Électromagnétisme - Cours et autres pour MPSI 2

Électromagnétisme
Table des matières
1
Électrostatique
I)
II)
III)
5
Charges électriques et distribution de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1)
Charges ponctuelles et matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2)
Distribution volumique de charge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3)
Distribution surfacique de charge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4)
Distribution linéique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5)
Charge Ponctuelle
8
6)
Propriétés de symétrie et d'invariance des distributions de charge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
8
a)
Propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
b)
Propriété d'invariance
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ électrique créé par un ensemble de charges ponctuelles
. . . . . . . .
9
1)
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2)
Champ électrique créé par une charge ponctuelle en un point M
3)
4)
5)
. . .
10
Principe de superposition des champs électriques
. . . . . . . . . . .
11
Propriétés structurelles du champ électrostatique
. . . . . . . . . . .
11
Propriétés de symétrie du champ électrostatique . . . . . . . . . . . .
11
Champ électrostatique créé par une distribution continue de charge
1)
2)
3)
. . . . .
12
Propriétés de symétrie et d'invariance du champ électrique . . . . . .
12
a)
Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
b)
Invariances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
c)
Symétries
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Calcul direct de champ électrostatique
. . . . . . . . . . . . . . . . .
13
a)
Principe et méthode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
b)
Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
c)
Distribution surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
d)
Distribution linéique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
e)
Exemples de calcul de champs électrostatiques . . . . . . . .
14
Théorême de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
a)
Flux d'un champ de vecteur à travers une surface . . . . . .
16
b)
Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée .
16
c)
Calcul de E par le théorème de Gauss
17
2
. . . . . . . . . . . .
IV)
Potentiel électrostatique, énergie électrostatique
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
a)
Cas d'une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
b)
Potentiel électrostatique, Équipotentielle . . . . . . . . . . .
20
c)
Exemples
21
d)
Calcul direct de potentiel
1)
Circulation d'un champ de vecteur
2)
Potentiel électrostatique
3)
4)
2
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Énergie potentielle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
a)
Cas d'une particule chargée dans un champ électrique extérieur 23
b)
Cas de deux particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Analogie électrostatique-gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Magnétostatique
I)
. . . . . . . . . . .
25
1)
Mise en évidence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2)
Distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3)
II)
25
Sources de champ magnétique : distributions de courant
a)
Courant électrique, intensité électrique . . . . . . . . . . . .
25
b)
Distribution linéique de courant . . . . . . . . . . . . . . . .
25
c)
Distribution surfacique de courant
. . . . . . . . . . . . . .
26
d)
Distribution volumique de courant
. . . . . . . . . . . . . .
26
e)
Lien entre les distributions de courant et les porteurs de charge 26
f)
Cas d'une charge ponctuelle en mouvement
. . . . . . . . .
26
. . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Symétrie et invariances d'une distribution de courant
Champ magnétostatique
1)
Action d'un champ B sur une particule chargée
. . . . . . . . . . . .
27
2)
Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3)
4)
5)
a)
Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
b)
Cas d'une distribution linéique de courant . . . . . . . . . .
28
c)
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Représentation du champ B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
a)
Ligne de champ et tube de champ
. . . . . . . . . . . . . .
30
b)
Propriété importante du ux magnétique . . . . . . . . . . .
31
Invariances et symétries
a)
Invariances
b)
Symétries
Théorème d'Ampère
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
a)
Circulation
b)
Intensité enlacée
c)
Énoncé du théorème d'Ampère
d)
Exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3
3
Mouvement d'une particule chargée dans un champ statique
34
I)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1)
Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2)
Ordre de grandeur
34
II)
Force de Lorentz
Eet d'un champ électrique statique sur une particule chargée
1)
2)
III)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
35
Déexion, accélération d'une particule chargée . . . . . . . . . . . . .
35
a)
Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
b)
Accélération d'une particule dans un champ E . . . . . . . .
35
c)
Déexion de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Modèle de conduction électrique : modèle de Drüde
. . . . . . . . . .
Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique
1)
36
. . . . . . .
37
Mouvement d'une particule chargée dans le vide . . . . . . . . . . . .
37
a)
Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
b)
Applications
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
Électrostatique
Introduction
→
− →
−
( E , B ).
→
−
→
−
Régimes dépendants du temps => couplage E et B (conséquence : ondes éléctromag-
Étude du champ électromagnétique
nétiques).
Maxwell en 1850, 4 équations (l'année prochaine).
Régime stationnaire = découplage entre
→
−
E
→
−
Magnétostatique B
→
−
E
et
→
−
B
Électrostatique
I) Charges électriques et distribution de charge.
1) Charges ponctuelles et matière
Approche microscopique
Un atome est constitué de particules chargées :
−19
L'électron, q = −e, e = 1, 6.10
C , [q] = [I∆t]
Le proton,
= AT
q = +e
L'ion : édice globalement chargé.
Plasma d'atomes ionisés.
Échelle macroscopique
La matière est généralement globalement neutre
Exemple
N aCl(s)
N a+ + Cl− → globalement
neutre.
En solution aqueuse, la répartition fait qu'il y a équilibre entre les charges positives et les
charges négatives.
Contre Exemple : Faisceau d'électrons se propageant dans le vide.
5
Électrisation de la matière
Apparition de charges : le milieu n'est plus globalement neutre.
Arrachage des électrons du cortège électronique par frottement.(voir che)
1012
7
Q ' 10−12 C , Q = ne, n = Qe = 1,6.10
19 , n ' 10 électrons arrachés.
−1 n
23
n à comparer avec N = 6, 022141.10 mol ,
= 10−16 : proportion d'électrons arrachés
N
très faible. Les électrons sont arrachés aux atomes de surface.
Isolant : Pas de réorganisation des charges.
Conducteur : Électrons mobiles
Électrisation par inuence
→
réorganisation des charges.
: Cas des conducteurs (voir che).
Conclusion
On peut voir apparaître des zones chargées à l'échelle macroscopique. Comment décrire ces
répartitions de charge ?
2) Distribution volumique de charge
Cas le plus courant où la charge se répartit dans un volume.
Dénition 1 : Densité volumique de charge
Charge totale contenue dans
3
−3
ρ(M ) =˝dd3 Vq en C.m
.
˝
3
V : Q =
dq=
ρ(M )d3 V
Densité volumique de charge :
V
Rappel
d3 V = dxdydz .
3
Cylindrique : d V = rdθdrdz
3
Sphérique : d V = rdθr sin θdφdr
Cartésien :
Exemple
Cas d'une boule uniformément chargée.
ρ(M )˝
= ρ0
Q=
ρ 0 d3 V
V˝
Q = ρ0 d3 V
V
Q = ρ0 V = 43 πR3 ρ0
ρ(M ) = ρ0 Rr
Vcoquille = 4πr2 dr
dq = ρ0 Rr 4πr2 dr
´R ρ0
Q=
4πr3 dr
R
r=0
h 4 iR
Q = ρR0 4π r4
Cas où
4
0
Q = ρ0 π RR = ρ0 πR3
6
´R ´π ´2π
Q=
r=0 θ=0 φ=0
ˆ2π ˆπ
Q=
ρ0 Rr r2 sin θ dθ dφ dr
ˆR
r3
R
0
0
0
| {z } | {z } | {z }
dφ
2π
sin θ dθ
2
ρ0
3
ρ0 R4
Application Atome d'hydrogène.
Premier modèle de H : modèle de Thomson.
◦
Noyau = charge diuse de rayon R ' 1A
Q
12
−3
, électron piégé dans cette charge
Qtot = +e, ρ uniforme, ρ = 4 πR
3 = 3, 2.10 C.m
3
diuse.
Modèle planétaire proposé par Rutherford.
