2 Rappel de la théorie de l`électromagnétisme

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2 Rappel de la théorie de l’électromagnétisme
L’étude des guides d’ondes diélectriques (tel que les fibres à saut d’indice et à gradient d’indice, les guides
d’ondes plans, etc) requiert une bonne connaissance de la théorie des ondes électromagnétiques. Alors, le but de ce
chapitre est de rappeler les concepts fondamentaux de cette théorie.
Nous considérerons d’une part, les aspects importants de la propagation des ondes dans un milieu
diélectrique infini et d’autre part, l’analyse des phénomènes de la réflexion et de la réfraction à l’interface de deux
milieux diélectriques différents nous préparera à l’étude ultérieure des guides d’ondes. Une attention particulière sera
aussi portée au phénomène de réflexion totale interne.
Pour commencer notre discussion, nous passerons en revue les équations de Maxwell. Celles-ci nous
permettront d’obtenir l’équation de la propagation des ondes pour un milieu diélectrique infini. L’onde progressive
plane, qui est une solution de cette équation, sera ensuite examinée en détail. Après avoir défini les principaux
paramètres relatifs aux ondes, nous examinerons les conséquences d’une discontinuité dans le milieu de
propagation : ceci nous permettra d’obtenir les différentes lois qui gouvernent les phénomènes de la réflexion et de la
réfraction à l’interface de deux milieux diélectriques. Les concepts de la réflexion totale interne et de champ
évanescent seront analysés, vu leur importance dans la compréhension du guide d’ondes. De plus, pour compléter
l’étude de la réflexion totale interne, nous discuterons du déplacement latéral de l’onde réfléchie (Goss-Hänchen).
Dans la dernière section de ce chapitre, nous étudierons la propagation d’une impulsion lumineuse dans un milieu de
dispersion, et, plus tard, dans un milieu de dispersion non linéaire.
2.1 Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell2 ( tableau 2.1) contiennent des dérivées partielles couplées par rapport aux
variables de l’espace et du temps des champs vectoriels
ε
et Hde la densité de charge
ρ
et de la densité de
courant J. Ce sont les quatre équations fondamentales de la théorie de l’électromagnétisme. Elles s’appliquent
partout où la distribution de courant de charge est continue. La théorie des guides d’ondes repose sur elles.
(I) t
B
∂
∂
∇−=
ε X (2
(II) t
D
J∂
∂
+=∇ X H(2
0 =⋅∇ B(2
ρ =⋅∇ D(2
ε
: champ électrique (V / m)
B : densité du flux magnétique (Tesla)
D : densité du déplacement électrique (C / m2)
H : champ magnétique (A / m)
J : densité du courant (A / m2)
ρ
: densité de charge électrique (C / m3)
TABLEAU 2.1 : Les équations de Maxwell
2. Plusieurs excellents livres peuvent être consultés pour une discussion détaillée des ondes électromagnétiques et des
équations de Maxwell.

