I) Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
REVOIR LE COURS SUR LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES
I) Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux
inconnues
Définition
Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme :
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
(a et b non nuls en même temps, de même pour a’ et b’).
1) Résolution algébrique par substitution
Méthode A NOTER AU FUR ET A MESURE DE L’EXEMPLE
1) A l’aide d’une des équations exprimer l’une des inconnues (x par exemple) en fonction de l’autre ;
2) remplacer x dans l’autre équation par ce que l’on a trouvé précédemment ;
3) résoudre alors cette équation d’inconnue y ;
4) remplacer la valeur trouvée pour y dans l’expression obtenue pour x.
Exemple
Résoudre le système
3 17
5 2 20
xy
xy
…
2
5
x
y
2) Résolution algébrique par combinaison
Voir activité 3 II page 42 : au parc zoologique
Méthode
1) Multiplier les deux membres de chaque équation par des réels non nuls de telle sorte que les coefficients des
deux inconnues soient identiques ou opposés ;
2) additionner ou soustraire membre à membre les deux nouvelles équations, il ne reste plus qu’une inconnue à
calculer ;
3) calculer l’autre inconnue.
Exemple
Résoudre le système
3 4 59
2 31
xy
xy
…
3
17
x
y
3) Résolution graphique

Systèmes d’équations linéaires
Méthode
1) On considère deux droites (d) et (d’) d’équations respectives ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0 ;
2) on détermine les équations réduites des droites (d) et (d’) ;
3) on trace (d) et (d’) ;
4) les solutions se déterminent selon les cas suivants :
Droites sécantes
Droites parallèles
Droites confondues
Le système a un unique couple de
solutions qui sont les coordonnées
du point d’intersection des deux
droites
Le système n’a aucun couple
solution
Le système a une infinité de
solutions (les coordonnées des
points de la droite)
Exemple :
4 2 8 0
3 3 6 0
xy
xy
1ère étape
Soit (d) d’équation
4 2 8 0xy  
et (d’) d’équation
3 3 6 0xy  
2ème étape
4 8 2
3 6 3
xy
xy
2 4 8
3 3 6
yx
yx
2 4 8
22
3 3 6
33
yx
yx
24
2
yx
yx
(d) a pour équation réduite
24yx
et (d’) :
2yx
3ème étape
On trace maintenant (d) et (d’)
(d) d’équation réduite
24yx
passe par le point de coordonnées (0 ; -4). -4 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 2.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
yx
yx

Systèmes d’équations linéaires
(d’) d’équation réduite
2yx
passe par le point de coordonnées (0 ; 2). 2 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 1.
4ème étape
Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est
6
8
x
y
Exemple
2 2 10 0
5 5 15 0
xy
xy
1ère étape
Soit (d) d’équation
2 2 10 0xy  
et (d’) d’équation
5 5 15 0xy   
2ème étape
2 2 10
5 5 15
yx
yx
5
3
yx
yx
(d) a pour équation réduite
5yx  
et (d’) :
3yx
3ème étape
On trace maintenant (d) et (d’)
(d) d’équation réduite
5yx  
passe par le point de coordonnées (0 ; 5). 5 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est -1.
(d’) d’équation réduite
3yx
passe par le point de coordonnées (0 ; 3). 3 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 1.
4ème étape
yx
yx
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Systèmes d’équations linéaires
Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est
1
4
x
y
II) Mise en équation d’un problème
Voir activité 3 page 42 : au parc zoologique
Méthode
1) Choisir des inconnues : Repérer dans l’énoncé les grandeurs à déterminer, les choisir comme inconnues et
leur donner un nom, par exemple : x, y … ;
2) mettre en équation : traduire les informations de l’énoncé de façon mathématique par une ou plusieurs
équations ;
3) résolution : résoudre l’équation ou le système d’équations à l’aide d’une des trois méthodes vues
précédemment ;
4) vérification : vérifier la cohérence de la solution trouvée ;
5) conclusion : répondre par une phrase au problème posé.
Exemple
Fabien est 3 fois plus riche que Juliette. Fabien n’a que 36 € de plus que Juliette. Quelle somme d’argent
possède Fabien et Juliette ?