analyse 3

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LCMA 4U11
ANALYSE 3
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I
Département de Mathématiques

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Table des matières
I Séries numériques ························································· 1
1. Séries - Somme d’une série.
2. Séries absolument convergentes.
3. Séries à termes positifs.
4. Séries semi-convergentes.
II Suites et séries de fonctions ············································· 21
1. Convergence simple.
2. Convergence uniforme.
3. Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions.
4. Séries de fonctions.
5. Propriétés des sommes de séries de fonctions.
III Séries entières ···························································· 35
1. Séries entières - Rayon de convergence.
2. Opérations sur les séries entières.
3. Convergence uniforme - Propriétés des sommes de séries entières.
4. Fonctions développables en série entière.
5. Développements en série entière des fonctions usuelles.
6. Exponentielle complexe.
7. Résolution d’équations différentielles.
IV Séries de Fourier ························································· 59
1. Fonctions périodiques.
2. Séries trigonométriques.
3. Séries de Fourier.

V Intégrales généralisées ··················································· 75
1. Rappels sur les intégrales de Riemann.
2. Intégrales convergentes.
3. Intégrale généralisée d’une fonction positive.
4. Critère de Cauchy.
5. Intégrales absolument convergentes.
6. Intégrales semi-convergentes.
7. Comparaison série-intégrale.
8. Suites d’intégrales généralisées.
VI Intégrales dépendant d’un paramètre ································· 97
1. Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre.
2. Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre.

I SÉRIES NUMÉRIQUES
1. Séries - Somme d’une série
1.1 Définitions et proposition
On considère néléments u1, u2,··· , und’un K-espace vectoriel E; on notera
u1+u2+··· +un=
n
X
k=1
uk.
L’indice kest appelé indice de sommation et peut être remplacé par une autre lettre
(autre que uet n) : il s’agit d’un indice dit “muet”.
On a la propriété de linéarité suivante : si u1, u2,··· , un, v1, v2,··· , vnsont des éléments
de Eet λet µdes scalaires, on a
n
X
k=1
(λuk+µvk) = λ
n
X
k=1
uk+µ
n
X
k=1
vk.
D’autre part, on peut faire une “translation d’indices” dans une somme, i.e, si aest un
entier, en posant p=k+a, on a :
n
X
p=1
up=
n−a
X
k=1−a
uk+a.
1.2 Définitions
Soit (un)n∈Nune suite de nombres réels ou complexes. On peut alors définir une autre
suite à partir de la suite (un)n∈Nen posant pour tout entier n∈N
Sn=
n
X
k=0
uk.
On appelle série numérique de terme général unet on note Punle couple ((un)n∈N,(Sn)n∈N).
Le nombre Snest appelé somme partielle d’ordre nde la série Punet la suite (Sn)n∈N
est appelée suite des sommes partielles de la série Pun.
1.3 Définition
Si une suite (un)de nombres réels ou complexes n’est définie qu’à partir du rang n0, on
peut considérer pour tout n≥n0la somme partielle Sn=
n
X
k=n0
uket définir ainsi la série
((un)n≥n0,(Sn)n≥n0)que l’on notera X
n≥n0
un.
Réciproquement, à la série Punet à l’entier n0, on peut associer la série X
n≥n0
un, dite
série déduite de Punpar troncature au rang n0.
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