Électrostatique Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Électrostatique
Notes de cours
mardi 13 janvier 2015
Visualisation de champs électrostatiques
expérience de cours
Sous l'eet de forts champs électrostatiques (circulaires ou plan) générés par la machine de Wimshurst,
les grains de semoule dans l'huile s'orientent dans le champ électrique, permettant de visualiser les lignes
de champ de
~.
E
à installer mardi 13 janvier 2015 en salle L111.
Figure 1 Visualisation de champs électrostatiques
I1.
Propriétés du champ électrostatique
Sources du champ électrostatique
s'y retrouver
Charge électrique
les charges observées sont toujours des multiples entiers de la charge élémentaire
La charge électrique
spé PC
q
e (e = 1, 6 × 10−19 C).
en coulomb (C) est quantiée.
page n
◦
1
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
dénition
Densité volumique de charge
Q
La charge totale
portée par un volume
V
est
ZZZ
ρ(M ).d3 τ
Q=
M ∈V
où
ρ
en
C · m−3
est la densité volumique de charge.
Si on dispose d'une assemblée de particules numérotées i , de charge
ρ=
X
qi
et de densité volumique
ni ,
ni. .qi
i
La densité volumique de charge ne dépend pas du référentiel.
s'y retrouver
Densité surfacique de charge
La charge totale
Q
portée par une surface
S
est
ZZ
σ(M ).d2 S
Q=
M ∈S
où
σ
en
C · m−2 .
est la densité surfacique de charge
s'y retrouver
Densité linéique de charge
La charge totale
Q
portée par une courbe
C
est
Z
Q=
λ(M ).d`
M ∈C
où
λ
en
C · m−1
est la densité linéique de charge.
s'y retrouver
Invariances
On discerne en particulier les symétries
~j (x, y, z) = ~j (x, y) ;
ρ (r, θ, z) = ρ (r, z) ou ~j (r, θ, z) = ~j (r, z) ;
•
plane :
•
cylindrique :
•
circulaire :
ρ (r, θ, z) = ρ (r) ;
•
sphérique :
ρ (r, θ, ϕ) = ρ (r)
ρ (x, y, z) = ρ (x, y)
ou
ou
~j (r, θ, ϕ) = ~j (r).
Plan de symétrie et d'antisymétrie pour les charges
s'y retrouver
Pour la distribution de charge,
(xOy)
(xOy)
⇔ ρ (x, y, −z) = ρ (x, y, z)
est plan de symétrie
est plan d'antisymétrie
⇔ ρ (x, y, −z) = −ρ (x, y, z)
Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de
charges
schéma
La gure 2 représente un exemple de plans de symétrie (à gauche) et d'un plan d'antisymétrie (à droite).
1 Symétries d'une distribution cylindrique
.
exercice
Rechercher les symétries (invariances, plans de symétrie et d'antisymétrie) d'une distribution cylin-
drique innie d'axe
(Oz),
de rayon
R
de charge (le cylindre est uniformément chargé) ;
. On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
ρ(r), de plans de symétrie (~ur , ~uθ ), de plans de symétrie (~ur , ~uz ).
spé PC
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◦
2
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Figure 2 Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de charges
2.
Flux du champ électrostatique
dénition
Équation de Maxwell Gauss
~ =
div E
avec la permittivité du vide :
ρ
ε0
ε0 = 8, 85 × 10−12 F · m−1 .
Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique
La gure 3 représente le champ
~
E
schéma
diverge des charges positives et converge vers les charges négatives.
Figure 3 Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique
spé PC
page n
◦
3
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théorème
2 Théorème de Gauss
En intégrant Maxwell Gauss et en utilisant Green Ostrogradsky, on trouve que
Qint =
fermée Σ,
Si
RRR
M ∈V
ρ(M ).d3 τ
est la charge électrique intérieure au volume
V
⇒
délimité par la surface
ZZ
→
−
→
− −−→ Qint
φ E = E .d2 Σ =
ε0
3 Zones de fort champ électrostatique dans une région vide de charge théorème
On décompose le ux en trois surfaces, l'une donnant un ux nul car le champ électrique est lui orthogonal, les deux autres se conservant.
Ainsi, le ux du champ électrique se conserve le long d'un tube de champ dans une région vide de
charge.
Donc les zones de fort champ électrostatique (en norme) sont les zone où les lignes de champ électrostatique sont les plus resserrées.
⇒
Les zones de fort champ électrostatique (en norme) sont les zone où les lignes de champ électrostatique
sont les plus resserrées.
3.
Circulation du champ électrostatique et potentiel électrostatique
dénition
Équation de Maxwell Faraday
~
∂B
−→ ~
rot E = −
∂t
théorème
4 Potentiel et champ électrostatiques
En électrostatique, l'équation de Maxwell Faraday se simplie en
−
→
−
−→ →
rot E = 0
Comme le rotationnel est nul, on peut écrire :
⇒
−−→
→
−
E = −grad(V )
où
V
est le potentiel scalaire (que l'on appelle potentiel électrostatique).
5 Ligne de champ électrostatique et surfaces isopotentielles
trivial.
→
−
E
théorème
⇒
est orthogonal aux surfaces isopotentielles et va vers les potentiels décroissants.
Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique
La gure 4 représente les lignes de champ de
~
E
schéma
sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et orientées
vers les potentiels décroissants.
spé PC
page n
◦
4
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Figure 4 Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique
théorème
6 Equation de Poisson
Maxwell-Gauss :
ρ
−→
~ = div −−
= div E
grad(V ) = −∆V
ε0
⇒
Le potentiel électrostatique vérie l'équation de Poisson :
∆V +
4.
ρ
=0
ε0
Détermination d'un champ électrostatique
vidéo
Visualisation des champs électrostatiques
On peut visualiser les lignes de champ électrostatique grâce à des grains de semoule dans de l'huile de
vaseline.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
s'y retrouver
Utilisation des symétries
le principe de Curie énonce que les symétries des causes se retrouvent parmi les symétries des conséquences.
On déduit du principe de Curie que le champ conséquence a (au moins) les symétries de la distribution
cause.
Le potentiel scalaire
V
sera symétrique par rapport aux plans de symétrie
rapport aux plans d'antisymétrie
Les vrais vecteurs (comme
d'antisymétrie
Π
∗
~)
E
Π∗
Π,
et antisymétrique par
de sa cause.
appartiennent aux plans de symétrie
Π,
et sont orthogonaux aux plans
des causes.
7 Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique
On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe
(Oz),
uniformément chargé). En déduire les symétries (en statique) de
ρ(r),
spé PC
de plans de symétrie
(~ur , ~uθ ),
et
(~ur , ~uz ).
Donc
V (r)
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◦
5
et
exercice
de charge (le cylindre de rayon
V
et
R
est
~.
E
~ = Er (r).~ur .
E
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II-
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Exemples de champs électrostatiques
1.
Charges ponctuelles
théorème
8 Loi de Coulomb
O. La distribution de charge
~ et V (r) aussi. Tous les plans qui contiennent O sont plans de symétrie
E
applique le théorème de Gauss sur une sphère centrée sur O de rayon r :
On se place dans un repère sphérique de centre
r, donc
~ = Er (r) ~ur . On
E
ne dépend que de
donc
ZZ
−−→
q
Qint
q
q
OM
→
− −−→
→
−
~
u
=
E .d2 Σ = 4 π r2 Er (r) =
=
⇒ E (M ) =
r
ε0
ε0
4.π.ε0 r2
4.π.ε0 OM 3
Comme
−−→
→
−
E = −grad(V ),
∂V
q
q
q
~ur = −
~ur ⇒ V (M ) =
=
4.π.ε0 r2
∂r
4.π.ε0 r
4.π.ε0 OM
⇒
Les champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle
V (M ) =
q
4.π.ε0 OM
et
→
−
E (M ) =
q
en
O
sont
−−→
q
OM
4.π.ε0 OM 3
schéma
Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle
La gure 5 représente
les champ (en rouge) et potentiel (en bleu) électrostatiques créés par une charge
ponctuelle (positive à gauche et négative à droite).