ρ0 = 4 +e
= 3, 5.1027 C.m−3
πR3
3
3) Distribution surfacique de charge
Cas où la charge se répartit sur une surface. (voir che).
L'épaisseur est négligeable devant les autres dimensions, le volume se réduit à un plan.
˜
d2 q
−2
σ(M )d2 S
La densité surfacique de charge σ(M ) = 2 en C.m . Q =
d S
M ∈S
Exemple
Disque uniformément chargé
˜
densité surfacique de charge uniforme. Q =
σ0 d2 S = σ0
r
Cas où σ(r) = σ0 , l'élément de surface est une couronne.
R
σ0
˜
d2 S = σ0 S = σ0 πR2
dq = σ(r)dS
dq = σ0 Rr 2πrdr
´R
Q = 0 σR0 2πr2 dr
3
Q = σR0 2π R3
Q = σ0 23 πR2
On peut également intégrer en fonction des deux variables (ici on avait directement intégré
θ).
d S = rdθdr
d2 q = σ(r)rdθdr
´ R ´ 2π
Q = r=0 θ=0 σ(r)rdrdθ
ˆ 2π
´R
= r=0 σ(r)rdr
dθ
θ=0
| {z }
2π
´R
= r=0 σ(r)2πrdr
selon
2
7
4) Distribution linéique de charge
Cas où la charge se répartit sur un l à 1D.
dq
−1
en C.m , charge par unité de longueur.
Densité linéique de charge : λ(M ) =
dt
´
Q=
M ∈L
λ(M )dl
5) Charge Ponctuelle
Cas où la charge se concentre en un point.
Cas où les dimensions de la distribution de charge sont négligeables à l'échelle d'étude,
q=
P
i qi .
Exemple
un ion à l'échelle macroscopique = une charge ponctuelle
q = Ze − (Z − n)e
Remarque
Les distributions surfaciques, linéiques et ponctuelles sont des modélisations
d'une situation réelle où la distribution volumique est de rigueur
Ces trois distributions vont générer des problèmes de discontinuité (de champ électrique)
6) Propriétés de symétrie et d'invariance des distributions de
charge
a)
Propriétés de symétrie
On repère les plans de symétrie
ΠS
et les plans d'antisymétrie
ΠAS
de la distribution de
charge.
Exemples
1. Boule uniformément chargée.
Tous les plans passant par 0 sont des plans de symétrie. En M :
ΠS =
(M, ~ur , ~uθ )
(M, ~ur , ~uφ )
.
Pas de plans d'antisymétrie.
2. (Voir che) Tous les plans passant par AB sont des plans de symétrie, le plan médian
est un plan d'antisymétrie.
Remarque
: Les plans d'antisymétrie existent éventuellement si la distribution contient
des charges positives et négatives.
b)
Propriété d'invariance
Dénition 1 :
Il y a invariance par translation si on retrouve la même distribution après une translation à
préciser.
Il y a invariance par rotation si on retrouve la même distribution après une rotation à
préciser.
8
Exemples
1. Boule uniformément chargée,
ρ = ρ0
ρ(r).
ou
La distribution est invariante par rotation d'angle
de
θ
et
φ
et d'angle
θ. ρ
est indépendante
φ.
2. Cas d'un l
λ
inni et uniforme.
Il y a invariance de la distribution de charge par rotation d'angle
translation selon
θ
ainsi que par
~uz .
3. Plan inni uniformément chargé.
En repérage cartésien, invariance de la distribution par translation selon
~ux
et selon
~uy .
Conclusion
:
L'étude des invariances permet de connaître les variables qui vont intervenir
Méthode
Se donner un système de repérage adapté.
Repérer les plans de symétrie et d'antisymétrie.
Repérer les invariances par rotation et translation pour éliminer des variables.
II) Champ électrique créé par un ensemble de charges
ponctuelles
1) Loi de Coulomb
Cas où les charges sont immobiles.
→
−
A qB 1
F A→B = q4π
ur
2~
0 r
1
9
Force newtonienne,
= 9.10 USI.
4π0
h
i
2
1
= [F[q]]L2
4π0
Force électrique :
−2
2
L
= M LT
A2 T 2
= M L3 T −4 A−2
−1 −3 4 2
[0 ] = M L T A
qA qB < 0 → attractif
qA qB ,
> 0 → repulsif
→
−
mA mB G
Analogie avec l'intération gravitationnelle : F A→B = −
~ur , G = 6, 674.10−11 USI.
r2
La force électrique est proportionnelle à
Cas de deux électrons :
Fg
A mB
' qGm
1
Fe l
A qB 4π
−11
0
−31 2
∼ 10(10−19(10)2 1010)
∼ 10−45
9
2) Champ électrique créé par une charge ponctuelle en un point
M
Dénition 1 :
Soit une particule A de charge
→
−
qA 1
F A→M = q
~uAM
4π r2
}
| 0 {z
qA .
−
→
E A (M )
→
−
E A (M ) =
qA
1
~u . Le
4π0 AM 2 AM
champ électrique représente l'action de la charge qA en un point M où l'on placerait une
On appelle champ électrique créé par la charge ponctuelle A :
charge q :
→
−
→
−
F A→M = q E A (M ).
But
Déterminer le champ électrique créé par
qA
placée en A en tout point M de l'espace.
→
−
E A (M ) est une grandeur vectorielle dépendant de la position de M en norme et en direction
→
−
=> champ vectoriel E (M ).
→
−
Unité de E :
−2 L
]
[E] = [F
= M LT
[q]
AT L
]
L2 T −2
= MALT
= [energie
ALT
][I]T
]AT
= [UALT
= [UALT
= [UL ] , E s'exprime en V.m−1
6
−1
Ordre de grandeur : Emax (air) = 6.10 V.m , au delà, claquage (arc électrique).
→
−
Cartographie de E (M ) : allure des lignes de champ (LDC).
Dénition 2 : Ligne de Champ
Une ligne de champ électrique est tangente en tout point au champ
Détermination mathématique des LDC, on cherche
alors
→
− ~ ~
E ∧ dl = 0.
~ ∈ LDC
dl
Par intégration, on obtient les équations des LDC.
Exemple
Une charge ponctuelle
~ = dr~ur + rdθ~uθ + r sin θdφ~uφ
dl
→
−
E = 4πqA0 r2 ~ur = Er (r)~ur

 
 

ER
dr
0
 0  ∧  rdθ
 =  −Er r sin θdφ  = ~0
r sin θdφ
Er rdθ
0
−Er (r)r sin θdφ = 0 → dφ = 0 → φ = cste
Er (r)rdθ = 0
→ dθ
= 0 → θ = cste
θ=K
Les LDC on pour équation
→ rayon.
φ = K0
10
→
−
E.
tel que
~
dl
est colinéaire à
→
−
E,
Observation : Sur les deux exemples de charges ponctuelles q > 0 et q < 0, on remarque
que :
Le champ électrique n'est pas déni au niveau de la charge ponctuelle.
→
−
E
diverge des charges positive et converge vers les charges négatives.
3) Principe de superposition des champs électriques
Le champ électrique en un point M de l'espace est la somme des champs électriques créés
par toutes les charges présentes.
4) Propriétés structurelles du champ électrostatique
E diverge des charges positives et converge vers charges négatives.
Les plans de symétrie du champ électrique sont les mêmes que les plans de symétrie
de la distribution de charge.
Si deux lignes de champ se croisent, alors le champ électrique, s'il est déni, est nul au
croisement.
Pour un plan d'antisymétrie de la distribution de charge, les plans d'antisymétrie de
la distribution de charge sont antisymétriques du champ électrique.
Lorsque la distribution est globalement neutre, les lignes de champ partent des charges
négatives et reviennent aux positives.
Pour une distribution globalement positive, les LDC divergent de la distribution vers
l'inni. Vue de loin, tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle positive.