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Les relations de constitution caractérisant un milieu nous permettent d’exprimer la densité de champ et la
densité de courant D, B et J en fonction des champs
ε
et H :
)(
ε
DD =)( H BB=(2.5)
),( H
ε
JJ =
La forme spécifique de ces relations dépend de la nature du milieu. Ainsi, pour un milieu homogène (un
milieu dont les propriétés ne changent pas d’un point à un autre), isotrope (dont les propriétés sont les mêmes dans
toutes les directions données) et un milieu linéaire (un milieu où les relations de constitution sont linéaires avec le
respect de
ε
et H), les relations (2.5) peuvent alors se réécrire comme
a)
ε
ε =D(2.6)
b) H
µ =B
De plus, si le milieu obéit à la loi d’Ohm, nous avons :
c)
ε
σ =J(2.6)
où et ,
σµε sont des constantes indépendantes de
ε
et H (la notation X indique qu’il s’agit d’un tenseur). Les
milieux diélectriques isotropes et sans perte, que nous considérerons lorsque nous étudierons les guides d’ondes, ont
les caractéristiques suivantes où r
ε est la permittivité relative et r µ la perméabilité relative :
σ = 0 (milieu non-conducteur)
0
/ µµµ =
r(pour les milieux non-magnétiques ) 0
µµ =
2
0n/ ==
εεε
r(n : indice de réfraction du milieu)
Plus généralement, les relations de constitution sont des équations tensorielles où
=
333231
232221
131211
εεε εεε εεε
ε
et
zyxx
zyxy
zyxx
D
D
D
εεε εεε
ε
ε
ε
εεε εεε εεε
333231
232221
131211
++= ++= ++=
C’est ce type de relation qui prévaut pour des milieux cristallins, tel que le quartz, qui sont généralement
anisotropiques. De plus, si le milieu est inhomogène, la permittivité ou l’indice de réfraction sera une fonction des
coordonnées de l’espace (
ε
(x, y, z)). Un exemple important d’un tel milieu est la fibre optique à gradient d’indice.
Si l’intensité du champ magnétique et de celle du champ électrique sont grandes des effets non linéaires peuvent se
manifester. On doit alors modéliser ces effets en incluant des termes non linéaires dans les relations de constitution.
Par exemple, aux fréquences optiques, le verre possède une non linéarité cubique (effet Kerr optique), qui peut être
écrite comme
εεε εε
2
2 +=D(2.7)

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Bien que la constante 2
ε soit très petite, l’utilisation d’impulsions très courtes et le confinement du champ
dans une très faible surface (e.g. fibre optique monomode) fait que ce terme non linéaire devient suffisamment
important en optique guidée. Nous verrons plus loin une manifestation spectaculaire de cet effet (SOLITON).
Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement les milieux diélectriques isotropes sans charge, sans perte
et non magnétique. Les équations de Maxwell et les relations de constitution applicables pour de tels milieux sont
résumées au tableau 2.2.
(I) t
B
∂
∂
∇−=
ε X (2.8)
(II) t
D
∂
∂
=∇ H X (2.9)
0=⋅∇ D(2.10)
0 =⋅∇ B(2.11)
H
0
µ =B(2.12)
ε
ε
εε n 2
0
==D(2.13)
TABLEAU 2.2 : Milieux diélectriques isotropes sans charge et sans perte :
équations de Maxwell et relations de constitution
Les équations de Maxwell sont les équations différentielles dans lesquelles les champs H
et
ε
, doivent
obéir lors de la propagation dans un milieu. Les solutions particulières de ces équations, pour un problème physique
donné, sont trouvées à partir des conditions aux limites. Les conditions limites générales pour différentes quantités
électromagnétiques sont données dans le tableau 2.3.
Continuité de la composante normale du courant de déplacement électrique :
()
(
)
0s 12 =−⋅ DD (2.14)
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
()
(
)
0 s 12 =−×
ε
ε
(2.15)
Continuité de la composante normale de la densité de flux magnétique :
()
(
)
0s 12 =−⋅ BB (2.16)
Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique :
() () 0
12 =−× HH s (2.17)
TABLEAU 2.3 : Continuité des composantes des champs électromagnétiques à l’interface de deux milieux d’indice
n1 et n2. Le vecteur unitaire s est la normale à l’interface.