Figure 5 Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle
exercice
9 Interaction entre deux charges ponctuelles
q en O.
O sur M .
On s'intéresse à une charge ponctuelle
B
B
B
B
Déterminer la force qu'exerce
Une autre charge ponctuelle
q0
se trouve en
M.
Déterminer l'énergie potentielle d'interaction entre les deux charges.
La force est
−−→
q q 0 OM
→
−
→
−
F O→M =
= q 0 E (M )
3
4.π.ε0 OM
La force dérive d'une énergie potentielle :
−−→
−−→
−−→
→
−
→
−
F O→M = −grad(Ep ) ⇒ q 0 E (M ) = −q 0 grad(V ) = −grad(Ep ) ⇒ Ep = q 0 V (M )
spé PC
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s'y retrouver
Principe de superposition
Comme les équations de Maxwell sont linéaires, pour déterminer le champ ou le potentiel électrostatiques
en
M
créés par plusieurs charges ponctuelles
V (M ) =
X
i
qi
Pi ,
positionnées en
qi
4.π.ε0 Pi M
X
→
−
E (M ) =
et
i
il sut de superposer les sources :
−−→
qi Pi M
4.π.ε0 Pi M 3
Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponctuelles
schéma
La gure 6 représente les lignes de champ (en rouge) créées par deux charges ponctuelles de même signe.
Le champ total
~ tot
E
est la superposition des champs
~1
E
et
~2
E
créés par chacune des deux charges :
~ tot = E
~1 + E
~2
E
Figure 6 Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponctuelles
2.
Atome
exercice
10 Modélisation de l'atome d'hydrogène
B Déterminer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène.
B
On peut modéliser le noyau de l'atome d'hydrogène par un proton ponctuel de charge
de Coulomb donne un ordre de grandeur pour une distance
→
−
k E (M )k ≈
r ≈ a0 = 0, 5Å
e
en
O.
Le champ
:
1, 6 × 10−19
e
11
=
V · m−1
2 = 6 × 10
4.π.ε0 .a20
4 × π × 8, 85 × 10−12 × (0, 5 × 10−10 )
s'y retrouver
Modèle de Thomson de l'atome
En 1904, JJ Thomson propose le modèle suivant de l'atome :
•
la charge positive
•
les électrons, ponctuels, de charge
spé PC
Q=Ze
de l'atome est répartie de façon uniforme dans une sphère de rayon
−e
R;
se déplacent à l'intérieur de cette sphère.
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◦
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11 Champ électrostatique dans le cadre du modèle de l'atome de Thomson
exercice
On se place dans le cadre du modèle de l'atome de Thomson.
B
B
B
Déterminer la densité volumique de la charge positive à l'intérieur de l'atome.
En déduire le champ créé par la charge positive à l'intérieur de l'atome.
La densité volumique de charge est :
Q
ρ=
~
O. La distribution de charge ne dépend que de r, donc E
~ = Er (r) ~ur . On applique le
O sont plans de symétrie donc E
O de rayon r :
B
On se place dans un repère sphérique de centre
et
V (r)
aussi. Tous les plans qui contiennent
théorème de Gauss sur une sphère centrée sur
4
3
3 πR
ZZ
ρ 4 πr3
ρ 43 πr3
ρr
Qint
→
−
→
− −−→
~ur =
= 3
⇒ E (M ) =
~ur
E .d2 Σ = 4 π r2 Er (r) =
2
ε0
ε0
4.π.ε0 r
3.ε0
donc
→
−
E (M ) =
Qr
~ur
4π.ε0 R3
exercice
12 Energie de constitution d'un noyau atomique
On modélise un noyau atomique par une boule uniformément chargée de charge
B
B
Déterminer la densité volumique de charge
ρ
Q
et de rayon
R.
du noyau.
On cherche à exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près (K sans
unité) par analyse dimensionnelle, sous la forme :
Enoyau = K
Déterminer
B
γ, α
et
1
4.π.ε0
γ
Qα Rβ
β.
Obtenir le préfacteur numérique
K
en construisant le noyau par adjonction progressive de charges
apportées de l'inni.
B
B
Justier la nécessité de l'interaction forte.
La densité volumique de charge est
ρ=
B
Q
4
3
3π R
=
3Q
4 π R3
Les unités des diérentes grandeurs sont :



h E = iq V ⇒ [Enoyau ] = C · V


1
−1
· m = V · C−1 · m
4.π.ε0 = F

[Q] = C



[R] = m
d'où le système :

 0=γ+β
1 = −γ + α

1=γ
Ainsi,
γ = 1, β = −1
et
α = 2,
soit
Enoyau =
B
Supposons que la sphère de rayon
r<R
K Q2
4.π.ε0 R
et de densité volumique
ρ=
3Q
4 π R3 donc de charge
q = ρ 34 π r3
ait
déjà été construite.
Pour faire croître
r
de
dr,
il s'agit de faire venir de l'inni la charge
dq = ρ 4 π r2 dr.
Ce faisant, le travail est
δW = dq (V (r) − V (∞)) = dq
spé PC
ρ 4 π r3
q(r)
= 3
ρ 4 π r2 dr
4.π.ε0 r
4.π.ε0 r
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Reste à intégrer pour trouver l'énergie de constitution du noyau :
r=R
Z
Enoyau =
r=0
4 ρ2 π 4
4 ρ2 π R 5
4 π 32 Q2 R5
3 Q2
r dr =
=
=
2
3 ε0
3 ε0 5
3 ε0 (4 π) R6 5
5 4.π.ε0 R
3
aussi K = .
5
B Comme cette énergie est positive, l'état où les nucléons sont dans le noyau est moins stable que lorsqu'ils
sont éloignés. Il y a donc une interaction qui stabilise le noyau : c'est l'interaction forte.
3.
Analogie avec la gravitation
Analogie entre champ gravitationnel et champ électrostatique
s'y retrouver
On peut faire l'analogie suivante :
0
q.q 0
ur ↔ F~g = G. m.m
ur
F~e = − 4.π.ε
2~
r2 ~
0 .r
q↔m
~ ↔A
~
E
−1
↔
G
4.π.ε0
→
−
div E =
L'analogue de
ρ
ε0 est :
RR →
→
− −−
E .d2 Σ =
L'analogue de →
−
div A = −4.π.G.µ
Qint
ε0 est :
ZZ
→
− −−→
A .d2 Σ = −4.π.G.Mint
qui serait une sorte de "théorème de Gauss pour la gravitation".
13 Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel
exercice
B
Montrer qu'en dehors d'un astre à symétrie sphérique, tout se passe comme si l'astre était ponctuel.
~ . Les plans (~ur , ~uθ ) et (~ur , ~uϕ ) sont plans de symétrie. Comme A
~ est un vrai
µ(r) ⇒ A(r)
~
vecteur, A = Ar .~
ur . En appliquant le théorème de Gauss pour une sphère de centre O et de rayon r ≥ RT , on
RR −−
→
~ d2 Σ = Ar (r).4.π.r2 = −4.π.G.MT ⇒
obtient : A.
