Eléments de théorie des groupes

éléments de théorie des groupes
1re Option spécifique
Jean-Philippe Javet
Mon cher Auguste, [...]Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des
propositions dont je n’étais pas sûr. Mais tout ce que j’ai écrit là est depuis
bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper
pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la
démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi et Gauss de donner
leur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Je t’embrasse
avec effusion
Évariste Galois
29 mai 1832
Table des matières
1 Mise en place
1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Opération interne ou loi de composition interne . .
1.2.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Propriétés d’une loi de composition interne .
1.3 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Fonctions bijectives et fonctions réciproques
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1
1
2
2
2
5
8
2 Notion de groupe
11
2.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Quelques groupes célèbres
3.1 Groupe fini de permutations . . .
3.1.1 Exemple introductif . . . .
3.1.2 Permutations finies . . . .
3.2 Classes de restes modulo n . . . .
3.3 Matrices carrées de type de 2 × 2
3.3.1 Groupe additif . . . . . .
3.3.2 Groupe multiplicatif . . .
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17
17
17
17
21
27
27
29
4 Table de Cayley et isomorphisme de groupes
33
5 Sous-groupe
41
A Bibliographie et ressources Internet
47
B Quelques éléments de solutions
B.1 Mise en place . . . . . . . . . . .
B.2 Notion de groupe . . . . . . . . .
B.3 Quelques groupes célèbres . . . .
B.4 Tables de Cayley et isomorphisme
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I
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I
I
II
IV
VII
II
B.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Malgré le soin apporté lors de sa conception et surtout parce qu’il a été utilisé en classe qu’à une reprise, le
polycopié que vous avez entre les mains contient certainement quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à
son amélioration en m’envoyant un mail :
[email protected]
Merci ;-)
;-) Votre prof de math vous a souvent reproché votre manque de rigueur dans la
rédaction de vos exercices de mathématiques. . . Que pensez-vous de ceci ?
X
1
Mise en place
1.1
Préambule
Évariste Galois a tout juste vingt ans lorsqu’il meurt dans un duel.
Il restera pourtant comme l’un des plus grands mathématiciens de
son temps pour avoir introduit la notion de groupe, alors qu’il avait
à peine dix-sept ans.
‚ Vous savez résoudre les équations du deuxième degré :
ax2 ` bx ` c “ 0.
Évariste Galois
mathématicien français
(1811-1832)
Les solutions s’expriment
en fonction de a, b, c et de la fonc?
tion racine carrée
.
‚ Pour les équations du troisième degré : ax3 ` bx2 ` cx ` d “ 0,
il existe aussi des formules.
Par exemple une solution de x3 ` 3x ` 1 “ 0 est :
d?
d?
5´1
5`1
3
3
´
.
x1 “
2
2
‚ De telles formules existent aussi pour les équations du quatrième degré.
Une préoccupation majeure au début du XIXe siècle était de savoir
s’il existait des formules similaires pour les équations de degré 5 ou
plus. La réponse fut apportée par Galois et Abel :
Non il n’existe pas en général une telle formule.
Galois parvient même à dire pour quels polynômes c’est possible
et pour lesquels ça ne l’est pas. Il définit pour sa démonstration la
notion de groupe.
Niels Abel
mathématicien norvégien Les groupes sont à la base d’autres notions mathématiques comme
les anneaux, les corps, les matrices, les espaces vectoriels, . . .
(1802-1829)
Mais vous les retrouvez aussi en arithmétique, en géométrie, en
cryptographie !
Avant d’introduire la définition d’un groupe, nous commencerons
par définir les notions de loi de composition interne et composition
de fonctions.
1
2
1.2
1.2.1
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Opération interne ou loi de composition interne
Exemples introductifs
Considérons la soustraction dans N. Au couple p3 ; 2q peut être
associé le nombre 3 ´ 2 “ 1 ; par contre, au couple p2 ; 3q le nombre
2 ´ 3 “ ´1 ne peut pas l’être, car ´1 ne se trouve pas dans N. La
soustraction dans N n’apparaît donc pas comme une relation de
N2 “ N ˆ N dans N. Elle ne s’applique pas à tous les couples
de nombres naturels pa ; bq. On constate en fait que les couples pour
lesquels cette relation n’est pas possible sont ceux dont le deuxième
terme est plus grand que le premier.
Considérons maintenant l’addition dans N. Au couple p3 ; 2q peutêtre associé le nombre 3 ` 2 “ 5. Dans le cas de l’addition, à chaque
couple pa ; bq P N2 est associé le nombre a ` b. Nous avons donc une
application ` de N2 dans N donnée par :
`:
N2 Ñ N
pa ; bq ÞÑ a ` b
Définition: On appelle opération interne ou loi de composition interne
dans un ensemble E toute application de E ˆ E dans E.
Exemple 1: L’addition et la multiplication sont des opérations internes dans N,
au contraire de la soustraction et de la division.
1.2.2
Propriétés d’une loi de composition interne
Dans tout ce qui va suivre, le symbole ‹ désignera une loi de composition décrivant, en général, la procédure de calcul sur l’ensemble
considéré.
Définition: On dit que ‹ définie dans un ensemble E est commutative si et
seulement si a ‹ b “ b ‹ a pour tout a, b P E.
Exemple 2: Dans R` , définissons px ; yq ÞÑ x ‹ y par :
x`y
(moyenne arithmétique)
a) x ‹ y “
2
?
b) x ‹ y “ x ¨ y (moyenne géométrique)
Montrer, dans les deux cas, que x ‹ y est commutative.
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Exercice 1.1:
3
Parmi les lois suivantes, lesquelles sont des opérations internes sur
les ensembles considérés ? Justifier.
a) Z avec ‹ la moyenne arithmétique ;
b) R avec ‹ la moyenne géométrique ;
!x
)
c) E “
| x P Z avec l’addition ;
3
d) F “ tx P R | x ą 3u avec l’addition ;
e) G “ tx P R | x ě 5u avec la multiplication ;
f) Q avec la moyenne arithmétique ;
g) R avec x ‹ y “ x ¨ y ` y ´ x ;
x
h) Z avec x ‹ y “ x ¨ y ` .
y
Exercice 1.2:
Parmi les lois de composition interne découvertes ci-dessus, lesquelles sont commutatives ?
Définition: On dit que ‹ définie dans un ensemble E est associative si et
seulement si pa ‹ bq ‹ c “ a ‹ pb ‹ cq pour tout a, b, c P E.
Exemple 3: La multiplication et l’addition dans R sont associatives.
Remarque: Si une opération interne ‹ est associative dans E, on peut supprimer ou ajouter une ou des paires de parenthèses dans toutes les
expressions contenant des éléments de E reliées par ‹, mais sans
changer l’ordre des éléments :
pa ‹ bq ‹ c “ a ‹ pb ‹ cq “ a ‹ b ‹ c
Exemple 4: La loi ‹ définie dans R ˆ R par px ; yq ‹ pa ; bq “ pxa ; ybq, est-elle
associative ?
4
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Exercice 1.3:
Montrer que la loi x ‹ y “
x`y
est associative sur R‹` .
1 ` xy
Définition: Soit a et b P R, on définit le minimum de a et b par :
#
a si a ď b,
minpa , bq “
b si b ď a.
Exercice 1.4:
Dans E “ t1, 2, 3, 4u on pose a ‹ b “ minpa , bq.
Étudier cette loi, c’est-à-dire montrer si, oui ou non, elle est interne, commutative et associative.
Exercice 1.5:
Dans R2 , étudier la loi ` définie par :
px ; yq ` pa ; bq “ px ` a ; y ` bq
Exercice 1.6:
Dans R2 étudier la loi ‹ définie par :
px ; yq ‹ pa ; bq “ pxa ´ yb ; xb ` yaq.
Exercice 1.7:
Exercice 1.8:
Dans R on envisage l’opération interne x ‹ y “ mxy ` 1.
Déterminer m P R de sorte que ‹ soit associative.
1
Dans R on envisage l’opération interne x ‹ y “ 2x ` 2y ´ 4xy ´ .
2
Étudier ‹.
Convention: Rappelons ici quelques conventions d’écriture :
‚ “Quelque soit x appartenant à. . .” ou “Pour tout x appartenant à . . .” :
@x P . . .
‚ “Il existe y appartenant à. . .” :
Dy P . . .
‚ “Il existe un unique y appartenant à. . .” :
D!y P . . .
Exemple 5: Décoder la propriété suivante :
@p et q P Q , D!r P Q tel que p “ q ` r
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
1.3
5
Composition de fonctions
Considérons les fonctions suivantes définies sur tout R
f pxq “ 2x ` 1
gpxq “ 3x ´ 1
Considérons alors x “ 1. En calculant f p1q, on obtient 3. On peut
alors calculer gp3q “ 8. On a donc calculé d’abord l’image de 1 par
f , puis l’image de 3 par g. On obtient donc :
g pf p1qq “ gp3q “ 8.
On vient d’effectuer ce que l’on appelle la composition des
fonctions f puis g pour la valeur x “ 1.
On pourrait également d’abord calculer gp1q on obtient gp1q “ 2
puis f p2q “ f pgp1qq “ 5. Dans ce cas, on a effectué la composition
des fonctions g puis f .
On constate alors qu’effectuer f puis g n’est, en général, pas équivalent à effectuer g puis f .
6
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Définition: Soient deux fonctions f et g définies respectivement sur les
ensembles ED pf q et ED pgq.
