De mˆeme, Vy∩B6=∅. Il en d´ecoule que (Ux×Vy)∩(A×B)6=∅et
donc (x, y) est adh´erent `a A×B. Ainsi, A×B⊂A×B.
Exercice 9 (Fronti`ere).Si Aest une partie d’un espace topologique X, la fronti`ere
de A, not´ee ∂A, est l’ensemble ∂A =A−˚ A.
1. Montrer que ∂A =A∩Ac=∂(Ac) et que ∂A est ferm´e.
2. D´eterminer la fronti`ere des ensembles de R2suivants:
A={(x, y)∈R2/0< x2+y2<2}, B =Q2, C =] −2,1[×[0,1].
Correction 9. 1 Par d´efinition, la fronti`ere de Aest l’intersection de l’adh´eren-
ce de Aet du compl´ementaire de l’int´erieur de A. D’apr`es l’exercice 7, le
compl´ementaire de l’int´erieur d’une partie est l’adh´erence de son compl´ementaire.
Donc ∂A =A∩Ac. On en d´eduit que ∂A =∂Acet que la fronti`ere est ferm´ee
comme intersection finie de ferm´es.
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