B
Invariances :
~ = − G.MT ~ur
A
r2
Hors de l'astre (si r ≥ RT ), tout se passe
T
~ur = −m.g.~ur ⇒
r = RT , F~ = −G m.M
R2
eectivement comme si l'astre était ponctuel. En particulier, en
T
~ = RT ) = − G.MT ~ur
A(r
RT2
4.
Condensateur plan
exercice
14 Plan inni uniformément chargé en surface
On s'intéresse au plan
B
B
yOz
chargé uniformément en surface, de charge surfacique
Déterminer le champ électrostatique régnant dans l'espace.
~
x donc E(x)
et que les
part Ex (x) est une fonction
L'étude des symétries montre que la distribution de charges ne dépend que de
~ux sont plans
V (x) est paire.
plans contenant
impaire car
de symétrie pour
σ.
Donc
~ = Ex (x) ~ux .
E
On peut choisir comme surface de Gauss un cylindre d'axe
yOz
σ.
(terminé en
−x
et
+x)
Ox
D'autre
de surface
S,
symétrique par rapport au plan
:
ZZ
→
− −−→
E .d2 Σ = S Ex (x) − S Ex (−x) = 2 S Ex (x)
spé PC
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◦
9
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et
Qint
Sσ
σ
=
⇒ Ex (x) =
ε0
ε0
2 ε0
schéma
Condensateur plan
La gure 7 représente un condensateur plan constitué de deux plans parallèles (les armatures) portant
des densités supercielles de charges opposées et uniformes.
Figure 7 Condensateur plan
15 Champ électrique régnant dans un condensateur plan et capacité
exercice
~ =
B En partant du champ électrostatique créé par un plan inni uniformément chargé en surface E
(où ~
n est un vecteur unitaire qui s'écarte du plan), déduire le champ régnant entre les armatures
σ
n
2 0 ~
d'un
condensateur plan.
B
B
En déduire la capacité
C
du condensateur plan.
Le théorème de superposition donne :
~ = σ1 ~n1 + σ2 ~n2 = − σ ~ux + σ (−~ux ) = − σ ~ux
E
2 0
2 0
2 0
2 0
0
B
La diérence de potentiel entre les deux armatures est
Z
x=x0 +d
Z
x=x0
Or
U=
q
C
=
x=x0 +d
dV = −
U=
−
→
− →
E . d` = −
Z
x=x0
x=x0 +d
−
x=x0
Sσ
C , donc
C=
σ.d
σ
~ux .dx~ux =
0
0
0 S
d
16 Capacité du condensateur plan et densité volumique d'énergie électrostatique
exercice
0 S
σ
d et du champ électrostatique E = 0 qui
règne entre les armatures, déterminer la densité volumique d'énergie électrostatique dans l'espace entre
B
En partant de la capacité du condensateur plan
les armatures en fonction de
B
C =
E.
L'énergie du condensateur plan est
2
EC =
1
1 Q2
d (S σ)
d S E 2 20
0 E 2
C U2 =
=
=
= dS
2
2 C
2 0 S
2 0
2
la densité volumique d'énergie est donc
spé PC
eC = 12 0 E 2 .
page n
◦
10
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à retenir
Champ disruptif dans l'air
L'air est un isolant mais sous de fortes tensions, les électrons qui composent les atomes des molécules
de l'air sont littéralement arrachés à leur orbite de valence pour participer à la conduction électrique.
c'est le cas quand la foudre traverse l'atmosphère. La valeur du champ disruptif de l'air est :
3, 6 × 106 V · m−1
III1.
Dipôle électrostatique
Dénitions
dénition
Dipôle électrostatique :
Un dipôle est une distribution de charges
D,
de charge totale nulle où l'on a fait apparaître la distri-
bution des charges positives dont le barycentre est en
barycentre est en
N, N
et
P
P
et la distribution des charges positives dont le
étant distincts.
On modélisera le dipôle par un doublet constitué de deux charges opposées :
+q
en
P,
et
−q
en
N.
dénition
Moment dipolaire électrostatique :
Le moment dipolaire électrostatique en Coulomb mètre (C · m) est
−−→
→
−
p = +q.N P =
ZZZ
−−→
ρ (M ) .OM .d3 τ
M ∈D
où
O
est un point quelconque.
remarque
en chimie, l'unité est le debye (1
D=
1
3
−29
× 10
C · m).
Un exemple de dipôle : la molécule d'eau
schéma
La gure 8 représente une molécule d'eau (à gauche) et le moment dipolaire associé. A droite, la solvatation
d'un cation
N a+
par les molécules d'eau.
Figure 8 Un exemple de dipôle : la molécule d'eau
spé PC
page n
◦
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Polarisabilité
en absence de champ électrique extérieur,
Un champ électrique extérieur
→
−
E ext
→
−
−
p =→
p 0,
s'y retrouver
on parle de dipôle statique (qui peut être nul).
induit un moment dipolaire électrique
→
−
→
−
p induit = α. E ext
où
α
est
la polarisabilité.
Dans le cas général,
→
−
→
−
−
p ≈→
p 0 + α. E ext
18 Expression de la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thomson
exercice
On se place dans le cas du modèle de l'atome de Thomson. Le champ créé par la charge positive est
alors :
B
→
−
E (M ) =
Qr
~ur
4π.ε0 R3
Où se trouve la position d'équilibre d'un électron dans ce champ ? En déduire le moment dipolaire
p~0
de l'atome.
B
~ 0.
E
α de l'atome. Montrer que celle-ci et le volume de l'atome ont le même ordre
Reprendre les questions précédentes dans le cas où l'atome est plongé dans un champ extérieur
En déduire la polarisabilité
de grandeur.
B
La position d'équilibre d'un électron en absence de champ extérieur est en
p~0 = ~0.
en ~
r = r ~ur
O.
Aussi,
N
et
P
sont-ils
superposés : le moment dipolaire de l'atome est nul :
B
Dans un champ extérieur
~ 0,
E
l'électron se trouve
~0 − e
−e E
aussi
tel que
Qr
~ur = ~0
4π.ε0 R3
4π.ε0 R3 ~
−−→
ON = r ~ur = −
E0
Q
donc le moment dipolaire de l'atome est :
−−→
−−→
~0
p~ = Q N P = −Q ON = 4π.ε0 R3 E
aussi
spé PC
4
→
−
p~ = α. E 0 ⇒ α = 4π.ε0 R3 ≈ π.ε0 R3
3
page n
◦
12
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2.
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Dipôle électrostatique actif
Approximation dipolaire :
on considère un dipôle électrostatique de moment
repère sphérique (d'axe
(Oz),
suivant
−−→
→
−
p = +q.N P ,
dénition
présent autour de
O,
origine d'un
p~).
L'approximation dipolaire, c'est d'observer le champ créé par ce dipôle, en un point
M , loin du dipôle,
c'est à dire :
OM = r N P
19 Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire
théorème
On peut utiliser la superposition des potentiels :
V (M ) =
X
i
or
qi
+q
q
+q
=
−
=
4.π.ε0 Pi M
4.π.ε0 P M
4.π.ε0 N M
4.π.ε0
1
1
−
PM
NM
1/2 −−→2 1/2
−−→ −−→ 2
−−→ −−→ 1/2
PM = PM
=
P O + OM
= OP 2 + OM 2 + 2 P O · OM
soit
−−→
PO
1+2
OM
1
1
=
PM
OM
Un développement limité en
2 !−1/2
−−→ OM
OP
·
+
OM
OM
OP
OM donne :
1
1
≈
PM
OM
−−→
PO
1−
OM
−−→ !