On définit la fonction h “ f ˝ g appelée la composée de f
et g par hpxq “ f pgpxqq pour tous les x tels que x P ED pgq et
gpxq P ED pf q.
L’opération ˝ s’appelle la composition de fonctions.
On peut résumer cette opération par le diagramme suivant :
Exemple 6: Considérons les fonctions f et g définies par :
f pxq “ 2x ` 1
gpxq “ 3x ´ 1.
Compléter alors pour tout x P R les égalités suivantes :
hpxq “ pf ˝ gqpxq “ . . . p. . . pxqq “ f p. . . . . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
“ ..................
kpxq “ pg ˝ f qpxq “ . . . p. . . pxqq “ gp. . . . . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
“ ..................
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
7
Exemple 7: Considérons f pxq “
On a
?
x ´ 3 et gpxq “ x2 ` 1.
ED pf q “ r . . . ; . . . r
et
ED pgq “ . . . .
‚ Considérons la fonction h “ g ˝ f .
hpxq “ . . . p. . . pxqq “ gp. . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pour autant que l’on considère ED phq “ r . . . ; . . . r.
‚ Si l’on considère k “ f ˝ g on a :
kpxq “ . . . p. . . pxqq “ f p. . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
avec ED pkq “ tx P R | x2 ´ 2 ě 0u “s . . . ; . . . s Y r . . . ; . . . r
Remarque: La composition f ˝ g de deux fonctions f et g peut toujours être
définie pour autant que si x P ED pgq, alors gpxq P ED pf q.
Exercice 1.9:
On se donne les fonctions de R‹ dans R‹ suivantes :
ipxq “ x
f pxq “ ´x
gpxq “
1
x
1
hpxq “ ´ .
x
Soit E “ ti, f, g, hu et considérons la composition des fonctions ˝
sur E.
a) Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de composition interne.
b) Est-elle alors commutative ?
c) Est-elle associative ? Combien de calculs doit-on proposer
pour l’affirmer ?
Nous admettons le résultat suivant sans démonstration :
Théorème: Soit A un ensemble quelconque et FA l’ensemble de toutes les fonctions de A dans A.
La composition des fonctions ˝ est une opération interne sur FA .
8
1.3.1
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Fonctions bijectives et fonctions réciproques
Définition: Soit f une application de E dans F . On dit que f est une bijection
ou une application bijective si chaque élément y de F est l’image
d’un élément unique x de E.
Exprimée en langage formel, cette définition devient :
Définition:
f est bijective
ðñ
@y P F, D! x P E tel que y “ f pxq
Remarque: Lorsque les ensembles considérés E et F sont des parties de R, on
parlera alors de fonctions bijectives.
Exemple 8: On considère la fonction f définie sur R par f pxq “ 2x` 3. Montrer
que f est une bijection.
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Exercice 1.10:
9
Soit f la fonction définie sur Q par :
f : x ÞÑ ax ` b
a, b P Q
Quelles conditions doivent respecter a et b pour que f soit une
bijection ?
Exercice 1.11:
On considère la fonction f définie sur R par f pxq “ x2 .
a) Montrer que f n’est pas une bijection.
b) Qu’en est-il si on considère f sur R` ?
Définition: Si f : E Ñ F est une bijection, alors on peut définir la fonction
réciproque rf : F Ñ E
f:
E
x
Ñ F
ÞÑ f pxq “ y
f:
r
F
y
Ñ E
ÞÑ rf pyq “ x
On vérifie que prf ˝ f q pxq “ x et que pf ˝ rf q pyq “ y.
Pour trouver la fonction réciproque de f , on résout, par rapport à
x, l’équation y “ f pxq. On obtient ainsi l’expression x “ rf pyq.
Exemple 9: On considère la fonction bijective f définie par f pxq “ 2x ` 3.
Déterminer rf .
10
CHAPITRE 1. MISE EN PLACE
Exercice 1.12:
Soit f la fonction définie sur Q par :
f : x ÞÑ
2x ` 3
x´1
a) Pour quelles valeurs de x, f est-elle bien définie ?
b) Déterminer rf.
c) Préciser alors les sous-ensembles de Q à considérer pour que
f soit bien une bijection.
2
Notion de groupe
2.1
Exemples introductifs
Introduction: Vous avez déjà rencontré en mathématiques des ensembles de
nombres, de vecteurs, de fonctions, à priori de natures très différentes, et pourtant, une fois définies dans ces ensembles des lois
notées `, ¨, ou ˝, vous avez dû vous apercevoir que les règles de
calcul offraient de grandes ressemblances.
Parfois, sans même en être conscient, vous utilisez des propriétés
de l’addition et de la multiplication des nombres réels (commutativité, associativité ou distributivité par exemple) dans des calculs
de vecteurs, de fonctions ou . . .
La similitude formelle des propriétés de calculs dans des ensembles
si différents a conduit les mathématiciens à donner des noms à la
donnée d’un ensemble et d’une loi vérifiant un certain nombre de
propriétés bien définies. Nous en étudierons ici un exemple : la
structure de groupe.
Exemple 1: Considérons Z muni de l’addition `. Nous savons déjà que ` est une
opération interne associative dans Z. Mais existe-t-il alors d’autres
propriétés intéressantes de ` ?
Il existe un élément particulier : 0 ; en effet, a ` 0 “ 0 ` a “ a pour
tout a P Z. On dit alors que 0 est neutre pour l’addition.
Il existe aussi pour chaque nombre a P Z le nombre ´a P Z qui lui
est opposé, i.e. a ` p´aq “ p´aq ` a “ 0.
Si l’on fait maintenant une synthèse de certaines propriétés de `
dans Z, on voit que :
‚ ` est une opération interne
‚ ` est une opération associative
‚ il existe un élément neutre pour ` : 0
‚ pour chaque élément a P Z il existe un opposé a P Z tel que
1
1
1
a ` a “ a ` a “ 0. Dans ce cas, a “ ´a
1
Problème: Si l’on considère une opération interne ‹ quelconque dans un ensemble non vide G, existe-t-il un élément de G analogue à 0, i.e. un
élément particulier qui est neutre pour ‹ ?
11
12
CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE
Définition: Soit ‹ une opération interne sur un ensemble G non vide.
On appelle élément neutre pour ‹ tout élément e P G tel que
e ‹ g “ g ‹ e “ g pour tout g P G.
Exemple 2: Si ‹ est la multiplication sur R‹ , un élément neutre est donné par 1.
Problème: Si l’on considère une opération interne ‹ quelconque dans un
ensemble non vide G telle qu’il existe un élément neutre e P G,
1
existe-t-il pour tout élément g P G un élément g P G de sorte que
1
1
g ‹ g “ g ‹ g “ e?
Définition: Soit ‹ une opération interne sur un ensemble G non vide et e P G
un élément neutre pour ‹. Soit g P G.
On appelle élément symétrique de g par rapport à e tout
1
1
1
élément g P G tel que g ‹ g “ g ‹ g “ e
Exemple 3: Si ‹ est la multiplication sur R‹ , un élément neutre est donné par
1
1
1 et un élément symétrique de x P R‹ est donné par x “ .
x
2.1.1
Définitions et propriétés
Définition: Un groupe, noté pG,‹q, est un ensemble G non vide auquel est
associé une loi de composition ‹ vérifiant les quatre propriétés :
‚ @x, y P G, x ‹ y P G
(‹ est une loi de composition interne) ;
‚ @x, y, z P G, px ‹ yq ‹ z “ x ‹ py ‹ zq
‚ De P G tel que @x P G,
x ‹ e “ x et e ‹ x “ x
‚ @x P G, Dx P G tel que
x ‹ x1 “ x1 ‹ x “ e
(la loi est associative) ;
(e est l’élément neutre) ;
1
(x1 est l’élément symétrique de x) ;
Définition: Un groupe pG,‹q est dit abélien ou commutatif si ‹ est commutative.
Exemple 4:
a) pN ,`q n’est pas un groupe car 2, par exemple, n’a pas de symétrique dans N ;
b) pZ ,`q est clairement un groupe.
c) pQ ,¨q n’est pas un groupe car 0 n’a pas de symétrique dans Q ;
par contre pQ‹ ,¨q est clairement un groupe.
CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE
13
Exemple 5: Le groupe trivial pteu,‹q, formé de l’unique élément e (un singleton)
et muni de la seule opération possible ‹ vérifiant que :
(e étant alors élément neutre. . .)
e‹e“e
Exemple 6: Soit E “ t´1 ; 1u. On considère la loi ‹ définie sur E ˆ E de la
manière suivante :
px ; yq ‹ pa ; bq “ px ¨ a ; y ¨ bq
S’agit-il d’un groupe ?
Exercice 2.1:
Suite de l’exercice 1.4
Dans E “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u on pose a ‹ b “ minpa, bq.
S’agit-il d’un groupe ? Si oui, est-il abélien ?
Exercice 2.2:
Suite de l’exercice 1.5
Dans R2 on considère la loi ` définie de la manière suivante :
px ; yq ` pa ; bq “ px ` a ; y ` bq
S’agit-il d’un groupe ? Si oui, est-il abélien ?
14
CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE
Voici les premières propriétés des groupes, données avec démonstrations :
Pour prouver l’unicité d’un objet, on suppose qu’il a un “jumeau”, et
on applique alors les conditions imposées par la structure ambiante
jusqu’à finalement constater que les deux objets sont égaux.
Proposition: Dans un groupe pG,‹q, l’élément neutre est unique.
Preuve:
Proposition: Dans un groupe pG,‹q, tout élément g P G admet un unique symétrique g 1 P G.
