Théorie et pratique des champs électromagnétiques

Chapitre IV
Théorie et pratique des champs électromagnétiques
IV.1 Equations de Maxwell
Les bases de l’électrométrie sont fondées sur l’étude des lois de propagation des ondes
électromagnétiques dans un milieu hétérogène terrestre. Les équations de Maxwell constituent
la base de cette théorie :
 ; (IV.2)
 ; (IV.3)
 (IV.4)
où  et  sont les vecteurs du champ magnétique ;  et  sont les vecteurs du champ
électrique, q- la densité des charges électriques, - la densité des courants de conductivité, 
est la densité du courant total.
 et q sont liés par la relation : 
Pour une surface S dans l’espace limitée par un contour L (fig. IV.1), on a
d’après (IV.2) : 
où  est un vecteur normal à S et unitaire.
Fig IV.1 Schéma du principe physique Fig IV.2 Schéma des courants de
déplacement.
de la deuxième équation de Maxwell
Selon le théorème de Stockes, l’intégrale de la partie gauche de (IV.6) peut être
transformée en intégrale curviligne sous forme :
En remplaçant (IV.7) dans (IV.6), on obtient :
où  est un vecteur unitaire tangent à L

Si le contour L est un conducteur mince, la circulation du champ électrique  par L est
la f.e.m dans cet élément, alors : 
mais comme, 
où Φ est le flux magnétique à travers le contour.
En remplaçant (IV.9) et (IV.10) dans (IV.8), on trouve la f.e.m dans le contour
conducteur fermé sous la forme : 
c'est-à-dire que, nous avons obtenu la loi de l’induction électromagnétique.
Calculons rot  à travers la surface S selon (IV.1) et fig (IV.1).
Selon le théorème de Stockes, on a : 
où Itot est le courant total à travers la surface
La relation (IV.12) est l’expression mathématique de la loi du courant total.
Selon (IV.11) :  
La première partie de (IV.13) exprime le courant conducteur I traversant le contour L,
alors que la deuxième donne le courant de déplacement. Le courant de déplacement peut être
étudié dans un circuit avec condensateurs (fig.IV.2) parcouru par un courant alternatif. Si le
circuit est entouré par un contour fermé L, on cherchera la circulation du vecteur du champ
magnétique  comme suit. Selon la loi du courant total, ce dernièr est égal au flux de la
densité du courant à travers la surface S1 traversée par un conducteur électrique et la surface
S2 passant entre deux armatures d’un condensateur (fig. IV.2) :
Le courant de déplacement entre les armatures a une densité :
Ainsi, la densité du courant total  est la somme des densités du courant de conduction et de
déplacement : 
La première équation de Maxwell (IV.11) montre que le courant de déplacement
engendre le champ magnétique. Rappelons que le courant de conduction est le mouvement
des charges, alors que le courant de déplacement est la variation de la vitesse du champ  .
Ces deux processus créent le champ magnétique. Les charges électriques selon la quatrième
équation de Maxwell sont les sources du champ électrique  . Cette équation est l’expression
mathématique de la loi de Coulomb :

où , est un vecteur unitaire.
Voyons maintenant le sens physique de l’équation de continuité du courant électrique
(IV.5). Pour cela, intégrons (IV.5) pour un certain volume D, limité par une surface S.
L’intégration de (IV.5) selon le théorème de Gauss-Ostrogradsky est :
La force du courant électrique est alors : 
La partie droite de (IV.17) est la variation de la charge électrique Q dans le volume V
par unité de temps : 
En remplaçant (IV.18a, b) dans (IV.17), on obtient :
La relation (IV.19) exprime la loi de conservation de la charge électrique.
La quatrième équation de Maxwell sera complétée par les relations entre les vecteurs
, , , : 
où  et  sont respectivement les perméabilités électrique et magnétique du milieu. La densité
du courant est proportionnelle au vecteur  :
où  est la conductibilité du milieu.
La relation (IV.21) s’appelle la loi d’Ohm sous forme différentielle. L’inverse de
 s’appelle la résistivité ρ du milieu :
On peut facilement montrer que de (IV.21), on trouve la loi d’Ohm :
U =RI, (IV.22)
où U- est la chute de tension entre les extrémités du conducteur cylindrique, I- l’intensité du
courant, R- la résistance du conducteur :
R = ρl/S. (IV.23)
Ici l et S sont respectivement la longueur et la section transversale du conducteur, ρ – sa
résistivité électrique.
Si nous avons un conducteur cylindrique se trouvant dans un champ électrique
homogène E et selon (IV.21), on obtiendra :
où j et E sont les longueurs des vecteurs  et  respectivement. En tenant compte que E et j
sont constants dans le conducteur, l’égalité (IV.24) devient :
jSl = ESl.
L’intensité du courant est : jS = I, (IV.25)
La chute de tension U est : 
En remplaçant (IV.26) et (IV.25) dans (IV.24) et en tenant compte de (IV.23), on obtient la loi
d’Ohm (IV.22) :