OM
·
OM
1
1
≈
NM
OM
−−→
NO
1−
OM
−−→ !
OM
·
OM
De même
Donc
+q
V (M ) =
4.π.ε0 OM
−−→
PO
−
OM
−−→
−−→
OM
NO
·
+
OM
OM
−−→ !
−−→ −−→
OM
+q N P · OM
·
=
OM
4.π.ε0 OM 3
⇒
Dans le cadre de l'approximation dipolaire, le potentiel scalaire
V (M ) =
V (M )
créé en
M
par le dipôle est
p~.~ur
p. cos θ
=
4.π.ε0 .r2
4.π.ε0 .r2
Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique.
schéma
La gure 9 représente les surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique.
spé PC
page n
◦
13
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Figure 9 Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique.
Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire
retenir
Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique
→
−
E (M )
créé en
M
à
par
le dipôle sont

2.p. cos θ
 Er = 4.π.ε0 .r3
→
−
p. sin θ
E =
E = 4.π.ε
3
0 .r
 θ
Eϕ = 0
Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par
un dipôle électrostatique.
schéma
La gure 10 représente quelques lignes de champ électrostatique (en continu) et traces (en pointillé) des
surfaces isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique vues dans un
plan
ϕ = cste.
Figure 10 Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique.
spé PC
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14
Janson de Sailly
physique
3.
année scolaire 2014/2015
Dipôle électrostatique passif
théorème
21 Energie potentielle ressentie par un dipôle électrostatique :
ep = q.Vext . Donc pour toute
ZZZ
Ep =
ρ(Ω).Vext (Ω) .d3 τ
L'énergie potentielle de chaque charge est
la distribution
Ω∈D
−−→ −→
Vext (Ω) ≈ Vext (O) + gradV.OΩ donc
ZZZ
ZZZ
~ ext .
Ep = Vext (O) .
ρ(Ω).d3 τ − E
Or, au premier ordre,
Ω∈D
−→
ρ(Ω).OΩ.d3 τ
Ω∈D
⇒
L'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle de moment dipolaire
rieur
→
−
E ext
→
−
p
avec un champ électrique exté-
est
~ ext
Ep = −~
p.E
théorème
22 Moment ressenti par un dipôle électrostatique :
Le moment en
O
de la force exercée sur chaque charge est
distribution
~O =
M
ZZZ
→
~O = −
~ ext .
M
OΩ ∧ q.E
Donc pour toute la
−→
~ ext .d3 τ
OΩ ∧ ρ(Ω).E
Ω∈D
Or, en considérant
~ ext
E
constant
~O =
M
Z Z Z
−→
3
~ ext
OΩ.ρ(Ω).d τ ∧ E
Ω∈D
⇒
Le moment de l'action exercée par un champ électrique extérieur
→
−
p
→
−
E ext sur un dipôle de moment dipolaire
est
~ O = p~ ∧ E
~ ext
M
Eet d'un champ électrostatique sur un dipôle électrostatique :
la résultante de l'action exercée par un champ électrique extérieur
→
−
p
est
s'y retrouver
~ ext sur un dipôle de moment dipolaire
E
−−→ ~
F~ = grad(~
p.Eext )
La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intense.
Dans le cas d'un champ électrique homogène, le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique.
schéma
Solvatation des ions dans un solvant polaire
La gure 11 représente un ion qui crée un champ électrostatique dans lequel les molécules de solvant
polaire viennent s'aligner, et les attire. La présence des molécules de solvant tend à écranter (masquer) la
charge de l'ion. Ce phénomène s'appelle la solvatation des ions.
s'y retrouver
Forces de Van der Waals
Les forces de Van der Waals entre deux molécules polaires varient comme
r−7 ,
où
r
est la distance qui
les sépare. Elles sont de diérents types :
•
les forces de Keesom entre dipôles permanents ;
•
les forces de Debye entre dipôle permanent et dipôle induit ;
•
les forces de London entre dipôles induits.
spé PC
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15
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Figure 11 Solvatation des ions dans un solvant polaire
Eet d'un champ électrostatique sur un let d'eau
vidéo
On peut mettre en évidence l'attraction exercée par un champ électrostatique sur des dipôles par exemple
en déviant un let d'eau ou en attirant des morceaux de papier.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
spé PC
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Technique à maîtriser
jeudi 16 janvier 2015
I1.
Les capacités exigibles
Propriétés du champ électrostatique
capacités
ce qu'il faut savoir faire
Associer la circulation de
~
E
au travail de la force
~.
qE
Utiliser le théorème de Stokes. Associer les propriétés locales
−−→
−gradV .
Associer la relation
−→
~ = −−
E
gradV
−→ ~
rotE = ~0
dans tout l'espace et
~ =
E
au fait que les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équi-
potentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants.
Justier qu'une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d'un champ électrostatique ; repérer
d'éventuelles sources du champ et leur signe. Associer l'évolution de la norme de
~
E
à l'évasement des
tubes de champ loin des sources.
Déduire les lignes équipotentielles d'une carte de champ électrostatique, et réciproquement.
Évaluer le champ électrique à partir d'un réseau de lignes équipotentielles.
2.
Calculs de champs électrostatiques
capacités
ce qu'il faut savoir faire
Exploiter les propriétés de symétrie des sources (translation, rotation, symétrie plane, conjugaison de
charges) pour prévoir des propriétés du champ créé. Choisir une surface adaptée et utiliser le théorème
de Gauss.
Établir l'expression du champ créé par un plan inni uniformément chargé en surface et par un condensateur plan. Déterminer la capacité du condensateur plan.
Citer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène. Citer
l'ordre de grandeur du champ disruptif dans l'air.
Associer l'énergie d'un condensateur apparue en électrocinétique à une densité volumique d'énergie.
Exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près par analyse dimensionnelle.
Obtenir le préfacteur numérique en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l'inni. Relier les ordres de grandeur mis en jeu : rayons et énergies. Justier la nécessité de
l'interaction forte.
Mettre en évidence les analogies formelles entre les forces électrostatique et gravitationnelle pour en
déduire l'analogie des propriétés des champs.
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17
Janson de Sailly
physique
3.
année scolaire 2014/2015
Dipôles électrostatiques
capacités
ce qu'il faut savoir faire
Décrire les conditions de l'approximation dipolaire.
Établir l'expression du potentiel
V . Comparer la décroissance avec la distance du champ et du potentiel
dans le cas d'une charge ponctuelle et dans le cas d'un dipôle. Tracer l'allure des lignes de champ.
Utiliser les expressions fournies pour le dipôle de l'énergie potentielle
moment
Ep ,
de la résultante
F~
et du
~.
M
Prévoir qualitativement l'évolution d'un dipôle dans un champ d'origine extérieure
~.
E
Expliquer qualitativement la solvatation des ions dans un solvant polaire. Expliquer qualitativement
pourquoi l'énergie d'interaction entre deux molécules polaires n'est pas en
1/r3 .
Exprimer la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thomson. Associer la polarisabilité et le
volume de l'atome en ordre de grandeur.
II1.
Méthodes
Propriétés du champ électrostatique
A) Quelles sont les propriétés des lignes de champ électrostatique ?
méthode
Les lignes de champ électrostatique sont ouvertes.
Elles sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et vont des charges positives vers les charges négatives
(et vers les potentiels décroissants).
B) Quelles sont les propriétés de symétrie du champ électrostatique ?