Preuve:
Proposition: Dans un groupe pG,‹q, le symétrique du composé de deux éléments
est égal au composé des symétriques de ces éléments dans l’ordre
inverse.
Autrement dit, pg ‹ hq1 “ h1 ‹ g 1 .
Preuve:
CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE
15
Remarque: Il existe plusieurs manières de noter un groupe :
Notation
générale
additive
multiplicative
composition
Exercice 2.3:
Op. interne
Comp. de a et b
El. neutre
El. sym. de a
nom du sym.
‹
`
¨
˝
a‹b
a`b
a¨b
b˝a
e
0
1
Id
a1
´a
´1
a ou 1{a
r
a
opposé de a
inverse de a
réciproque de a
Dire pourquoi les structures suivantes ne sont pas celles d’un
groupe :
a) x ‹ y “ x ´ y dans E “ t0, 1, 2, 3, 4u
b) x ‹ y “ x ` y dans E “ tz P Q | ´ 1 ď z ď 1u
c) x ‹ y “ x dans E “ t1, 2, 3, 4u
Définition: On dit qu’un groupe pG,‹q est d’ordre fini s’il contient un nombre
fini d’éléments.
On appelle ordre d’un groupe d’ordre fini le nombre de ses éléments.
Exemple 7: Dans l’exemple précédent (page 13), le groupe pE ˆ E, ‹q est
d’ordre 4.
Exercice 2.4:
Suite de l’exercice 1.9
On se donne les applications de R‹ dans R‹ suivantes :
1
1
hpxq “ ´ .
x
x
Soit E “ ti, f, g, hu et considérons la composition des fonctions ˝
sur E.
ipxq “ x
f pxq “ ´x
gpxq “
A-t-on une structure de groupe ? Si oui, précisez son ordre.
16
CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE
Exercice 2.5:
Soit E l’ensemble de toutes les fonctions fb de R dans R définies
par :
fb pxq “ x ` b
où b P Z
a) On a représenté ci-dessous f1 pxq “ x`1. Compléter ce graphe
avec quelques autres éléments de E.
4
y
2
´4
2
´2
4x
´2
f1
´4
b) Montrer que pE,˝q est un groupe.
Exercice 2.6:
(
Soit E “ pa ; bq P R2 | a2 ` b2 “ 1 muni de l’opération ‹ :
pa ; bq ‹ pc ; dq “ pac ´ bd ; ad ` bcq
Montrer alors que pE,‹q est un groupe.
Exercice 2.7:
On considère l’ensemble
!
)
?
E “ a ` b 2 | pa ; bq P Q2 avec a et b non nuls simultanément
On munit cet ensemble de la multiplication habituelle.
?
?
a) Montrer que si x “ 1 ` 21 2 et que y “ 31 ` 2 2 alors :
x¨y “
7 13 ?
2
`
3
6
Comme vous pouvez vous en douter, pE,¨q est un groupe. Pour gagner en efficacité, nous ne montrerons pas que l’opération est interne et associative. Par contre :
b) Déterminer l’élément neutre.
c) Montrer que tout élément de E admet un élément symétrique.
3
Quelques groupes célèbres
3.1
3.1.1
Groupe fini de permutations
Exemple introductif
Soit E “ t1, 2, 3, 4u. Considérons les 4-uplets p1, 2, 3, 4q et p2, 3, 4, 1q.
Soit σ l’application de E dans E telle que :
σp1q “ 2
σp2q “ 3
σp3q “ 4
σp4q “ 1
σ est une permutation des éléments de E et on peut la représenter
par le tableau suivant :
ˆ
˙
1 2 3 4
2 3 4 1
Si l’on considère les triplets p1, 2, 4q et p4, 1, 2q, on peut définir l’application τ de E dans E par :
τ p1q “ 4
τ p2q “ 1
τ p3q “ 3
τ p4q “ 2.
τ est aussi une permutation des éléments de E et on la représente
par
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2 3 4
1 2 4
ou
4 1 3 2
4 1 2
3.1.2
Permutations finies
Définition: Soit E un ensemble fini quelconque et considérons σ une application de E dans E ; σ est appelée permutation de E si σ est une
bijection de E dans E.
On présentera volontiers une permutation sous la forme suivante :
ˆ
˙
e1
e2
...
em
en
σ“
σpe1 q σpe2 q . . . σpem q σpen q
En omettant éventuellement d’y faire apparaître les ei pour lesquelles σpei q “ ei .
17
18
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Théorème: Soit E un ensemble fini d’ordre n et soit SE l’ensemble de toutes
les permutations de E ; alors pSE ,˝q est un groupe fini d’ordre n!.
Preuve:
Exercice 3.1:
En exercice
Compléter la preuve du théorème précédent :
Appelons σ, τ et ρ, 3 permutations de . . . . .
a) Montrons que la loi de composition ˝ est . . . . . . . . . . . . . . . . .
La loi ˝ est interne ðñ τ ˝ σ P . . . . .
ðñ τ ˝ σ est une . . . . . . . . . . . . . . . . . de E
E
E
x
E
y
z
Comme σ et τ sont des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de E, tout
z P E est l’image par τ d’un unique . . P E qui lui-même est
l’image par σ d’un unique . . P E. Ainsi τ ˝ σ est donc bien
une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de E.
b) Montrons que la loi de composition ˝ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
E
x
E
y
z
t
`
˘
À montrer que @x P E, pρ ˝ τ q ˝ σ pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`
˘
‚ pρ ˝ τ q ˝ σ pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`
˘
‚ ρ ˝ pτ ˝ σq pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
19
c) L’existence de l’élément neutre de . . . . .
L’identité : id : E Ñ E vérifiant idpxq “ . .
clairement l’élément neutre.
@x P E est
d) Tout élément de . . . . . admet un élément . . . . . . . . . . . . . . . .
Si σ est une . . . . . . . . . . . . . . . . de E, c’est une bijection de E.
On peut donc définir rσ, . . . . . . . . . . . . . . . . de σ qui sera elle
aussi une . . . . . . . . . . . . . . . . de E. On a alors :
..... ˝ ..... “ ..... ˝ ..... “ .....
e) pSE , ˝q est d’ordre n!
On rappelle que E est d’ordre n. Disons :
E “ te1 ; e2 ; e3 ; . . . ; en´1 ; en u .
Observons le nombre de possibilités d’associer chaque ei à
l’aide d’une permutation σ dans le tableau suivant :
σ“
ˆ
e1 e2 e3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
... ... ...
en´1 en
... ...
Remarque: Soit E “ t1, 2, . . . , nu. On note alors SE “ Sn .
˙
20
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Exemple 1: Considérons S3 .
a) Combien y a-t-il d’éléments dans S3 ?
b) Compléter les éléments de S3 :
ˆ
˙
1 2 3
‚ L’identité : id “
1 2 3
‚ les transpositions :
˙
ˆ
˙
˙
ˆ
ˆ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
τ3 “
τ2 “
τ1 “
3 2 1
... ... ...
1 3 2
‚ les cycles :
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2 3
1 2 3
σ1 “
σ2 “
2 3 1
... ... ...
c) Calculer et comparer les compositions σ1 ˝ τ1 et τ1 ˝ σ1 ;
d) S3 est-il un groupe abélien ?
e) Montrer que σ2 est l’inverse de σ1
f) Compléter alors la table composition de S3
Õ̋
id
σ1
σ2
τ1
τ2
τ3
id
id
σ1
σ2
τ1
τ2
τ3
σ1 σ2
σ1 σ2
σ2
id σ1
τ3
τ3 τ1
τ1 τ2
τ1
τ1
τ2
τ2
τ1
τ2 τ3
id σ1
σ2 id
σ1 σ2
τ3
τ3
τ2
τ1
σ2
σ1
id
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Exercice 3.2:
21
Soit les permutations α et β suivantes
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
α“
et β “
2 3 6 5 4 1
1 3 5 6 2 4
Calculer α ˝ β, β ˝ α, rα, rβ, r pα ˝ βq, r pβ ˝ αq.
3.2
Exercice 3.3:
Montrer que α ˝ pβ ˝ γq “ pα ˝ βq ˝ γ avec
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
α“
,β “
,γ “
3 1 2 4 5
3 2 1 5 4
4 3 1 5 2
Exercice 3.4:
Soit le sous-ensemble R “ tid, σ1 , σ2 u de S3 . Montrer que R admet
lui-aussi une structure de groupe.
On dira alors que R est un sous-groupe de S3 .
Exercice 3.5:
Trouver tous les éléments de S1 et S2 . Construire ensuite leur table
de composition.
Classes de restes modulo n
Introduction: ‚ Quelle heure sera-t-il dans 1000 h ?
‚ Quel est le reste de la division de 16 par 6 ?
‚ Quel est le reste de la division de -4 par 3 ?
‚ Un élève qui aime bien les congés le jour de son anniversaire
constate qu’en 2016, le 10 décembre tombait un samedi.
Comment peut-il savoir si en 2017 puis en 2018 son anniversaire
tombera sur un week-end ?
22
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Définition: Division euclidienne d’un entier par un naturel non nul :
Soit x P Z, n P N˚ , il existe un unique q P Z et un unique r P R
tel que :
x“q¨n`r
(0 ď r ă n)
q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne de x
par n.
Exercice 3.6:
Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de
a) 291 par 13
b) -340 par 9
Définition: Soit n P N‹ et x, y P Z. On dit que x est congru à y modulo n
si x ´ y est divisible par n.
