Cours de math 1ère TIM

HAUTE ECOLE
DE LA PROVINCE DE LIEGE
ANNEE SCOLAIRE 2009-2010
X.RENARD
COURS DE MATHEMATIQUES
1ERE ANNEE
BACHELIER
TECHNOLOGUE EN IMAGERIE
MEDICALE

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TABLES DES MATIERES
Chapitre 1 : Analyse ........................................................................................................................................................... 5
1. Notion de fonction ...................................................................................................................................................... 5
2. Le domaine de définition d'une fonction .................................................................................................................... 5
3. La parité d'une fonction .............................................................................................................................................. 6
4. Croissance et décroissance d'une fonction, minimum et maximum ........................................................................... 7
5. Intersections avec les axes .......................................................................................................................................... 8
6. Les fonctions du 1er degré ........................................................................................................................................... 8
7. Les fonctions du second degré : f(x) = y = ax² + bx + c (a0) ................................................................................. 10
8. Autres fonctions algébriques .................................................................................................................................... 12
9. Limites et asymptotes ............................................................................................................................................... 13
10. Notion de borne au domaine de définition d'une fonction ................................................................................... 13
11. Résumé sur les limites ......................................................................................................................................... 14
12. Les asymptotes .................................................................................................................................................... 15
13. Résumé : determination des asymptotes d'une fonction ...................................................................................... 17
14. Exercices récapitulatifs sur les asymptotes .......................................................................................................... 18
15. Exercices graphiques ........................................................................................................................................... 19
Chapitre 2 : Trigonométrie ............................................................................................................................................... 21
1. Mesure des angles en radians .................................................................................................................................... 21
2. Mesure des angles solides : le stéradian ................................................................................................................... 22
3. Le cercle trigonométrique ......................................................................................................................................... 23
4. Notions de sinus et de cosinus .................................................................................................................................. 23
5. Notions de tangente et de cotangente ........................................................................................................................ 24
6. Valeurs particulieres des sin, cos, tg et cotg ............................................................................................................. 25
7. Signes des sin, cos, tg et cotg .................................................................................................................................... 25
8. Formules des angles associés .................................................................................................................................... 26
9. Exercices de réduction des angles au premier quadrant ............................................................................................ 27
10. Principales formules de trigonométrie ................................................................................................................. 27
11. Utilisation de la calculatrice pour calculer des sin, cos, tg et cotg. ...................................................................... 28

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12. Equations trigonométriques ................................................................................................................................. 29
13. Les fonctions circulaires : sinus, cosinus, tangente et cotangente ....................................................................... 31
14. Les fonctions cyclométriques .............................................................................................................................. 35
15. Les ondes et l'analyse de fourier .......................................................................................................................... 38
Chapitre 3 : Les Dérivées ................................................................................................................................................. 41
1. Définition .................................................................................................................................................................. 41
2. Signification concrète de la dérivée de certaines fonctions ...................................................................................... 42
3. Formules simplifiées de calcul des dérivées ............................................................................................................. 43
4. Exercices ................................................................................................................................................................... 44
5. Dérivée première et croissance d‘une fonction ......................................................................................................... 46
6. Dérivée seconde et concavité d‘une fonction ........................................................................................................... 47
7. Application des dérivées ........................................................................................................................................... 50
8. Dérivées partielles .................................................................................................................................................... 53
9. Différentielle d'une fonction ..................................................................................................................................... 54
Chapitre 4 : Fonctions exponentielles et logarithmes ....................................................................................................... 57
1. Introduction .............................................................................................................................................................. 57
2. La fonction exponentielle de base a : f(x) = ax ......................................................................................................... 57
3. Quelques caractéristiques de la fonction exponentielle f(x) = y = ax. ....................................................................... 58
4. Exercice de détermination de l'expression analytique de fonctions exponentielles .................................................. 59
5. Etude mathématique de la fonction exponentielle f(x) = ax ...................................................................................... 59
6. Cas particulier important : la fonction ex (exponentielle népérienne) ....................................................................... 61
7. Etude mathématique de la fonction f(x) = ex ............................................................................................................ 61
8. Dérivées de fonctions exponentielles ........................................................................................................................ 62
9. Exercices divers sur les fonctions exponentielles ..................................................................................................... 63
10. La fonction logarithme népérien: f(x) = ln x ....................................................................................................... 66
11. La fonction logarithme de base a : f(x) = logax ................................................................................................... 69
12. Relations entre les fonctions logarithmiques et exponentielles ........................................................................... 75
Chapitre 5 : Les vecteurs .................................................................................................................................................. 77
1. Rappel de la notion de vecteur. ................................................................................................................................. 77
2. Addition de deux vecteurs de même ligne d'action, même intensité et des sens opposé ......................................... 77
3. Addition de vecteurs de même origine ..................................................................................................................... 77

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4. Addition de vecteurs consécutifs .............................................................................................................................. 77
5. Soustraction de vecteurs ........................................................................................................................................... 78
6. Multiplication d'un vecteur par un scalaire ............................................................................................................... 78
7. Composantes d'un vecteur ........................................................................................................................................ 78
8. Exercices ................................................................................................................................................................... 78
9. Le produit scalaire .................................................................................................................................................... 80
10. Le produit vectoriel ............................................................................................................................................. 81
Correction des exercices ................................................................................................................................................... 83
Bibliographie .................................................................................................................................................................... 89

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CHAPITRE 1 : ANALYSE
1. NOTION DE FONCTION
Voici le graphique de l'évolution de la température à chaque heure de la journée à Liège un jour d'été.
Les éléments du 1er ensemble ("ensemble des heures") qui ont un (des) correspondant(s) dans le second ensemble sont
appelés les antécédents.
Les éléments du second ensemble ("ensemble des températures") qui ont un (des) correspondant(s) dans le premier
ensemble sont appelés les images.
Par exemple, à l’antécédent "11 heures" correspond l'image "30°C".
Dans le cas de fonctions purement mathématiques, on utilisera « x » pour les antécédents et « y » pour les images.
Une telle fonction sera notée" f(x)" ou" y" ("fonction dépendant de la variable x").
"x" est souvent appelée la variable indépendante et "y" la variable dépendante.
Dans le cadre de ce cours, on se limitera au cas de fonctions à variables réelles, c'est-à-dire que les ensembles de départ
(antécédents) et d'arrivée (images) seront toujours R ou une partie de R.
2. LE DOMAINE DE DEFINITION D'UNE FONCTION
Le domaine de définition d'une fonction f(x), noté dom f, est l'ensemble des réels pour
lesquels f est définie.
Une fonction est une relation pour laquelle chaque antécédent n’a qu’une seule image, c'est-à-dire pour laquelle
chaque élément de l’ensemble de départ possède au plus une image.