TD M2

Dynamique*du*point*matériel*
en*référentiel*galiléen*
*
Exercice*1*:*Mesure*du*champ*de*pesanteur*
Un#ressort#de#constante#de#raideur#𝑘>0,#de#longueur#à#vide!𝑙!#
et#de#masse#𝑚!!négligeable#est#suspendu#verticalement#par#son#
extrémité# A.# A# l’autre# extrémité# B#du# ressort,# on# attache# une#
masse# quasi=ponctuelle# 𝑚.# Le# ressort# s’allonge# alors# de# la#
quantité# 𝐵𝑂 =ℎ,# pour# parvenir# à# une# longueur# totale# dans# la#
nouvelle#position#d’équilibre#𝐴𝑂 =𝑙.#
On# choisit# pour# référentiel# d’étude# le# référentiel# terrestre!(ℛ!),#
que#nous#supposerons#galiléen,#et#nous#utiliserons#comme#repère#
d’espace#le#système#des#coordonnées#cartésiennes.#
#
1) Etude(statique(
a)#Exprimer#le#champ#de#pesanteur#terrestre#g#en#fonction#des#données#du#problème.#
b)#Application#numérique#:#pour#𝑚=200#g,#on#mesure#ℎ=59,5#mm.#Déterminer#g.#
2) Etude(dynamique(
A#partir#de#la#position#d’équilibre#O#précédente,#on#écarte#la#masse#𝑚#d’une#quantité#𝑥!#et#on#la#
lâche#sans#vitesse#initiale#au#temps#𝑡=0.#
a)#Ecrire#l’équation#du#mouvement#de#la#masse#m.#Montrer#que#l’on#obtient#des#oscillations,#de#
pulsation#𝜔!#que#l’on#déterminera#en#fonctions#des#paramètres#du#problème.#
b)#Exprimer#g#en#fonction#de#ℎ!et!𝜔!.#
c)# Application# numérique#:# pour# 𝑚=200#g,# on# compte# 113# oscillations# par# minute.#
Déterminer#g#et#commenter#le#résultat.#
Données#numériques#:!𝑘=33!N.m=1,#𝑙!=0,35#m#et#𝑚!=105#g.#
Exercice*2*:*Lancement*d’une*balle*avec*ou*sans*force*de*frottements*
On#considère#une#balle#de#masse#m,#assimilée#à#un#point#matériel#M,#lancée#dans#le#vide.#On#choisit#
pour# référentiel# le# référentiel# terrestre!(ℛ!),# que# nous# supposerons# galiléen,# et# nous# utiliserons#
comme#repère#d’espace#le# système#des# coordonnées#cartésiennes,#d’axe#(Oz)#donnée#par#la#verticale#
locale.#
Le#champ#de#pesanteur,#supposé#uniforme#dans#le#référentiel#d’étude!(ℛ!),#est#noté#𝑔!=−𝑔𝑢!.#
A#l’instant#𝑡=0,#la#balle#est#lancée#du#point#O((choisi#comme#origine#du#repère#d’espace)#avec#une#
vitesse#initiale#𝒗𝟎.#Le#vecteur#𝒗𝟎!est#situé#dans#le#plan#(𝑥𝑂𝑧)#et#fait#un#angle#𝛼#avec#l’horizontale# 𝑂𝑥 .#

1) Etude(sans(force(de(frottements(
On#suppose#pour#l’instant#que#la#balle#est#uniquement#soumise#à#son#poids.#
a)# Calculer,# en# fonction# de# 𝑣!,𝑔!et!𝛼,# le# temps# 𝜏!nécessaire# pour# que# la# balle# atteigne# sa#plus#
haute#altitude#et#les#coordonnées#du#point#S#ainsi#atteint.#
b)#Application#numérique#:#calculer#le#temps# 𝜏!et#les#coordonnées# du#point#S#dans#les#trois#cas#
suivants#:#
𝛼!=30°,𝛼!=60°!!et!!𝛼!=90°!#
2) Etude(avec(force(de(frottements(
On#suppose#désormais#que#la#balle#est#soumise#à#son#poids#ainsi#qu’à#une#force#de#frottement#fluide#
exercée#par#l’air,#de#la#forme#𝑓=−𝜆𝑣!.(
a)#Exprimer#les#composantes#𝑣!#et#𝑣!#de#la#vitesse#de#la#balle#à#l’instant#t.#Montrer#que#le#vecteur#
vitesse#tend#vers#une#vitesse#limite#que#l’on#précisera.#
b)#Déterminer#les#coordonnées#𝑥!et!𝑧#de#la#balle#à#l’instant#t.#
c)#Quelle#est#l’expression#du#temps#𝑡!#correspondant#à#l’altitude#maximale#𝑧!!atteinte#?#
d)#Représenter#l’allure#de#la#trajectoire#de#la#balle.#
e)#Calculer#𝑡!#et#𝑧!!pour#𝛼!=30°#et#comparer#les#résultats#au#cas#précédent.#Commenter.#
Données#numériques#:#𝑚=1#kg,#𝑔=10#m.s=2,#𝑣!=100#m.s=1#et#𝜆=0,1!N.s.m=1.#
Exercice*3*:*Solide*sur*un*plan*incliné*
Un#solide#de#masse#𝑚#est#en#équilibre#sur#un#plan#incliné,#faisant#un#angle#𝛼#avec#l’horizontale# 𝑂𝑥 .#
Sauf#indication#contraire,#le#contact#entre#le#solide#et#le#plan#incliné#sera#supposé#sans#frottement.#
Le#champ#de#pesanteur,#supposé#uniforme#dans#le#référentiel#d’étude!(ℛ!),#est#noté#𝑔!.#
On#choisit#pour#référentiel#d’étude#le#référentiel#terrestre!(ℛ!),#supposé#galiléen.#
#
1) Dans#un#premier#temps,#l’équilibre#est#réalisé#en#maintenant#le#solide#par#un#fil#non#élastique#
de#masse#négligeable.#Ecrire#les#lois#de#l’équilibre#du#solide.#En#déduire#la#tension#du#fil.#
2) L’équilibre# est# désormais# réalisé# en# maintenant# le# solide# par# un# fil# élastique# de# masse#
négligeable,#de#constante#de#raideur#𝑘>0#et#de#longueur#à#vide!𝑙!.#Déterminer#la#longueur#du#
ressort#lorsqu’il#maintient#le#solide#sur#le#plan#incliné.#
3) Dans# cette# question,# le# contact# entre# le# solide# et# le# plan# incliné# se# fait# avec# une# force# de#
frottement#solide,#dont#le#coefficient#de#frottement#d’adhérence#est#noté#𝜇.#Le#solide#n’est#plus#
maintenu# par# un# fil.# Démontrer# que# solide# ne# peut# être# en# équilibre# que# si# l’angle# 𝛼#est#
inférieur#à#un#angle#que#l’on#déterminera.#