Exemple 2: Montrer que 32 et -3 sont congrus à 25 modulo 7.
Notation: Pour indiquer que x est congru à y modulo n, on utilise la notation
x ” y pmod nq. Autrement dit,
x”y
pmod nq
ô
x´y “k¨n
(avec k P Z)
Exercice 3.7:
Montrer que tout entier est congru modulo 3 à 0, 1 ou 2.
Exercice 3.8:
Résoudre les équations suivantes :
a) x2 ” 1 pmod 3q
c) x2 ” x pmod 5q
b) x2 ” x pmod 6q
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
23
Proposition: Soit n P N‹ et a P Z ; a est congru modulo n à un unique nombre
entier y tel que 0 ď y ď n ´ 1.
Preuve:
Définition: Soit n P N˚ et a P Z. On note Cpaq “ a l’ensemble des éléments
congrus à a modulo n. Cpaq est la classe de a pmod nq.
Exemple 3: Si n “ 4, on a
Cp0q “ 0 “
Cp1q “ 1 “
t. . . , ´8, ´4, 0, 4, 8, . . .u
t. . . , ´7, ´3, 1, 5, 9, . . .u
Cp2q “ 2 “ t. . . , ´6, ´2, 2, 6, 10, . . .u
Cp3q “ 3 “ t
Cp4q “ 4 “
Cp5q “ 5 “
u
t. . . , ´4, 0, 4, 8, 12, . . .u
t. . . , ´3, 1, 5, 9, 13, . . .u
Proposition: Soit n P N˚ , a et b P Z. Alors
a “ b ðñ a ” b pmod nq
“
“
24
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Exercice 3.9:
Démontrer la proposition précédente.
Exemple 4: Suite de l’exemple précédent (avec n = 4) :
Si l’on considère alors des éléments de la classe 1 et si on les somme
avec des éléments de la classe 3 deux à deux, que constate-t-on ?
1`3“4P
´7`3“4P
5 ` 11 “ 16 P
Il semble que le résultat appartienne toujours à la même classe . . .
On aurait alors envie d’écrire :
1`3“1`3“4“0
Qu’en est-il avec la multiplication ?
1¨3“3P
´ 7 ¨ 3 “ ´21 P
5 ¨ 11 “ 55 P
Il semble que le résultat appartienne toujours à la même classe . . .
On aurait alors envie d’écrire
1¨3“1¨3“3
Nous allons montrer ces deux résultats en toute généralité.
Proposition: Soit n P N‹ .
Si dans Z on a x ” x1 pmod nq et y ” y 1 pmod nq, alors :
1
Preuve:
1
x ` y ” x ` y pmod nq
x ¨ y ” x1 ¨ y 1 pmod nq
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
25
Constatation: On peut donc définir sur les classes modulo n
‚ une addition en posant :
(0 ď a, b ď n ´ 1)
a ` b “ a ` b.
‚ une multiplication en posant :
a ¨ b “ a ¨ b.
Si l’on note Zn “ t0, 1, . . . , n ´ 1u, alors l’addition et la multiplication définies ci-dessus sont toutes les deux des opérations internes
dans Zn .
Exemple 5: Un exemple de la vie courante est le suivant : considérons seulement
les minutes d’une montre. Celles-ci varient entre 0 et 59. Lorsque
l’aiguille passe à 60, elle désigne aussi 0. Ainsi de suite : 61 s’écrit
aussi 1, 62 s’écrit aussi 2, . . . Cela correspond donc à l’ensemble
Z60 .
On peut aussi additionner des minutes : 50 minutes + 15 minutes
font 65 minutes qui s’écrivent aussi 5 minutes. Continuons avec
l’écriture dans Z60 par exemple : 135 ` 50 “ 185 “ 5.
Remarquons que si l’on écrit d’abord 135 “ 15 et 50 “ ´10, alors
le calcul se simplifie en 135 ` 50 “ 15 ` p´10q “ 5.
C’est le fait que l’addition soit bien définie qui justifie que l’on
trouve toujours le même résultat.
Exemple 6: Proposer la table d’addition sur Z3 “ t0, 1, 2u, puis celle de la
multiplication sur Z˚3 .
Exercice 3.10:
Proposer la table d’addition sur Z4 “ t0, . . . , 3u
Exercice 3.11:
Proposer la table de multiplication sur Z‹5 et sur Z‹4 . Quelles singularités observez-vous sur ce dernier tableau ?
26
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Exemple 7: Montrer que l’addition dans Zn est associative
Exercice 3.12:
Exercice 3.13:
Montrer que la multiplication dans Zn est associative.
a) Montrer que l’ensemble E “ t1 ; 2 ; 4u muni de la multiplication
modulo 7 forme un groupe.
b) Qu’en est-il si on munit E de la multiplication modulo 5 ?
Théorème: Soit n P N‹ ; alors pZn ,`q est un groupe abélien.
Preuve:
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
27
Théorème: Soit n un nombre premier ; alors pZ‹n ,¨q est un groupe abélien.
Preuve: Il faudrait montrer que pour tout n premier, l’inverse modulo n
existe toujours. Ce résultat n’est pas très difficile, mais demande
de mettre en place des nouveaux outils mathématiques comme le
théorème de Bézout.
3.3
Matrices carrées de type de 2 × 2
Définition: Une matrice 2 ˆ 2 est la donnée
ˆ
a
c
d’un tableau de la forme :
˙
b
d
avec a, b, c, d des nombres quelconques.
L’ensemble de ces matrices se note M2 pRq.
3.3.1
Groupe additif
ˆ
˙
ˆ
˙
a b
x y
Définition: Si M “
,N “
P M2 pRq, on définit la somme de
c d
z t
deux matrices de la manière suivante
ˆ
˙
a`x b`y
M `N “
c`z d`t
ˆ
˙
0 0
On définit alors naturellement la matrice nulle par 0 “
0 0
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2
1 ´2
Exemple 8: Si M “
et N “
, on a :
3 4
2 1
ˆ
˙
... ...
M `N “
... ...
Définition: Soit M P M2 pRq et λ P R. On définit la multiplication scalaire
matricielle de la manière suivante :
ˆ
˙ ˆ
˙
a b
λa λb
λ¨
“
c d
λc λd
28
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Exemple 9: Si M “
ˆ
˙
1 2
et λ “ 2, on a :
3 4
ˆ
˙
... ...
2¨M “
... ...
Remarque: Cette définition nous permet alors de définir la soustraction de
deux matrices de la manière suivante : si M, N P M2 pRq
Exercice 3.14:
M ´ N “ M ` p´Nq “ M ` pp´1q ¨ Nq
ˆ
˙
ˆ
˙
1 2
2 ´1
Posons A “
et B “
. Calculer
´3 1
1 1
a) A ` A, A ` B, A ´ B, B ´ A
b) 2A, 3A, ´5B
Théorème: M2 pRq muni de ` est un groupe abélien.
Preuve:
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
3.3.2
29
Groupe multiplicatif
Définition: Soit A et B deux matrices 2 ˆ 2 ; on définit le produit matriciel
A ¨ B “ C de la manière suivante :
A¨B “
ˆ
a b
c d
1 2
3 4
˙ ˆ
˙ ˆ
x y
ax ` bz
¨
“
z t
cx ` dz
˙
5 6
Exemple 10: Si A “
et B “
, on a :
7 8
ˆ
˙ˆ
˙ ˆ
1 2
5 6
1¨5`2¨7
AB “
“
3 4
7 8
3¨5`4¨7
ˆ
˙
ˆ
ay ` bt
cy ` dt
˙
1¨6`2¨8
3 ¨ 6 ` 4 ¨ˆ
8
˙
“
“C
19 22
43 50
BA “
Constatation: Le produit matriciel n’est donc en général pas commutatif.
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
1 2
´2 2
... ...
Exemple 11: Si A “
et B “
, on a AB “
.
1 2
1 ´1
... ...
Constatation: Le produit de deux éléments non nuls peut être nul.
Exercice 3.15:
Posons A “
1 2
´3 1
ˆ
˙
ˆ
˙
2 ´1
et B “
. Calculer
1 1
a) AB, BA, pABqA et ApBAq
b) A2 , A3
Définition: La matrice suivante est appelée la matrice identité :
ˆ
˙
1 0
I2 “
0 1
˙
30
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
Remarque:
‚ On constate de manière évidente que si A P M2 pRq, on a
I2 ¨ A “ A ¨ I2 “ A.
Cette matrice identité est donc l’élément neutre pour la
multiplication des matrices.
‚ On vérifie par le calcul que le produit matriciel est associatif,
i.e. si A, B, C sont trois matrices, nous avons :
A ¨ pB ¨ Cq “ pA ¨ Bq ¨ C
On peut donc définir la puissance d’une matrice de la manière
suivante :
Définition: Soit A une matrice 2 ˆ 2 ; on définit l’élévation à la puissance
par la formule récurrente suivante :
An “ ApAn´1 q avec n ě 2, n P N
On dit que A est d’ordre fini s’il existe un nombre n P N de sorte
que :
˙
ˆ
1 0
n
A “
0 1
Le plus petit nombre n admettant cette propriété est appelé ordre
de la matrice.
Exercice 3.16:
Exercice 3.17:
On considère les 4 matrices suivantes :
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
1 0
´1 0
0 1
I2 “
A“
B“
0 1
0 ´1
1 0
C“
ˆ
˙
0 ´1
.
´1 0
Déterminer l’ordre de chacune de ces matrices.