Les plans de symétrie pour
ρ
sont des plans de symétrie pour
Les plans d'antisymétrie pour
Le champ
2.
~
E
ρ
méthode
~.
E
sont des plans d'antisymétrie pour
~ .
EE
est orthogonal aux plans d'antisymétrie et appartient aux plans de symétrie de
ρj .
Calculs de champs électrostatiques
C) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distribution
discrète de charges ?
méthode
Il faut superposer le champ de Coulomb de chacune des charges
X
→
−
E (M ) =
i
−−→
q i Pi M
4.π.ε0 Pi M 3
D) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distribution
continue de charges ?
méthode
Il faut utiliser les symétries (s'il y en a assez) puis le théorème de Gauss en choisissant une surface
fermée qui vérie les symétries.
spé PC
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Janson de Sailly
physique
3.
année scolaire 2014/2015
Dipôles électrostatiques
méthode
E) Utiliser les dipôles électrostatiques
Le moment dipolaire électrique est
−−→
p~ = q.N P
où
N
est le barycentre des charges négatives et
P
celui
des charges positives.
Un tel dipôle ressent le moment
~ O = p~ ∧ E
~ ext
M
et a l'énergie potentielle
~ ext .
Ep = −~
p.E
La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intense
et le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique.
III1.
Exercices
Propriétés du champ électrostatique
1.1) Propriétés des lignes de champ électrostatique
Les lignes de champ électrostatique sont-elles ouvertes ou fermées ?
Les lignes de champ électrostatique sont ouvertes. En eet, elles ne peuvent être fermées car le champ
électrostatique dérive d'un potentiel et ce potentiel décroît strictement le long d'une ligne de champ.
1.2) Plan de symétrie d'une distribution de charge
Le plan
M0
1)
Π est un plan de symétrie d'une distribution de charge. Le point
M par rapport à Π.
est le symétrique du point
Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au point
M 0.
Les plans de symétrie pour
ρ
sont des plans de symétrie pour
~.
E
1.3) Plan d'antisymétrie d'une distribution de charge
Π est un plan d'antisymétrie d'une distribution de
M 0 est le symétrique du point M par rapport à Π.
Le plan
point
1)
charge. Le
Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au point
M 0.
Les plans d'antisymétrie pour
spé PC
ρ
sont des plans d'antisymétrie pour
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◦
19
~.
E
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
1.4) Symétries d'un cerceau chargé linéiquement
On considère un cercle d'axe
Oz
chargé linéiquement
donne le champ électrostatique en
1)
•
Les plans de symétrie pour
λ
et en
λ.
On
P.
Représenter le champ électrostatique
en
M0
0
•
en
P
•
en
Q
•
et en
symétrique de
symétrique de
symétrique de
Q0
M
P
P
symétrique de
par rapport au plan du cercle,
par rapport à l'axe,
par rapport au plan du cercle,
Q
par rapport à l'axe.
(comme le plan qui contient le cercle ou les plans qui contiennent l'axe du
cercle) sont des plans de symétrie pour
spé PC
M
~.
E
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20
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
1.5) Sont-ce des lignes de champ électrostatique ?
On
considère
les
lignes
de champ des diérentes
congurations
On
à
supposera
gauche.
la
gure
invariante par translation
perpendiculaire au plan du
dessin.
1)
Préciser dans chaque
cas
s'il
peut
s'agir
d'un
champ électrostatique, et
si oui, si des charges sont
présentes dans la région représentée.
•
Le champ représenté en (a) est un champ uniforme. Un champ uniforme est bien de rotationnel nul, il
peut donc être de nature électrostatique. Sa divergence est nulle aussi, il n'y a donc pas de charges dans
la région région représentée (d'après l'équation de Maxwell-Gauss).
•
Dans le cas (b), on peut mettre en évidence un contour (cercle) le long duquel la circulation n'est pas
nulle, le champ ne pourra pas être un champ électrostatique.
•
Dans le cas (c) le champ est de la forme
~ = Er (r) ~ur
E
en coordonnées cylindriques. Un tel champ diverge
mais ne tourne pas, il peut donc être de nature électrostatique. Les lignes de champ divergent à partir
d'un point, il y a donc des charges en ce point-là.
•
Le cas (d) correspond à un champ de la forme :
~ = Ex (x) ~ux .
E
Son rotationnel est nul, il peut donc être
de nature électrostatique. Sa divergence n'est pas nulle : il y a donc des charges dans la région région
représentée.
•
Dans le cas (e), on peut mettre en évidence un contour le long duquel la circulation n'est pas nulle, le
champ ne pourra pas être un champ électrostatique.
•
Dans le cas (f ) le champ est de la forme
~ = Er (r) ~ur
E
en coordonnées cylindriques. Un tel champ diverge
maïs ne tourne pas, il peut donc être de nature électrostatique. Les lignes de champ divergent à partir
d'un point, il y a donc des charges en ce point-là.
1.6) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de deux charges ponctuelles
On considère une distribution de deux charges ponctuelles
(repérées
par
des
points rouges).
Sur
les
gures
ci-contre
sont représentées les lignes
de champ et les équipotentielles correspondant à
cette distribution.
1)
Repérer, en le justi-
ant la carte des lignes de
champ et celle des équipotentielles.
2)
Les sources de champ
ont-elles des signes opposés
ou égaux ?
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
1)
Les lignes isopotentielles sont à gauche et les lignes de champ à droite (car les lignes de champ
électrostatiques ne peuvent être fermées).
2)
Puisque les lignes de champ ne vont pas d'une charge à l'autre, celles-ci sont de même signe.
1.7) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de cinq charges ponctuelles
On considère une distribution de cinq charges ponctuelles
(repérées
par
des
points).
Sur
les
gures
a,b
et
c
ci-contre sont représentées
des lignes de champ et sur
les gure z,y et x des équipotentielles.
1)
Associer,
en
le
jus-
tiant, chaque représentation de lignes de champ à
une représentation d'équipotentielles.
2)
Repérer sur chaque dis-
tribution les signes opposés ou égaux des charges.
1)
Les lignes de champ vont d'une charge positive vers une charge négative et elles sont orthogonales
aux lignes isopotentielles.
Sur b et x la charge centrale est de signe opposé aux autres charges.
Sur a et y, la charge centrale est de même signe que les autres charges.
Sur c et z, la charge centrale est de même signe que deux des autres charges.
2)
2.
Les charges de signes identiques sont de couleurs identiques.
Calculs de champs électrostatiques
2.8) Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique
On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe
(Oz),
de charge (le cylindre de rayon
R
est uni-
formément chargé).
1)
En déduire les symétries (en statique) de
1)
B ρ(r),
de plans de symétrie
(~ur , ~uθ ),
V
et
et
~.
E
(~ur , ~uz ).
Donc
V (r)
et
~ = Er (r).~ur .
E
2.9) Quatre charges ponctuelles
spé PC
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22
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Soit quatre charges ponctuelles disposées au sommet d'un carré d'axes
longueur de la diagonale est
1)
2a
Calculer le potentiel en
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
1)
Ox
et
Oy ,
de centre
O
dont la
.
O
ainsi que le champ
~
E
dans les cas où les charges sont les suivantes :
q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = +e.
q − √a2 , + √a2 = −e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = −e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
On trouve grâce au théorème de superposition :
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
~ 0) = ~0.
E(0,
~ 0) = ~0.
V (0, 0) = 0 et E(0,
~
V (0, 0) = 0 et E(0, 0) = √ e
V (0, 0) =
e
π.ε0 .a et
V (0, 0) =
e
2.π.ε0 .a et
~u .
