Quelques structures algébriques ordonnées Cours de 3`eme cycle

Quelques structures alg´ebriques ordonn´ees
Cours de 3`eme cycle 1994–95
Friedrich Wehrung
CNRS, ESA 6081, Universit´ e de Caen, Campus II, D´ epartement de
Math´ ematiques, B.P. 5186, 14032 CAEN cedex, FRANCE
E-mail address:[email protected]
URL:http://www.math.unicaen.fr/~wehrung

Abstract. Ce cours propose de donner une initiation `a un certain nombre de
structures ordonn´ees classiques en insistant autant sur le point de vue alg´ebri-
que que sur le point de vue ensembliste. Des axiomes centraux dans l’´etude de
ces objets seront la propri´et´e de raffinement fini, apparent´ee `a la propri´et´e de
d´ecomposition de Riesz ou `a la propri´et´e d’interpolation. Une grande partie du
cours sera consacr´ee `a une ´etude des structures classiques comme les groupes
ab´eliens totalement ordonn´es (th´eor`eme de plongement de Hahn. . . ), alg`ebres
de Boole, treillis, groupes r´eticul´es (polaires, repr´esentations, probl`emes de
mots. . . ), espaces vectoriels ordonn´es. . . , avec des exemples naturels dans les
math´ematiques plus “classiques”. Ce cours est accompagn´e d’exercices de
difficult´e variable, ainsi que d’une bibliographie.

Table des mati`eres
Introduction v
Chapitre 1. Axiome du choix, Th´eor`eme de Tychonoff, Th´eor`eme de
Hahn-Banach 1
Exercices du Chapitre 1 11
Notes du Chapitre 1 19
Chapitre 2. Treillis, alg`ebres de Boole; Th´eor`eme de Stone 21
Exercices du Chapitre 2 31
Chapitre 3. Transition; treillis pseudo-compl´ement´es 41
Exercices du Chapitre 3 46
Chapitre 4. Alg`ebres de Boole compl`etes; Th´eor`eme de prolongement de
Sikorski 49
Exercices du Chapitre 4 58
Chapitre 5. Propri´et´e de raffinement. Semi-groupes, mono¨ıdes et groupes
ordonn´es 65
Exercices du Chapitre 5 76
Chapitre 6. Groupes r´eticul´es: une introduction 83
Exercices du Chapitre 6 95
Chapitre 7. Groupes r´eticul´es repr´esentables; groupes totalement ordonn´es 99
Exercices du Chapitre 7 108
Chapitre 8. Groupes r´eticul´es complets; Th´eor`eme d’Iwasawa 113
Exercices du Chapitre 8 123
Chapitre 9. Groupes d’interpolation, groupes de dimension; Th´eor`eme
d’Effros, Handelman, et Shen 127
Exercices du Chapitre 9 146
Chapitre 10. Mono¨ıdes commutatifs positivement pr´eordonn´es
et leur dualit´e 153
Exercices du Chapitre 10 163
Chapitre 11. Mono¨ıdes ordonn´es de types de d´ecomposition 169
Exercices du Chapitre 11 181
Examen de Janvier 1995 189
iii

iv TABLE DES MATI` ERES
Examen de Septembre 1995 193
Examen de D´ecembre 1996 197
Examen de Septembre 1997 201
Bibliographie 205

Introduction
Le but de tout ceci est de pr´esenter un panorama de certaines structures or-
donn´ees de base. Une telle tˆache serait impossible dans un volume aussi restreint
si l’on voulait ˆetre suffisamment complet et ne pas omettre les structures les plus
importantes, aussi ai-je dˆu faire un choix parmi ces structures, ce choix ´etant sans
aucun doute d´etermin´e par ma propre orientation math´ematique.
La progression se fera en g´en´eral des objets les plus faciles `a structurer (al-
g`ebres de Boole. . . ) vers les moins faciles `a structurer (mono¨ıdes ordonn´es. . . ).
Aussi sera-t-on souvent confront´e au probl`eme fascinant d’´etendre les th´eor`emes de
structure obtenus pour les objets “structur´es”, probl`eme qui pourra ´eventuellement
ne pas trouver de solution; mais parfois aussi, de fa¸con peut-ˆetre surprenante, le
passage `a des objets plus g´en´eraux (de langage moins riche) permettra de d´emontrer
de nouveaux th´eor`emes de structure, absents du cas le plus structur´e. Dans cette
direction, un exemple que je trouve frappant est celui du th´eor`eme de Grillet et
Effros, Handelman, et Shen pour les groupes de dimension (Chapitre 9), pour lequel
il n’existe pas d’analogue `a ce jour pour les groupes ab´eliens r´eticul´es, qui forment
une classe pourtant plus restreinte (mais au langage plus riche).
Mais assez parl´e, voici un court r´esum´e, chapitre par chapitre, du texte qui va
suivre.
•Le Chapitre 1 est un chapitre d’introduction, qui ne pr´esente pas de
nouvelles structures, mais plutˆot des outils essentiels et d’ailleurs non
sp´ecialis´es `a l’´etude des structures alg´ebriques ordonn´ees. J’ai choisi en
fait trois de ces outils, `a mon sens les plus importants: l’axiome du choix
AC, le Th´eor`eme de Tychonoff PIT et le Th´eor`eme de Hahn-Banach HB.
L’axiome du choix est ´equivalent aux principes apparemment beaucoup
plus puissants que sont le Th´eor`eme de Zermelo et le Lemme de Zorn, et les
deux principes restants, PIT et HB, sont deux formes du Lemme de Zorn
tr`es souvent utilis´ees dans l’´etude de beaucoup de structures, ordonn´ees
ou pas. Les implications entre ces principes sont AC⇒PIT⇒HB, implica-
tions d’ailleurs non r´eversibles. Afin de ne pas alourdir la pr´esentation, je
ne parlerai pas d’autres principes de choix souvent utilis´es, le plus connu
´etant peut-ˆetre le principe des choix d´enombrables d´ependants DC.
•Le Chapitre 2 est une introduction aux objets importants que sont les al-
g`ebres de Boole, en passant par les treillis distributifs. Parmi les r´esultats
basiques, un r´esultat important est l’´equivalence entre les alg`ebres de Boole
et les anneaux de Boole (Proposition 2.7), i.e. les anneaux unitaires sat-
isfaisant l’identit´e x2=x. Ces anneaux sont n´ecessairement commutatifs,
ce qui permet “d’importer” les r´esultats et m´ethodes de l’alg`ebre com-
mutative pour l’´etude des alg`ebres de Boole. Cependant, pour d´emontrer
v