˙ ˆ
˙*
"ˆ
˙ ˆ
˙ ˆ
1 0
´1 0
0 1
0 ´1
Posons E “
;
;
;
.
0 1
0 ´1
1 0
´1 0
Montrer que E, muni de la multiplication matricielle est un groupe.
Exercice 3.18:
ˆ
˙
cos α ´ sin α
Posons A “
.
sin α cos α
a) À l’aide de votre formulaire, montrer que :
ˆ
˙
cosp2αq ´ sinp2αq
2
A “
sinp2αq cosp2αq
b) Calculer A3 puis A4
c) En déduire une formule An pour n P N. Saurez-vous la prouver ?
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
31
Question: M2 pRq muni de sa multiplication est-il un groupe ?
Par ce qui précède, l’opération interne, l’élément neutre et l’associativité sont acquis. Qu’en est-il de l’inverse ?
Pour ce faire, nous avons besoin d’une définition supplémentaire.
Définition: Soit M “
nombre :
Exemple 12: Si A “
Exercice 3.19:
ˆ
ˆ
a b
c d
1 2
3 4
˙
P M2 pRq ; on appelle déterminant de M le
ˇ
ˇ a b
det M “ ˇˇ
c d
ˇ
ˇ
ˇ “ ad ´ bc
ˇ
ˇ
ˇ
˙
ˇ 1 2 ˇ
ˇ
ˇ “ .......
, on a det A “ ˇ
3 4 ˇ
Montrer que si M, N P M2 pRq, alors detpMNq “ detpMq ¨ detpNq.
Ce résultat peut paraître étonnant à la vue de la définition du produit
matriciel qui ne semble pas du tout intuitive !
Définition: Soit M P M2 pRq avec det M ‰ 0. L’ensemble de toutes ces matrices
se note GL2 pRq.
Théorème: Si M P GL2 pRq, il existe une matrice M ´1 , appelée inverse de M
de sorte que M ¨ M ´1 “ M ´1 ¨ M “ I2 .
Preuve:
32
CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES
ˇ
˙
ˇ 1 2
, on a det A “ ˇˇ
Exemple 13: Si A “
3˙ 4
ˆ
1
4 ´2
On en déduit A´1 “ ´
.
2 ´3 1
ˆ
Exercice 3.20:
1 2
3 4
Posons A “
1 2
´3 1
ˆ
˙
ˇ
ˇ
ˇ “ 1 ¨ 4 ´ 2 ¨ 3 “ ´2.
ˇ
ˆ
˙
2 ´1
et B “
. Calculer A´1 , B ´1
1 1
Remarque: La notion d’inverse nous permet alors de définir A´n “ pAn q´1 si
n P N‹ . On a donc An défini pour tout n P Z en posant A0 “ I2
Nous pouvons donc conclure par le théorème suivant :
Théorème: GL2 pRq muni de la multiplication matricielle est un groupe.
Remarques: On constate que pM2 pRq,`q est un groupe, alors que pM2 pRq,¨q ne
l’est pas. Il faut dans ce dernier cas se restreindre à GL2 pRq, appelé
groupe linéaire de dimension 2.
Soit A P GL2 pRq, alors tAn | n P Zu, muni de la multiplication, admet aussi une structure de groupe. Mais ceci est une autre histoire. . .
4
Table de Cayley et isomorphisme de groupes
Définition: Soit un ensemble E “ tx1 ; . . . ; xn u muni d’une opération ‹.
On appelle table de Cayley, le tableau carré de n lignes et n
colonnes obtenu en inscrivant à la i-ème ligne et à la j-ième colonne
l’élément xi ‹ xj .
‹
Õ
x1
x2
..
.
x1
x2
xj
¨ ¨ ¨ xn
xi ‹ xj
xi
..
.
Arthur Cayley
mathématicien britannique
(1821-1895)
¨¨¨
xn
Exemple 1: Soit E “ t1 ; 2 ; 3 ; 4u muni des opérations ‹ définies ci-dessous.
Compléter les tables de Cayley. Que constatez-vous ?
b) a ‹ b “ PGDCpa ; bq.
a) a ‹ b “ PPMCpa ; bq.
‹
Õ
1
2
3
4
1
2
3
33
4
‹
Õ
1
2
3
4
1
2
3
4
34
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Exercice 4.1:
On munit l’ensemble E “ ta ; b ; c ; du d’une loi de composition interne, dont la table de Cayley est :
‹
Õ
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
b
a
d
d
c
a
b
a) Cette loi possède-t-elle un élément neutre ? Lequel ?
b) Chaque élément, admet-il un symétrique ? Préciser le symétrique de c.
c) Cette loi est-elle commutative ?
d) Prouver que ‹ est associative.
e) pE,‹q est-il être un groupe ?
Exercice 4.2:
Prouver l’affirmation suivante :
La table de Cayley d’un groupe fini a une particularité : c’est
toujours un tableau carré dans lequel dans chaque ligne et chaque
colonne apparait une et une seule fois chaque élément du groupe.
Idée : Supposons que G soit un groupe fini d’ordre n muni de l’opération interne ‹. Sa table de Cayley consistera en :
‹
Õ
a1 a2
a1 b11 b12
a2 b21 b22
..
..
..
.
.
.
ai bi1 bi2
..
..
..
.
.
.
an bn1 bn2
¨ ¨ ¨ ai
¨ ¨ ¨ b1i
¨ ¨ ¨ b2i
..
..
.
.
¨ ¨ ¨ bii
..
..
.
.
¨ ¨ ¨ an
¨ ¨ ¨ b1n
¨ ¨ ¨ b2n
..
..
.
.
¨ ¨ ¨ bin
..
..
.
.
¨ ¨ ¨ bni ¨ ¨ ¨ bnn
Il s’agit alors de montrer @i, 1 ď i ď n, l’existence de deux indices j,
k différents vérifiant que bij “ bik n’est pas possible. Cela montrera
donc la propriété sur chaque ligne. Il s’agira encore de raisonner sur
les colonnes.
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Exercice 4.3:
35
On considère l’ensemble E “ te ; a ; b ; c ; du muni de la loi de composition interne, dont la table de Cayley est :
‹
Õ
e
a
b
c
d
e
e
a
b
c
d
a
a
e
d
b
c
b
b
c
e
d
a
c
c
d
a
e
b
d
d
b
c
a
e
a) Montrer que la loi de composition ‹ n’est pas associative.
b) Qu’en déduisez-vous à propos de l’exercice précédent ?
Exercice 4.4:
Compléter les deux tables suivantes de telle sorte
E “ tr ; s ; t ; uu muni des deux lois ‹ forment un groupe
a)
‹
Õ
r s t u
r s r
s r s t u
t
t s
u
u
s
b)
que
‹
Õ
r s t u
r r s t u
s s t
t t
u u r
Exemple 2: Groupe d’ordre 1 :
On considère G “ teu muni d’une loi de composition ‹.
À l’aide d’une table de Cayley, montrer qu’il existe une et une seule
façon de définir ainsi un groupe.
Ce groupe porte le nom de groupe trivial.
Exercice 4.5:
Groupe d’ordre 2 :
On considère G “ te ; au muni d’une loi de composition ‹ où e est
l’élément neutre.
a) À l’aide d’une table de Cayley, déterminer le nombre de façons
de définir ainsi un groupe.
b) A-t-on déjà croisé (dans les exemples ou les exercices) des
exemples de groupe d’ordre 2. Comparer alors leur table de
Cayley.
36
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Exercice 4.6:
Groupe d’ordre 3 :
On considère G “ te ; a ; bu muni d’une loi de composition ‹ où e
est l’élément neutre.
a) À l’aide d’une table de Cayley, déterminer le nombre de façons
de définir ainsi un groupe.
b) A-t-on déjà croisé (dans les exemples ou les exercices) des
exemples de groupe d’ordre 3. Comparer alors leur table de
Cayley.
Exercice 4.7:
Groupe d’ordre 4 :
On considère G “ te ; a ; b ; cu muni d’une loi de composition ‹ où e
est l’élément neutre.
a) À l’aide des tables de Cayley proposées ci-dessous montrer,
en tentant de les compléter, que seules 4 tables différentes (à
permutation des éléments de G près) sont possibles.
‹
Õ
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e
b
e
c
e
‹
Õ
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e
b
a
c
‹
Õ
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a c
b
c
‹
Õ
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a
b
c
Dans ce dernier cas de figure, il est recommandé de recopier,
le nombre de fois nécessaire, ce tableau dans votre cahier afin
de tenter de les compléter de différentes manières.
b) A-t-on déjà croisé (dans les exemples ou les exercices) des
exemples de groupe d’ordre 4. Comparer alors leur table de
Cayley.
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Exercice 4.8:
37
Montrer que les 2 tables suivantes décrivent un “même” groupe
d’ordre 4 :
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
‹
Õ
e
a
b
c
c
c
e
a
b
e a b c
e a b c
a e c b
b c a e
c b e a
Définition: L’ordre d’un élément a d’un groupe est le plus petit nombre
entier positif m tel que a
‹ a ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ a “ e. Si aucun m de la sorte
loooooomoooooon
m fois
n’existe, a est dit d’ordre infini.
Exemple 3: On considère les 2 tables suivantes :
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
‹
Õ
e
a
b
c
e a b
e a b
a e c
b c e
c b a
c
c
b
a
e
Montrer que même si on permute lignes et colonnes de la première
table, il n’est pas possible d’obtenir la deuxième.