Pour une distribution globalement négative, les LDC convergeant de la distribution vers
l'inni. Vue de loin, tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle négative.
5) Propriétés de symétrie du champ électrostatique
Principe
On observe les symétries de la distribution de charge.
Un plan de symétrie de la distribution de charge est un plan de symétrie du champ
Conséquence, si un point
M ∈ ΠS
alors
→
−
E A (M )
est contenu dans
ΠS
→
−
E.
(si il est déni).
Un plan d'antisymétrie de la distribution de charge est plan d'antisymétrie pour le champ
électrostatique.
Conséquence, si un point
M ∈ ΠAS ,
alors
→
−
E A (M ) ⊥ ΠAS
(si il est déni).
On admet la généralité de ses propriétés de symétrie pour des distributions volumiques,
surfaciques et linéiques.
11
III) Champ électrostatique créé par une distribution continue de charge
1) Propriétés de symétrie et d'invariance du champ électrique
a)
Principe de Curie
Énoncé :
Les eets présentent les mêmes symétries et invariances que les causes.
Cause : Distribution de charge.
Eet : Champ électrique.
b)
Invariances
Les invariances de la distribution de charge se retrouvent sur la norme du champ électrique.
Exemples
ρ(M ) = ρ0
1. Boule uniformément chargée,
rotation par rapport à
→
−
kE k
θ
à l'intérieur, 0 à l'extérieur. Invariance par
φ.
→
−
φ, k E k = E(r)
et par rapport à
est indépendante de
θ
et
2. Cylindre inni uniformément chargé,
ρ0
ou même
→
−
ρ(r) r, θ, z , k E k = E(r, θ, z).
Invariances de la distribution de charge :
Invariance par rotation par rapport à
θ.
Invariance par translation par rapport à z.
d'où
c)
→
−
k E k = E(r).
Symétries
Plans de symétrie :
ΠS
en
plan de symétrie de la distribution de charge = plan de symétrie de
ΠS
:
→
−
E,
s'il est déni,
→
−
E.
∈ ΠS .
Plans d'antisymétrie :
ΠAS plan d'antisymétrie de la distribution de
ΠAS :
→
−
E , s'il est déni, est perpendiculaire à ΠAS .
charge = plan d'antisymétrie de
Exemples
1. Boule uniformément chargée, coordonnées sphériques
Invariance par rapport à
θ, φ
=>
→
−
k E k = E(r).
ρ(r) = ρ0 si r < R
ρ(r) = 0 si r > R
Détermination des plans de symétrie (ou d'antisymétrie passant par M).
12
.
→
−
E
en
(M, ~ur , ~uθ ) et (M, ~ur , ~uφ ) sont
→
−
→
−
E ∈ ΠS , E est porté par ~ur .
→
−
E = E(r)~ur .
des plans de symétrie.
2. Fil inni uniformément chargé de densité linéique de charge
λ.
Invariance par translation par rapport à z.
Invariance par rotation par rapport à
θ.
Plans de symétrie :
(M, ~uθ , ~ur ), (M, ~ur , ~uz ).
→
−
→
−
=> E porté par ~
ur . E (M ) = E(r)~ur .
3. Plan inni uniformément chargé
Invariance selon x
Invariance selon y
Plans de symétrie
→
−
E = E(z)~uz
(M, ~uz , ~ux )
et
(M, ~uz , ~uy )
Le plan inni est un plan de symétrie de distribution donc du champ électrique.
Sur le plan de la distribution de charge,
→
−
E
est soit nul, soit non déni.
2) Calcul direct de champ électrostatique
a)
Principe et méthode
Étudier les invariances et symétries de la distribution de charge.
=> conséquences sur
→
−
E
(variables + direction).
On découpe la distribution de charge en charges élémentaires assimilées à des charges
ponctuelles.
Chaque charge ponctuelle crée en M un champ électrique donné par la loi de Coulomb.
On somme tous les champs électriques créés par toutes les charges de D
b)
Distribution volumique
Champ électrique créé par
→
−
1 ρ(P )d3 V
~uPM .
d3 E = 4π
P M2
0
˝
→
−
ρ(P
)d3 V
1
E (M ) =
~uPM
4π0 P M 2
d3 q
en P.
P ∈D
c)
Distribution surfacique
→
−
1 σ(P )d2 S
d2 E = 4π
~uP M
M2
˜ 0 1 Pσ(P
→
−
)d2 S
E (M ) =
~uP M
4π0 P M 2
P ∈S
13
d)
Distribution linéique
→
−
1 λ(P )dl
d E (M ) = 4π
uP M
2 ~
0 PM
´
→
−
λ(P
)dl
1
E =
~u
4π0 P M 2 P M
P ∈L
e)
Exemples de calcul de champs électrostatiques
Exemple
Fil inni uniformément chargé
→
−
E = E(r)~ur
λ
Charge élémentaire en P.
dq = λdl
p= λdzP
P M = r2 + zP2
→
−
1
λdl
d E (M ) = 4π
uP M
2~
0 PM
1 λdzP
= 4π0 r2 +z2 ~uP M
P
→
−
d E (M ) = dEr ~ur + dEz ~uz
|{z}
|{z}
´
´
dEr =E(r)
dEr
→
−
= d E .~ur
1 λdzP
= 4π
uP M ~ur
2 ~
2
0 r +z
dEz =0
P
~uP M .~ur = cos α
= P rM
= √ 2r
dEr =
2
r +zP
λdzP r
1
.
4π0 (r2 +z 2 ) 23
P
On somme sur tout le l.
→
−
E(r) = E .~ur
´
=
dEr
P ∈l
´∞
λrdzP
1
4π0 (r2 +z 2 ) 23
P
−∞
Changement de variable zP →
cos α = √ 2r 2
r +zp
3
2
2 23
(r + zP ) = cosr 3 α
zP
= tan α
r
(tan α)0 = 1 + tan2 (α) = cos12 α
dzP
= cos21(α) dα
r
=
α.
14
π
´2
E(r) =
α=− π2
=
=
λ 1
4π0 r
1 λr2 dα cos3 α
4π0 cos2 α r3
π
´2
cos αdα
− π2
λ
2π0 r
Discussion
→
−
E =
λ 1
~ur
2π0 r
|E(r)| → +∞
r→0
Le champ électrique n'est pas déni et diverge sur la distribution linéique de charge.
Si les lignes de champ se resserent,
→
−
kE k
augmente.
Exemples
1. Champ créé par un disque uniformément chargé sur son axe
d2 q = σ 0 d2 S
d2 S = rP dθdrP
= σ0 rP dθdrP
Invariance selon θ .
Symétries : tout plan passant par l'axe est plan de symétrie.
→
−
M ∈ Axe E (M ) = E(z)~uz
→
−
1 σ0 rP dθdrP
d E (M ) = 4π
~uP M
P M2
0
→
−
d2 E (M )).~uz = dEz
~uP M .~uz = cos α = √r2z+z2
σ0 rP dθdrP
d2 Ez = 4π
3 z
2
0
2
avec
PM =
p
r2 + zP2 .
(r +zP ) 2
On somme sur P
´2π ´R
∈
disque.
σ0 z rP drP
dθ
4π0 (r2 +z 2 ) 23
P
θ=0 r=0
´R
= σ200z 22 2 rdr2 3
(r +z ) 2
0
R
3
2
2 − +1
σ0 z (r +zP ) 2
= 20
− 32 +1
0
q
h
i
σ0 z
1
√
= 20 − R2 +z2 + z12
Ez (z) =
→
−
E =
σ
20
=
h
σ0
20
h
z
|z|
−
√ z
R2 +z 2
i
i
√ z
~uz
R2 +z 2
Le plan du disque est un plan de symétrie.
signe(z)
−
→
−
E = E(z)~uz
E(z) est impaire.
