TD12 - Le site de physique de la PCSI
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LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI TD 12 : Cinématique du point matériel I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours 1) Définir un référentiel et préciser la signification du choix d'une base spatiale directe. 2) Définir la vitesse d'un point matériel et l'exprimer dans un système de coordonnées cartésiennes puis cylindriques. 3) Définir l'accélération d'un point matériel et l'exprimer dans un système de coordonnées cartésiennes puis cylindriques. 4) Rappeler les caractéristiques d'un mouvement rectiligne uniforme et uniformément varié. 5) Rappeler les caractéristiques d'un mouvement parabolique : équation de trajectoire, flèche, portée... II. Questions de réflexion – Physique pratique 1) Mouvement rectiligne Un mouvement rectiligne se fait-il forcément à vitesse constante ? Montrer le résultat ou donner un exemple simple. 2) Coordonnées sphériques et surface terrestre a) Pour un point situé à la surface de la Terre, quelle est la relation entre sa latitude λ et sa colatitude θ b) En notant RT le rayon de la Terre, quelles sont les coordonnées sphériques du pôle nord ? Et du pôle sud ? Donner aussi celles de Paris (on prendra φ = 0 sur le méridien de Greenwich). Donnée : Paris est situé à 48,8° de latitude nord et 2,3 de longitude est. 3) Mouvement d'une balle Une balle est lancée vers le haut. Au point le plus haut de la trajectoire : a) le vecteur accélération est-il dirigé vers le haut, vers le bas ? b) le vecteur vitesse est-il dirigé vers le haut, vers le bas ? 4) Saisons terrestres Quelle caractéristique du mouvement de la Terre par rapport au Soleil est à l'origine des saisons ? 5) Quelques exemples On argumentera en proposant des exemples aux questions suivantes. a) Un mobile peut-il avoir un vecteur accélération nul et un vecteur vitesse non nul ? b) Un mobile peut-il avoir un vecteur vitesse nul et un vecteur accélération non nul ? c) Si le vecteur accélération d'un mobile est constant, son vecteur vitesse est-il toujours orienté dans la même direction ? LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI III. Exercices d'entraînement 1) Éléments cinématiques en coordonnées cartésiennes On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant : x (t )=a 0 t 2 + x 0 , y (t )=−vt , z (t)=z 0 avec : x0 = 1 m , z0 = -1 m , a0 = 2 m.s-2 , v = 3 m.s-1 1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne. 2. Calculer la norme de la vitesse du point M à la date t = 2s. 3. Calculer la norme de l'accélération du point M à la date t = 1s. 2) Éléments cinématiques en coordonnées cylindriques On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cylindriques sont, à chaque instant : r (t )=a0 t 2+ r 0 , θ (t)=ω t−θ 0 , z (t)=−vt avec : r0 = 1 m , θ0 = 2 rad , a0 = 1 m.s-2 , ω = 3 rad.s-1 , v = 2 m.s-1 1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cylindrique. 2. Calculer la norme de la vitesse du point M à la date t = 1s. 3. Calculer la norme de l'accélération du point M à l'instant initial. 3) Test d'accélération d'une voiture Une voiture est chronométrée pour un test d'accélération en ligne droite avec un départ arrêté (vitesse initiale nulle). 1. Elle est chronométrée à 12,4 s au bout d'une distance D = 400m. Déterminer l'accélération (supposée constante) et la vitesse atteinte à la distance D. 2. Quelle est alors la distance d'arrêt pour une décélération de 9 m.s -1 4) Interpellation pour vitesse excessive Un conducteur roule à vitesse constante v0 sur une route rectiligne, portion limitée à 130 km.h-1 Roulant à 150 km.h-1, un gendarme démarre à l'instant où la voiture passe à sa hauteur et accélère uniformément. Au volant de sa BMW 1200 RT, le gendarme atteint la vitesse de 100 km.h-1 au bout de 3,6 s. 1. Quel sera le temps nécessaire au motard pour rattraper la voiture ? 2. Quelle distance aura-t-il parcouru ? 3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte ? LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI 5) Satellite géostationnaire Un satellite géostationnaire est en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. R 2 Il subit une accélération a=g 0 ( ) où R = 6380 km est le rayon de la Terre, r est le rayon de l'orbite. r La période de révolution du satellite est égale à la période de rotation propre de la Terre. 1. Calculer la période T de rotation de la Terre en secondes puis estimer la vitesse angulaire Ω. 2. Déterminer l'altitude de l'orbite géostationnaire. 3. Déterminer sa vitesse sur sa trajectoire et calculer sa norme. 6) Sortie d'autoroute Un conducteur se déplace sur l'autoroute à la vitesse v0 = 130 km.h-1. Elle souhaite sortir de l'autoroute en utilisant une bretelle de sortie assimilée à un arc de cercle plan horizontal de rayon R = 50 m. Pour éviter de déraper dans la bretelle, la norme de l'accélération du véhicule ne peut excéder 10 m.s -2 1. Montrer que la voiture ne peut pas prendre la bretelle à la vitesse v0 au risque de quitter la route. 2. Expliquer pourquoi il ne faut pas freiner dans le virage au risque, encore, de quitter la route. 3. Quelle est la vitesse maximale Vmax à laquelle la voiture peut décrire le virage ? 7) Mouvement d'un poisson rouge Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le mouvement de son centre d'inertie M dans un repère e x ,⃗ e y ,⃗ e z ) est décrit par les équations paramétriques suivantes, où ω et R désignent orthonormal (O ,⃗ deux constantes positives : x (t )=R cos(ω t ) , y (t )= Rsin (ω t) et z (t)=0 1. Établir l'équation de la trajectoire du centre d'inertie du poisson et préciser sa nature. 2. Déterminer la valeur du vecteur vitesse correspondant. Quelle caractéristique le mouvement présente-t-il et que représente la constante ω ? 3. Établir une relation simple entre les vecteurs position et accélération. 4. Las d'effectuer toujours le même trajet, le poisson décide d'ajouter une petite composante verticale z (t)=v 0 t au mouvement précédent (v0 étant une constante positive). Quelle est alors la nature du mouvement du centre d'inertie du poisson ? 8) Slalom de Speeder dans « Star Wars » Dans le film « L'attaque des clones », on peut assister à une course poursuite de « speeder » entre des cheminées d'usine. On suppose que le véhicule suit une trajectoire sinusoïdale de slalom entre les cheminées alignées selon l'axe (Ox). Elles sont espacées d'une distance L = 200 m. 1. Le véhicule conserve une vitesse v0 constante selon (Ox) et met ta = 12 s pour revenir sur l'axe après la sixième cheminée. En déduire la vitesse v0. Faire l'application numérique. 2. Déterminer l'amplitude de la sinusoïde pour que l'accélération reste inférieure à 10 g en valeur absolue, avec g = 9,8 m.s-2. Que penser des valeurs obtenues ?
