TD M2

Dynamique du point matériel en référentiel galiléen Exercice 1 : Mesure du champ de pesanteur Un ressort de constante de raideur 𝑘 > 0, de longueur à vide 𝑙! et de masse 𝑚! négligeable est suspendu verticalement par son extrémité A. A l’autre extrémité B du ressort, on attache une masse quasi-­‐ponctuelle 𝑚. Le ressort s’allonge alors de la quantité 𝐵𝑂 = ℎ, pour parvenir à une longueur totale dans la nouvelle position d’équilibre 𝐴𝑂 = 𝑙. On choisit pour référentiel d’étude le référentiel terrestre (ℛ! ), que nous supposerons galiléen, et nous utiliserons comme repère d’espace le système des coordonnées cartésiennes. 1) Etude statique a) Exprimer le champ de pesanteur terrestre g en fonction des données du problème. b) Application numérique : pour 𝑚 = 200 g, on mesure ℎ = 59,5 mm. Déterminer g. 2) Etude dynamique A partir de la position d’équilibre O précédente, on écarte la masse 𝑚 d’une quantité 𝑥! et on la lâche sans vitesse initiale au temps 𝑡 = 0. a) Ecrire l’équation du mouvement de la masse m. Montrer que l’on obtient des oscillations, de pulsation 𝜔! que l’on déterminera en fonctions des paramètres du problème. b) Exprimer g en fonction de ℎ et 𝜔! . c) Application numérique : pour 𝑚 = 200 g, on compte 113 oscillations par minute. Déterminer g et commenter le résultat. Données numériques : 𝑘 = 33 N.m-­‐1, 𝑙! = 0,35 m et 𝑚! = 105 g. Exercice 2 : Lancement d’une balle avec ou sans force de frottements On considère une balle de masse m, assimilée à un point matériel M, lancée dans le vide. On choisit pour référentiel le référentiel terrestre (ℛ! ), que nous supposerons galiléen, et nous utiliserons comme repère d’espace le système des coordonnées cartésiennes, d’axe (Oz) donnée par la verticale locale. Le champ de pesanteur, supposé uniforme dans le référentiel d’étude (ℛ! ), est noté 𝑔 = −𝑔𝑢! . A l’instant 𝑡 = 0, la balle est lancée du point O (choisi comme origine du repère d’espace) avec une vitesse initiale 𝒗𝟎 . Le vecteur 𝒗𝟎 est situé dans le plan (𝑥𝑂𝑧) et fait un angle 𝛼 avec l’horizontale 𝑂𝑥 . 1) Etude sans force de frottements On suppose pour l’instant que la balle est uniquement soumise à son poids. a) Calculer, en fonction de 𝑣! , 𝑔 et 𝛼, le temps 𝜏 nécessaire pour que la balle atteigne sa plus haute altitude et les coordonnées du point S ainsi atteint. b) Application numérique : calculer le temps 𝜏 et les coordonnées du point S dans les trois cas suivants : 𝛼! = 30°, 𝛼! = 60° et 𝛼! = 90° 2) Etude avec force de frottements On suppose désormais que la balle est soumise à son poids ainsi qu’à une force de frottement fluide exercée par l’air, de la forme 𝑓 = −𝜆𝑣 . a) Exprimer les composantes 𝑣! et 𝑣! de la vitesse de la balle à l’instant t. Montrer que le vecteur vitesse tend vers une vitesse limite que l’on précisera. b) Déterminer les coordonnées 𝑥 et 𝑧 de la balle à l’instant t. c) Quelle est l’expression du temps 𝑡! correspondant à l’altitude maximale 𝑧! atteinte ? d) Représenter l’allure de la trajectoire de la balle. e) Calculer 𝑡! et 𝑧! pour 𝛼! = 30° et comparer les résultats au cas précédent. Commenter. Données numériques : 𝑚 = 1 kg, 𝑔 = 10 m.s-­‐2, 𝑣! = 100 m.s-­‐1 et 𝜆 = 0,1 N.s.m-­‐1. Exercice 3 : Solide sur un plan incliné Un solide de masse 𝑚 est en équilibre sur un plan incliné, faisant un angle 𝛼 avec l’horizontale 𝑂𝑥 . Sauf indication contraire, le contact entre le solide et le plan incliné sera supposé sans frottement. Le champ de pesanteur, supposé uniforme dans le référentiel d’étude (ℛ! ), est noté 𝑔 . On choisit pour référentiel d’étude le référentiel terrestre (ℛ! ), supposé galiléen. 