→
−
z → 0, E ∼
σ
signe(z)
20
Discussion, le champ E subit une discontinuité à la traversée d'une surface chargée.
en 0
Il n'est pas déni sur une distribution surfacique de charge à la traversée
15
|E+ −E− | =
|σ|
0
2. Cas d'un condensateur plan (voir che). Cas où on néglige les eets de bords c'est à
dire des plaques supposées plans innis. Déterminer le champ électrique créé en tout
Q
point de l'espace. On suppose de plus le plan chargé de façon uniforme, σ = σ0 =
.
S
3) Théorême de Gauss
a)
Flux d'un champ de vecteur à travers une surface
→
−
A (M )
champ vectoriel.
Dénition 1 : Surface ouverte ou fermée
Une surface est dite ouverte si elle s'appuie sur un contour fermé (lacet).
Une surface est dite fermée si elle ne s'appuye pas sur un contour. Dans ce cas elle délimite
un intérieur et un extérieur.
Exemples
1. surface fermée : un ballon.
2. surface ouverte : bulle de savon que l'on soue.
Dénition 2 : Orientation d'une surface
Surface fermée :
Soit
~n
le vecteur unitaire normal à la surface.
~n
est orienté de l'extérieur vers l'intérieur.
Surface ouverte :
On oriente au préalable le contour, puis on en déduit l'orientation de
~n
par la règle de la
main droite.
Dénition 3 : Flux élémentaire
−−−→ −−→ −−−→
→
− 2
A , d φ = A(M ).d2 S = A(M ).~nd2 S .
˜ −−−→ −−
→
travers une surface S : Φ =
A(M ).d2 S .
On appelle ux élémentaire de
On déni ainsi le ux de
Si la surface est fermée,
→
−
A
à
! −−−→ −−
−→
Φ=
A(M ).d2 Sext
M ∈S
M ∈S
b)
Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
Exemples
1. Cas d'une charge ponctuelle.
Champ électrique : invariance de la distribution de charge selon
|E(r)|.
Plans de symétrie : passant par OM,
→
−
q 1
Loi de Coulomb : E =
~u .
4π0 r2 r
Flux de
→
−
E
→
−
E = E(r)~ur .
à travers une surface fermée.
16
θ
et
φ,
d'où
kEk =
−−−→
→
−
d2 Φ = E (M ).d2 SM
q
1 2
= 4π
ur ~ur
2 d S~
0 R
q
1 2
d
S
d2 Φ = 4π
! 0 qR2 1 2
Φ =
d S Qint
4π0 R2
M ∈S
"
q
1
d2 S
Φ = 4π0 R2
: charge contenue à l'intérieur de la surface.
M ∈S
| {z }
Φ =
Φ =
=
4πR2
q
1
2
4πR
4π0 R2
q
0
Qint
0
2. Flux du champ électrique créé par un l inni uniformément chargé.
Slat + Sbas + Shaut .
|{z} | {z }
|{z}
Choix d'une surface fermée
→ =
Φ−
E
~
n=~
ur
! →
−−→
−
E (M )d2 S
~
n=−~
uz
→
−
E =
λ 1
~u
2π0 r r
~
n=~
uz
M ∈S
= Φlat + Φbas + Φhaut
{z
}
|
= Φlat
˜
=
=
=
−
→
=0 car E ⊥~
n
λ 1
~u .d2 S~ur
2π0 R r
M ∈Slat
˜ 2
λ 1
dS
2π0 R
Slat
λL
0
Proposition 4 : Théorème de Gauss
Le ux du champ électrique à travers une surface fermée est égale à la charge contenue à
l'intérieur de la surface
! →
−
→
−
E (M )dS = Qint
0
M ∈S
c)
Qint
sur
0 .
Calcul de E par le théorème de Gauss
Cette méthode est adaptée pour les problèmes de haute symétrie.
Méthode :
17
Schéma de la distribution de charge
Choix d'un système de repérage
Invariances, symétries de la distribution de charge, conséquences sur le champ électrique.
Choix de la surface fermée la plus adaptée (surface de Gauss).
Calcul du ux de
→
−
E
à travers cette surface fermée.
Calcul de la charge contenue à l'intérieur de la surface fermée.
Application du théorème de Gauss.
Exemples
1. Cas de la boule uniformément chargée.
Repérage sphérique, invariances par rotation par rapport à
Symétries,
→
−
−
E = E(r)→
u r.
θ
et
→
−
φ, k E k = |E(r)|.
Surface de Gauss : sphère de rayon r de centre O. Cas où r < R ou r > R.
→
−
E à travers S :
4 3
! →
!
→
− −−
πr ρ0
2
2
3
E .d S =
E(r) d S~ur ~ur Qint =
4
πR3 ρ0
M ∈S
M ∈S | {z }
3
cst sur S
! 2
= E(r)
dS
Flux de
si
si
r<R
r >= R
M ∈S
D'où,
= 4πr2 E(r)
!→
→ Qint
− −
E .dS = 0
Si r < R,
4πr2 E(r) =
rρ0
4 πr3 ρ0
, E(r) =
.
3 0
30
R3 ρ0
4 πR3 ρ0
.
, E(r) =
3 0
30 r2
2
Si r > R, 4πr E(r) =
ρ0
r~ur
si
→
−
30
E =
Q 1
~u
sinon
4π0 r2 r
r<R
Application : Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène
R ' 0, 5.10−10 m, ρ0 =
+e
4
πR3
3
L'électron est une charge ponctuelle se déplaçant dans
Force exercée sur l'électron :
→
−
F =
−→
−e2 1 −
OM .
4π0 R3
→
−
→
−
F = q E = − eρ300r ~ur .
→
−
E (r) =
ρ0 r
~u .
30 r
→
−
PFD : m~
a= F
−−→
−→
d2 OM
−e2 −
m dt2 = 4π
3 OM
0R
−−→
−−→ ~
d2 OM
e2
+ m4π
3 OM = 0
dt2
0R
Oscillateur harmonique, l'électron oscille autour de 0,
e
1 .
(m4π0 R3 ) 2
Modèle faux car remis en question par Rutherford => modèle planétaire.
2. Plan inni uniformément chargé.
→
−
k E k = |E(z)|.
contenant (M, ~
uz ).
Invariances par translation selon x et y,
Symétries selon tous les plans
ω0 =
18
→
−
E = E(z)~uz , ΦE = Φhaut + Φbas + Φlat
|{z}
0
E(−z) = −E(z).
Φhaut = E(z)~uz S~uz .
Φbas = E(−z)~uz S(−~uz )
= −E(z)~uz S(−~uz )
= E(z)S~uz .~uz
= E(z)S
Qint = σ0 S
!→
→
− −
Théorème de Gauss :
E .dS =
On a de plus
Qint
0
2E(z)S = σ00S
σ0
E(z) = (signe(z)) 2
0
IV) Potentiel électrostatique, énergie électrostatique
1) Circulation d'un champ de vecteur
Soit un contour
C.
Dénition 1 :
−−−→ ~
dC = A(M ).dl
M.
´ →
−
~ M.
Circulation le long du contour C , C =
A (M ).dl
M ∈C
¸ −−−→
~M
Cas d'un contour fermé, C =
A(M ).dl
On appelle circulation élémentaire
M ∈C
Exemple
→
− ~
F .dl > 0
→
− ~
F .dl = 0
→
− ~
F .dl < 0
Travail d'une force
=> moteur
=> résistant
2) Potentiel électrostatique
a)
→
−
E =
Cas d'une charge ponctuelle
q 1
~u .
4π0 r2 r
Montrons que la circulation de
→
−
E
est indépendante du chemin suivit.
Soit un chemin quelconque de A à B.