2.π.ε0 .a2 x
√ e
2. 2.π.ε0 .a2
~ 0) =
E(0,
(~ux − ~uy ).
2.10) Utilisation des potentiels retardés en électrostatique
On donne le potentiel scalaire
V (M )
créé en
V (M, t) =
M
1
.
4.π.ε0
par
ZZZ
D,
une distribution de charges
ρ
d'extension nie,
ρ(P, t − P cM ) 3
d τ
PM
P ∈D
(la formule des potentiels retardés)
1)
2)
Que devient cette formule dans le cas électrostatique ?
En déduire l'expression du champ électrostatique.
1)
ρ(P, t − P cM ) 3
1
d τ=
.
PM
4.π.ε0
P ∈D
RRR
−−→
−−→
−
ρ(P )
1
2) →
E (M ) = −gradM (V ) = − 4.π.ε
.
grad
d3 τ
M
P ∈D
0
−−→ P M
−−→
−−→
)
. Donc
gradM ρ(P
= ρ(P )gradM P1M = ρ(P ) −PPMM
3
PM
V (M, t) =
Or
1
.
4.π.ε0
ZZZ
→
−
E (M ) =
1
.
4.π.ε0
ZZZ
P ∈D
ZZZ
P ∈D
ρ(P ) 3
d τ
PM
−−→
ρ(P ).P M 3
d τ
PM3
2.11) Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé
On considère une distribution linéique de charge, de densité
de rayon
1)
2)
3)
λ,
uniforme sur le cercle de centre
O,
d'axe
Oz ,
R.
Déterminer les symétries de cette répartition de charge :
1.a)
1.b)
1.c)
invariances ;
plans de symétrie ;
plans d'antisymétrie.
~
E
(Oz) ;
l'axe (Oz), en z = 0.
En déduire les symétries de
2.a)
2.b)
:
sur l'axe
sur
Calculer le champ électrostatique créé en un point
1)
Symétries dans un repère cylindrique d'axe
1.a)
M
(Oz)
de l'axe
Oz ,
de coordonnée
z.
:
la distribution de charge est invariante par rotation de
θ
:
ρ(r, z)
uniquement (symétrie cylin-
drique) ;
spé PC
page n
◦
23
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
1.b)
le plan
de symétrie : plans
2)
3)
1.c)
(xOy) est plan de
(M, ~ur , ~uz ) ∀M .
(O, ~ur , ~uθ )
symétrie : plan
et tous les plans contenant
(Oz)
sont plans
Enn, il n'y a pas de plans d'antisymétrie.
~ :
E
~ uz .
2.a) Sur l'axe (Oz), E//~
2.b) Sur l'axe (Oz), en z = 0
z
~ = λ.R
E
uz .
3 ~
2.ε0 2
2
Symétries de
~ = ~0.
(xOy)), E
(plan
(z +R ) 2
2.12) Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé
λ
On considère une distribution linéique de charge innie de densité
1)
2)
3)
sur l'axe
Oz .
Etudier les symétries :
1.a)
1.b)
1.c)
invariances de cette répartition de charge ;
plans de symétrie et d'antisymétrie de cette répartition de charge ;
en déduire les symétries de
~.
E
Calculer le champ électrostatique créé en un point
M
à la distance
r
de l'axe
Oz .
Potentiel électrostatique :
3.a)
3.b)
1)
En déduire le potentiel électrostatique créé en un point
Peut-on prendre
V =0
Symétries dans un repère cylindrique d'axe
1.a)
M
à la distance
r
de l'axe
Oz .
à l'inni ?
(Oz)
:
la distribution de charge est invariante par rotation de
θ
et translation de
z
:
ρ(r)
uniquement
(symétrie circulaire) ;
1.b)
tous les plans orthogonaux à
(Oz) sont plans
~ ur .
1.c) E//~
λ
~
E = 2.π.ε
~ur .
0 .r
contenant
2)
3)
(Oz) sont plans de symétrie : plans (M, ~ur , ~uθ ) ∀M et tous les plans
(M, ~ur , ~uz ) ∀M . Enn, il n'y a pas de plans d'antisymétrie.
de symétrie : plans
Potentiel :
3.a)
3.b)
−λ
V (r) = 2.π.ε
ln rr0 .
0
r0 → ∞ pose un problème
mathématique (en fait la distribution est innie, aussi, on ne peut
pas choisir le potentiel nul à l'inni).
2.13) Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée
On considère une distribution surfacique de charge uniforme
centre
1)
2)
O,
de rayon
σ
sur une demi-sphère (dans l'espace
z > 0)
de
R.
Déterminer les symétries de cette répartition de charge :
1.a)
1.b)
1.c)
invariances ;
plans de symétrie ;
plans d'antisymétrie.
Champ électrostatique :
2.a)
2.b)
1)
2)
En déduire les symétries de
~
E
en
O.
Calculer le champ électrostatique créé en
O.
Symétries dans un repère sphérique de centre
1.a)
1.b)
1.c)
O
:
la distribution de charge est invariante par rotation de
tous les plans contenant
(Oz)
Enn, il n'y a pas de plans d'antisymétrie.
Champ électrostatique :
2.a)
2.b)
~ uz .
E//~
~ = − σ ~uz .
E
4.ε0
2.14) Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle
de centre
spé PC
ϕ : ρ(r, θ) uniquement ;
(M, ~ur , ~uθ ) ∀M .
sont plans de symétrie : plans
q
en
O
crée un potentiel scalaire
V (M ) =
O.
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24
q
4.π.ε0 .r exprimé dans le repère sphérique
Janson de Sailly
physique
1)
2)
année scolaire 2014/2015
Ce potentiel vérie-t-il bien l'équation de Poisson ?
~
E(M
)
En déduire le champ électrique
1)
créé en
Calculons le laplacien en sphérique
∆V =
M.
1
∂
r 2 .sin(θ) ∂r
r2 .sin(θ) ∂V
∂r
∂
∆V = 4.π.εq0 .r2 ∂r
(−1) = 0. Dans le vide (sauf en O), la densité
ρ
bien ∆V = −
=
0
.
ε0
~
~
~
ur , soit : E(M
) = 4.π.εq0 .r2 ~ur .
2) E(M
) = −grad(V
) = − dV
dr ~
d'où
soit
∆V =
q
∂
4.π.ε0 .r 2 ∂r
∂1
r2 ∂rr
volumique de charge étant nulle, on a
2.15) Deux condensateurs en série
Un générateur parfait impose une diérence de potentiel
série, de capacités respectives
1)
2)
C1 = 10µF
et
U = 12V
aux bornes de deux condensateurs en
C2 = 80µF .
Calculer les tensions respectives aux bornes des deux condensateurs :
1.a)
1.b)
u1 ;
et u2 .
Calculer les énergies stockées respectivement dans les deux condensateurs :
2.a)
2.b)
1)
2)
E1 ;
et E2 .
Tensions respectives aux bornes des deux condensateurs :
1.a)
1.b)
.U
= 11V ;
u1 = CC12+C
2
C1 .U
et u2 =
C1 +C2 = 1, 3V .
Energies stockées respectivement dans les deux condensateurs :
2.a)
2.b)
2
2
1 C1 .C2 .U
2 (C1 +C2 )2 =
2
2
1 C1 .C2 .U
et E2 =
2 (C1 +C2 )2
E1 =
0, 57mJ ;
= 71µJ .
