TD 9 Electrostatique 15 MP

TD 9
Electrostatique
MP*
❐ 1. Etude de lignes de champ ✮
On considère la carte de lignes de champs suivante : on note q la valeur absolue de
la plus petite des charges. Les charges sont situées dans ce plan et elles sont toutes
multiples entiers de q. Pour chaque charge, au moins une ligne de champ lui
correspondant est tracée. Dans le plan que l’on munit d’un repère, on note : A
(24a;75a) ; B (0,0) ;C (24a,-8a) ;D(75a,0) où a est une unité arbitraire de longueur.
Donner
1- Les points du plan où sont situées les charges.
2- Le signe des charges et leurs valeurs.
❐ 2. Lignes de champ électrostatique et lignes équipotentielles de cinq charges ponctuelles ✮
On considère une distribution de cinq charges ponctuelles (repérées par des points). Sur les figures a, b et c
ci-contre sont représentées des lignes de champ et sur les figure z, y et x des équipotentielles.
1-Associer, en le justifiant, chaque représentation de lignes de champ à une représentation d'équipotentielles.
2-Repérer sur chaque distribution les signes opposés ou égaux des charges.
❐ 3. Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles ✮✮
Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées pendant une longue
durée, notamment dans le but de mesurer leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est
possible de piéger une charge ponctuelle q’ avec quatre charges ponctuelles q >0 disposées aux sommets
d’un carré de côté a√2. Les quatre charges identiques sont situées dans le plan z = 0, aux sommets d'un carré,
aux points (a,0,0 ), (-a,0,0), (0,a,0) et ( 0,-a,0)La charge de masse se déplace au voisinage de O.
1- Exprimer le potentiel électrostatique V(x,y,z) au voisinage de O.
2- En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge q’ peut se mouvoir dans tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge q’ si elle est contrainte à se déplacer dans le plan uniquement ?
❐ 4. Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé ✮✮
On considère une distribution linéique de charge, de densité λ, uniforme sur le cercle de centre O, d'axe Oz,
de rayon R.
1- Déterminer les symétries de cette répartition de charge: invariances; plans de symétrie; plans
d'antisymétrie.
2- En déduire les symétries de 𝐸 :surl'axe(Oz);surl'axe(Oz),enz=0.
3- Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe Oz, de coordonnée z.
❐ 5. Particules solaires traversant un nuage chargé ✮✮✮
Pour modéliser un nuage, on considère une couche fine, chargée avec une densité volumique de charge ρ >0
et comprise entre les plans z = -a et z = +a.
1- Etablir les expressions du champ et le potentiel créés en tout point de l’espace par cette couche chargée.
2- Une particule β, de charge –e et de masse me pénètre dans le nuage en z = -a avec une vitesse
pratiquement nulle. Quel est le mouvement de cette particule ?
3- Une particule α de charge +2e et de masse mα pénètre dans le nuage en z = -a avec une vitesse 𝑣! = 𝑣! 𝑢! .
On supposera la vitesse initiale assez grande pour que la particule traverse la couche. Etablir la loi z(t) pour
- a < z <+ a. Quel est le mouvement de la particule à la sortie de la couche ?
❐ 6. Potentiel au voisinage d’une cellule ✮✮✮
Une membrane cellulaire est assimilée au plan yOz ; l’axe Ox est orienté vers l’extérieur de la cellule.
Toutes les grandeurs physiques sont supposées ne dépendre que de l’abscisse x.
Une micro-électrode relevant l’évolution du potentiel à la traversée de la membrane (de l’extérieur vers
l’intérieur de la cellule), indique une variation de potentiel négative que l’on modélise par la fonction V(x)
suivante :
Pour x ≤ 0, V(x) = -V0
⎛ x⎞
Pour x ≥ 0, V(x) = -V0 exp⎜ − ⎟
⎝ a⎠
où V0 est une constante positive homogène à un potentiel et où a est une distance.
1-Calculer le champ électrique en tout point.
2-Appliquer le théorème de Gauss et en déduire la densité volumique de charge ρ en tout point. Retrouver
cette expression par application de l’équation de Maxwell-Gauss puis par l’équation de Poisson. Quel est le
signe de ρ ?
membranne
cellule
x
electrolyte
Comment une densité volumique de charge peut-elle exister dans un liquide (quels sont les porteurs de
charge
présents).
3- En examinant l’éventuelle discontinuité du champ électrique, déterminer la densité surfacique de charges
présente
sur la surface d’équation x = 0.
4- Calculer la charge totale contenue dans un cylindre d’axe Ox et de base S, s’étendant indéfiniment le long
de l’axe Ox (de - ∞ à + ∞) . Commenter ce résultat.
❐7.Conducteurs sphériques ✮✮✮
1- Un conducteur a la propriété d'avoir un potentiel uniforme. Que vaut le champ électrostatique à l'intérieur
du conducteur ? Montrer qu'il a une densité volumique de charge nulle et ne peut donc avoir de charge qu'en
surface. On considère un conducteur sphérique A, de centre O et de rayon R1, et un second conducteur B
constitué par une sphère creuse de centre O, de rayons intérieur R2 et extérieur R3. A est porté à un potentiel
V1 et B à un potentiel V2.
2- Calculer les charges QA de A, QB et QB' des faces interne et externe de B. A.N. R1 =10 cm ; R2 =12 cm ;
R3=15 cm ; V1 = 30 000 V; V2 = 60 000V.
3- Exprimer le champ électrique E et le potentiel V à une distance r de O. Représenter graphiquement E(r) et
V(r) à l'échelle.
❐8. Interaction de Keesom ✮✮
Une molécule de moment dipolaire 𝑝! 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 est située en O et dirigée selon Ox. Une seconde molécule
de moment dipolaire 𝑝! 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, est située en P. On note θ l’angle (𝑂𝑥,𝑃) et φ l’angle ( 𝑂𝑃, 𝑝! ).
1- Dans cette question la distance r = OP entre les 2 molécules est supposée constante. Calculer l’énergie
potentielle de la molécule 2 dans le champ crée par la molécule 1, Ep = -𝑝! . 𝐸! .
2- Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?
Les interactions électrostatiques entre deux dipôles permanents selon leurs orientations (effet d'orientation)
sont appelées les forces de Keesom. Cette interaction fait partie des interactions de Van der Waals qui
modélisent les interactions entre les molécules au sein des liquides et des gaz.
❐9.Dipôle de l'atome d'hydrogène ✮
On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé +e = 1,6.10-19C) et d'un
électron (chargé -e, placé à la distance a = 0,10nm du noyau). On donne ε0 = 8,85.10-12F.m-1.
1- Calculer Wpropre, l'énergie électrostatique propre de ce doublet : dans les unités du système international ;
en eV. Cela vous rappelle-t-il quelque chose ?
On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air: Eext =
3.106V.cm-1. On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante.
2- Calculer Wext, l'énergie électrostatique d'interaction de ce doublet avec le champ extérieur dans les unités
du système international ; en eV .ComparerWextetWpropre.