~ = dr~ur + rdθ~uθ + r sin θdφ~uφ .
dl
19
→
− ~
δC = E .dl
q 1
= 4π
0 r2 dr q (−1)
= d 4π
r
0
h
irB
´ →
− ~
q 1
C =
E .dl = − 4π
0 r
rA
A→B h
i
q
1
1
= 4π0 rA − rB
Ainsi C est indépendant du chemin suivit, il existe V(m) un champ scalaire tel que
→
− ~
E .dl =
−dV .
b)
Potentiel électrostatique, Équipotentielle
À tout champ électrostatique
→
−
E,
on associe un champ scalaire V(M) appelé potentiel
électrostatique tel que.
−−→
→
− ~
~ (dénition mathématique).
dV = E .dl
, or dV = grad(V ).dl
−−→
→
−
D'où E = −grad(V ), le potentiel est déni à une constante
´
´ →
− ~
−dV =
E .dl
A→B
d'intégration près :
A→B
Proposition 1 :
´ →
− ~
E .dl,
VA − VB = UAB =
indépendant du chemin suivit.
A→B
Exemple
UAB =
Condensateur plan
´ →
− ~
E .dl
A→B
x
´B σ
dx.
=
0
xA
= σe
0
e
= Q
S 0
Q
On a donc U =
avec
C
C=
0 S
= capacité du condensateur plan.
e
Dénition 2 : Surface équipotentielle
Il s'agit de la surface de l'espace où le potentiel a la même valeur en tout point = surface
iso V.
Représentation des surfaces équi V, analogie paysagère.
Surface équi V
'
Lignes de champ
lignes de niveau à altitude constante.
'
−−→
→
−
E = −grad
V
−−→
direction
gradV :
lignes de plus grande pente.
=> direction de variation du potentiel
norme => taux de variation
20
.
Proposition 3 :
→
−
E est dirigée vers les potentiels décroissants.
→
−
~ ∈ surface équiV.
E ⊥ équipotentielles, dl
→
− ~ →
−
~
dV = 0 = − E .dl, E ⊥ dl
→
−
V est additif, tout comme E (principe de superposition).
¸ →
− ~
E .dl = VA − VA = 0.
A→A
→
−
On dit que E est à circulation constante, ce qui a pour
conséquence que les lignes de
champ ne peuvent pas être fermées.
c)
Exemples
1. Cas de charges ponctuelles.
(
→
−
E
=
V (r) =
q 1
~u
4π0 r2 r
q 1
4π0 r
Le potentiel diverge au niveau d'une charge ponctuelle.
Une charge ponctuelle :
Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ => sphères de rayon r.
→
−
E
→
− ~
E = 0.
Équipotentielles serrées =>
Zones de V constante :
important, peu serrées =>
→
−
E
faible.
Les propriétés de symétrie et d'invariance de la distribution de charge se
retrouvent sur le potentiel
Doublet de charge,
V (M ) =
q
1
4π0 r+
−
q
1
4π0 r−
2. Potentiel créé par un l inni uniformément chargé.
→
−
λ 1
~ur
E (M ) = 2π
0 r
→
− ~
−dV = E .dl
.
~
dl = dr~ur + rdθ~uθ + dz~uz .
λ 1
−dV = 2π
dr
0 r
´
λ
V = − 2π0 dr
V diverge
r
λ
= − 2π0 ln r + A
au niveau du l.
3. Plan inniment chargé :
E = − dV
.
dz
→
− ~
z > 0, E .dl = −dV
~ = dx~ux + dy~uy + dz~uz
dl
→
− ~
E .dl = 2σ0 dz = −dV
→
− ~
V = − 2σ0 z + A. z < 0, E .dl
= − 2σ0 dz
σ
V = 20 z + B .
+
−
V est continue en z=0, V (0 ) = A = V (0 ) = B , A = B.
V est continu au niveau de la surface chargée,
4. Boule uniformément chargée.
→
−
ρ0
r~ur
r < R, E =
30
21
→
−
Q 1
E = 4π
~u
r2 r
→
− − 0→
− +
ρ0 R
En R, E (R ) = E (R ) =
~ur .
→
− ~ 3
V est continu, dV = − E .dl = −E(r)dr .
−ρ0
rdr
Pour r < R, dV = −
30
ρ0 r 2
V = − 30 2 + A
Q dr
Pour r > R, dV = −
4π0 r2
Q 1
V = 4π
+B
0 r
V (r → +∞) = 0 ⇒ B = 0.
r > R,
Pour déterminer A, on utilise la continuité de V en r = R.
Q 1
V (R+ ) = 4π
0 R
3
0R 1
= ρ3
0 R
−
= V (R )
= − 6ρ0 R2 + A
ρ0
R2 (1 + 12 )
A = 3
0
2
0R
A = ρ2
= V (0)
0
Conclusion
:
Charge ponctuelle, E,V divergent au niveau des charges ponctuelles.
Distribution linéique de charge, E,V divergent.
Distribution surfacique de charge, E est discontinu (sans diverger), V est continu.
Distribution volumique de charge, E,V sont continus.
d)
Calcul direct de potentiel
Ce qui suit est valable uniquement pour des distributions de charge nies.
On utilise le principe de superposition pour le potentiel, connaissant le potentiel créé par
une charge ponctuelle.
q
1
.
V (M ) = 4π
0 PM
Distribution volumique,
V (M ) =
˝
P ∈D
d3 V =
ρ(P )d3 τ 1
.
4π0 P M
ρ(P )d3 τ
.
4π0 P M
˜ σ(P )d2 S
V (M ) =
4π0 P M
P ∈S
´ λ(P )dl 1
Distribution linéique, V (M ) =
4π0 P M
P ∈C
P
Charges ponctuelles, V (M ) =
Vi (M ).
Distribution surfacique,
i
Exemple
Calcul de V(0) au centre d'une boule uniformément chargée.
d3 q = ρ0 drrdθr sin θdφ
2
θdθdφdr
d3 V (0) = ρ0 r sin
4π0 r
´2π
´π
´R
ρ
V (0) =
dφ
sin θdθ
rdr 4π
0
φ=0
θ=0
r=0
22
V (0) = 2π × 2 ×
R 2 ρ0
2 4π0
ρR2
20
Autre volume eltaire,
V (0) =
dV = 4πr2 dr.
3) Énergie potentielle électrostatique
a)
Cas d'une particule chargée dans un champ électrique extérieur
Force exercée sur M,
→
−
→
−
F = qE.
Travail de la force électrique :
→
− ~
→
− ~
δW = F .dl
= q E .dl
−−→
~
= q(−gradV ).dl
= q(−dV )
= −d(qV )
= −dEP
EP = énergie potentielle électrostatique.
EP = qV (M ).
´ →
− ~
→
−
F .dl = EP (A) − EP (B) = q(VA − VB )
W(F ) =
A→B
→
−
W ( F ) = qUAB
Exemple
WA→B (Fel ) = (−e)(−U ) = eU , ∆EC = eU .
b)
Cas de deux particules chargées
Énergie potentielle d'interaction entre deux particules chargées = énergie potentielle de
l'une au voisinage de la deuxième.
q1 q2
EP = 4π
0 r12
= q1 V2 (M1 )
= q2 V1 (M2 )
= 12 (q1 V2 + q2 V1 )
4) Analogie électrostatique-gravitation
f~ =
1 q1 q2
~ur
4π0 r2
→
−
Gm1 m2
F g = − r2 ~ur
Analogie q ↔ m,
1
4π0
↔ −g .
23
Électricité
Gravitation
Une charge ponctuelle, loi de Coulomb
→
−
1 q
ur
E = 4π
2~
0 r
une masse ponctuelle
Distribution de charge
Distribution de masse
3
ρ(P ) = ddτm3 masse volumique.