Définition: Deux groupes pG,‹q et pE,‚q sont dits isomorphes si une table de
Cayley de pG,‹q peut être transformée en une table de Cayley de
pE,‚q terme à terme.
38
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Remarque: Ceci traduit bien l’idée d’une même structure comme le dénote
l’étymologie de ce terme : iso signifiant même et morphisme étant
issu du grec et signifiant forme.
Cette notion d’isomorphisme est commune à toutes les parties des
mathématiques. Dès qu’on crée une structure, on veut pouvoir la
faire communiquer avec une autre déjà étudiée. On pourra ainsi
transférer des propriétés (calculs) de l’une pour les appliquer dans
l’autre.
Par exemple, les simplifications des écritures vectorielles :
#
1 #
#
a ´3b
a ´ b ` 2 #
2
se manipulent comme les simplifications du calcul littéral :
1
7
a ´ b ` 2a ´ 3b “ 3a ´ b
2
2
Exercice 4.9:
Dans les exercices qui précèdent, cherchez des groupes (différents)
d’ordre 2, 3 et 4 qui sont isomorphes.
Exercice 4.10:
Un triskèle, représentant trois jambes, est présent sur le drapeau
de l’île de Man depuis 1931.
À l’origine, il est probable que ce symbole représentait, dans l’iconographique celtique, les trois points du mouvement vertical du soleil :
le lever, le zénith et le coucher.
Considérons l’ensemble E “ tA ; B ; Cu des sommets du triskèle
représenté ci-dessous.
B
A
O
C
Considérons l’ensemble S “ tr0 ; r1 ; r2 u des bijections de l’ensemble
E vers lui-même définies par :
‚ r0 pAq “ A , r0 pBq “ B
‚ r1 pAq “ B
‚ r2 pAq “ C
, r1 pBq “ C
, r0 pCq “ C ;
, r1 pCq “ A ;
, r2 pBq “ A , r2 pCq “ B.
a) À quoi correspondent géométriquement ces bijections ?
b) Montrer que pS,˝q est un groupe d’ordre 3.
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
Exercice 4.11:
39
Soit m P N‹` et posons S “ t0, 1, 2, . . . , m ´ 1u.
Définissons l’opération ‹ sur S de la manière suivante :
#
a ‹ b “ a ` b si a ` b ă m,
a‹b“r
si a ` b “ m ` r, 0 ď r ă m.
Montrer alors que pS,‹q est un groupe.
Indication : Commencez par étudier la table de Cayley pour m “ 4.
40
CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES
5
Sous-groupe
Définition: Soit H un sous-ensemble non vide du groupe pG,‹q. On dit que H
est un sous-groupe de pG,‹q si pH,‹q est lui-même un groupe.
Exemple 1: pZ ,`q est un sous-groupe de pQ ,`q, car Z ‰ H, Z Ă Q et pZ ,`q
est lui-même un groupe.
Remarque: Tout groupe pG,‹q ayant plus de deux éléments distincts possède
toujours deux sous-groupes au moins, à savoir G lui-même et le
groupe formé du seul élément neutre.
Théorème: Soit pG,‹q un groupe et H un sous-ensemble non vide de G ; alors
H est un sous-groupe de pG,‹q si et seulement si
a) ‹ est une opération interne dans H
(@x, y P H, x ‹ y P H )
b) le symétrique de tout élément de H est dans H,
(x P H ñ x1 P H )
Preuve:
41
42
CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE
Définition: Soit n P Z, l’ensemble des multiples de n est l’ensemble :
n Z “ tx P Z | Dk P Z avec x “ knu
Exemple 2: Démontrer que pn Z ,`q est un sous-groupe de pZ ,`q, @n P Z.
Exercice 5.1:
On considère l’ensemble : Z ´2 Z.
a) À quoi correspond-il ?
b) Z ´2 Z muni de l’addition, est-il un sous-groupe de pZ ,`q ?
Exercice 5.2:
Démontrer que l’intersection de deux sous-groupes d’un groupe
pG,‹q est aussi un sous-groupe de pG,‹q.
Exercice 5.3:
Montrer, à l’aide d’un exemple bien choisi, que la réunion de deux
sous-groupes d’un groupe pG,‹q n’est pas forcément un sous-groupe
de pG,‹q.
Exercice 5.4:
Soit F l’ensemble de toutes les applications de R dans R et considérons la composition des applications ˝. pF ,˝q est-il un groupe ?
Si non, donner le plus grand sous-ensemble E de F tel que pE,˝q
soit un groupe.
Exercice 5.5:
Exercice 5.6:
?
(
Dans le groupe pR ,`q, on considère S “ x ` y 2 | x, y P Q .
pS,`q est-il un sous-groupe de pR ,`q ?
Dans le groupe multiplicatif pR‹, ¨q, on considère l’ensemble :
?
S “ tx ` y 2 | x, y P Q, x et y non simultanément nulsu
pS,¨q est-il un sous-groupe de pR‹, ¨q ?
CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE
Exercice 5.7:
43
Dans le groupe pR2 ,`q muni de l’addition habituelle :
px ; yq ` pa ; bq “ px ` a ; y ` bq
on considère les sous-ensembles suivants :
a) E “ tpx ; yq | 2x ` 3y “ 0u
b) E “ tpx ; yq | x ` y “ 1u
c) E “ tp4x ` 3y ; yq | x, y P Ru
d) E “ tp2x ` y ; y ´ xq | x, y P Ru
Chaque pE, `q est-il un sous-groupe de pR2, `q ?
Exercice 5.8:
Dans le groupe pR2, ‚q muni de la multiplication :
px ; yq ‚ pa ; bq “ pxa ´ yb ; xb ` yaq
on considère les sous-ensembles suivants :
a) E “ tpx ; 0q | x P R‹ u
b) E “ tp2x ; xq | x P R‹ u
c) E “ tp1 ; xq | x P Ru
d) E “ tp0 ; xq | x P R‹ u
e) E “ tp´x ; xq | x P R‹ u
Chaque pE, ‚q est-il un sous-groupe de pR2, ‚q ?
Définition: Soient pG,‹q un groupe quelconque, g P G et n P N. Posons :
g n “ loooooomoooooon
g ‹ g ‹ .... ‹ g (avec g 0 “ e élément neutre) et
n fois
g ´n “ looooooooooomooooooooooon
g ‹ g ´1 ‹ .... ‹ g ´1 (avec g ´1 élément symétrique de g).
´1
n fois
On pose par définition la relation suivante : g n ‹ g m “ g n`m .
Considérons alors H “ tg n | n P Zu Ă G. On montrera dans le
prochain exercice que pH,‹q est un sous-groupe de pG,‹q.
Définition: Soit pG,‹q un groupe et considérons g P G ; soit H “ tg n | n P Zu.
Le sous-groupe pH,‹q s’appelle le groupe engendré par g et g
s’appelle le générateur de H. On note H “ă g ą.
Exemple 3: ă 2 ą“ t..., ´4, ´2, 0, 2, 4,...u est un sous-groupe de pZ ,`q.
44
CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE
Exemple 4: Soit g P G avec pG,‹q un groupe tel que g 3 “ e, g ‰ e et g “ g 2 .
On pose H “ te, g, g 2u. Montrer alors que pH,‹q est bien un groupe
(on montrera en particulier que g ´1 “ g 2).
CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE
45
Considérons g1 , g2 , . . . , gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j.
Nous pouvons alors construire tous les produits de la forme
gknk ‹ glnl ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ gznz
avec k, l, . . . , z P t1, 2, . . . , pu.
Soit H l’ensemble de tous ces éléments. On a alors le résultat suivant
(sans démonstration)
Théorème: Soit pG,‹q un groupe et g1 , g2 , . . . , gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j, et
posons H défini comme ci-dessus.
pH,‹q est alors un sous-groupe de pG,‹q.
Définition: Soit pG,‹q un groupe et g1 , g2,.....,gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j et
posons H défini comme ci-dessus.
pH,‹q s’appelle le groupe engendré par g1 , g2 , . . . , gp et les éléments g1 , g2 , . . . , gp s’appellent les générateurs de H. On note
H “ă g1 , g2, . . . , gp ą.
Un produit de la forme gknk ‹ glnl ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ gznz s’appelle un mot de H.
Exemple 5: ă 2, 3 ą“ t2α 3β | α, β P Zu est un sous-groupe de pQ‹ ,¨q.
Exemple 6: Soit g P G et h P G de sorte que g 3 “ h2 “ g ‹ h “ e.
On a ă g, h ą“ te, g, g 2, h, h ‹ gu. En effet, par exemple :
g 2 ‹ h “ g ‹ pg ‹ hq “ g ‹ e “ g, ou
ph ‹ gq ‹ h “ h ‹ pg ‹ hq “ h ‹ e “ h.
Remarque: Si pG,‹q est un groupe et g1 , g2 , . . . , gj un système générateur de
H, on note gpnp gqnq le composé gpnp ‹ gqnq
Exercice 5.9:
Soit pG,‹q un groupe et g P G. Posons H “ă g ą. Montrer que
pH,‹q est un sous-groupe de pG,‹q.
Définition: Soit pG,‹q un groupe et H “ă g1 , g2 , . . . , gp ą.
Un mot gknk glnl . . . gznz est réduit si l’écriture du mot comporte le
minimum de facteurs.
Exemple 7: ‚ Soit g, h P G et considérons le mot ghghh´1 qui a 5 facteurs. Il
n’est pas réduit car ghghh´1 “ ghgphh´1 q “ ghg.