Remarquons que dans les équations (IV.1)-(IV.4), on ne tient pas compte de la manière
d’excitation du courant. Les courants et les charges peuvent être produits par des forces
électromagnétiques et par des forces telles que mécaniques, chimiques et bien d’autres. Les
courants et les charges qui créent le champ électromagnétique mais qui ne dépendent pas de
lui sont appelés courants et charges externes.
En tenant compte des courants et charges externes, les équations de Maxwell
s’écrivent : 
où  et  sont respectivement les densités des courants et des charges externes, liées entre
elles par l’équation de continuité :
Les équations (IV.27c) et (IV.27d) sont les corollaires des équations (IV.27a) et
(IV.27b) et des équations de continuité (IV.5) et (IV.28).
IV.2 Conditions aux limites pour les vecteurs du champ électromagnétique
Entre les couches de la terre, les paramètres  sont variables. Alors des formules
(IV.20), (IV.21), les vecteurs de certains champs s’avèrent variables. Les conditions aux
limites sont indispensables donc pour l’étude de l’induction magnétique dans la terre.
Supposons qu’une surface partage deux milieux (i) et (i + 1) dans lesquels les
paramètres sont presque constants ou variables. Soit  la normale à la surface S. Alors, on
aura les relations suivantes :
1. Pour les composantes normales du champ :
où  est la densité superficielle de la charge électrique à la frontière de S.
Par conséquent, la composante normale du champ magnétique  est continue pendant la
transition à travers la limite de séparation du milieu, alors que la composante normale du
champ électrique  est marquée par une coupure équivalente à la densité superficielle de la
charge électrique.
2. Pour les composantes tangentielles du champ ;
où  est la densité superficielle du courant électrique ;
avec  pour les surfaces d’un conducteur idéal. Alors, pour un milieu réel (IV.31),
(IV.32), on peut écrire :  
où l’indice  indique la composante tangentielle à S.
A l’aide des relations (IV.29) - (IV.34) et les équations (IV.20), (IV.21), on peut
obtenir les conditions aux limites pour les composantes normale et tangentielle des vecteurs
,  ,  et  .

IV.3 Champs dans un milieu homogène
Considérons comment simplifier les équations de Maxwell (IV.1) – (IV.4) pour un
milieu homogène et isotrope ( En tenant compte que  , 
,  , on trouve : 
En électrométrie, on écrit séparément l’équation du champ magnétique et l’équation du
champ électrique. C’est pourquoi l’on introduit l’opérateur "rot" dans (IV.35a).
de la même manière, on obtient pour (IV.35b) :
En introduisant la forme vectorielle dans l’équation de Maxwell (IV.37d) :
l’équation (IV.36) devient alors : 
et l’équation (IV.37) devient à l’aide de (IV.35c) :
IV.4 Equation d’un champ monochromatique
On considère généralement en électrométrie la variation du champ en fonction du temps
selon la loi du sinus ou cosinus. Ce champ est alors monochromatique. Le champ
électromagnétique peut être considéré comme une superposition de champs
monochromatiques  . Supposons dans ce cas que chaque composante   varie
suivant la loi du cosinus :
où  sont les amplitudes et les phases respectives.
En utilisant la formule d’Euler, on peut transformer l’expression (IV.40) :
d’où 
En tenant compte de (IV.42) et (IV.40), on peut écrire :
Posons le vecteur complexe  sous la forme :
alors (IV.43) devient : 
Par analogie, on obtient : 