˝ ρ(P )d3 τ
→
−
G = −G
~uP M
P M2
P ∈D
ρ(P )
˝ ρ(P )d3 τ
→
−
E =
~u M
4π0 P M 2 P
P ∈D
!→
− ~
E .dS = Qint
0
−−→
→
−
E = −gradV
EP = qV
→
−
G = −G rm2 ~ur
!→
− ~
G .dS = −4πGMint
−−→
→
−
G = −gradVG
EP = mVG
24
2
Magnétostatique
I) Sources de champ magnétique : distributions de courant
1) Mise en évidence
Champ magnétique
→
−
B
terrestre.
Boussole : matérieau aimanté qui s'oriente suivant le champ magnétique.
Aimant : source de champ
→
−
B.
Terre : aimant.
La manipulation de Oërsted (voir che) met en évidence le fait que le courant est une source
de champ magnétique.
Remarque
: Matériau magnétique : aimant constitué d'atomes (voir che)
Cela est valable seulement pour certains atomes ou ions (notamment fer ou nickel).
On limite l'étude du champ créé par des courant indépendant du temps et continus dans le
vide. Pas d'étude du magnétisme dans la matière.
2) Distribution de courant
a)
Courant électrique, intensité électrique
Courant électrique : déplacement de charges.
Dénition 1 : Itensité électrique
Quantité de charge traversant une surface S par unité de temps,
b)
Distribution linéique de courant
Élément de courant :
−→
~
dC = I dl
en A.m.
25
I=
dq
.
dt
c)
Distribution surfacique de courant
−−
→
d2 C = ~js d2 S
~js
densité surfacique de courant, js en
La direction de
Soit
uN
~js
A.m−1 .
représente le déplacement des charges.
le vecteur unitaire du plan perpendiculaire à
dI, courant à travers dl :
~.
dl
dI = ~js .dl~uN .
Proposition 2 :
Pour une distribution surfacique de courant,
´
I=
~js .dl.~uN
M ∈C
d)
Distribution volumique de courant
−−
→
d3 C = ~jd3 τ
−−→
d2 I = ~j.d2 S , ~j est
la densité volumique de courant en
A.m−2 .
Proposition 3 :
Notant
I=
˜
~n le vecteur normal à la surface
−−→
−−→
~j(M ).d2 S avec d2 S = d2 S~n.
(nécessité d'orientation) :
M ∈S
I est donc le ux de
e)
~j
à travers la surface.
Lien entre les distributions de courant et les porteurs de charge
Cas d'un matériau en volume contenant un type de charge mobile (voir che).
−−→
d3 τ = ~v dt.d2 S~n = ~v dt.d2 S .
Soit ρm densité volumique de
−−→
d3 q = ρm d3 τ = ρm~v dt.d2 S.
−−→
3
d2 I = ddtq = ρm~v .d2 S
charge mobile,
ρm =
d3 qm
.
dτ 3
Proposition 4 :
Dans le cas où il y a plusieurs porteurs de charge mobiles :
~jtot =
P
ρmi ~vi ,
distribution volumique de courant.
i
~js = σm~v , distribution surfacique
I = λm v , distribution linéique.
f)
de courant.
Cas d'une charge ponctuelle en mouvement
−→
~.
dC = q~v = I dl
électron : orbite circulaire de rayon R.
26
e
I = − Te , T = 2π
, I = − 2π
ω
ω
eω
D'où I = −
2π
3) Symétrie et invariances d'une distribution de courant
Plan de symétrie : symétrie de la ligne de courant.
Plan d'antisymétrie : symétrie de la ligne de courant, sens opposé.
Invariance par rotation et translation selon une ou plusieurs directions.
Exemples
1. Spire circulaire (che)
Invariance par rotation d'angle
θ.
Plan de la spire : plan de symétrie.
Tout plan passant par Oz est plan d'antisymétrie.
2. Plan inni (che)
Invariance par translation par rapport à x et y.
Symétries :
(M, ~uz , ~uy ) plan de symétrie de la distribution de courant.
(O, ~ux , ~uy ) plan de symétrie de la distribution de courant.
(M, ~uz , ~ux ) plan d'antisymétrie de la distribution de courant.
3. Fil inni (che).
Invariances par rotation selon
θ
et translation selon z.
πS (M, ~ur , ~uz ), πAS (M, ~ur , ~uθ )
II) Champ magnétostatique
1) Action d'un champ B sur une particule chargée
→
−
E
est mis en évidence par
→
−
→
−
F = qE.
Dénition 1 : Force de Lorentz
→
−
B exerce sur une
→
−
→
−
F L = q~v ∧ B .
Remarque
:
particule chargée en mouvement une force appelée force de Lorentz.
→
−
F L 6= ~0
Mais pas évident de
→
−
~v 6= ~0, F L ⊥ ~v donc
→
−
→
−
déterminer B avec F L
si
27
à la trajectoire.
2) Loi de Biot et Savart
a)
Champ magnétique
Élémentaire créé par un élément de courant :
−→
~
dC = I dl
= ~jS d2 S
= ~jd3 τ
linéique
surfacique
volumique
Proposition 1 : Cas d'une distribution linéique
−→
dB =
~ uP M
µ0 I dl∧~
4π P M 2
~uP M vecteur unitaire.
−→
~
dC = I dl élément de courant.
µ0 perméabilité du vide, µ0 = 4π10−7 U SI(H.m−1 )
Notation et unités
Unité de B : le Tesla (T).
Ordre de grandeur du Tesla :
−4
Bterrestre ∼ 0.2, 0.4.10 T
Électroaimant : B ∼ 0.1 − 1T
Aimant supraconducteur : B ∼ 1 − 50T .
Utilisation dans les expériences de RMN, résonance magnétique nucléaire.
Noyau : niveaux d'énergie -> nombres quantiques.
Il existe un nombre quantique magnétique.
Cela permet d'obtenir des informations sur le noyaux ainsi que sur l'environnement chimique
qui fait varier légèrement les niveau d'énergie.
Proposition 2 : Propriétés de
→
−
B
1
.
r2
B proportionnel à I.
B varie en
Géométrie donnée par
Ainsi
→
−
B ⊥
b)
~ ∧ ~uP M
I dl
(règle de la main droite).
élément de courant.
Cas d'une distribution linéique de courant
Proposition 3 : Principe de superposition
→
−
B tot
est la somme de tous les
Proposition 4 :
Loi de Biot et Savart :
−→
dB
´
→
−
B =
P ∈C
Distribution
Distribution
créés par les éléments de courant.
~ uP M
µ0 I dl∧~
4π P M 2
˜ µ0 ~js d2 S∧~uP M
→
−
surfacique : B =
4π
P M2
P ∈S
˝ µ0 ~jdτ ∧~uP M
→
−
volumique : B =
4π P M 2
P ∈V
28
Domaine de dénition
Cas d'une distribution linéique,
→
−
B est déni en tout point de l'espace sauf au niveau des ls
(il diverge).
c)
Exemple
Exemples
1. Cas d'un l inni (che).
~ = Idz~uz
I dl
P M 2 = r2 + z 2
cos α = P rM
tan α = zr
~uP M = cos α~ur − sin α~uz
−→ µ0 Idz~uz ∧(cos α~ur −sin α~uz )
dB = 4π
r2 +z 2
−→ µ0 dz
dB = 4π I r2 +z2 cos α~uθ
Tous leséléments de
courant du l donnent un
→
−
B tot =
1
r2 +z 2
dz
=
r
dz =
α= π2
´
α=− π2
´
l
µ0 I dz cos α
4π r2 +z 2
selon
~uθ .
~uθ
2
1
cos α
= PM
2 =
r2
d(tan α) = cos12 α dα
rdα
cos2 α
α= π2
ˆ
µ0 I
rdαcos2
4π
2
α cosr2 α
cos α =
µ0 I
4πr
cos αdα
α=− π2
|
→
−
B =
−→
dB
{z
2
}
µ0 I
~u
2πr θ
Remarque
: Les lignes de champ
→
−
B
tourbillonnent autour des ls
2. Cas d'une spire circulaire (boucle de courant)
→
−
B sur l'axe de la spire.