‚ Les mots gh et g ´1hghg ´1 sont par contre réduits si ‹ n’est pas
commutative.
46
CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE
Exercice 5.10:
Soit pG,‹q un groupe et x, y, z P G ; considérons H “ă x, y, z ą
a) Écrire trois éléments distincts de H
b) Est-ce que xyzpyzq´1 est un mot réduit ?
c) Est-ce que xyy ´1z ´1 yx est égal à xz ´1 yzz ´1 x ?
d) Exprimer x2 y 3 py 3x2 q´1 y ´3 et pxzyq´1 xzy 2 sous forme réduite.
Exercice 5.11:
Trouver tous les sous-groupes de :
a) pZ12 ,`q
b) pZ8 ,`q
c) pZ‹7 ,¨q
A
Bibliographie et ressources Internet
Bibliographie
1. Eric Laydu, Groupes et action de groupes (2011), Gymnase d’Yverdon
2. Louis Gred, Notions fondamentales de la mathématique élémentaire (1980), LEP
3. Tony Crilly, Juste assez de maths pour briller en société (2009), Dunod
Ressources Internet
1. Professeurs des Universitéés de Lille, Rennes et Marne la Vallée, Exo7 Groupes,
http://exo7.emath.fr/cours/ch_groupe.pdf
2. Farouk Boucekkine, Introduction à la théorie des Groupes,
http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/algebre/groupesFirst.pdf
3. S. F. Ellermeyer, Introduction to Groups (2006)
http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/...
4. S. F. Ellermeyer, Subgroups of Groups (2006)
http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/...
5. Et encore d’autres idées à trouver sur Google :
https://www.google.ch/search?q=théorie+des+groupes
https://www.google.ch/search?q=group+theory
47
B
Quelques éléments de solutions
B.1
Mise en place
Exercice 1.1:
x`y
n’appartient pas forcément à Z. (x “ 1 et y “ 2)
2
?
b) non, car xy n’appartient pas forcément à R. (x “ 1 et y “ ´4)
a) non, car
c) oui
d) oui
e) oui
f) oui
g) oui
x
h) non, car x ¨ y ` n’appartient pas forcément à Z. (x “ 1 et y “ 2)
y
Exercice 1.2:
c) commutative
f) commutative
Exercice 1.3:
px ‹ yq ‹ z “
d) commutative
g) non commutative
e) commutative
x ` y ` z ` xyz
qui est bien égal à x ‹ py ‹ zq
xy ` xz ` yz ` 1
Exercice 1.4:
‹ est une loi de composition interne commutative et associative.
Exercice 1.5:
` est une loi de composition interne commutative et associative.
Exercice 1.6:
‹ est une loi de composition interne commutative et associative.
Exercice 1.7:
La seule valeur possible est m “ 0 en effet :
px ‹ yq ‹ z “ xyzm2 ` zm ` 1
et
x ‹ py ‹ zq “ xyzm2 ` xm ` 1
Exercice 1.8:
‹ est une loi de composition interne commutative et associative.
I
II
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
Exercice 1.9:
a) Le plus simple est de présenter ceci sous la forme d’un tableau :
Õ̋
i
f
g
h
i f
i f
f i
g h
h g
g h
g h
h g
i f
f i
b) ˝ est commutative.
c) ˝ est associative. Formellement, il s’agirait d’effectuer 43 “ 64 vérifications. Peut-on en
éviter quelques-unes ?
Exercice 1.10:
Pas de condition sur b et a ‰ 0
Exercice 1.11:
a) Deux bonnes raisons :
‚ Il existe des valeurs de y P R pour lesquelles, il n’existe pas de x vérifiant y “ x2 .
‚ Il existe des valeurs de y P R pour lesquelles, la valeur x vérifiant y “ x2 existe mais
n’est pas unique.
b) f est alors bien bijective.
Exercice 1.12:
a) x P Q rt1u
x`3
b) rf pxq “
x´2
c) f : Q rt1u Ñ Q rt2u
B.2
Notion de groupe
Exercice 2.1:
pE,‹q n’a pas la structure de groupe, car il n’existe pas d’opposé.
Exercice 2.2:
` 2 ˘
R ,` est un groupe abélien.
Exercice 2.3:
a) ‹ n’est pas une opération interne.
b) ‹ n’est pas une opération interne.
c) ‹ n’a pas d’élément neutre à gauche, (e ‹ x “ x n’est pas vérifié pour tout x).
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
III
Exercice 2.4:
Oui, d’ordre 4.
Exercice 2.5:
b) ‚ Il s’agit bien d’une loi de composition interne, c’est-à-dire : fb ˝ fa “ fa`b P E.
‚ Elle est bien associative :
`
˘
fc ˝ pfb ˝ fa q pxq “ pfc ˝ fa`b q pxq “ px ` a ` bq ` c “ x ` a ` b ` c
`
˘
pfc ˝ fb q ˝ fa pxq “ pfb`c ˝ fa q pxq “ px ` aq ` b ` c “ x ` a ` b ` c
‚ L’élément neutre : f0 .
‚ le symétrique de tout fb est f´b .
Exercice 2.6:
‚ Il s’agit bien d’une loi de composition interne, c’est-à-dire :
pac ´ bdq2 ` pad ` bcq2 est bien égal à 1.
‚ Elle est bien associative :
ppa ; bq ‹ pc ; dqq ‹ pe ; f q “ pace ´ adf ´ bcf ´ bde ; acf ` ade ` bce ´ bdf q
pa ; bq ‹ ppc ; dq ‹ pe ; f qq “ pace ´ adf ´ bcf ´ bde ; acf ` ade ` bce ´ bdf q
‚ L’élément neutre : p1 ; 0q
(s’obtient et se justifie par un système d’équations)
‚ Le symétrique de tout pa ; bq est bien défini : pa ; ´bq
Exercice 2.7:
?
b) L’élément neutre : 1 ` 0 2
?
c) Le symétrique de tout a ` b 2 est
(même remarque)
(s’obtient intuitivement mais doit être justifé)
´b ?
a
`
2
a2 ´ 2b2 a2 ´ 2b2
(s’obtient et se justifie par un système d’équations)
IV
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
B.3
Quelques groupes célèbres
Exercice 3.1:
Pourra être vu ensemble à votre demande.
Exercice 3.2:
˙
1 2 3 4 5 6
α˝β “
2 6 4 1 3 5
ˆ
˙
1 2 3 4 5 6
r
α“
6 1 2 5 4 3
ˆ
˙
1 2 3 4 5 6
r
pβ ˝ αq “
6 4 1 3 2 5
ˆ
ˆ
1
β˝α“
3
ˆ
1
r
β“
1
ˆ
1
r
pα ˝ βq “
4
˙
2 3 4 5 6
5 4 2 6 1
˙
2 3 4 5 6
5 2 6 3 4
˙
2 3 4 5 6
1 5 3 6 2
Exercice 3.3:
ˆ
˙
1 2 3 4 5
α ˝ pβ ˝ γq “ pα ˝ βq ˝ γ “
5 3 2 4 1
Exercice 3.4:
La loi est bien interne, l’associativité est issue de S3 , l’élément neutre est id, les 2 éléments
restants sont symétriques l’un de l’autre.
Exercice 3.5:
ˆ ˙
ˆ
˙
ˆ
˙
1
1 2
1 2
S1 “ tidu avec id “
, S2 “ tid, βu avec id “
et β “
1
1 2
2 1
Exercice 3.6:
a) q “ 22 et r “ 5
b) q “ ´38 et r “ 2
Exercice 3.7:
sera vu ensemble dans la suite de la théorie.
Exercice 3.8:
a) x ” 1 pmod 3q ou x ” 2 pmod 3q que l’on peut également proposer sous la forme :
x “ 1 ` 3n ou x “ 2 ` 3n avec n P Z.
b) x “ 5n ou x “ 1 ` 5n
c) x “ 3n ou x “ 1 ` 3n
avec n P Z.
avec n P Z.
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
V
Exercice 3.9:
pourra être vu ensemble à votre demande
Exercice 3.10:
Õ̀
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Exercice 3.11:
Ṏ
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Ṏ
1
2
3
1
1
2
3
2
2
0
2
3
3
2
1
Contrairement au tableau précédent, la loi n’est pas interne, 2 n’admet pas d’inverse et on ne
retrouve pas tous les éléments du groupe dans chaque ligne et chaque colonne.
Exercice 3.12:
Soit a, b et c P Zn , on a :
pa ¨ bq ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ pb ¨ cq
Exercice 3.13:
a) La loi est bien interne, l’associativité est issue de celle de Zn , l’élément neutre est 1 et 2 et 4
sont inverse l’un de l’autre. On peut également observer ceci dans la table de multiplication.
b) La loi n’est pas interne et 2 n’admet pas d’inverse.
Ṏ
1
2
4
1
1
2
4
a)
2
2
4
1
4
4
1
2
Ṏ
1
2
4
1
1
2
4
2
2
4
3
4
4
3
1
b)
Exercice 3.14: ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
2 4
3 1
´1 3
1 ´3
a) A ` A “
, A`B “
, A´B “
, B´A“
´6 2
´2 2
´4 0
4 0
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
2 4
3 6
´10 5
b) 2A “
, 3A “
, ´5B “
´6 2
´9 3
´5 ´5
VI
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
Exercice 3.15:
ˆ
4
a) AB “
´5
ˆ
´5
b) A2 “
´6
˙
ˆ
1
5
, BA “
4
´2
˙
ˆ
4
´17
, A3 “
´5
9
˙
ˆ
˙
3
1
9
, pABqA “ ApBAq “
3
´17 ´6
˙
´6
´17
Exercice 3.16:
La matrice I2 est d’ordre 1, les autres sont d’ordre 2.
