Variables aléatoires - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
7
Variables aléatoires
CONTENUS
Probabilités
Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écarttype.
CAPACITÉS ATTENDUES
COMMENTAIRES
• Déterminer et exploiter la loi d’une
variable aléatoire.
• Interpréter l’espérance comme valeur
moyenne dans le cas d’un grand nombre
de répétitions.
À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands
nombres, on fait le lien avec la moyenne
et la variance d’une série de données.
On exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d’un logiciel pour déterminer l’espérance, la variance et l’écarttype d’une variable aléatoire.
On démontre les formules suivantes
sur l’espérance et la variance :
E(aX + b) = E(a) + b et
V (aX) = a2 V (X)
1
Première S
Chapitre 7 - Variables aléatoires
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Table des matières
7 Variables aléatoires
I-
1
Variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II - Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
III - Espérance, variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Dans tout le chapitre, n et k désignent des entiers naturels non nuls et on considère un univers fini Ω
à n éléments associé à une expérience aléatoire. Ω est l’ensemble des issues de cette expérience : Ω =
{e1 ; e2 ; ...; en }.
I - Variable aléatoire discrète
Définition 1
Définir une variable aléatoire discrète X sur Ω, c’est associer à chaque élément ei de Ω un nombre
réel xj avec i ∈ {1; 2; ...; n} et j ∈ {1; 2; ...; k}.
X : ei ∈ Ω 7→ xj ∈ R, ainsi X(ei ) = xj .
Remarques :
• le terme «discrète», provient du fait que l’univers est fini.
• X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.
• Pour x ∈ R, on notera (X = x) l’événement désignant l’ensemble des éléments de Ω ayant pour valeur
x par X :
(X = x) = {e ∈ Ω/X(e) = x}.
3
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Chapitre 7 - Variables aléatoires
Exemple 1
Reprise de l’activité :
Ω = {P P ; P F ; F P ; F F }, X(P P ) = 6, X(P F ) = X(F P ) = 1 et X(F F ) = −4.
(X = 1) = {P F, F P }, (X = −4) = {F F } et (X = 0) = ∅.
II - Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit P une loi de probabilité sur Ω, c’est-à-dire une fonction définie sur Ω à valeurs dans [0; 1] telle que :
P (e1 ) + P (e2 ) + ... + P (en ) = 1.
Remarque : On peut noter
X
P (e) = 1.
e∈Ω
Définition 2
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1 , x2 , ..., xk .
La loi de probabilité de X est la loi de probabilité définie sur Ω′ = {x1 ; x2 ; ...; xk } qui à chaque
élément xi de Ω′ associe le réel pi = P (X = xi ) où i ∈ {1; 2; ...; k}.
Remarques :
• Les ensembles (X = xi ) pour i ∈ {1; 2; ..n} forment une partition de Ω (l’union de ces ensembles est
Ω et ils sont deux à deux disjoints).
•
k
X
i=1
pi =
k
X
P (X = xi ) = 1.
i=1
• On présente généralement la loi de X dans un tableau :
xi
x1 x2 ... ...
pi = P (X = xi ) p1 p2 ... ...
xk
pk
Exemple 2
Dans l’exemple précédent Ω′ = {−2; 1; 4}.
xi
La loi de probabilité de X est :
P (X = xi )
−4
1/4
1
1/2
6
1/4
III - Espérance, variance et écart type
Soit P une loi de probabilité sur Ω et X une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs x1 , x2 , ..., xk .
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Chapitre 7 - Variables aléatoires
Définition 3
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel E(X) défini par :
E(X) =
k
X
xi P (X = xi ).
i=1
La variance de X est le nombre réel V (X) défini par :
V (X) =
k
X
i=1
(xi − E(X))2 P (X = xi ).
. L’écart type de X est le nombre réel σ(X) défini par :
σ(X) =
»
V (X).
Remarque : On peut faire le lien entre l’espérance d’une variable aléatoire et la moyenne d’une série
statistique, ainsi utiliser la calculatrice pour calculer l’espérance et l’écart-type.
Exemple 3
En considérant à nouveau la même variable aléatoire :
1
1
1
E(X) = −4 × + 1 × + 6 × = 1.
4
2
4
1
1
1
25 25
25
V (X) = (−4 − 1)2 × + (1 − 1)2 × + (6 − 1)2 × =
+
=
.
4 √
2
4
4
4
2
…
25
5 2
5
=√ =
.
σ(X) =
2
2
2
Propriété 1
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 .
Remarque : La variable aléatoire X 2 prend les valeurs x21 , x22 , ..., x2k .
Démonstration
XÄ
V (X) =
=
=
=
=
ä
x2i − 2xi E(X) + [E(X)]2 P (X = xi )
i=1
x21 P (X
= x1 ) + x22 P (X = x2 ) + ... + x2k P (X = xk ) − 2x1 E(X)P (X = x1 )
2
−2x2 E(X)P (X = x2 ) − ... − 2xk E(X)P (X = xk ) + [E(X)] P (x1 )
2
2
+ [E(X)] P (X = x2 ) + ... + [E(X)] P (X = xk )
E(X 2 ) − 2E(X) (x1 P (X = x1 ) + x2 P (X = x2 ) + ... + xk P (X = xk ))
+ [E(X)]2 (P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + ... + P (X = xk ))
2
E(X 2 ) − 2E(X)E(X) + [E(X)]
2
E(X 2 ) − [E(X)]
Propriété 2
Pour tous nombres réels a et b, on a :
E(aX + b) = aE(X) + b et V (aX + b) = a2 V (X).
Remarques :
• La variable aléatoire aX + b prend les valeurs ax1 + b, ax2 + b, ..., axn + b.
• Pour tout i ∈ {1; 2; ...; k}, aX + b = axi + b ⇔ X = xi .
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Première S
Chapitre 7 - Variables aléatoires
Démonstration
•
E(aX + b)
=
=
=
k
X
i=1
k
X
i=1
k
X
(axi + b)P (aX + b = axi + b)
(axi + b)P (X = xi )
axi P (X = xi ) +
i=1
k
X
bP (X = xi )
i=1
= aE(X) + b
•
V (aX + b)
=
=
=
=
=
2
E (aX + b)2 − [E(aX + b)]2
2
E a2 X 2 + 2abX + b2 − [aE(X) + b]
2
2
2
2
2
2
a E(X
) + 2abE(X) +
Ä
ä b − a [E(X)] − 2abE(X) − b
2
2
2
a E(X ) − [E(X)]
a2 V (X)
Exemple 4
Comment modifier les gains du jeux, c’est-à-dire les valeurs de la variable aléatoire X de manière à ce que la variable
aléatoire Y ainsi obtenue ait soit d’espérance nulle et d’écart type 18 ?
On cherche deux réels a
et b tels que :
®
®
a + b = 0
aE(X) + b = 0
a = −b
⇔
⇔
.
25
 a2 ×
a2 V (X) = 25
a2 = 4
= 50
2
En prenant par exemple a = 2 et b = −2, on obtient Y = 2X − 2 telle que E(Y ) = 0 et V (Y ) = 25, de plus Y prend
pour valeurs −10, 0 et 10.
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