2.16) Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique
On assimile le noyau d'un atome à une sphère uniformément chargée, de centre
1)
2)
O,
de rayon
R,
de charge
Q.
Généralités :
1.a)
1.b)
Établir l'expression du champ électrostatique
En déduire le potentiel
V
~
E
produit par le noyau en un point quelconque
en un point quelconque, en choisissant
V =0
M.
à l'inni.
Application :
Z = 56 et R = 6, 3f m. On donne la charge électronique e = 1, 6.10−19 C
permittivité du vide ε0 = 8, 85.10
F.m−1 . Que vaut le champ
2.a) au voisinage du noyau : r = 2R ?
2.b) à la périphérie de l'atome : r = 1, 0.10−10 m ?
On considère un noyau de baryum :
et la
−12
1)
2)
Généralités :
1.a)
1.b)
Si
~ =
r>R:E
Si
r>R:V =
Q
~ = Q.r 3 ~ur .
ur et si r < R : E
4.π.ε0 .r 2 ~
4.π.ε0
.R
Q
Q
r 2
et si r < R : V =
3
−
.
4.π.ε0 .r
8.π.ε0 .R
R
Application :
2.a)
2.b)
~
r = 2R, E
= 5, 1.1020 V.m−1 et V = 6, 4.106 V
~
l'atome : E
= 8, 1.1012 V.m−1 et V = 0, 81kV .
au voisinage du noyau :
à la périphérie de
;
2.17) Détermination de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel
1) Faire une analogie formelle entre le champ électrique créé par une charge ponctuelle et l'attraction créée
par une masse ponctuelle.
2)
3)
spé PC
Grâce à cette analogie, énoncer la loi locale que vérie le champ d'attraction gravitationnel
Enoncer un théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel
page n
◦
25
~.
A
~ .
A
Janson de Sailly
physique
1)
année scolaire 2014/2015
L'analogie est la suivante :
0
q.q 0
F~e = − 4.π.ε
ur ↔ F~g = G. m.m
ur
2~
r2 ~
0 .r
q↔m
~ ↔A
~
E
−1
4.π.ε0 ↔ G
→
−
div E =
2)
L'analogue de
3)
L'analogue de ρ
ε0 est :
RR →
→
− −−
E .d2 Σ =
→
−
div A = −4.π.G.µ
Qint
ε0 est :
ZZ
→
− −−→
A .d2 Σ = −4.π.G.Mint
2.18) Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel
On considère un astre (la Terre par exemple), qu'on assimile à une sphère de rayon
masse volumique est à symétrie sphérique :
1)
2)
3)
Grâce aux symétries de
µ,
µ
ne dépend que de
R
et de centre
O.
Sa
r.
déduire la forme qualitative du champ gravitationnel
Appliquer le théorème de Gauss pour connaître quantitativement
~
A
créé par l'astre.
~.
A
Montrer que, hors de l'astre, tout se passe comme si l'astre était ponctuel .
1)
Invariances :
vecteur,
2)
~ . Les plans (~ur , ~uθ ) et (~ur , ~uϕ ) sont plans de symétrie. Comme A
~ est un vrai
µ(r) ⇒ A(r)
~ = Ar .~ur .
A
En appliquant le théorème de Gauss pour une sphère de centre
RR −−
→
~ d2 Σ = Ar (r).4.π.r2 = −4.π.G.MT ⇒
A.
O
et de rayon
r ≥ RT ,
on obtient :
~ = − G.MT ~ur
A
r2
3) Hors de l'astre (si r ≥ RT ), tout se passe eectivement comme si l'astre était ponctuel. En particulier,
T
r = RT , F~ = −G m.M
~ur = −m.g.~ur ⇒
R2
en
T
~ = RT ) = − G.MT ~ur
A(r
RT2
3.
Dipôles électrostatiques
3.19) Invariance de la dénition du moment dipolaire
RRR
−→
1) Montrer que la dénition du moment dipolaire M ∈D ρ (M ) .−
OM .d3 τ
ne dépend pas du choix du point
O.
RRR
RRR
−−−→
−−→
−−→
ρ (M ) .O0 M .d3 τ
=
ρ (M ) .O0 O.d3 τ +
ρ (M ) .OM .d3 τ
M ∈D
M ∈D
RRR
RRR
−−→
ρ (M ) .O M .d3 τ = M ∈D ρ (M ) .OM .d3 τ puisque la charge totale est nulle (cqfd).
M ∈D
1)
RRR
M ∈D
−−0−→
donc
3.20) Equation des surfaces équipotentielles créées par un dipôle électrostatique dans l'approximation dipolaire
On rappelle que le potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire est
V (M ) =
1)
spé PC
p. cos θ
p~.~ur
=
2
4.π.ε0 .r
4.π.ε0 .r2
Montrer que l'équation des surfaces équipotentielles est :
page n
◦
26
r2 = k. cos θ.
Janson de Sailly
physique
1)
année scolaire 2014/2015
V (M ) =
p. cos θ
4.π.ε0 .r 2
= cste
ssi
cos θ
r2
= cste0 .
(cqfd).
3.21) Equation des lignes de champ créées par un dipôle électrostatique dans l'approximation
dipolaire
Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique
→
−
E (M )
créé en
M
par le
dipôle sont

2.p. cos θ
 Er = 4.π.ε0 .r3
3 (~
p.~ur ) .~ur − p~
→
−
p. sin θ
⇔
E =
E = 4.π.ε
3
0 .r
 θ
4.π.ε0 .r3
Eϕ = 0
1)
r = k 0 . sin2 θ.
Montrer que l'équation des lignes de champ est :
1)
On cherche
−
~ = k.→
E
d` = k. (dr.~ur + r.dθ.~uθ ),
(
soit
2.p. cos θ
4.π.ε0 .r 3 = k.dr
p. sin θ
4.π.ε0 .r 3 = k.r.dθ
qui donne
dr
r
dθ
= 2 tan
θ
qui s'intègre en
ln
r
r0
= 2. ln
sin θ
sin θ0
3.22) Dipôle de la molécule d'eau
Dans la molécule d'eau
O−H
vaut
chaque
H
1)
H2 O,
θ = 104, 30◦ .
porte une charge
Exprimer le moment
1.a)
1.b)
1)
la distance
O−H
est
a = 97pm
et l'angle que font entre elles les deux liaisons
D'autre part, l'oxygène étant plus électronégatif que l'hydrogène, on suppose que
e = 1, 6.10−19 C est la charge
dipolaire p0 de la molécule d'eau
+ 3e ,
où
électronique fondamentale.
dans les unités du système international ;
en debye.
1.a)
1.b)
p0 = 0, 63.10−29 C.m
p0 = 1, 9D.
p0 = 2. 3e .a. cos
θ
2 , soit :
dans les unités du système international ;
Le moment dipolaire de la molécule d'eau est
3.23) Orientation d'un dipôle dans un champ électrostatique extérieur
1) Montrer en traçant Ep (θ), où θ = E~ ext , p~ que le moment tend à aligner
parallèlement le dipôle
électrostatique au champ électrostatique.
2)
Montrer que la position d'équilibre stable correspond à
1)
2)
p~
dans le même sens que
~ ext .
E
Ep (θ) = −p.Eext . cos θ.
Minimum de l'énergie potentielle pour
θ = 0.
3.24) Interaction dipôle-dipôle
p~1 et p~2 . Le premier est xe en O,
(O, ~uz ), parallèle à son moment dipolaire : p~1 = p1 .~uz .
r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle
On étudie deux dipôles électrostatiques de moments dipolaires respectifs
centre d'un repère sphérique d'axe polaire
Le second dipole est placé en
α = (~uz , p~2 ),
1)
qui peut varier.