Exercice 3.17:
En utilisant le même codage que précédemment, on obtient la table :
Ṏ
I2
A
B
C
I2
I2
A
B
C
A
A
I2
C
B
B
B
C
I2
A
C
C
B
A
I2
qui permet de visualiser que la loi est interne, l’existence des éléments symétriques. L’associativité est issue de celle de M2 pRq.
Exercice 3.18:
ˆ
˙ ˆ
˙
´ cos α sin α ´ sin α cos α
cos2 α ´ sin2 α
cos 2α ´ sin 2α
2
a) A “
“
cos α sin α ` sin α cos α
´ sin2 α ` cos2 α
sin 2α cos 2α
˙ˆ
˙
ˆ
cos 2α ´ sin 2α
cos α ´ sin α
“
b) A “
sin 2α cos 2α
sin α cos α
ˆ
˙ ˆ
˙
cos 2α cos α ´ sin 2α sin α ´ cos 2α sin α ´ sin 2α cos α
cos 3α ´ sin 3α
“
“
sin 2α cos α ` cos 2α sin α ´ sin 2α sin α ` cos 2α cos α
sin 3α cos 3α
3
ˆ
˙ˆ
˙
cos 3α ´ sin 3α
cos α ´ sin α
A “
“
sin 3α cos 3α
sin α cos α
ˆ
˙ ˆ
˙
cos 3α cos α ´ sin 3α sin α ´ cos 3α sin α ´ sin 3α cos α
cos 4α ´ sin 4α
“
“
sin 3α cos α ` cos 3α sin α ´ sin 3α sin α ` cos 3α cos α
sin 4α cos 4α
4
c) Exercice BONUS (avec la démonstration ! !)
Exercice 3.19:
ˆ
˙
ˆ
˙
a b
e f
En posant M “
et N “
, on obtient dans les 2 cas : adeh ´ adf g ´ bceh ` bcf g
c d
g h
Exercice 3.20:
ˆ
ˆ
˙
˙
1 1 1
1 1 ´2
´1
´1
,B “
A “
7 3 1
3 ´1 2
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
B.4
VII
Tables de Cayley et isomorphisme
Exercice 4.1:
a) Oui, l’élément a est l’élément neutre car a ‹ x “ x ‹ a @x P E.
b) Chaque élément admet un symétrique :
a1 “ a
b1 “ b
c1 “ d
d1 “ c
c) Oui, la table est symétrique par rapport à sa diagonale descendante.
d) ‚ Comme a est neutre et ‹ est commutative, on a @x, y P E :
x ‹ y “ a ‹ px ‹ yq “ pa ‹ xq ‹ y
“ a ‹ py ‹ xq “ pa ‹ yq ‹ x
“ x ‹ pa ‹ yq “ px ‹ aq ‹ y
“ x ‹ py ‹ aq “ px ‹ yq ‹ a
“ y ‹ pa ‹ xq “ py ‹ aq ‹ x
“ y ‹ px ‹ aq “ py ‹ xq ‹ a
‚ On vérifie ensuite que :
b ‹ pc ‹ dq “ c ‹ pb ‹ dq “ d ‹ pb ‹ cq “ b
Cela assure que x ‹ py ‹ zq “ px ‹ yq ‹ z
‚ Clairement px ‹ xq ‹ x “ x ‹ px ‹ xq
@x, y, z P tb ; c ; du
x‰y‰z‰x
@x P tb ; c ; du
‚ Il reste à vérifier que px ‹ xq ‹ y “ x ‹ px ‹ yq
@x, y P tb ; c ; du et x ‰ y
pb ‹ bq ‹ c “ b ‹ pb ‹ cq “ c
pb ‹ bq ‹ d “ b ‹ pb ‹ dq “ d
pc ‹ cq ‹ b “ c ‹ pc ‹ bq “ a
pc ‹ cq ‹ d “ c ‹ pc ‹ dq “ c
pd ‹ dq ‹ b “ d ‹ pd ‹ bq “ a
pd ‹ dq ‹ c “ d ‹ pd ‹ cq “ d
OUF ;-)
e) Oui, pE,‹q est bien un groupe.
VIII
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
Exercice 4.2:
Soit le groupe pG,‹q d’ordre n.
‚ Raisonnement sur les lignes : supposons qu’il existe j ‰ k tel que bij “ bik ,
bij “ bik ùñ ai ‹ aj “ ai ‹ ak ùñ a1i ‹ pai ‹ aj q “ a1i ‹ pai ‹ ak q
ùñ pa1i ‹ ai q ‹ aj “ pa1i ‹ ai q ‹ ak ùñ e ‹ aj “ e ‹ ak
ùñ aj “ ak ùñ j “ k ùñ l’ordre du groupe est n ´ 1 E
‚ Raisonnement sur les colonnes : il s’agit de construire la même contradiction à partir de
bij “ bkj pour i ‰ k.
Exercice 4.3:
a) Pour montrer que la loi ‹ n’est pas associative, il suffit de trouver un exemple.
*
pa ‹ bq ‹ c “ c ‹ c “ e
ne permet pas de conclure.
a ‹ pb ‹ cq “ a ‹ a “ e
Par contre :
pa ‹ bq ‹ d “ c ‹ d “ a
a ‹ pb ‹ dq “ a ‹ c “ d
*
nous fournit bien un contre exemple à l’associativité
b) Chaque ligne et chaque colonne de la table de Cayley contenant tous les éléments de E
n’implique pas forcément que pE, ‹q soit un groupe.
Exercice 4.4:
a)
‹
Õ
r s
r s r
s r s
t u t
u t u
t u
u t
t u
s r
r s
b)
‹
Õ
r s t u
r r s t u
s s t u r
t t u r s
u u r s t
Avez-vous vraiment contrôlé l’associativité dans tous les cas ? ?
Exercice 4.5:
a) Il s’agit du groupe trivial
Ṏ e a
e e a
a a e
b) À voir ensemble.
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
IX
Exercice 4.6:
a) Il n’y en a qu’un possible dont la table de Cayley est :
Ṏ
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
b) À voir ensemble.
Exercice 4.7:
a) Les 4 tables sont :
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
a
e
c
c
b
e
a
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
c
e
b
b
b
e
c
a
c
c
b
a
e
‹
Õ
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
b) À voir ensemble.
Exercice 4.8:
Il suffit de permuter les lignes et colonnes a et b puis de substituer les étiquettes a par b et b
par a.
Exercice 4.9:
À voir ensemble
Exercice 4.10:
a) r0 : l’identité, r1 ,r2 : rotation de centre O et d’angle 120˝, respectivement 240˝ .
b) Sa table de Cayley est isomorphe à celle du groupe d’ordre 3 (cf. exercice 4.6).
Õ̋
r0
r1
r2
r0
r0
r1
r2
r1
r1
r2
r0
r2
r2
r0
r2
isomorphe à
Ṏ
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Exercice 4.11:
Les tables de Cayley obtenues (pour différentes valeurs de n) ne sont-elles pas isomorphes à
celles obtenues sur des groupes déjà étudiés ?
X
B.5
ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS
Sous-groupes
Exercice 5.1:
Pas de réponse proposée, pourra être vu ensemble.
Exercice 5.2:
Vous pouvez par exemple considérer 2 Z Y 3 Z
Exercice 5.3:
pF ,˝q n’est pas un groupe, car le symétrique de f n’existe pas toujours.
E est l’ensemble contenant toutes les bijections de R dans R.
Exercice 5.4:
Oui, il suffit de montrer que la loi est bien interne et que tout élément de S admet bien un
symétrique dans S.
Exercice 5.5:
Oui, il suffit de montrer que la loi est bien interne et que tout élément de S admet bien un
symétrique dans S.
Exercice 5.6:
a) oui
b) non, car px ; yq n’a pas d’inverse dans E
c) oui
d) oui
Exercice 5.7:
a) non, p1 ; 1q R E
b) non, car l’opération n’est pas interne
c) non, car p1 ; 0q n’a pas d’inverse
d) non, car p1 ; 0q n’a pas d’inverse
e) non, car l’opération n’est pas interne
Exercice 5.8:
‹ est bien une opération interne de H ; si a, b P H, a “ g n et b “ g m ñ g n g m “ g n`m P H.
Si a “ g n P H, alors a´1 “ g ´n car g n g ´n “ g n´n “ g 0 “ e.
Exercice 5.9:
a) x, y, z ou x, x2 , x3 ou x, xy, xz.
b) non car xyzpyzq´1 “ xyzz ´1 y ´1 “ x
c) oui car xyy ´1z ´1 yx “ xz ´1 yzz ´1 x “ xz ´1 yx
d) x2 y 3py 3 x2 q´1 y ´3 “ x2 y 3x´2 y ´6, pxzyq´1 xzy 2 “ y ´1z ´1 x´1 xzy 2 “ y
Exercice 5.10:
a) Z2 , Z3 , Z4 , Z6 , Z12
b) Z2 , Z4 , Z8
c) ă 1 ą, ă 2 ą“ă 4 ą, ă 6 ą, Z‹7
Si vous souhaitez commander ou utiliser ce polycopié dans vos
classes, merci de prendre contact avec son auteur en passant par
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http://www.javmath.ch
Éléments de théorie des groupes (06 . 2016)
CADEV - no 30’048