I) Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
REVOIR LE COURS SUR LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES
I) Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux
inconnues
Définition
ax  by  c  0
Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme : 
a ' x  b ' y  c '  0
(a et b non nuls en même temps, de même pour a’ et b’).
1) Résolution algébrique par substitution
Méthode
A NOTER AU FUR ET A MESURE DE L’EXEMPLE
1) A l’aide d’une des équations exprimer l’une des inconnues (x par exemple) en fonction de l’autre ;
2) remplacer x dans l’autre équation par ce que l’on a trouvé précédemment ;
3) résoudre alors cette équation d’inconnue y ;
4) remplacer la valeur trouvée pour y dans l’expression obtenue pour x.
Exemple
 x  3 y  17
Résoudre le système 
5 x  2 y  20
…
x  2

y  5
2) Résolution algébrique par combinaison
Voir activité 3 II page 42 : au parc zoologique
Méthode
1) Multiplier les deux membres de chaque équation par des réels non nuls de telle sorte que les coefficients des
deux inconnues soient identiques ou opposés ;
2) additionner ou soustraire membre à membre les deux nouvelles équations, il ne reste plus qu’une inconnue à
calculer ;
3) calculer l’autre inconnue.
Exemple
3x  4 y  59
Résoudre le système 
 x  2 y  31
…
 x  3

 y  17
3) Résolution graphique
Systèmes d’équations linéaires
Méthode
1) On considère deux droites (d) et (d’) d’équations respectives ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0 ;
2) on détermine les équations réduites des droites (d) et (d’) ;
3) on trace (d) et (d’) ;
4) les solutions se déterminent selon les cas suivants :
Droites sécantes
Droites parallèles
Droites confondues
Le système a un unique couple de
Le système a une infinité de
solutions qui sont les coordonnées
Le système n’a aucun couple
solutions (les coordonnées des
du point d’intersection des deux
solution
points de la droite)
droites
Exemple :
4 x  2 y  8  0

3x  3 y  6  0
1ère étape
Soit (d) d’équation 4 x  2 y  8  0 et (d’) d’équation 3x  3 y  6  0
2ème étape
4 x  8  2 y

3x  6  3 y
2 y  4 x  8

3 y  3x  6
 2 y 4x  8
 2  2

 3 y  3x  6
 3
3
(d) a pour équation réduite y  2 x  4 et (d’) : y  x  2
 y  2x  4

y  x  2
12
11
3ème étape
On trace maintenant (d) et (d’)
10
9
8
7
6
5
yx
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
yx
-3
-4
-5
(d) d’équation réduite y  2 x  4 passe par le point de coordonnées (0 ; -4). -4 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 2.
9
10
Systèmes d’équations linéaires
(d’) d’équation réduite y  x  2 passe par le point de coordonnées (0 ; 2). 2 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 1.
4ème étape
x  6
Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est 
y  8
Exemple
2 x  2 y  10  0

5 x  5 y  15  0
1ère étape
Soit (d) d’équation 2 x  2 y  10  0 et (d’) d’équation 5 x  5 y  15  0
2ème étape
2 y  2 x  10
 y  x  5


5 y  5 x  15
y  x 3
(d) a pour équation réduite y   x  5 et (d’) : y  x  3
3ème étape
On trace maintenant (d) et (d’)
8
7
6
5
4
3
yx
yx
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
-1
(d) d’équation réduite y   x  5 passe par le point de coordonnées (0 ; 5). 5 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est -1.
(d’) d’équation réduite y  x  3 passe par le point de coordonnées (0 ; 3). 3 est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur de cette droite est 1.
4ème étape
Systèmes d’équations linéaires
x  1
Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est 
y  4
II) Mise en équation d’un problème
Voir activité 3 page 42 : au parc zoologique
Méthode
1) Choisir des inconnues : Repérer dans l’énoncé les grandeurs à déterminer, les choisir comme inconnues et
leur donner un nom, par exemple : x, y … ;
2) mettre en équation : traduire les informations de l’énoncé de façon mathématique par une ou plusieurs
équations ;
3) résolution : résoudre l’équation ou le système d’équations à l’aide d’une des trois méthodes vues
précédemment ;
4) vérification : vérifier la cohérence de la solution trouvée ;
5) conclusion : répondre par une phrase au problème posé.
Exemple
Fabien est 3 fois plus riche que Juliette. Fabien n’a que 36 € de plus que Juliette. Quelle somme d’argent
possède Fabien et Juliette ?