Exprimer l'énergie potentielle
Ep (α)
d'intéraction du second dipole avec le champ électrostatique créé
par le premier dipole.
2)
3)
Que doit vérier
3.a)
3.b)
3.c)
3.d)
spé PC
tan(θ − α)
α si
à l'équilibre stable ?
Application : que vaut
θ = 0;
θ = π4 ;
θ = π2 ;
θ = π.
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◦
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physique
1)
2)
3)
année scolaire 2014/2015
−p1 .p2
Ep (α) = 4.π.ε
3 [2. cos(θ). cos(θ − α) − sin(θ). sin(θ − α)].
0 .r
tan(θ − α) = 21 tan(θ) à l'équilibre stable.
Application :
3.a)
3.b)
3.c)
3.d)
θ = 0 ⇒ α = 0;
θ = π4 ⇒ α = 18◦ ;
θ = π2 ⇒ α = 0 ;
θ = π ⇒ α = 0.
3.25) Dipôle de l'atome d'hydrogène
+e = 1, 6.10−19 C )
ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 .
et d'un
On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air :
Eext =
On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé
électron (chargé
1)
Calculer
1.a)
1.b)
1.c)
dans les unités du système international ;
en
3)
On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante.
Calculer
2.a)
2.b)
eV .
Cela vous rappelle-t-il quelque chose ?
3.106 V.cm−1 .
2)
−e, placé à la distance a = 0, 10nm du noyau). On donne
Wpropre , l'énergie électrostatique propre de ce doublet :
Wext ,
en
eV .
Wext
Comparer
1)
2)
3)
l'énergie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur :
dans les unités du système international ;
et
Wpropre .
e2
4.π.ε0 .a soit
dans les unités du système international ;
Energie électrostatique propre de ce doublet :
1.a)
1.b)
1.c)
Wpropre = 2, 3.10−18 J
Wpropre = 14eV .
Wpropre =
C'est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.
Energie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur :
2.a)
2.b)
Wext = 4, 8.10−18 J
Wext = 30meV .
Wext Wpropre .
Wext = e.a.Eext ,
soit
dans les unités du système international ;
3.26) Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire
1) Démontrer que le potentiel électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est :
V (M ) =
1.a)
1.b)
1)
p. cos θ
p~.~ur
=
4.π.ε0 .r2
4.π.ε0 .r2
pour un doublet ;
pour un dipôle quelconque.
1.a)
pour un doublet : le potentiel est la superposition des deux potentiels de Coulomb :
−q
+q
+
4.π.ε0 .N M
4.π.ε0 .P M
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2
OM
ON
2
2
2
Or N M = N O + OM
≈ OM . 1 − 2 OM . OM = r . 1 − 2~ur . ON
r
−−→ −−→ 1
ON . De la même façon, 1 ≈ r−1 . 1 + ~u . OP .
−1
≈
r
.
1
+
~
u
.
Donc
r
r
NM
r
PM
r
V (M ) =
"
−−→ !
q
ON
V (M ) =
− 1 + ~ur .
+
4.π.ε0 .r
r
Donc
−−→ !#
−−→
OP
q~ur .N P
1 + ~ur .
=
r
4.π.ε0 .r2
(cqfd)
spé PC
page n
◦
28
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
1.b)
pour un dipôle quelconque :
ZZZ
1
ρ(Ω) 3
.
d τ
4.π.ε0
Ω∈D ΩM
−→ −−→ −→ −→ −−→ 2
OΩ = r2 . 1 − 2~u . OΩ
2
Or ΩM = ΩO + OM
.
≈ OM 2 . 1 − 2 OM
r r
OM OM
−→ 1
−1
. 1 + ~ur . OΩ
Donc
ΩM ≈ r
r
V (M ) =
1
V (M ) =
.
4.π.ε0 .r
V (M ) =
1
.
4.π.ε0 .r
ZZZ
ZZZ
−→ !
OΩ
d3 τ
ρ(Ω) 1 + ~ur .
r
Ω∈D
ρ(Ω)d3 τ +
Ω∈D
1
~ur .
4.π.ε0 .r2
ZZZ
−→
ρ(Ω).OΩd3 τ
Ω∈D
La première intégrale est nulle (la charge globale est nulle), et la seconde intégrale est le moment dipolaire.
(cqfd)
3.27) Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire
1) Démontrer que le champ électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est :
3 (~
p.~ur ) .~ur − p~
→
−
E =
4.π.ε0 .r3
On placera le dipôle en
2)
O,
origine d'un repère sphérique (d'axe
(Oz),
suivant
p~).
En déduire que

2.p. cos θ
 Er = 4.π.ε0 .r3
p. sin θ
E = 4.π.ε
3
0 .r
 θ
Eϕ = 0
1)
On va partir de la formule du potentiel
−−→
→
−
E (M ) = gradM
p. cos θ
−
4.π.ε0 .r2
−p −−→
=
grad
4.π.ε0
cos θ
r2
soit en sphérique :

 Er =
→
−
E =
E =
 θ
2)
p~ = p. (cos θ~ur − sin θ~uθ )
et
−p −2. cos θ
4.π.ε0
r3
−p 1 − sin θ
4.π.ε0 r r 2
=
=
2.p. cos θ
4.π.ε0 .r 3
p. sin θ
4.π.ε0 .r 3
Eϕ = 0
3 (~
p.~ur ) .~ur = 3.p. cos θ.~ur ,
donc
3 (~
p.~ur ) .~ur − p~ = 2.p. cos θ.~ur + p. sin θ~uθ
(cqfd)
spé PC
page n
◦
29
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Résolution de problème
vendredi 17 janvier 2015
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Attraction électrostatique
Un bâton électriquement chargé peut dévier un let d'eau
Un bâton électrisé par frottement attire les molécules d'eau.
Enoncé
1)
spé PC
Evaluer la charge électrique portée par le bâton.
page n
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physique
année scolaire 2014/2015
Correction
1)
Appelons
r ≈ 1 cm
Q
la charge électrique portée par le bâton et supposons qu'elle se trouve en
O
à la distance
du let d'eau.
Les molécules ressentent donc un champ
E=
Q
4 π ε0 r2
L'eau contient des molécules de moment dipolaire électrique
Celles-ci sont soumises à une force
−−→
~
F~ = grad p~.E
p ≈ 10−29 C · m.
de norme de l'ordre de grandeur du poids :
F =
avec
m=
2 Q.p
≈ m.g
4 π ε0 r3
M
NA soit
Q≈
3
4 π × 8, 85 × 10−12 × 10−2 × 18 × 10−3 × 9, 81
4 π ε0 r3 M g
≈ 10−12 C
=
2 p NA
2 × 6, 02 × 1023 × 10−29
Vérication : le champ électrostatique est
E=
Q
10−12
6
−1
≈
2 = 10 V · m
4 π ε0 r2
4 π × 8, 85 × 10−12 × (10−2 )
Or la valeur du champ disruptif de l'air la plus communément admise est de
106 V · m−1 .
36 000 V · cm−1 = 3, 6 ×
Le champ trouvé est bien inférieur.
Travaux pratiques
vendredi 17 janvier 2015
Le TP est dévolu aux entretiens TIPE.
Devoir surveillé
samedi 18 janvier 2015
Un DS commun aura lieu samedi 18 janvier 2015, il portera sur toute l'optique (géométrique et ondulatoire).
spé PC
page n
◦
31
Janson de Sailly