~uP M = cos α~uz − sin α~ur
~ = Iadθ~u
I dl
−→ µ0 Iadθ~uθθ ∧~uP M
dB = 4π
P M2
~uθ ∧ ~uP M = ~uθ ∧ (cos α~uz − sin α~ur ) = cos α~ur + sin α~uz .
Calcul de
On remarque que pour deux points diamétralement opposés,
~uz .
−→
On projette donc dB suivant ~
uz .
−→
µ0 I
dBz = dB.~uz = 4π adθ sin αP M 2
2
a
= sin2 α.
PM
sin α
29
−−→ −−→
dB1 + dB2
est porté par
µ0 I a sin3 α
dθ
4π
a2
θ=2π
´ µ0 I
3
dBz =
Bz =
sin α dθ
4πa
| {z }
θ=0
→
−
B =
cste
µ0 I
2a
3
sin α~uz
avec
α
= angle sous lequel on voit la spire en M, a = rayon de la
spire.
3. Solénoïde (che).
n : nombre de spires par unités de longueur.
−→
Champ dB créé par un paquet de spires
→
−
0 nI
0I
dN sin2 α~uz = µ2a
dz sin2 α~uz
B = µ2a
n=
N
.
L
centrées sur A(z).
On somme ensuite sur l'ensemble des spires.
tan α = az , z = acotanα, dz = sina2 α dα.
−→ µnI sin3 αa
dB = 2a sin2 α dα~uz
α=α
´ 2 µ0 nI
→
−
B =
sin αdα
2
α=α1
→
−
B = µ02nI [cos α2 − cos α1 ]~uz .
→
−
B
est suivant
~uz
Proposition 5 :
→
−
B = µ0 nI~uz
Conclusion
champ
sur l'axe pour un solénoide inni.
→
−
B
sur l'axe d'un solénoïde inni.
:
On découpe la distribution en sous distribution simples (dont on connait le champ magnétique) et on somme ces champs
À connaître
→
−
B.
→
−
B = µ0 nI~uz .
→
−
µ0
axe : B =
I sin3 α~uz
2a
Solénoïde inni :
Spire sur son
3) Représentation du champ B
a)
Ligne de champ et tube de champ
Dénition 1 :
Ligne de champ : tangentes en tout point à
→
−
B.
Tube de champ : ensemble de lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé.
Proposition 2 : Topographie des LDC
Les lignes de champ sont fermées.
Elles s'enroulent autour des courants, le sens donné avec la règle de la main droite.
30
b)
Propriété importante du ux magnétique
Dénition 3 : Flux élémentaire (che)
−−
→
−−→
→
−
d2 S = d2 S~n : d2 φ = B (M ).d2 S .
→
−
compte le champ B traversant la
Flux élémentaire, avec
Le ux magnétique
surface, c'est à dire le débit de
→
−
B
à travers la surface.
"
Φ=
−−→
→
−
B (M ).d2 S
M ∈S
Proposition 4 :
Le ux de
→
−
B
à travers une surface fermée est nulle.
!→
→
− −−
B . d2 S = 0
Conséquences
Σ est une surface
Σ = S1 + S2 + Slat .
!→
→
− −−
B . d2 S
0 =
Σ
˜
˜→
˜ →
→
→
→
→
− −
− −
− −
=
B .dS 1ext + B .dS 2ext +
B .dS lat
| {z }
S1
S2
Slat
0
˜→
˜
→
→
− −
→
− −
= − B .dS 1 + B .dS 2 + 0
1. Dans le cas d'un tube de champ,
S
D'où :
S
1
2
˜→
˜→
→
→
− −
− −
B .dS 1 = B .dS 2
S1
2.
fermée.
S2
→
−
B est à ux conservatif le long
‚→
‚→
→
→
− −
− −
,
B
.
dS
= 0.
E .dS = Qint
0
d'un tube de champ.
Il n'existe pas de charge magnétique.
4) Invariances et symétries
a)
Invariances
Le champ
b)
→
−
B
possède les mêmes invariances de la distribution de courant.
Symétries
Tout plan de symétrie de la distribution de courant est plan d'antisymétrie de
→
−
B.
Par conséquent, si M appartient à un plan de symétrie de la distribution de courant,
alors
→
−
B
est orthogonal à ce plan.
31
Tout plan d'antisymétrie de la distribution de courant est un plan de symétrie du
champ
→
−
B.
Par conséquent, si M appartient à un plan d'antisymétrie de la distribution de courant
est un plan de symétrie du champ
→
−
B.
5) Théorème d'Ampère
Analogue du théorème de Gauss.
a)
Circulation de
→
−
B
le long d'un contour fermé
Voir che.
¸→
− ~ →
−
0I
B .dl, B = µ2πr
~uθ .
Contour d'Ampère : cercle centré sur le l, de rayon r, orienté.
¸→
´ µI
− ~
~u .rdθ~uθ
B .dl =
2πr θ
θ=2π
´ µ0 I
=
dθ = µ0 I
2π
θ=0
b)
Intensité enlacée
Voir che.
Ienlacé =
P
intensités algébriques enlacées par le contour
I dans le sens de
~n
comptée +.
I dans le sens inverse de
c)
~n
comptée -.
Énoncé du théorème d'Ampère
Proposition 1 : Théorème du lasso
¸→
− ~
B .dl = µ0 Ienlacé
→
−
La circulation de B
le long d'un contour fermé orienté est égal à
enlacée.
d)
Exemples
Méthode :
Schéma.
Système de coordonnées.
Invariances et symétries, conséquences sur
→
−
B.
Choix d'un contour d'Ampère fermé et orienté.
Calcul de
Calcul de
¸→
− ~
B .dl
Ienlacé
Théorème d'Ampère,
¸→
− ~
B .dl = µ0 Ienlacé
32
µ0
multiplié par l'intensité
Exemples
1. Invariances selon
θ
et z,
→
−
k B k = |B(r)|,
→
−
Donc B = B(r)~
uθ .
¸→
− ~
B .dl = B(r)2πr.
Ienlacé = +I , B(r)2πr = µ0 I .
0I
B(r) = µ2πr
.
→
−
µ0 I
B = 2πr ~uθ
plan
(M, ~ur , ~uz )
de symétrie du l.
2. Cas du solénoïde inni.
θ et translation par
→
−
k B (M )k = |B(r)|
(M, ~ur , ~uθ ) est plan de symétrie de solénoïde.
→
−
→
−
B (M ) est orthogonal à ce plan, d'où B (M ) = B(r)~uz .
→
−
Montrons que B
ˆ est uniforme
ˆ à l'extérieur du solénoïde.
¸→
´
´
− ~
B .dl = +
+ +
.
Invariances par rotation par rapport à
1
2
|{z}
3
4
|{z}
rapport à z.
0
0
¸→
− ~
B .dl = B(r)L − B(r0 )L = 0, B(r) = B(r0 ).
→
−
B ext est uniforme.
→
−
On admet que B(r → +∞) = 0, donc B ext = ~
0.
→
−
Montrons que à l'intérieur du solénoïde, B int est uniforme.
→
−
Déterminer B int , contour à cheval entre l'intérieur et l'extérieur.
Contour à cheval entre l'intérieur et l'extérieur.
Ienlacé = nL(+I)0 .
¸→
− ~
B .dl = 0 + Bint L.
LBint = µ0 nLI
→
−
B int = µ0 nI~uz
3. Plan inni.
33
3
Mouvement d'une particule chargée
dans un champ statique
Système : particule chargée de masse m de charge q.
Référentiel supposé galiléen.
