Feuille d`exercices
publicité
Université de Bourgogne Licence 1 de Psychologie Feuille de TD n◦ 3 Statistiques 2016/2017 Cours et TD en ligne: http://leurent.perso.math.cnrs.fr/stats_ps1 MODÈLES DES TIRAGES Exercice 1: Factorielle, coecients binomiaux (n + 1)! (n + 2)! , . n! n! 2) Écrire chacune de ces expressions à l'aide de deux factorielles : 5 × 6 × 7 × 8, n(n + 1)(n + 2). 9 11 7 12 12 (20)(95)+(21)(94)+(22)(93) 3) Calculer les nombres suivants : , , , , , . (11 0 1 3 4 8 5) 1) Simplier les quantités 18! , 16! 30! , 27! × 3! Exercice 2: Exemple de tirage avec remise : troubles de l'humeur et emploi On considère un exemple (délibéremment simpliste) de tirage avec remise : On considère trois personnes sourant de troubles de l'humeur : Alice, Bernard et Cécile. Parmi eux, Alice et Bernard exercent un emploi alors que Cécile est sans emploi. On choisit au hasard le nom d'une de ces trois personnes, puis à nouveau le nom d'une de ces trois personnes au hasard (ce peut être la même personne ou pas). a) Lister les neuf possibilités pour ces deux noms choisis au hasard. b) Parmi ces possibilités, combien comptent uniquement des personne en situation d'emploi ? c) Quelle est la proportion, parmi ces possibilités, qui comptent une personne sans emploi, et une qui exerce un emploi ? d) Pour un tel choix aléatoire de deux noms, on note X le nombre de noms choisis qui correspondent à une personne exerçant un emploi. Quelle est la loi de variable X ? e) Retrouver le résultat de la question 1c, en utilisant cette loi. f ) Déterminer de même P[X = 0] et P[X = 2]. 2) On décide d'une autre façon de choisir deux noms : on choisit un premier nom au hasard, puis on choisit le second nom en demandant qu'ils soit diérent du premier. Reprendre, avec ce nouveau mode de tirage, les mêmes questions qu'en partie 1 de l'exercice. 1) Exercice 3: Une urne contient N1 boules rouges, N2 boules noires. On prélève au hasard un échantillon de n boules de l'urne et on désigne par X1 , X2 respectivement le nombre de boules rouges et noires dans l'échantillon. 1) On prend N1 = 4, N2 = 6, et n = 5. Préciser, selon que le tirage soit avec ou sans remise, quelle sont les lois de probabilités des deux variables X1 et X2 . Préciser les moyennes et variances. 2) On prend N1 = 40, N2 = 60, et n = 5. Donner, selon le mode de tirage, la loi de probabilités de la variable X1 et calculer les probabilités P[X = k] valeurs : k 0 P[X1 = k] (cas avec remise) P[X1 = k] (cas sans remise) 1 2 3 4 5 Comparer les deux lois en calculant le plus grand écart entre les valeurs obtenues. Préciser les moyennes et variances. Exercice 4: Dans une entreprise de 1 500 employés, la direction demande aux personnes exerçant des responsabilités de noter les employés placés sous leur responsabilité, et leur impose de donner la note A (la meilleure note) à 20% des employés, la note B à 30% des employés et la note C (la moins bonne note) à 50% des employés. 1) On choisit un échantillon de 25 employés au hasard avec remise. a) Calculer la probabilité que l'échantillon contienne exactement 3 employés notés A. b) Quelle est la probabilité que l'échantillon contienne au moins 3 individus notés A ? c) Quelle probabilité y a-t-il que l'échantillon contienne au moins 12 individus notés A ou B ? d) Calculer la probabilité que l'échantillon contienne moins que 8 personnes notées C . e) Quel est le nombre moyen d'individus notés B au sein d'un échantillon aléatoire de 25 employés ? 2) Mêmes questions pour un tirage sans remise. 3) Calculer le coecient d'exhaustivité. Commenter. Exercice 5: Un psychologue a développé une nouvelle thérapie contre la dépression, et il arme qu'elle permet la rémission de 70% des patients. En interrogeant un échantillon de 20 patients, on constate 8 rémissions. 1) S'il y avait 70% de rémission parmi l'ensemble des patients, quelle loi suivrait le nombre de rémissions au sein d'un échantillon de 20 patients choisis au hasard avec remise ? Quel serait le nombre moyen de rémissions au sein d'un tel échantillon ? 2) Sous cette hypothèse, quelle serait la probabilité d'avoir au maximum 8 rémissions ? 3) Conclure : vous semble t-il vraisemblable qu'il y ait, comme l'arme ce psychologue, 70% de rémissions parmi l'ensemble des patients ? Exercice 6: 3, 96. On considère une loi binômiale X ∼ B(n, p) de moyenne m(X) = 7, 2 et de variance var(X) = 1) Calculer n et p. 2) Calculer les probabilités P[4 6 X 6 7] et P[X > 13]. 3) Trouver toutes les valeurs de k telles que P[X > k] 6 0, 05. Exercices supplémentaires Exercice 7: Dans une classe, il y a 16 lles et 12 garçons. On choisit au hasard 4 élèves distincts. 1) Quel est le nombre de choix possibles ? 2) Quel est le nombre de choix ne comportant que des garçons ? 3) Quel est la proportion de choix ne comportant que des lles ? 4) Quelle est la probabilité, en choisissant ainsi un échantillon de 4 élèves au hasard, que cet échantillon comporte 3 lles et 1 garçon ? 5) Quel est le nombre de choix comportant au plus un garçon ? Genre des personnes dépendantes à l'alcool On compte en France environ 3 000 000 personnes sourant d'addiction à l'alcool. Un thérapeute s'étonne du ratio homme/femme au sein des patients qui le consultent, et considère un échantillon de 105 patients sourant d'addiction à l'alcool. 1) Si, parmi l'ensemble des personnes qui, en France, sont dépendantes à l'alcool, il y avait autant de femmes et d'hommes, Quelle serait la loi du nombre de femmes au sein d'un échantillon de 105 patients atteints de cette addiction ? Faut-il distinguer entre le cas avec et sans remise ? 2) Quelle serait alors la probabilité, en choisissant un échantillon de 105 patients au hasard, d'avoir moins de 25 femmes au sein de l'échantillon ? 3) Parmi l'échantillon de 105 patients dont dispose le thérapeute, il y a 18 femmes. Qu'en concluriez-vous ? Exercice 8:
