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Devoir Commun de 1e S février 2017
Exercice 1
Partie A
1°)
a) AB = ( xB – xA ; yB – yA ) = ( 2 – (- 1) ; 2 – 3 ) = ( 3 ; - 1 )
b) 1ère méthode : d’après le cours on sait que si une droite a pour
équation cartésienne ax + by + c = 0 alors u( b ; - a ) est vecteur
directeur.
donc AB = ( 3 ; - 1 ) donne x + 3y + c = 0, et il suffit d’utiliser
l’un des points A ou B pour déterminer c :
A( - 1 ; 3 ) appartient à (AB)
ses coordonnées vérifient l’équation de (AB)
(- 1) + 3(3) + c = 0
c = - 8
Réponse : (AB) : x + 3y - 8 = 0
2ème méthode :
Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif
de tous les points de (AB).
M est sur (AB) donc les points M, A et B sont alignés, donc AM
et AB sont colinéaires, donc x y’ – x’ y = 0
AB = ( 3 ; - 1 )
AM = ( x + 1 ; y – 3 )

x y’ – x’ y = 0
(- 1)( x + 1 ) – 3( y – 3 ) = 0
- x – 1 – 3y + 9 = 0
- x – 3y – 8 = 0
x + 3y - 8 = 0
2°)
a) (Δ) : - 3x + y – 1 = 0 donne u( 1 ; 3 ) avec la 1ère méthode de
la question 1° a),
avec la 2ème méthode on détermine deux points de la droite :
par exemples
C( 2 ; y ) donne – 3(2) + y – 1 = 0 donc y = 7 donc C( 2 ; 7 )
D( 5 ; y ) donne – 3(5) + y – 1 = 0 donc y = 16 donc D( 5 ; 16 )
CD = ( 5 – 2 ; 16 – 7 ) = ( 3 ; 9 ) est un vecteur directeur de la
droite. ⅓ CD = ⅓ ( 3 ; 9 ) = ( 1 ; 3 ) aussi.
b)
(AB) : x + 3y - 8 = 0 3y = - x + 8 y = - ⅓ x + (8/3)
donc (AB) a pour coefficient directeur - ⅓
(Δ) : - 3x + y – 1 = 0 y = 3x + 1
donc (Δ) a pour coefficient directeur 3
Les coefficients directeurs sont différents, donc les droites ne
sont pas parallèles, donc elles sont sécantes.

Autre méthode :
si les droites sont parallèles leurs vecteurs directeurs sont
colinéaires.
AB = ( 3 ; - 1 ) et u( 1 ; 3 )
x y’ – x’ y = 3×3 – (- 1)×1 = 9 + 1 = 10
x y’ – x’ y ≠ 0
les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires
les droites ne sont pas parallèles
elles sont sécantes
c)
Soit N( x ; y )
N ϵ (AB) y = - ⅓ x + (8/3)
N ϵ (Δ) y = 3x + 1
Il faut donc résoudre le système d’équations linéaires.
Par substitution on obtient 3x + 1 = - ⅓ x + (8/3)
3x + ⅓ x = (8/3) – 1
(10/3)x = 5/3
x = 5/10 = ½ = 0,5
qui donne y = 3(0,5) + 1 = 2,5
= - ⅓ (0,5) + (8/3) = ( - 0,5 + 8)/3 = 7,5/3 = 2,5
Réponse : N( 0,5 ; 2,5 )
3°)

a) (Δ) : - 3x + y – 1 = 0 y = 3x + 1
P( 0 ; 1 ) appartient à (Δ) car ses coordonnées vérifient son
équation : 1 = 3(0) + 1
b) A
B
P (AB)
(Δ)
Le repère est orthonormé, donc || BP || = xBP ² + yBP ²
BP = ( 0 – 2 ; 1 – 2 ) = ( - 2 ; - 1 )
donc || BP || = (- 2)² + (- 1)² = 5
4°)
BP = 5 = AP et P est sur (Δ)
(Δ) est la médiatrice de [AB]
d’après la connaissance de collège « tout point de la médiatrice
est à égale distance des extrémités du segment ».
Autre méthode : d'après la connaissance du cours, "deux
vecteurs ( a ; b ) et ( - b ; a ) sont orthogonaux si les
coordonnées sont celles dans un repère orthonormé", ce qui est
le cas pour u( 1 ; 3 ) et AB( 3 ; - 1 ), donc ils sont orthogonaux,

et comme ils sont des vecteurs directeurs des deux droites, les
deux droites sont orthogonales. Il reste à déterminer le milieu de
[AB], et à démontrer que (∆) passe par ce milieu.
Partie B
1°)
JB + ⅔ PJ = 0 ⅔ PJ = - JB PJ = - (3/2) JB
PJ = 1,5 BJ PJ = 1,5 ( BP + PJ ) d’après Chasles
PJ = 1,5 BP + 1,5 PJ PJ - 1,5 PJ = 1,5 BP
- 0,5 PJ = 1,5 BP PJ = - (1,5/0,5) BP PJ = 3 PB
2°)
On utilise PJ = 3 PB pour obtenir J :
A J
B
P (AB)
(Δ)
On utilise PU = 2 PA pour obtenir U,
et PL = 2 BA – 4 BP = 2 BA + 4 PB pour obtenir L :