Évolution en présence d'un champ
→
−
E
statique.
Évolution en présence d'un champ
→
−
B
statique
→
−
→
−
F el = q E .
→
−
→
−
F mag = q~v ∧ B .
Principe :
Des tubes cathodiques.
Accélération des particules.
Modèle de conduction électrique.
On utilise un traitement classique et non relativiste, c'est à dire
v << c = 3.108 m.s−1
I) Force de Lorentz
1) Expression
Proposition 1 :
Dans un champ électrique
→
−
E
et magnétique
→
−
B,
Lorentz :
→
−
→
−
→
−
F L = q( E + ~v ∧ B )
2) Ordre de grandeur
−19
Cas d'un électron, q = −1, 6.10
C.
c
v ∼ 10 (limite du traitement classique).
B ∼ 0.1T
Fmagn ∼ |qvB| = 1.6.10−19 3.107 .10−1
∼ 5.10−13 N
Fel ∼ |qE|.
34
une particule q est soumise à la force de
Valeur de E pour laquelle
−13
Fmagn ∼ Fel .
|qE| ∼ 5.10 N
5.10−13
6
−1
E ∼ 1,6.10
, champ très fort. Limite de la décharge électrique (claquage).
−19 = 3, 10 V.m
Eet de la pensateur.
→
−
P = m~g
→
−
| P | ∼ 9.10−31 9.8
∼ 10−29 N
P << FL => eet de
la pensateur négligeable.
II) Eet d'un champ électrique statique sur une particule
chargée
Cas d'un champ uniforme
→
−
E
indépendant de M.
1) Déexion, accélération d'une particule chargée
a)
Mise en équation
Conditions initiales,
M (0) = O, ~v (0) = ~v0 .
BDF :
→
−
→
−
F el = q E
→
−
P négligeable.
−−→
OM = x~ux + y~uy + z~uz
~v = ẋ~ux + ẏ~uy + ż~uz
~a = ẍ~ux+ ÿ~uy + z̈~uz
= mz̈
 0
0
= mÿ ,
PFD :

qE = mz̈
même résolution que la chute libre avec vitesse initiale.
Trajectoire parabolique ou rectiligne, mouvement uniformément accéléré.
b)
Accélération d'une particule dans un champ E
Cas des tubes cathodiques (voir che).
Théorème de l'énergie cinétique ou mécanique.
→
−
F el dérive d'une énergie potentielle. EP = qV .
∆Em = 0, Emf − Emi = 0.
1
mvF2 − eV+ − [0 − eV− ] = 0
2
1
mvF2 = e(V+ − V− ) = eU
2
q
vF = 2eU
m
Lien entre U et E ?
35
´ →
− ~
E .dl.
VA − VB =
A→B
V+ − V− = U = ED.
c)
Déexion de la trajectoire
Voir che
2) Modèle de conduction électrique : modèle de Drüde
Conduction électrique dans un conducteur ohmique.
Cas d'un métal, cations positif xes, électrons mobiles.
Système d'un électron.
~ve−
la vitesse moyenne de l'électron. (on oublie le mouvement Brownien).
Dispositif (voir che).
Lien entre E et U :
−−→
→
−
E = −grad(V )
´ →
− ~
E .dl = VA − VB = U
A→B
EL = U
Lien entre I et
ve−
Milieu globalement neutre.
ρ+ = ρ− avec ρ− la densité volumique d'électrons libres.
ρ− = n(−e), n la densité volumique d'électrons libres.
Distribution volumique de courant associée aux électrons libres.
~j = ρ−~ve
~j = −ne~ve
˜ −
→
I = ~j.dS = jS
Lien entre ve et E
:
Bilan des forces sur l'électron :
→
−
→
−
F = −e E
→
−
P négligeable.
Force de frottement uide liée aux défauts du réseau :
→
−
m~a = −e E − m
~v
τ
−
→
− − t eτ →
−
1
e→
e τ} − m E
+ τ ~v = − m E . ~v = |A{z
→
−
~v .
F = −α~v = − m
τ
PFD :
d~v
dt
→ 0
t→+∞
→
−
~v → ~vlim = − eτ
E
m
2
→
−
ne
τ
D'où ~
j=
E avec σ =
m}
| {z
ne2 τ
m
=
ne2
la conductivité électrique du matériau.
α
σ
2
I = jS = ne mτ SE = σSU
.
L
1L
D'où U = RI avec R =
.
σS
36
La résistance du conducteur ohmique dépend de la force de frottement (α) et donc des
défauts du réseau.
Plus le réseau est parfait, plus R sera petite.
R dépend de T, si T augmente, on observe des vibrations du réseau, d'où une augmentation
des défauts.
Louis Néel met en évidence l'état supraconducteur, dans lequel la résistance tombe à 0.
Conclusion
:
Fel + frottement.
→
−
−1
~
locale, j = σ E , σ la conductivité du matériau en S.m .
intégrale, U = RI . R la résistance électrique du matériau
Modèle très simple,
Loi d'Ohm
Loi d'Ohm
en
Ω.
III) Mouvement d'une particule chargée dans un champ
magnétique
1) Mouvement d'une particule chargée dans le vide, sous l'action
d'un champ magnétique statique
a)
Mise en équation
−−→
OM = x~ux + y~uy + z~uz .
−−−−−−−−−−−→
Condition initiale : OM (t = 0) = ~
0, ~v0 = v0 cos α~ux + v0 sin α~uz .
→
−
→
−
F = q~v ∧ B
= q(ẋ~ux + ẏ~uz + ż~uz ) ∧ B0~uz
→
−
F =q ẋB0 (−~uy ) + q ẏB0~ux
(1)
 mẍ = q ẏB0
mÿ = −q ẋB0 (2)
PFD :

mz̈ = 0
ż = cste = v0 sin α
z(t) = v0 sin αt
mÿ = −qẋB0 → ẏ = − mq Bx + A
ẏ = 0
qB
à t = 0,
d'où A = 0, ẏ = −
x
m
x=0
qB0
Substituant dans (1), mẍ = qB0 (−
x)
m
q2 B 2
ẍ + m20 x = 0. Posant ω0 = |q| Bm0 :
x(t) = Xm cos(ω0 t + φ)
x=0
à t = 0,
→ φ = − π2
ẋ = v0 cos α
−ω0 Xm sin(− π2 ) = v0 cos α
α
α
Xm = v0 ωcos
x(t) = v0 ωcos
sin(ω0 t)
0
0
37
v0 cos α
sin(ω0 t)
ẏ = − qB
m |q|B
m
0 t)
y(t) = +signe(q) v0 cos αωcos(ω
+C
0
v0 cos α
y(t) = |q|B msigne(q) cos(ω0 t) + C
αm
cos(ω0 t) + C
y(t) = v0 cos
qB
−v0 cos αm
à t = 0, y = 0,
=C
qB
Finalement, pour résumer :

v cos α
 x(t) = 0 ω0 sin(ω0 t)
αm
y(t) = v0 cos
(cos(ω0 t) −
qB0

1)
z(t) = v0 sin αt
Projection de la trajectoire dans le plan
2
αm 2
(y+ v0 cos
)
qB
xω0
h
i
+
=1
v0 cos α 2
v0 cos α
(O, x, y)
:
ω0
Cercle de centre
αm
) et de rayon R =
C(0, − v0 cos
qB
v0 cos α
Voir che.
ω0
cinétique.
→
−
F L ⊥ ~v donc à la trajectoire.
→
−
W ( F L ) = 0, ∆EC = 0, v = cste
b)
Applications
Lentilles magnétiques (voir che).
On arrive à focaliser les électrons comme une lentille optique.
=> optique électronique microscopes électroniques.
~u = m~v .
Pour un électron : p
~ = hC
λ
38
k~v k théorème de l'énergie