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2.2 Équations d’onde (à second membre en
ε
)
Les équations de Maxwell que nous venons de voir ne sont pas faciles à résoudre puisqu’elles forment un
système d’équations couplées. Cependant, à partir de ces dernières, nous pouvons développer un nouveau système
d’équations (appelé équations d’onde) qui est plus aisé à analyser. Le principal intérêt réside dans le fait que les
équations d’onde sont découplées, c’est-à-dire que chacune d’elles ne fait intervenir qu’un champ (H
et
ε
). Elles
sont donc très utiles pour résoudre des problèmes de conditions aux limites.
Afin d’obtenir ces équations, nous prenons en premier lieu le rotationnel de l’équation (2.8), dans laquelle
nous avons substitué l’équation (2.12) :
t∂
×∇∂
−=×∇×∇ H
0
µ ε (2.l8)
En utilisant les relations (2.9) et (2.13) et le fait que
)(
2AAA⋅∇∇+−∇=×∇×∇
nous avons :
)( n 2
2
2
00
2
ε
ε
ε εµ ⋅∇∇=
∂
∂
−∇ t(2.19)
En développant l’équation (2.10), nous trouvons :
0n n 2
0
2
0=∇⋅+⋅∇=⋅∇
ε
ε
εε D(2.20)
En substituant l’équation (2.20) dans l’équation (2.19), nous obtenons l’équation générale de l’onde
suivante :
)
n
n
( n 2
2
2
2
2
00
2 ∇
∇−=
∂
∂
−∇ ⋅
ε
ε
ε εµ
t(2.21)
D’une façon similaire, il est possible de déduire que
0
2
2
2
00
2=
∂
∂
−∇ t n H H εµ (2.22)
Pour les milieux inhomogènes (milieux où l’indice de réfraction est une fonction des coordonnées de
l’espace (n (x, y, z)), le gradient de l’indice de réfraction est non-nul ( 0)n≠∇ . Par contre, pour un milieu
homogène, 0n =∇ et la relation (2.21) devient alors l’équation d’onde homogène :
0 n 2
2
2
00
2=
∂
∂
−∇ t
ε
ε εµ (2.23)
Les équations (2.21), (2.22) et (2.23) représentent six équations scalaires découplées (en composantes
cartésiennes) où
2
2
2
2
2
2
2
z y x ∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=∇

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Le calcul du champ électromagnétique d’un guide revient donc à résoudre l’équation d’onde sous certaines
conditions limites. Ainsi, pour une fibre à saut d’indice, on résout l’équation homogène (2.23) à la fois dans le cœur
et dans la gaine pour obtenir les expressions des champs. Pour une fibre à gradient d’indice, on doit en principe
utiliser l’équation d’onde générale (2.21). Marcuse3 [2] a cependant démontré que, sous certaines conditions, on peut
employer l’équation d’onde homogène (2.23) et ce même si l’indice n est fonction des coordonnées de l’espace.
Cette approximation est seulement valide cependant si la variation de l’indice n est négligeable sur une distance
d’une longueur d’onde.
Dans la section suivante, nous étudierons une solution particulière de l’équation d’onde homogène : l’onde
progressive.
2.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques
(TEM)
Dans les prochaines sections, nous utiliserons principalement les champs H et
ε
qui sont des fonctions
sinusoïdales du temps de la forme suivante,
(
)
t j
e Re
ω
AA=
où Aest le vecteur complexe (phaseur) qui ne dépend que des coordonnées de l’espace. Dans ce cas particulier, nous
pouvons remplacer les dérivées par rapport au temps par le facteur j
ω
. Dans le tableau 2.4, nous retrouvons les
équations de Maxwell écrites particulièrement pour des champs à variation temporelle sinusoïdale.
(I) HHE
000 k -j j X
ηµω =∇ −= (2.
2
(II) EEH 0
0
2
2
0k
n
jn j X ==∇ εω (2.
2
Tableau 2.4 : Équations de Maxwell pour un milieu diélectrique d’indice de réfraction n.
Notez que H
0
η possède les mêmes unités que
E
.
En utilisant la même technique que nous avons utilisé à la section précédente. Nous obtenons les équations
d’onde pour les phaseurs HE et en prenant les rotationnels des équations (2.24) et (2.25) :
0k22 =+∇ EE (2.26)
0k22 =+∇ HH
où nous avons introduit le nombre d’onde « k » défini comme
k=n =
c
ω
nk0(2.27)
où c=
00
1
µε
est la vitesse de la lumière dans le vide.
3. Notez que la variation de n (x, y, z) doit être incluse dans les équations homogènes (2.22) et (2.23).