Exercice*4*:*Pendule*simple*
Le#référentiel#d’étude# ℛ,#associé#au#repère#cartésien#𝑂,𝑒!,𝑒!,𝑒!#,#est#supposé#galiléen.#
On#étudie#un#pendule,#constitué#d’un#fil#inextensible#de#longueur#𝑙(attaché#au#point#O,#au#bout#duquel#
se#trouve#un#point#matériel#M#de#masse#𝑚.#On#supposera#que#le#fil#reste#tendu#en#permanence#et#que#
les#éventuels#frottements#sont#négligeables.#
On# s’intéresse# à# la# situation# d’un# pendule( simple,# pour# lequel# la# trajectoire# du# fil# dans# ℛ#est#
contenue#dans###un#plan.#
On# choisit# d’orienter# le# repère# d’espace# # de# telle# façon# que# le# mouvement# du# pendule# simple# est#
contenu#dans#le#plan#(𝑥𝑂𝑦),#où#l’axe#(𝑂𝑥)#est#la#verticale#descendante.#
A#tout#instant,#la#position#du#point#M#est#entièrement#déterminée#par#la#donnée#de#l’angle# θ" #que#fait#
le#pendule#avec#l’axe#(𝑂𝑥).#
1) Ecrire#l’équation#du#mouvement#du#pendule.#
On#s’intéresse#aux#petites#oscillations#du#pendule,#(c’est=à=dire#qu’on#peut#considérer#que#𝜃,𝜃!et!𝜃#sont#
petits#devant#1).#
2) Montrer#que#le#mouvement#du#pendule#est#alors#purement#sinusoïdal,#de#pulsation#𝜔!#que#l’on#
déterminera#en#fonctions#des#paramètres#du#problème.#
Exercice*5*:*Pendule*conique*
Le#référentiel#d’étude# ℛ,#associé#au#repère#cartésien#𝑂,𝑒!,𝑒!,𝑒!#,#est#supposé#galiléen.#
On#étudie#un#pendule,#constitué#d’un#fil#inextensible#de#longueur#𝑙(attaché#au#point#O,#au#bout#duquel#
se#trouve#un#point#matériel#M#de#masse#𝑚.#On#supposera#que#le#fil#reste#tendu#en#permanence#et#que#
les#éventuels#frottements#sont#négligeables.#
On#s’intéresse#à#la#situation#d’un#pendule(conique,#pour#lequel#la#trajectoire#du#fil#dans# ℛ#est#un#
cône#d’angle#au#sommet#𝛼#constant.#
1) En#appliquant#le#principe#fondamental#de#la#dynamique,#montrer#que#la#vitesse#angulaire#𝜔#de#
rotation#de#M#est#constante#et#l’exprimer#en#fonction#de#𝑙,𝑔!et!𝛼.#
2) Quelle#valeur#minimale#peut#prendre#𝜔#?#Cette#valeur#sera#notée#𝜔!"#.#
3) Que#se#passe=t=il#pour#𝜔<𝜔!"#!?#
4) L’expérience# montre# que!𝛼#augmente# lorsque# 𝜔!augmente#:# est# ce# bien# ce# que# l’on# obtient#?#
Quelle#est#la#valeur#limite#prise#par#𝛼#lorsque#𝜔→∞!?#
5) Exprimer#la#norme#T#de#tension#du#fil#en#fonction#de#𝑚,𝑔!et!𝛼.#
6) Sachant#que#le#fil#cède#lorsque#la#tension#du#fil#dépasse#une#valeur#limite#𝑇
!"#,#exprimer#l’angle#
𝛼!"##et#la#vitesse#angulaire#𝜔!"# #que#peut#atteindre#le#pendule#conique.#
7) Application#numérique#:#𝑚=20#g,#𝑔=9,8#m.s=2,#𝑙=50#cm#et#𝑇
!"# =2#N.#Déterminer#𝜔!"# #en#
tour#par#seconde.#
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