Variables aléatoires - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
7
Variables aléatoires
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Probabilités
Variable aléatoire discrète et loi de pro-
babilité. Espérance, variance et écart-
type.
•Déterminer et exploiter la loi d’une
variable aléatoire.
•Interpréter l’espérance comme valeur
moyenne dans le cas d’un grand nombre
de répétitions.
À l’aide de simulations et d’une ap-
proche heuristique de la loi des grands
nombres, on fait le lien avec la moyenne
et la variance d’une série de données.
On exploite les fonctionnalités de la cal-
culatrice ou d’un logiciel pour détermi-
ner l’espérance, la variance et l’écart-
type d’une variable aléatoire.
On démontre les formules suivantes
sur l’espérance et la variance :
E(aX +b) = E(a) + bet
V(aX) = a2V(X)
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Première S Chapitre 7 - Variables aléatoires
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Table des matières
7 Variables aléatoires 1
I - Variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II - Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III - Espérance, variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dans tout le chapitre, net kdésignent des entiers naturels non nuls et on considère un univers fini Ω
ànéléments associé à une expérience aléatoire. Ωest l’ensemble des issues de cette expérience : Ω =
{e1;e2;...;en}.
I - Variable aléatoire discrète
Définition 1
Définir une variable aléatoire discrète Xsur Ω, c’est associer à chaque élément eide Ωun nombre
réel xjavec i∈ {1; 2; ...;n}et j∈ {1; 2; ...;k}.
X:ei∈Ω7→ xj∈R,ainsi X(ei) = xj.
Remarques :
•le terme «discrète», provient du fait que l’univers est fini.
•Xest une fonction définie sur Ωà valeurs dans R.
•Pour x∈R, on notera (X=x)l’événement désignant l’ensemble des éléments de Ωayant pour valeur
xpar X:
(X=x) = {e∈Ω/X(e) = x}.
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Exemple 1
Reprise de l’activité :
Ω = {PP;P F ;F P ;FF},X(P P ) = 6,X(P F ) = X(F P ) = 1 et X(FF) = −4.
(X= 1) = {P F, F P },(X=−4) = {FF}et (X= 0) = ∅.
II - Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit Pune loi de probabilité sur Ω, c’est-à-dire une fonction définie sur Ωà valeurs dans [0; 1] telle que :
P(e1) + P(e2) + ... +P(en) = 1.
Remarque : On peut noter X
e∈Ω
P(e) = 1.
Définition 2
Soit Xune variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1,x2, ..., xk.
La loi de probabilité de Xest la loi de probabilité définie sur Ω′={x1;x2;...;xk}qui à chaque
élément xide Ω′associe le réel pi=P(X=xi)où i∈ {1; 2; ...;k}.
Remarques :
•Les ensembles (X=xi)pour i∈ {1; 2; ..n}forment une partition de Ω(l’union de ces ensembles est
Ωet ils sont deux à deux disjoints).
•
k
X
i=1
pi=
k
X
i=1
P(X=xi) = 1.
•On présente généralement la loi de Xdans un tableau :
xix1x2... ... xk
pi=P(X=xi)p1p2... ... pk
Exemple 2
Dans l’exemple précédent Ω′={−2; 1; 4}.
La loi de probabilité de Xest : xi−4 1 6
P(X=xi) 1/4 1/2 1/4
III - Espérance, variance et écart type
Soit Pune loi de probabilité sur Ωet Xune variable aléatoire sur Ωprenant les valeurs x1,x2, ..., xk.
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Première S Chapitre 7 - Variables aléatoires
Définition 3
L’espérance de la variable aléatoire Xest le nombre réel E(X)défini par :
E(X) =
k
X
i=1
xiP(X=xi).
La variance de Xest le nombre réel V(X)défini par :
V(X) =
k
X
i=1
(xi−E(X))2P(X=xi).
. L’écart type de Xest le nombre réel σ(X)défini par :
σ(X) = »V(X).
Remarque : On peut faire le lien entre l’espérance d’une variable aléatoire et la moyenne d’une série
statistique, ainsi utiliser la calculatrice pour calculer l’espérance et l’écart-type.
Exemple 3
En considérant à nouveau la même variable aléatoire :
E(X) = −4×1
4+ 1 ×1 2+ 6 ×1 4= 1.
V(X) = (−4−1)2×1
4+ (1 −1)2×1 2+ (6 −1)2×1 4=25 4+25 4=25 2.
σ(X) = …25
2=5
√2=5√2
2.
Propriété 1
V(X) = E(X2)−[E(X)]2.
Remarque : La variable aléatoire X2prend les valeurs x2
1,x2 2, ..., x2 k.
Démonstration
V(X) = X
i=1 Äx2
i−2xiE(X) + [E(X)]2äP(X=xi)
=x2
1P(X=x1) + x2 2P(X=x2) + ... +x2 kP(X=xk)−2x1E(X)P(X=x1)
−2x2E(X)P(X=x2)−... −2xkE(X)P(X=xk) + [E(X)]2P(x1)
+ [E(X)]2P(X=x2) + ... + [E(X)]2P(X=xk)
=E(X2)−2E(X) (x1P(X=x1) + x2P(X=x2) + ... +xkP(X=xk))
+ [E(X)]2(P(X=x1) + P(X=x2) + ... +P(X=xk))
=E(X2)−2E(X)E(X) + [E(X)]2
=E(X2)−[E(X)]2
Propriété 2
Pour tous nombres réels aet b, on a :
E(aX +b) = aE(X) + bet V(aX +b) = a2V(X).
Remarques :
•La variable aléatoire aX +bprend les valeurs ax1+b,ax2+b, ..., axn+b.
•Pour tout i∈ {1; 2; ...;k},aX +b=axi+b⇔X=xi.
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