1) Dans un premier temps, l’équilibre est réalisé en maintenant le solide par un fil non élastique de masse négligeable. Ecrire les lois de l’équilibre du solide. En déduire la tension du fil. 2) L’équilibre est désormais réalisé en maintenant le solide par un fil élastique de masse négligeable, de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! . Déterminer la longueur du ressort lorsqu’il maintient le solide sur le plan incliné. 3) Dans cette question, le contact entre le solide et le plan incliné se fait avec une force de frottement solide, dont le coefficient de frottement d’adhérence est noté 𝜇. Le solide n’est plus maintenu par un fil. Démontrer que solide ne peut être en équilibre que si l’angle 𝛼 est inférieur à un angle que l’on déterminera. Exercice 4 : Pendule simple Le référentiel d’étude ℛ , associé au repère cartésien 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! , est supposé galiléen. On étudie un pendule, constitué d’un fil inextensible de longueur 𝑙 attaché au point O, au bout duquel se trouve un point matériel M de masse 𝑚 . On supposera que le fil reste tendu en permanence et que les éventuels frottements sont négligeables. On s’intéresse à la situation d’un pendule simple, pour lequel la trajectoire du fil dans ℛ est contenue dans un plan. On choisit d’orienter le repère d’espace de telle façon que le mouvement du pendule simple est contenu dans le plan (𝑥𝑂𝑦), où l’axe (𝑂𝑥) est la verticale descendante. A tout instant, la position du point M est entièrement déterminée par la donnée de l’angle θ que fait le pendule avec l’axe (𝑂𝑥). 1) Ecrire l’équation du mouvement du pendule. On s’intéresse aux petites oscillations du pendule, (c’est-­‐à-­‐dire qu’on peut considérer que 𝜃 , 𝜃 et 𝜃 sont petits devant 1). 2) Montrer que le mouvement du pendule est alors purement sinusoïdal, de pulsation 𝜔! que l’on déterminera en fonctions des paramètres du problème. Exercice 5 : Pendule conique Le référentiel d’étude ℛ , associé au repère cartésien 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! , est supposé galiléen. On étudie un pendule, constitué d’un fil inextensible de longueur 𝑙 attaché au point O, au bout duquel se trouve un point matériel M de masse 𝑚 . On supposera que le fil reste tendu en permanence et que les éventuels frottements sont négligeables. On s’intéresse à la situation d’un pendule conique, pour lequel la trajectoire du fil dans ℛ est un cône d’angle au sommet 𝛼 constant. 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse angulaire 𝜔 de rotation de M est constante et l’exprimer en fonction de 𝑙 , 𝑔 et 𝛼. 2) Quelle valeur minimale peut prendre 𝜔 ? Cette valeur sera notée 𝜔!"# . 3) Que se passe-­‐t-­‐il pour 𝜔 < 𝜔!"# ? 4) L’expérience montre que 𝛼 augmente lorsque 𝜔 augmente : est ce bien ce que l’on obtient ? Quelle est la valeur limite prise par 𝛼 lorsque 𝜔 → ∞ ? 5) Exprimer la norme T de tension du fil en fonction de 𝑚 , 𝑔 et 𝛼. 6) Sachant que le fil cède lorsque la tension du fil dépasse une valeur limite 𝑇!"# , exprimer l’angle 𝛼!"# et la vitesse angulaire 𝜔!"# que peut atteindre le pendule conique. 7) Application numérique : 𝑚 = 20 g, 𝑔 = 9,8 m.s-­‐2, 𝑙 = 50 cm et 𝑇!"# = 2 N. Déterminer 𝜔!"# en tour par seconde.